מבחן סוף שנה — חזרה 3

Exercice 1

במוזיאון גדול $60\%$ מהמבקרים קנו את הכרטיס באתר האינטרנט, והשאר קנו בקופה. $\frac{1}{4}$ מהמבקרים שקנו באינטרנט הצטרפו לסיור מודרך. ההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה בקופה, גדולה פי $2.5$ מההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה באינטרנט. בוחרים באקראי מבקר אחד. נסמן: $I$ — קנה באינטרנט, $K$ — קנה בקופה, $T$ — הצטרף לסיור. א. מה ההסתברות שהמבקר קנה בקופה והצטרף לסיור?

Exercice 2

במוזיאון גדול $60\%$ מהמבקרים קנו את הכרטיס באתר האינטרנט, והשאר קנו בקופה. $\frac{1}{4}$ מהמבקרים שקנו באינטרנט הצטרפו לסיור מודרך. ההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה בקופה, גדולה פי $2.5$ מההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה באינטרנט. בוחרים באקראי מבקר אחד. נסמן: $I$ — קנה באינטרנט, $K$ — קנה בקופה, $T$ — הצטרף לסיור. מסעיף א: $P(K \cap T) = 0.25$. ב. מה ההסתברות שהמבקר קנה באינטרנט ו/או הצטרף לסיור?

Exercice 3

במוזיאון גדול $60\%$ מהמבקרים קנו את הכרטיס באתר האינטרנט, והשאר קנו בקופה. $\frac{1}{4}$ מהמבקרים שקנו באינטרנט הצטרפו לסיור מודרך. ההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה בקופה, גדולה פי $2.5$ מההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה באינטרנט. בוחרים באקראי מבקר אחד. נסמן: $I$ — קנה באינטרנט, $K$ — קנה בקופה, $T$ — הצטרף לסיור. מהסעיפים הקודמים: $P(I \cap T) = 0.15$, $P(I \cap \overline{T}) = 0.45$, $P(K \cap T) = 0.25$, $P(K \cap \overline{T}) = 0.15$. ג. ידוע שהמבקר הצטרף לסיור. מה ההסתברות שקנה את הכרטיס באינטרנט?

Exercice 4

במוזיאון גדול $60\%$ מהמבקרים קנו את הכרטיס באתר האינטרנט, והשאר קנו בקופה. $\frac{1}{4}$ מהמבקרים שקנו באינטרנט הצטרפו לסיור מודרך. ההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה בקופה, גדולה פי $2.5$ מההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה באינטרנט. בוחרים באקראי מבקר אחד. נסמן: $I$ — קנה באינטרנט, $K$ — קנה בקופה, $T$ — הצטרף לסיור. מהסעיפים הקודמים: $P(I \cap T) = 0.15$, $P(I \cap \overline{T}) = 0.45$, $P(K \cap T) = 0.25$, $P(K \cap \overline{T}) = 0.15$. ד. ידוע שהמבקר לא הצטרף לסיור. מה ההסתברות שקנה בקופה?

Exercice 5

במוזיאון גדול $60\%$ מהמבקרים קנו את הכרטיס באתר האינטרנט, והשאר קנו בקופה. $\frac{1}{4}$ מהמבקרים שקנו באינטרנט הצטרפו לסיור מודרך. ההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה בקופה, גדולה פי $2.5$ מההסתברות שמבקר הצטרף לסיור, אם ידוע שקנה באינטרנט. בוחרים באקראי מבקר אחד. נסמן: $I$ — קנה באינטרנט, $K$ — קנה בקופה, $T$ — הצטרף לסיור. מהסעיפים הקודמים: $P(I \cap T) = 0.15$, $P(I \cap \overline{T}) = 0.45$, $P(K \cap T) = 0.25$, $P(K \cap \overline{T}) = 0.15$. ביום מסוים ביקרו במוזיאון $2400$ איש. ה. כמה מהם, לפי ההסתברויות האלה, קנו בקופה ולא הצטרפו לסיור?

Exercice 6

בדיאגרמה: מספר שעות ההתנדבות בשבוע של כל אחד מחברי קבוצת נוער. א. כמה חברים בקבוצה, ומהו השכיח?

בקבוצה ____ חברים, והשכיח הוא ____ שעות.

Exercice 7

בדיאגרמה: מספר שעות ההתנדבות בשבוע של כל אחד מחברי קבוצת נוער. בקבוצה $20$ חברים. ב. חשבו את מספר שעות ההתנדבות הממוצע.

Exercice 8

בדיאגרמה: מספר שעות ההתנדבות בשבוע של כל אחד מחברי קבוצת נוער. בקבוצה $20$ חברים. ג. מצאו את החציון.

Exercice 9

בדיאגרמה: מספר שעות ההתנדבות בשבוע של כל אחד מחברי קבוצת נוער. בקבוצה $20$ חברים, והממוצע $3.4$ שעות. לקבוצה הצטרפו שני חברים חדשים, ואחרי הצטרפותם הממוצע הוא $3.5$ שעות. ד. כמה שעות בשבוע מתנדבים שני החדשים יחד?

Exercice 10

בדיאגרמה: מספר שעות ההתנדבות בשבוע של כל אחד מחברי קבוצת נוער. בקבוצה $20$ חברים, והחציון $3.5$. הצטרפו שני חברים חדשים: אחד מתנדב $4$ שעות בשבוע, והשני $5$. ה. מהו החציון החדש?

1. A$3$
2. B$4.5$
3. C$4$
4. D$3.5$

Exercice 11

במערכת צירים נתון המשולש $OAB$: $O(0, 0)$ ראשית הצירים, $A(10, 0)$ ו-$B(2, 8)$. הישר $y = 6$ חותך את הצלע $OB$ בנקודה $D$ ואת הצלע $AB$ בנקודה $E$. א. מצאו את משוואת הישר $AB$.

$y =$ ____ $x +$ ____

Exercice 12

במערכת צירים נתון המשולש $OAB$: $O(0, 0)$ ראשית הצירים, $A(10, 0)$ ו-$B(2, 8)$. הישר $y = 6$ חותך את הצלע $OB$ בנקודה $D$ ואת הצלע $AB$ בנקודה $E$. משוואת $AB$: $y = -x + 10$. ב. מצאו את שיעור ה-$x$ של $D$ ושל $E$.

$D =$ ( ____ , $6$ ) , $E =$ ( ____ , $6$ )

Exercice 13

במערכת צירים נתון המשולש $OAB$: $O(0, 0)$ ראשית הצירים, $A(10, 0)$ ו-$B(2, 8)$. הישר $y = 6$ חותך את הצלע $OB$ בנקודה $D$ ואת הצלע $AB$ בנקודה $E$. נתון: $D(1.5, 6)$ ו-$E(4, 6)$. ג. מדוע $\triangle BDE \sim \triangle BOA$?

1. Aצ.צ.צ — $DE = \frac{1}{2} OA$, ולכן כל הצלעות ביחס $\frac{1}{2}$
2. Bז.ז — $\angle BDE = \angle BAO$ כזוויות מתחלפות, והזווית $B$ משותפת
3. Cז.ז — $DE \parallel OA$ (שניהם אופקיים), ולכן $\angle BDE = \angle BOA$ כזוויות מתאימות; והזווית $B$ משותפת
4. Dהמשולשים חופפים, כי הזווית $B$ משותפת

Exercice 14

במערכת צירים נתון המשולש $OAB$: $O(0, 0)$ ראשית הצירים, $A(10, 0)$ ו-$B(2, 8)$. הישר $y = 6$ חותך את הצלע $OB$ בנקודה $D$ ואת הצלע $AB$ בנקודה $E$. נתון: $\triangle BDE \sim \triangle BOA$, $D(1.5, 6)$ ו-$E(4, 6)$. ד. חשבו את שטח הטרפז $ODEA$.

Exercice 15

במערכת צירים נתון המשולש $OAB$: $O(0, 0)$ ראשית הצירים, $A(10, 0)$ ו-$B(2, 8)$. הישר $y = 6$ חותך את הצלע $OB$ בנקודה $D$ ואת הצלע $AB$ בנקודה $E$. ה. חשבו את הזווית $\angle OBA$. עגלו לעשירית מעלה.

Exercice 16

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 4\sqrt{x - 3}$. א. מהו תחום ההגדרה של $f$?

1. A$x \le 3$
2. B$x \ge 3$
3. C$x \ge 0$
4. D$x > 3$

Exercice 17

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 4\sqrt{x - 3}$. ב. מהי הנגזרת $f'(x)$, בתחום $x > 3$?

1. A$f'(x) = -\dfrac{2}{\sqrt{x - 3}}$
2. B$f'(x) = 1 - \dfrac{4}{\sqrt{x - 3}}$
3. C$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{2\sqrt{x - 3}}$
4. D$f'(x) = 1 - \dfrac{2}{\sqrt{x - 3}}$

Exercice 18

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 4\sqrt{x - 3}$. הנגזרת: $f'(x) = 1 - \dfrac{2}{\sqrt{x - 3}}$. ג. מצאו את נקודות הקיצון של $f$: הפנימית, ונקודת הקצה של התחום. (מספר שלילי כתבו עם סימן מינוס.)

מינימום: ( ____ , ____ ) , מקסימום קצה: ( ____ , ____ )

Exercice 19

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 4\sqrt{x - 3}$. ד. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-$x$.

$x_1 =$ ____ , $x_2 =$ ____ (כאשר $x_1 < x_2$)

Exercice 20

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 4\sqrt{x - 3}$. הנגזרת: $f'(x) = 1 - \dfrac{2}{\sqrt{x - 3}}$. ה. מצאו את משוואת המשיק לגרף של $f$ בנקודה $(12, 0)$. (מספר שלילי כתבו עם סימן מינוס; אפשר לכתוב שבר.)

$y =$ ____ $x +$ ____

Exercice 21

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 4\sqrt{x - 3}$. מינימום ב-$(7, -1)$, מקסימום קצה ב-$(3, 3)$, ומ-$x = 7$ ואילך הפונקציה עולה בלי הגבלה. ו. לאילו ערכים של $k$ הישר $y = k$ חותך את הגרף של $f$ בשתי נקודות בדיוק?

1. A$k > -1$
2. B$-1 < k < 3$
3. C$-1 < k \le 3$
4. D$0 < k \le 3$

Exercice 22

נתונה הפרבולה $y = 9 - x^2$. $C$ היא נקודת החיתוך של הפרבולה עם החלק החיובי של ציר ה-$x$. $A$ היא נקודה על הפרבולה, מעל ציר ה-$x$, ו-$B$ היא הנקודה על ציר ה-$x$ שמתחת ל-$A$ ($AB$ מאונך לציר ה-$x$). נסמן ב-$x$ את שיעור ה-$x$ של $A$ ($-3 < x < 3$). א. מצאו את שיעורי הנקודה $C$.

$C =$ ( ____ , ____ )

Exercice 23

נתונה הפרבולה $y = 9 - x^2$. $C$ היא נקודת החיתוך של הפרבולה עם החלק החיובי של ציר ה-$x$. $A$ היא נקודה על הפרבולה, מעל ציר ה-$x$, ו-$B$ היא הנקודה על ציר ה-$x$ שמתחת ל-$A$ ($AB$ מאונך לציר ה-$x$). נסמן ב-$x$ את שיעור ה-$x$ של $A$ ($-3 < x < 3$). $C(3, 0)$. ב. הביעו בעזרת $x$ את שטח המשולש $ABC$.

1. A$S(x) = \dfrac{x(9 - x^2)}{2}$
2. B$S(x) = \dfrac{(3 + x)(9 - x^2)}{2}$
3. C$S(x) = (3 - x)(9 - x^2)$
4. D$S(x) = \dfrac{(3 - x)(9 - x^2)}{2}$

Exercice 24

נתונה הפרבולה $y = 9 - x^2$. $C$ היא נקודת החיתוך של הפרבולה עם החלק החיובי של ציר ה-$x$. $A$ היא נקודה על הפרבולה, מעל ציר ה-$x$, ו-$B$ היא הנקודה על ציר ה-$x$ שמתחת ל-$A$ ($AB$ מאונך לציר ה-$x$). נסמן ב-$x$ את שיעור ה-$x$ של $A$ ($-3 < x < 3$). שטח המשולש: $S(x) = \dfrac{(3 - x)(9 - x^2)}{2} = \dfrac{x^3 - 3x^2 - 9x + 27}{2}$. ג. עבור איזה ערך של $x$ שטח המשולש מקסימלי?

Exercice 25

נתונה הפרבולה $y = 9 - x^2$. $C$ היא נקודת החיתוך של הפרבולה עם החלק החיובי של ציר ה-$x$. $A$ היא נקודה על הפרבולה, מעל ציר ה-$x$, ו-$B$ היא הנקודה על ציר ה-$x$ שמתחת ל-$A$ ($AB$ מאונך לציר ה-$x$). נסמן ב-$x$ את שיעור ה-$x$ של $A$ ($-3 < x < 3$). שטח המשולש: $S(x) = \dfrac{(3 - x)(9 - x^2)}{2}$, והוא מקסימלי כאשר $x = -1$. ד. מהו השטח המקסימלי?