Série 3 — exigeant · Géométrie analytique : points, segments et droites · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות שמחברות כלים: מקבילית והאלכסונים שלה, סוג של מרובע, גובה ואנך אמצעי, שלוש נקודות על ישר, ישר והצירים, וטרפז.

תיכון מתחיל מאמצע, גובה מתחיל משיפוע הופכי ונגדי, אנך אמצעי משתמש בשניהם. לפני שכותבים, אמרו איזה מהשלושה מבקשים.

Exercices

Exercice 1

נתונה המקבילית $ABCD$ : $A(0,\,0)$ , $B(4,\,0)$ , $C(6,\,4)$ , $D(2,\,4)$ . מצאו את נקודת המפגש של האלכסונים.

$($ ____ $,$ ____ $)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $($ 3 $,$ 2 $)$

Corrigé :

\begin{aligned}M_{AC} &= \left( \frac{0+6}{2},\ \frac{0+4}{2} \right) \\ &= (3,\,2)\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה: המפגש הוא אמצע $AC$

\begin{aligned}M_{BD} &= \left( \frac{4+2}{2},\ \frac{0+4}{2} \right) \\ &= (3,\,2)\end{aligned}

בדיקה: גם אמצע $BD$ ✓

במקבילית אין צורך למצוא את משוואות האלכסונים ולחתוך: המפגש הוא אמצע של כל אחד מהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתון המרובע $ABCD$ : $A(-1,\,0)$ , $B(3,\,0)$ , $C(3,\,4)$ , $D(-1,\,4)$ . איזה מרובע הוא?

ריבוע
מעוין שאינו ריבוע
מלבן שאינו ריבוע
מקבילית שאינה מלבן

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A ריבוע

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= 4 \\ \quad BC &= 4 \\ \quad CD &= 4 \\ \quad DA &= 4\end{aligned}

$AB$ ו- $CD$ אופקיים, $BC$ ו- $DA$ אנכיים

AB \perp BC

אופקי מאונך לאנכי: זווית ישרה

התשובה: ריבוע. ארבע צלעות שוות (מעוין) וזווית ישרה (מלבן) יחד. הצלעות מקבילות לצירים, ולכן הכול נקרא בלי נוסחת המרחק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הישר $y = 2x + k$ עובר דרך הנקודה $(3,\,-1)$ . מצאו את $k$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -7

Corrigé :

-1 = 2 \cdot 3 + k

הנקודה מקיימת את המשוואה

\begin{aligned}k &= -1 - 6 \\ &= -7\end{aligned}

On résout

נקודה על ישר: מציבים את שני שיעוריה במשוואה. $k$ הוא החיתוך עם ציר ה- $y$ , והוא שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתון המשולש $ABC$ : $A(-2,\,1)$ , $B(6,\,3)$ , $C(2,\,5)$ . מצאו את משוואת הגובה מ- $C$ לצלע $AB$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $y =$ -4 $x +$ 13

Corrigé :

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{3 - 1}{6 - (-2)} \\ &= \frac{2}{8} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

שיפוע הצלע

m_{\perp} = -4

הופכי ונגדי

\begin{aligned}y - 5 &= -4(x - 2) \ \Rightarrow \ y \\ &= -4x + 13\end{aligned}

דרך $C$

גובה: שיפוע הצלע, הופכי ונגדי, ודרך הקודקוד. האמצע של $AB$ לא משתתף, הוא שייך לתיכון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

לאיזה ערך של $k$ הישרים $y = kx - 1$ ו- $y = -2x + 3$ מאונכים זה לזה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.5

Corrigé :

k \cdot (-2) = -1

מכפלת השיפועים

k = \frac{1}{2}

On résout

מי שענה $2$ שכח את הסימן: $2 \cdot (-2) = -4$ . הופכי ונגדי של $-2$ הוא $\frac{1}{2}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון המשולש $ABC$ : $A(0,\,0)$ , $B(6,\,0)$ , $C(3,\,3)$ . איזה משולש הוא?

שווה צלעות
ישר זווית ושווה שוקיים
ישר זווית בלבד
שווה שוקיים בלבד

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B ישר זווית ושווה שוקיים

Corrigé :

\begin{aligned}AC &= \sqrt{9 + 9} \\ &= \sqrt{18} \\ \quad BC &= \sqrt{9 + 9} \\ &= \sqrt{18}\end{aligned}

שתי שוקיים שוות

\begin{aligned}m_{AC} &= 1 \\ \quad m_{BC} &= \frac{3 - 0}{3 - 6} \\ &= -1 \\ \quad 1 \cdot (-1) &= -1\end{aligned}

$AC \perp BC$ : זווית ישרה ב- $C$

\begin{aligned}18 + 18 &= 36 \\ &= 6^2\end{aligned}

גם פיתגורס ההפוך מאשר

התשובה: ישר זווית ושווה שוקיים. השוקיים בשיפועים $1$ ו- $-1$ : ישרים כאלה תמיד מאונכים. לא שווה צלעות: $AB = 6 \neq \sqrt{18}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הוכיחו או הפריכו: הנקודות $A(1,\,2)$ , $B(3,\,6)$ ו- $C(5,\,10)$ נמצאות על ישר אחד.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{6 - 2}{3 - 1} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע $AB$

\begin{aligned}m_{BC} &= \frac{10 - 6}{5 - 3} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע $BC$

m_{AB} = m_{BC}

אותו שיפוע ונקודה משותפת $B$ : אותו ישר

הטענה נכונה. שלוש נקודות על ישר אחד כששני השיפועים שווים. הישר הוא $y = 2x$ , ושלושתן מקיימות אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הישר $4x - 3y - 12 = 0$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ ואת ציר ה- $y$ בנקודה $B$ . חשבו את אורך $AB$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

\begin{aligned}y &= 0 \ \Rightarrow \ 4x \\ &= 12 \ \Rightarrow \ A(3,\,0)\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $x$

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ -3y \\ &= 12 \ \Rightarrow \ B(0,\,-4)\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $y$

\begin{aligned}AB &= \sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= 5\end{aligned}

נוסחת המרחק

$B$ מתחת לציר ה- $x$ : $-3y = 12$ נותן $y = -4$ , לא $4$ . לאורך זה לא משנה, לציור כן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

נתונות הנקודות $A(1,\,2)$ ו- $B(5,\,4)$ . מצאו את משוואת האנך האמצעי של $AB$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $y =$ -2 $x +$ 9

Corrigé :

M = (3,\,3)

אמצע $AB$

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4 - 2}{5 - 1} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= -2\end{aligned}

הופכי ונגדי

\begin{aligned}y - 3 &= -2(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x + 9\end{aligned}

דרך $M$

אנך אמצעי: אמצע בשביל הנקודה, מאונך בשביל השיפוע. שני הכלים יחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתון הטרפז $ABCD$ : $A(0,\,0)$ , $B(8,\,0)$ , $C(6,\,4)$ , $D(2,\,4)$ , כאשר $AB \parallel DC$ . חשבו את שטח הטרפז.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= 8 \\ \quad DC &= 4\end{aligned}

שני הבסיסים אופקיים

h = 4

הגובה: ההפרש בין $y = 0$ ל- $y = 4$

\begin{aligned}S &= \frac{(8 + 4) \cdot 4}{2} \\ &= 24\end{aligned}

שטח טרפז

כששני הבסיסים מקבילים לציר ה- $x$ , הגובה הוא הפרש ה- $y$ . הצלעות $AD$ ו- $BC$ אינן הגובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev