מבחן סוף שנה — חזרה 2

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מבחן סוף שנה — חזרה 2. 5 שאלות עם סעיפים, 26 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. שאלה אחת לכל נושא: הסתברות (טבלה דו-ממדית והסתברות מותנית), סטטיסטיקה, גאומטריה אנליטית משולבת, חקירת פולינום, ובעיית ערך קיצון.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בגאומטריה אנליטית כתבו את התכונה שאתם משתמשים בה (אלכסונים מאונכים, חוצים זה את זה), ובחקירה בנו טבלת סימנים לפני שקובעים סוג קיצון.

Exercices

שאלה 1 — הסתברות

Exercice 1

בבית ספר למוזיקה כל תלמיד לומד לנגן על כלי אחד בלבד: פסנתר או גיטרה. 40%40\% מהתלמידים לומדים פסנתר. 13\frac{1}{3} מתלמידי הגיטרה מתאמנים בבית כל יום. ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי לומד פסנתר ומתאמן כל יום גדולה פי 33 מההסתברות שהוא לומד פסנתר ואינו מתאמן כל יום. נסמן: PP — לומד פסנתר, GG — לומד גיטרה, DD — מתאמן כל יום. א. מה ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי לומד פסנתר ומתאמן כל יום?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.3

Corrigé :

P(P∩D‾)=tP(P∩D)=3t\begin{aligned}P(P \cap \overline{D}) &= t \\ \quad P(P \cap D) &= 3t\end{aligned}

נסמן את ההסתברות הקטנה ב-tt

3t+t=0.4⇒t=0.1\begin{aligned}3t + t &= 0.4 \Rightarrow t \\ &= 0.1\end{aligned}

שני התאים יחד הם כל תלמידי הפסנתר

P(P∩D)=3⋅0.1=0.3\begin{aligned}P(P \cap D) &= 3 \cdot 0.1 \\ &= 0.3\end{aligned}

0.30.3. המלכודת: להבין «פי 33» כאילו 34\frac{3}{4} מכלל התלמידים מתאמנים — היחס הוא רק בתוך שורת הפסנתר, שסכומה 0.40.4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בבית ספר למוזיקה כל תלמיד לומד לנגן על כלי אחד בלבד: פסנתר או גיטרה. 40%40\% מהתלמידים לומדים פסנתר. 13\frac{1}{3} מתלמידי הגיטרה מתאמנים בבית כל יום. ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי לומד פסנתר ומתאמן כל יום גדולה פי 33 מההסתברות שהוא לומד פסנתר ואינו מתאמן כל יום. נסמן: PP — לומד פסנתר, GG — לומד גיטרה, DD — מתאמן כל יום. מסעיף א: P(P∩D)=0.3P(P \cap D) = 0.3. ב. מה ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי מתאמן כל יום?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

P(G)=1−0.4=0.6\begin{aligned}P(G) &= 1 - 0.4 \\ &= 0.6\end{aligned}

המשלים של פסנתר

P(G∩D)=0.6⋅13=0.2\begin{aligned}P(G \cap D) &= 0.6 \cdot \frac{1}{3} \\ &= 0.2\end{aligned}

13\frac{1}{3} מתלמידי הגיטרה: כופלים בהסתברות לגיטרה

P(D)=0.3+0.2=0.5\begin{aligned}P(D) &= 0.3 + 0.2 \\ &= 0.5\end{aligned}

מחברים את שני התאים של עמודת DD

0.50.5. המלכודת: לחבר 0.3+130.3 + \frac{1}{3} — ה-13\frac{1}{3} הוא הסתברות מותנית, ויש לכפול אותו ב-P(G)P(G).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בבית ספר למוזיקה כל תלמיד לומד לנגן על כלי אחד בלבד: פסנתר או גיטרה. 40%40\% מהתלמידים לומדים פסנתר. 13\frac{1}{3} מתלמידי הגיטרה מתאמנים בבית כל יום. ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי לומד פסנתר ומתאמן כל יום גדולה פי 33 מההסתברות שהוא לומד פסנתר ואינו מתאמן כל יום. נסמן: PP — לומד פסנתר, GG — לומד גיטרה, DD — מתאמן כל יום. מסעיף א: P(P∩D)=0.3P(P \cap D) = 0.3 ו-P(G∩D)=0.2P(G \cap D) = 0.2. ג. ידוע שהתלמיד שנבחר מתאמן כל יום. מה ההסתברות שהוא לומד פסנתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.6

Corrigé :

P(D)=0.3+0.2=0.5\begin{aligned}P(D) &= 0.3 + 0.2 \\ &= 0.5\end{aligned}

המכנה: הסתברות התנאי

P(P∣D)=P(P∩D)P(D)=0.30.5=0.6\begin{aligned}P(P \mid D) &= \frac{P(P \cap D)}{P(D)} \\ &= \frac{0.3}{0.5} \\ &= 0.6\end{aligned}

הסתברות מותנית

0.60.6. שימו לב: רק 40%40\% מכלל התלמידים לומדים פסנתר, אבל בין המתאמנים כל יום הם 60%60\%.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בבית ספר למוזיקה כל תלמיד לומד לנגן על כלי אחד בלבד: פסנתר או גיטרה. 40%40\% מהתלמידים לומדים פסנתר. 13\frac{1}{3} מתלמידי הגיטרה מתאמנים בבית כל יום. ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי לומד פסנתר ומתאמן כל יום גדולה פי 33 מההסתברות שהוא לומד פסנתר ואינו מתאמן כל יום. נסמן: PP — לומד פסנתר, GG — לומד גיטרה, DD — מתאמן כל יום. מסעיף א: P(P∩D)=0.3P(P \cap D) = 0.3 ו-P(G∩D)=0.2P(G \cap D) = 0.2. ד. הוכיחו או הפריכו: המאורעות «התלמיד לומד פסנתר» ו«התלמיד מתאמן כל יום» בלתי תלויים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

P(D∣P)=0.30.4=0.75\begin{aligned}P(D \mid P) &= \frac{0.3}{0.4} \\ &= 0.75\end{aligned}

הסיכוי להתאמן כל יום בקרב תלמידי הפסנתר

P(D)=0.5P(D) = 0.5

הסיכוי להתאמן כל יום בקרב כלל התלמידים

0.75≠0.50.75 \neq 0.5

בלתי תלויים אם ורק אם P(D∣P)=P(D)P(D \mid P) = P(D)

לא נכון: המאורעות תלויים. תלמידי פסנתר מתאמנים כל יום יותר מהממוצע. אותה מסקנה מהמכפלה: 0.4⋅0.5=0.2≠0.30.4 \cdot 0.5 = 0.2 \neq 0.3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בבית ספר למוזיקה כל תלמיד לומד לנגן על כלי אחד בלבד: פסנתר או גיטרה. 40%40\% מהתלמידים לומדים פסנתר. 13\frac{1}{3} מתלמידי הגיטרה מתאמנים בבית כל יום. ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי לומד פסנתר ומתאמן כל יום גדולה פי 33 מההסתברות שהוא לומד פסנתר ואינו מתאמן כל יום. נסמן: PP — לומד פסנתר, GG — לומד גיטרה, DD — מתאמן כל יום. בוחרים באקראי שני תלמידים. בבית הספר תלמידים רבים מאוד, ולכן ההסתברויות לא משתנות בין הבחירות. ה. מה ההסתברות שבדיוק אחד מהשניים לומד גיטרה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.48

Corrigé :

P(G)=0.6P(P)=0.4\begin{aligned}P(G) &= 0.6 \\ \quad P(P) &= 0.4\end{aligned}
P(G,P)+P(P,G)=0.6⋅0.4+0.4⋅0.6P(G, P) + P(P, G) = 0.6 \cdot 0.4 + 0.4 \cdot 0.6

שני סדרים אפשריים: הגיטריסט ראשון או שני

=0.24+0.24=0.48= 0.24 + 0.24 = 0.48

0.480.48. המלכודת: לחשב רק סדר אחד ולקבל 0.240.24. «בדיוק אחד» לא אומר מי מהשניים.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — סטטיסטיקה

Exercice 6

האיחורים בחודש
מספר איחורים0011223344
מספר תלמידים991212xx6633

בטבלה: מספר הפעמים שכל תלמיד בשכבה איחר לשיעור הראשון במשך חודש. בשכבה 4040 תלמידים. א. מצאו את xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

9+12+x+6+3=409 + 12 + x + 6 + 3 = 40

סכום השכיחויות הוא מספר התלמידים

30+x=40⇒x=10\begin{aligned}30 + x &= 40 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}

x=10x = 10: עשרה תלמידים איחרו פעמיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

האיחורים בחודש
מספר איחורים0011223344
מספר תלמידים99121210106633

בטבלה: מספר הפעמים שכל תלמיד בשכבה איחר לשיעור הראשון במשך חודש. בשכבה 4040 תלמידים. ב. חשבו את מספר האיחורים הממוצע לתלמיד.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.55

Corrigé :

0⋅9+1⋅12+2⋅10+3⋅6+4⋅3=620 \cdot 9 + 1 \cdot 12 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 3 = 62

סכום כל האיחורים

xˉ=6240=1.55\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{62}{40} \\ &= 1.55\end{aligned}

1.551.55 איחורים. המלכודת: להשמיט את 99 התלמידים שלא איחרו — הם תורמים 00 לסכום, אבל הם נספרים במכנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

האיחורים בחודש
מספר איחורים0011223344
מספר תלמידים99121210106633

בטבלה: מספר הפעמים שכל תלמיד בשכבה איחר לשיעור הראשון במשך חודש. בשכבה 4040 תלמידים. ג. מצאו את החציון ואת השכיח.

החציון ____ , והשכיח ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : החציון 1 , והשכיח 1

Corrigé :

n=40⇒Me=x(20)+x(21)2\begin{aligned}n &= 40 \Rightarrow Me \\ &= \frac{x_{(20)} + x_{(21)}}{2}\end{aligned}

מספר זוגי של נתונים

9, 21, 31, 37, 409 ,\ 21 ,\ 31 ,\ 37 ,\ 40

שכיחויות מצטברות: הנתונים 1010 עד 2121 שווים 11

Me=1+12=1Mo=1\begin{aligned}Me &= \frac{1 + 1}{2} \\ &= 1 \\ \quad Mo &= 1\end{aligned}

השכיח: הערך עם השכיחות הגבוהה ביותר, 1212

החציון 11 והשכיח 11. המלכודת: לענות שהחציון 22, הערך האמצעי בשורה העליונה של הטבלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

האיחורים בחודש
מספר איחורים0011223344
מספר תלמידים99121210106633

בטבלה: מספר הפעמים שכל תלמיד בשכבה איחר לשיעור הראשון במשך חודש. בשכבה 4040 תלמידים. הממוצע 1.551.55 איחורים. ד. כמה אחוזים מהתלמידים איחרו יותר פעמים מהממוצע?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 47.5

Corrigé :

x>1.55⇒x∈{2,3,4}x > 1.55 \Rightarrow x \in \{2, 3, 4\}

הערכים שגדולים מהממוצע

10+6+3=1910 + 6 + 3 = 19

מספר התלמידים

1940⋅100=47.5\frac{19}{40} \cdot 100 = 47.5

47.5%47.5\% — 1919 תלמידים מתוך 4040. המלכודת: לספור גם את מי שאיחר פעם אחת. 1<1.551 < 1.55, ולכן הם מתחת לממוצע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

האיחורים בחודש
מספר איחורים0011223344
מספר תלמידים99121210106633

בטבלה: מספר הפעמים שכל תלמיד בשכבה איחר לשיעור הראשון במשך חודש. בשכבה 4040 תלמידים. הממוצע 1.551.55, החציון 11 והשכיח 11. לשכבה הצטרף תלמיד חדש, שלא איחר אף פעם בחודש הזה. ה. מה נכון?

  1. הממוצע ירד, והחציון והשכיח לא השתנו
  2. הממוצע, החציון והשכיח לא השתנו
  3. הממוצע ירד, והשכיח עכשיו 00
  4. הממוצע והחציון ירדו, והשכיח לא השתנה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A הממוצע ירד, והחציון והשכיח לא השתנו

Corrigé :

xˉ′=62+041≈1.51<1.55\bar{x}' = \frac{62 + 0}{41} \approx 1.51 < 1.55

הסכום לא השתנה, ומספר התלמידים גדל

n=41⇒Me=x(21)=1\begin{aligned}n &= 41 \Rightarrow Me \\ &= x_{(21)} \\ &= 1\end{aligned}

שכיחויות מצטברות: 10, 2210 ,\ 22 — הנתון ה-2121 עדיין 11

f(0)=10<f(1)=12⇒Mo=1\begin{aligned}f(0) &= 10 < f(1) \\ &= 12 \Rightarrow Mo \\ &= 1\end{aligned}

השכיח לא השתנה

הממוצע ירד, החציון והשכיח נשארו 11. נתון חדש שקטן מהממוצע מוריד אותו תמיד; החציון והשכיח זזים רק אם הנתון החדש «מזיז את האמצע» או את העמודה הגבוהה ביותר.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — גאומטריה אנליטית משולבת

Exercice 11

ABCDABCD הוא מעוין. נתון: A(−1,1)A(-1, 1) ו-C(11,5)C(11, 5). הקודקוד BB נמצא על ציר ה-xx. MM היא נקודת המפגש של האלכסונים. א. מצאו את שיעורי הנקודה MM.

M=M = ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : M=M = ( 5 , 3 )

Corrigé :

M=(−1+112,1+52)=(5,3)\begin{aligned}M &= \left(\frac{-1 + 11}{2}, \frac{1 + 5}{2}\right) \\ &= (5, 3)\end{aligned}

במעוין, כמו בכל מקבילית, האלכסונים חוצים זה את זה: MM אמצע ACAC

M(5,3)M(5, 3). אין צורך לדעת את BB ואת DD: אמצע האלכסון האחד הוא גם אמצע השני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

ABCDABCD הוא מעוין. נתון: A(−1,1)A(-1, 1) ו-C(11,5)C(11, 5). הקודקוד BB נמצא על ציר ה-xx. MM היא נקודת המפגש של האלכסונים. M(5,3)M(5, 3). ב. מצאו את משוואת האלכסון BDBD.

y=y = ____ x+x + ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = -3 x+x + 18

Corrigé :

mAC=5−111−(−1)=412=13\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{5 - 1}{11 - (-1)} \\ &= \frac{4}{12} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע האלכסון ACAC

mBD=−3m_{BD} = -3

במעוין האלכסונים מאונכים: שיפוע נגדי והפכי

y−3=−3(x−5)⇒y=−3x+18\begin{aligned}y - 3 &= -3(x - 5) \Rightarrow y \\ &= -3x + 18\end{aligned}

BDBD עובר דרך MM

y=−3x+18y = -3x + 18. שתי תכונות של המעוין עבדו כאן: האלכסונים מאונכים (השיפוע) וחוצים זה את זה (הנקודה MM).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

ABCDABCD הוא מעוין. נתון: A(−1,1)A(-1, 1) ו-C(11,5)C(11, 5). הקודקוד BB נמצא על ציר ה-xx. MM היא נקודת המפגש של האלכסונים. M(5,3)M(5, 3), ומשוואת BDBD: y=−3x+18y = -3x + 18. ג. מצאו את שיעורי הקודקודים BB ו-DD.

B=B = ( ____ , ____ ) , D=D = ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B=B = ( 6 , 0 ) , D=D = ( 4 , 6 )

Corrigé :

0=−3x+18⇒x=6\begin{aligned}0 &= -3x + 18 \Rightarrow x \\ &= 6\end{aligned}

BB על ציר ה-xx: מציבים y=0y = 0

D=(2⋅5−6, 2⋅3−0)=(4,6)\begin{aligned}D &= (2 \cdot 5 - 6 ,\ 2 \cdot 3 - 0) \\ &= (4, 6)\end{aligned}

MM אמצע BDBD

−3⋅4+18=6-3 \cdot 4 + 18 = 6

בדיקה: DD על הישר BDBD ✓

B(6,0)B(6, 0) ו-D(4,6)D(4, 6). בדיקה: AB=72+12=50AB = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50} ו-AD=52+52=50AD = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} ✓ — הצלעות שוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

ABCDABCD הוא מעוין. נתון: A(−1,1)A(-1, 1) ו-C(11,5)C(11, 5). הקודקוד BB נמצא על ציר ה-xx. MM היא נקודת המפגש של האלכסונים. הקודקודים: A(−1,1)A(-1, 1), B(6,0)B(6, 0), C(11,5)C(11, 5), D(4,6)D(4, 6). ד. חשבו את שטח המעוין.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 40

Corrigé :

AC=122+42=160\begin{aligned}AC &= \sqrt{12^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{160}\end{aligned}

אורך אלכסון בנוסחת המרחק

BD=22+62=40\begin{aligned}BD &= \sqrt{2^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{40}\end{aligned}
S=AC⋅BD2=160⋅402=802=40\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot BD}{2} \\ &= \frac{\sqrt{160 \cdot 40}}{2} \\ &= \frac{80}{2} \\ &= 40\end{aligned}

שטח מעוין: מחצית מכפלת האלכסונים

השטח 4040. המלכודת: לכפול צלע בצלע, 50⋅50=50\sqrt{50} \cdot \sqrt{50} = 50 — זה שטח של ריבוע, והמעוין הזה אינו ריבוע (האלכסונים שלו לא שווים).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

ABCDABCD הוא מעוין. נתון: A(−1,1)A(-1, 1) ו-C(11,5)C(11, 5). הקודקוד BB נמצא על ציר ה-xx. MM היא נקודת המפגש של האלכסונים. נתון: MA=40MA = \sqrt{40} ו-MB=10MB = \sqrt{10}. ה. חשבו את הזווית ∠DAB\angle DAB של המעוין. עגלו לעשירית מעלה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 53.130102354155994

Corrigé :

∠AMB=90∘\angle AMB = 90^\circ

האלכסונים מאונכים: המשולש AMBAMB ישר זווית

tan⁡∠MAB=MBMA=1040=12\begin{aligned}\tan \angle MAB &= \frac{MB}{MA} \\ &= \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{40}} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

ניצב מול חלקי ניצב ליד

∠MAB≈26.57∘⇒∠DAB=2⋅26.57∘≈53.1∘\angle MAB \approx 26.57^\circ \Rightarrow \angle DAB = 2 \cdot 26.57^\circ \approx 53.1^\circ

במעוין האלכסון חוצה את הזווית

∠DAB≈53.1∘\angle DAB \approx 53.1^\circ. המלכודת: לעצור ב-26.6∘26.6^\circ — זו רק מחצית הזווית. (∠ABC=180∘−53.1∘=126.9∘\angle ABC = 180^\circ - 53.1^\circ = 126.9^\circ.)

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 4 — חקירת פונקציה

Exercice 16

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5. א. מהי הנגזרת f′(x)f'(x)?

  1. f′(x)=x2−6x−9f'(x) = x^2 - 6x - 9
  2. f′(x)=3x2−6x−9f'(x) = 3x^2 - 6x - 9
  3. f′(x)=3x2−3x−9f'(x) = 3x^2 - 3x - 9
  4. f′(x)=3x2−6x+5f'(x) = 3x^2 - 6x + 5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B f′(x)=3x2−6x−9f'(x) = 3x^2 - 6x - 9

Corrigé :

(xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}

גוזרים כל איבר בנפרד

3x2−6x−9+03x^2 - 6x - 9 + 0

הנגזרת של קבוע היא 00

f′(x)=3x2−6x−9f'(x) = 3x^2 - 6x - 9. המלכודת: להשאיר את ה-+5+5 — הקבוע נעלם בגזירה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5. הנגזרת: f′(x)=3x2−6x−9f'(x) = 3x^2 - 6x - 9. ב. מצאו את נקודות הקיצון של ff. (מספר שלילי כתבו עם סימן מינוס.)

מקסימום: ( ____ , ____ ) , מינימום: ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מקסימום: ( -1 , 10 ) , מינימום: ( 3 , -22 )

Corrigé :

3x2−6x−9=3(x2−2x−3)=3(x−3)(x+1)=0\begin{aligned}3x^2 - 6x - 9 &= 3(x^2 - 2x - 3) \\ &= 3(x - 3)(x + 1) \\ &= 0\end{aligned}

מאפסים את הנגזרת

x=−1x=3\begin{aligned}x &= -1 \\ \quad x &= 3\end{aligned}
f′(−2)=15>0 f′(0)=−9<0 f′(4)=15>0\begin{aligned}f'(-2) &= 15 > 0 \\ \ f'(0) &= -9 < 0 \\ \ f'(4) &= 15 > 0\end{aligned}

טבלת סימנים: עולה, יורדת, עולה

f(−1)=−1−3+9+5=10f(3)=27−27−27+5=−22\begin{aligned}f(-1) &= -1 - 3 + 9 + 5 \\ &= 10 \\ \quad f(3) &= 27 - 27 - 27 + 5 \\ &= -22\end{aligned}

מקסימום ב-(−1,10)(-1, 10) ומינימום ב-(3,−22)(3, -22). המלכודת: לקבוע את הסוג לפי הסדר — הנקודה השמאלית אינה תמיד מקסימום; רק טבלת הסימנים (או סימן המקדם של x3x^3) אומרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5. נקודות הקיצון: מקסימום ב-(−1,10)(-1, 10) ומינימום ב-(3,−22)(3, -22). ג. מהם תחומי העלייה והירידה של ff?

  1. עולה ב-x<−1x < -1 וב-x>3x > 3, ויורדת ב-−1<x<3-1 < x < 3
  2. עולה ב-x<3x < 3, ויורדת ב-x>3x > 3
  3. יורדת ב-x<−1x < -1 וב-x>3x > 3, ועולה ב-−1<x<3-1 < x < 3
  4. עולה ב-x>−1x > -1, ויורדת ב-x<−1x < -1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A עולה ב-x<−1x < -1 וב-x>3x > 3, ויורדת ב-−1<x<3-1 < x < 3

Corrigé :

f′(x)=3(x−3)(x+1)f'(x) = 3(x - 3)(x + 1)

פרבולה «מחייכת» שאפסיה −1-1 ו-33

f′(x)>0  ⟺  x<−1 ∨ x>3f'(x) > 0 \iff x < -1 \ \lor \ x > 3

הנגזרת חיובית מחוץ לשורשים

עולה ב-x<−1x < -1 וב-x>3x > 3, יורדת ב-−1<x<3-1 < x < 3. בין מקסימום למינימום הפונקציה תמיד יורדת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5. הנגזרת: f′(x)=3x2−6x−9f'(x) = 3x^2 - 6x - 9. ד. מצאו את משוואת המשיק לגרף של ff בנקודה שבה x=0x = 0. (מספר שלילי כתבו עם סימן מינוס.)

y=y = ____ x+x + ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = -9 x+x + 5

Corrigé :

f(0)=5f(0) = 5

נקודת ההשקה (0,5)(0, 5)

f′(0)=−9f'(0) = -9

שיפוע המשיק

y=−9x+5y = -9x + 5

הנקודה על ציר ה-yy, ולכן n=5n = 5

y=−9x+5y = -9x + 5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5. הנגזרת: f′(x)=3x2−6x−9f'(x) = 3x^2 - 6x - 9. המשיק בנקודה שבה x=0x = 0 הוא y=−9x+5y = -9x + 5. בנקודה נוספת על הגרף המשיק מקביל למשיק הזה. ה. מצאו את שיעור ה-xx של הנקודה, ואת משוואת המשיק בה.

x=x = ____ , והמשיק: y=y = ____ x+x + ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x = 2 , והמשיק: y=y = -9 x+x + 1

Corrigé :

3x2−6x−9=−93x^2 - 6x - 9 = -9

ישרים מקבילים: אותו שיפוע

3x(x−2)=0⇒x=0 ∨ x=2\begin{aligned}3x(x - 2) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \ \lor \ x \\ &= 2\end{aligned}

x=0x = 0 היא הנקודה שכבר ידועה

f(2)=8−12−18+5=−17\begin{aligned}f(2) &= 8 - 12 - 18 + 5 \\ &= -17\end{aligned}

נקודת ההשקה (2,−17)(2, -17)

y+17=−9(x−2)⇒y=−9x+1\begin{aligned}y + 17 &= -9(x - 2) \Rightarrow y \\ &= -9x + 1\end{aligned}

x=2x = 2, והמשיק y=−9x+1y = -9x + 1. המלכודת: לפתור f(x)=−9f(x) = -9 — השיפוע הוא ערך של הנגזרת, לא של הפונקציה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3x2−9x+5f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5. נקודות הקיצון: מקסימום ב-(−1,10)(-1, 10) ומינימום ב-(3,−22)(3, -22). ו. כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=0f(x) = 0?

  1. 33
  2. 00
  3. 22
  4. 11
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 33

Corrigé :

x→−∞⇒f(x)→−∞x \to -\infty \Rightarrow f(x) \to -\infty

משמאל הגרף עולה מלמטה עד המקסימום

f(−1)=10>0f(-1) = 10 > 0

חיתוך ראשון עם ציר ה-xx, משמאל ל-−1-1

f(3)=−22<0f(3) = -22 < 0

חיתוך שני, בין −1-1 ל-33

x→∞⇒f(x)→∞x \to \infty \Rightarrow f(x) \to \infty

חיתוך שלישי, מימין ל-33

33 פתרונות. המקסימום מעל ציר ה-xx והמינימום מתחתיו: הגרף חוצה את הציר בכל אחד משלושת תחומי המונוטוניות.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 5 — בעיית ערך קיצון

Exercice 22

ABCEFG

במשולש ישר הזווית ABCABC (∠B=90∘\angle B = 90^\circ) הניצבים הם AB=6AB = 6 ס״מ ו-BC=8BC = 8 ס״מ. חוסמים במשולש מלבן GBEFGBEF: הקודקוד EE על BCBC, הקודקוד GG על ABAB, והקודקוד FF על היתר ACAC. נסמן BE=xBE = x ס״מ (0<x<80 < x < 8). א. הביעו בעזרת xx את אורך הצלע EFEF.

  1. EF=8−43xEF = 8 - \frac{4}{3}x, כי △FEC∼△ABC\triangle FEC \sim \triangle ABC ו-EFBC=ECAB\frac{EF}{BC} = \frac{EC}{AB}
  2. EF=6−xEF = 6 - x, כי AG=BEAG = BE
  3. EF=34xEF = \frac{3}{4}x, כי EFBE=ABBC\frac{EF}{BE} = \frac{AB}{BC}
  4. EF=6−34xEF = 6 - \frac{3}{4}x, כי △FEC∼△ABC\triangle FEC \sim \triangle ABC ו-EFAB=ECBC\frac{EF}{AB} = \frac{EC}{BC}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D EF=6−34xEF = 6 - \frac{3}{4}x, כי △FEC∼△ABC\triangle FEC \sim \triangle ABC ו-EFAB=ECBC\frac{EF}{AB} = \frac{EC}{BC}

Corrigé :

EF∥ABEF \parallel AB

שניהם מאונכים ל-BCBC

△FEC∼△ABC\triangle FEC \sim \triangle ABC

ז.ז — הזווית CC משותפת, ו-∠FEC=∠ABC=90∘\angle FEC = \angle ABC = 90^\circ

EF6=8−x8⇒EF=6−34x\begin{aligned}\frac{EF}{6} &= \frac{8 - x}{8} \Rightarrow EF \\ &= 6 - \frac{3}{4}x\end{aligned}

צלעות מתאימות: EF↔ABEF \leftrightarrow AB, EC↔BCEC \leftrightarrow BC

EF=6−34xEF = 6 - \frac{3}{4}x. בדיקה: ב-x=0x = 0 המלבן «נמחץ» אל ABAB ו-EF=6EF = 6; ב-x=8x = 8 הוא נעלם, EF=0EF = 0 ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

ABCEFG

במשולש ישר הזווית ABCABC (∠B=90∘\angle B = 90^\circ) הניצבים הם AB=6AB = 6 ס״מ ו-BC=8BC = 8 ס״מ. חוסמים במשולש מלבן GBEFGBEF: הקודקוד EE על BCBC, הקודקוד GG על ABAB, והקודקוד FF על היתר ACAC. נסמן BE=xBE = x ס״מ (0<x<80 < x < 8). EF=6−34xEF = 6 - \frac{3}{4}x. ב. הביעו את שטח המלבן, S(x)S(x).

  1. S(x)=2x+2(6−34x)S(x) = 2x + 2\left(6 - \frac{3}{4}x\right)
  2. S(x)=6x−34x2S(x) = 6x - \frac{3}{4}x^2
  3. S(x)=6−34x2S(x) = 6 - \frac{3}{4}x^2
  4. S(x)=6x−43x2S(x) = 6x - \frac{4}{3}x^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B S(x)=6x−34x2S(x) = 6x - \frac{3}{4}x^2

Corrigé :

S=BE⋅EFS = BE \cdot EF

שטח מלבן

S(x)=x(6−34x)=6x−34x2\begin{aligned}S(x) &= x\left(6 - \frac{3}{4}x\right) \\ &= 6x - \frac{3}{4}x^2\end{aligned}

S(x)=6x−34x2S(x) = 6x - \frac{3}{4}x^2. האפשרות 2x+2(…)2x + 2(\ldots) היא ההיקף, לא השטח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

ABCEFG

במשולש ישר הזווית ABCABC (∠B=90∘\angle B = 90^\circ) הניצבים הם AB=6AB = 6 ס״מ ו-BC=8BC = 8 ס״מ. חוסמים במשולש מלבן GBEFGBEF: הקודקוד EE על BCBC, הקודקוד GG על ABAB, והקודקוד FF על היתר ACAC. נסמן BE=xBE = x ס״מ (0<x<80 < x < 8). שטח המלבן: S(x)=6x−34x2S(x) = 6x - \frac{3}{4}x^2. ג. עבור איזה ערך של xx שטח המלבן מקסימלי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

S′(x)=6−32xS'(x) = 6 - \frac{3}{2}x

גוזרים

6−1.5x=0⇒x=4\begin{aligned}6 - 1.5x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}
S′(2)=3>0S′(6)=−3<0\begin{aligned}S'(2) &= 3 > 0 \\ \quad S'(6) &= -3 < 0\end{aligned}

טבלת סימנים: מקסימום

x=4x = 4 ס״מ: EE היא אמצע BCBC.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 25

ABCEFG

במשולש ישר הזווית ABCABC (∠B=90∘\angle B = 90^\circ) הניצבים הם AB=6AB = 6 ס״מ ו-BC=8BC = 8 ס״מ. חוסמים במשולש מלבן GBEFGBEF: הקודקוד EE על BCBC, הקודקוד GG על ABAB, והקודקוד FF על היתר ACAC. נסמן BE=xBE = x ס״מ (0<x<80 < x < 8). שטח המלבן: S(x)=6x−34x2S(x) = 6x - \frac{3}{4}x^2, והוא מקסימלי כאשר x=4x = 4. ד. מהו השטח המקסימלי, בסמ״ר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

EF=6−34⋅4=3\begin{aligned}EF &= 6 - \frac{3}{4} \cdot 4 \\ &= 3\end{aligned}
S(4)=4⋅3=12\begin{aligned}S(4) &= 4 \cdot 3 \\ &= 12\end{aligned}

1212 סמ״ר: מלבן 4×34 \times 3, שקודקודיו באמצעי הניצבים ובאמצע היתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 26

ABCEFG

במשולש ישר הזווית ABCABC (∠B=90∘\angle B = 90^\circ) הניצבים הם AB=6AB = 6 ס״מ ו-BC=8BC = 8 ס״מ. חוסמים במשולש מלבן GBEFGBEF: הקודקוד EE על BCBC, הקודקוד GG על ABAB, והקודקוד FF על היתר ACAC. נסמן BE=xBE = x ס״מ (0<x<80 < x < 8). השטח המקסימלי של המלבן הוא 1212 סמ״ר. ה. הוכיחו או הפריכו: השטח המקסימלי של המלבן שווה למחצית שטח המשולש ABCABC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

S△ABC=6⋅82=24\begin{aligned}S_{\triangle ABC} &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

במשולש ישר זווית: מחצית מכפלת הניצבים

1224=12\frac{12}{24} = \frac{1}{2}

נכון. וזה לא מקרי: בכל משולש ישר זווית, המלבן המקסימלי מהסוג הזה עובר דרך אמצעי הצלעות, ושטחו מחצית שטח המשולש.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe