Optimisation sur des graphes

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בבעיות האלה נקודה PP זזה על גרף, ואיתה זזים מלבן, קטע או מרחק. הסוד הוא משפט אחד: נקודה על הגרף של ff היא (x, f(x))(x,\,f(x)). משם כל אורך בשרטוט נכתב באמצעות xx בלבד.

מלבן מתחת לפרבולה

מלבן מתחת לגרף y = 27 − x²

הקודקודים PP ו-QQ נמצאים על הגרף y=27−x2y = 27 - x^2, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-xx. אם P=(x, 27−x2)P = (x,\,27 - x^2), אז Q=(−x, 27−x2)Q = (-x,\,27 - x^2), כי הגרף סימטרי ביחס לציר ה-yy. לכן רוחב המלבן 2x2x, וגובהו 27−x227 - x^2: שיעור ה-yy של הנקודה הוא הגובה.

מהו התחום של xx כאן?

Voir la réponse et le corrigé

0<x<270 < x < \sqrt{27}. ב-x=0x = 0 אין רוחב. ב-x=27≈5.2x = \sqrt{27} \approx 5.2 הגרף פוגש את ציר ה-xx, ואין גובה.

הקטע האנכי בין שני גרפים

הקטע האנכי AB בין שני הגרפים
ABfg012345604812162024xy
A על הגרף של f, ו-B על הגרף של g, באותו x.

הקטע האנכי הארוך ביותר

הקטע ABAB מקביל לציר ה-yy: AA על f(x)=−x2+10xf(x) = -x^2 + 10x ו-BB על g(x)=x2−2xg(x) = x^2 - 2x, באותו xx, בין נקודות החיתוך של הגרפים. מהו האורך הגדול ביותר של ABAB?

−x2+10x=x2−2x ⇒ 2x2−12x=0 ⇒ x=0 x=6\begin{aligned}-x^2 + 10x &= x^2 - 2x \ \Rightarrow \ 2x^2 - 12x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 6\end{aligned}

נקודות החיתוך קובעות את התחום 0<x<60 < x < 6

L(x)=f(x)−g(x)=−2x2+12x\begin{aligned}L(x) &= f(x) - g(x) \\ &= -2x^2 + 12x\end{aligned}

הגרף העליון פחות הגרף התחתון, באותו xx

L′(x)=−4x+12=0 ⇒ x=3\begin{aligned}L'(x) &= -4x + 12 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

L(3)=−18+36=18\begin{aligned}L(3) &= -18 + 36 \\ &= 18\end{aligned}

A=(3, 21)A = (3,\,21) ו-B=(3, 3)B = (3,\,3)

איך יודעים איזה גרף הוא העליון?

Voir la réponse et le corrigé

מציבים נקודה אחת מתוך התחום: f(1)=9f(1) = 9 ו-g(1)=−1g(1) = -1. לכן ff מעל gg בכל התחום (הגרפים לא נחתכים בתוכו), והאורך הוא f(x)−g(x)f(x) - g(x).

הנקודה הקרובה ביותר: מרחק מתחת לשורש

המרחק מ-A(5, 0) לנקודה P על y = √(2x)
AP012345678-101234xy
P היא נקודה כללית על הגרף. הקו המקווקו הוא המרחק AP.

למה מספיק לבדוק את הסימן של המונה x−4x - 4 בלבד?

Voir la réponse et le corrigé

המכנה x2−8x+25\sqrt{x^2 - 8x + 25} הוא שורש, ולכן חיובי בכל התחום. הסימן של השבר הוא הסימן של המונה: שלילי ל-x<4x < 4, חיובי ל-x>4x > 4.

שלושה משפטים פותרים כמעט כל בעיה על גרף: נקודה על הגרף היא (x, f(x))(x,\,f(x)). אורך אנכי הוא הפרש של שיעורי yy באותו xx. מרחק בין שתי נקודות הוא (Δx)2+(Δy)2\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}.

הטעויות של בעיות על גרף.

S=x(27−x2)S = x(27 - x^2)
S=2x(27−x2)S = 2x(27 - x^2)

מלבן סימטרי ביחס לציר ה-yy: הרוחב 2x2x. בדקו תמיד מה xx מסמן בשרטוט.

L(x)=g(x)−f(x)L(x) = g(x) - f(x)
L(x)=f(x)−g(x)L(x) = f(x) - g(x)

אורך הוא העליון פחות התחתון. בדקו בנקודה אחת מי מעל.

d′(x)=12x2−8x+25d'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 8x + 25}}
d′(x)=2x−82x2−8x+25d'(x) = \frac{2x - 8}{2\sqrt{x^2 - 8x + 25}}

בנגזרת של שורש מכפילים בנגזרת של מה שמתחת לשורש. בלעדיה הנגזרת לא מתאפסת אף פעם.

Exercices

Exercice 1

מלבן מתחת לגרף y = 27 − x²

הקודקודים PP ו-QQ של מלבן נמצאים על הגרף y=27−x2y = 27 - x^2, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-xx, כמו בשרטוט. P=(x, 27−x2)P = (x,\,27 - x^2) ו-x>0x > 0. מהי הפונקציה של שטח המלבן?

  1. S(x)=2x+2(27−x2)S(x) = 2x + 2(27 - x^2)
  2. S(x)=2x(27−x2)S(x) = 2x(27 - x^2)
  3. S(x)=54xS(x) = 54x
  4. S(x)=x(27−x2)S(x) = x(27 - x^2)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B S(x)=2x(27−x2)S(x) = 2x(27 - x^2)

Corrigé :

Q=(−x, 27−x2)Q = (-x,\,27 - x^2)

סימטריה ביחס לציר ה-yy

PQ=2xגובה=27−x2\begin{aligned}PQ &= 2x \\ \quad \text{גובה} &= 27 - x^2\end{aligned}

רוחב וגובה

S(x)=2x(27−x2)S(x) = 2x(27 - x^2)

שטח

הנכונה: S(x)=2x(27−x2)S(x) = 2x(27 - x^2). x(27−x2)x(27 - x^2) הוא חצי מלבן. 2x+2(27−x2)2x + 2(27 - x^2) הוא חצי היקף, לא שטח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מלבן מתחת לגרף y = 27 − x²

הקודקודים PP ו-QQ של מלבן נמצאים על הגרף y=27−x2y = 27 - x^2, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-xx, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 108

Corrigé :

S(x)=54x−2x30<x<27\begin{aligned}S(x) &= 54x - 2x^3 \\ \quad 0 < x < \sqrt{27}\end{aligned}

השטח והתחום

S′(x)=54−6x2=0 ⇒ x=3\begin{aligned}S'(x) &= 54 - 6x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

x=−3x = -3 מחוץ לתחום

S′(1)>0,S′(4)<0S'(1) > 0 ,\quad S'(4) < 0

מקסימום

S(3)=6⋅18=108\begin{aligned}S(3) &= 6 \cdot 18 \\ &= 108\end{aligned}

השטח

מי שכותב x(27−x2)x(27 - x^2) מקבל את אותו x=3x = 3, אבל שטח 5454: חצי מהתשובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

הקטע האנכי AB בין f ו-g
ABfg-2-10123456-14-10-6-22610141822xy
A על f ו-B על g, באותו x, בין נקודות החיתוך של הגרפים.

נתונות f(x)=−x2+5x+14f(x) = -x^2 + 5x + 14 ו-g(x)=x2−3x−10g(x) = x^2 - 3x - 10. ישר המקביל לציר ה-yy חותך את ff ב-AA ואת gg ב-BB, בין נקודות החיתוך של הגרפים, כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של הקטע ABAB?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 32

Corrigé :

f(x)=g(x) ⇒ 2x2−8x−24=0 ⇒ x=−2 x=6\begin{aligned}f(x) &= g(x) \ \Rightarrow \ 2x^2 - 8x - 24 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2 \\ \ x &= 6\end{aligned}

נקודות החיתוך: התחום −2<x<6-2 < x < 6

L(x)=f(x)−g(x)=−2x2+8x+24\begin{aligned}L(x) &= f(x) - g(x) \\ &= -2x^2 + 8x + 24\end{aligned}

f(0)=14>g(0)=−10f(0) = 14 > g(0) = -10: ff העליון

L′(x)=−4x+8=0 ⇒ x=2\begin{aligned}L'(x) &= -4x + 8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

L(2)=−8+16+24=32\begin{aligned}L(2) &= -8 + 16 + 24 \\ &= 32\end{aligned}

האורך

האורך הוא הפרש באותו xx, לא ההפרש בין הקודקודים של שתי הפרבולות. בדיקה: f(2)=20f(2) = 20 ו-g(2)=−12g(2) = -12, והפרש 3232 ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הקטע האנכי בין הישר y = x + 6 לפרבולה y = x²
AB-2-10123-112345678910xy
A על הישר ו-B על הפרבולה, באותו x.

ישר המקביל לציר ה-yy חותך את הישר y=x+6y = x + 6 בנקודה AA ואת הפרבולה y=x2y = x^2 בנקודה BB, בין נקודות החיתוך של שני הגרפים, כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של ABAB? כתבו תשובה עשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6.25

Corrigé :

x+6=x2 ⇒ (x−3)(x+2)=0\begin{aligned}x + 6 &= x^2 \ \Rightarrow \ (x - 3)(x + 2) \\ &= 0\end{aligned}

נקודות החיתוך: −2<x<3-2 < x < 3

L(x)=x+6−x2L(x) = x + 6 - x^2

הישר מעל הפרבולה בתחום

L′(x)=1−2x=0 ⇒ x=0.5\begin{aligned}L'(x) &= 1 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0.5\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

L(0.5)=6.5−0.25=6.25\begin{aligned}L(0.5) &= 6.5 - 0.25 \\ &= 6.25\end{aligned}

האורך

הקטע הארוך ביותר אינו ב-x=0x = 0 (קודקוד הפרבולה), אלא ב-x=0.5x = 0.5: שם השיפוע של הפרבולה שווה לשיפוע של הישר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

המרחק מ-A(5, 0) לנקודה P על y = √(4x)
AP012345678-10123456xy
P היא נקודה כללית על הגרף, ו-AP המרחק.

הנקודה PP נמצאת על הגרף y=4xy = \sqrt{4x}, והנקודה AA היא (5, 0)(5,\,0), כמו בשרטוט. א. מצאו את שיעור ה-xx של הנקודה PP הקרובה ביותר ל-AA.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

d(x)=(x−5)2+4x=x2−6x+25x≥0\begin{aligned}d(x) &= \sqrt{(x - 5)^2 + 4x} \\ &= \sqrt{x^2 - 6x + 25} \\ \quad x \ge 0\end{aligned}

נוסחת המרחק

d′(x)=2x−62x2−6x+25d'(x) = \frac{2x - 6}{2\sqrt{x^2 - 6x + 25}}

נגזרת של שורש

d′(x)=0 ⇒ x=3\begin{aligned}d'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

המונה מתאפס

d′(2)<0,d′(4)>0d'(2) < 0 ,\quad d'(4) > 0

מינימום

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס. מי ששכח לכפול בנגזרת של x2−6x+25x^2 - 6x + 25 מקבל נגזרת שאף פעם אינה אפס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

המרחק מ-A(5, 0) לנקודה P על y = √(4x)
AP012345678-10123456xy
P היא נקודה כללית על הגרף, ו-AP המרחק.

הנקודה PP נמצאת על הגרף y=4xy = \sqrt{4x}, והנקודה AA היא (5, 0)(5,\,0), כמו בשרטוט. ב. מהו המרחק הקטן ביותר בין AA לבין PP?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

x=3x = 3

מסעיף א

d(3)=9−18+25=16=4\begin{aligned}d(3) &= \sqrt{9 - 18 + 25} \\ &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

מציבים ב-dd

P=(3, 12)P = \left(3,\,\sqrt{12}\right)

הנקודה הקרובה ביותר

מציבים ב-dd, לא ב-d′d'. ושימו לב: המרחק מ-AA לראשית הוא 55, יותר מ-44.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מלבן ברביע הראשון, P על הגרף y = √(12 − x)
P012345678910111201234xy
צלע אחת על ציר ה-x, צלע אחת על ציר ה-y, והקודקוד P על הגרף.

מלבן ברביע הראשון: שתי צלעות שלו על הצירים, והקודקוד PP על הגרף y=12−xy = \sqrt{12 - x}, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

S(x)=x12−x0<x<12\begin{aligned}S(x) &= x\sqrt{12 - x} \\ \quad 0 < x < 12\end{aligned}

P=(x, 12−x)P = (x,\,\sqrt{12 - x}): רוחב xx, גובה 12−x\sqrt{12 - x}

S′(x)=12−x+x⋅−1212−x=24−3x212−x\begin{aligned}S'(x) &= \sqrt{12 - x} + x \cdot \frac{-1}{2\sqrt{12 - x}} \\ &= \frac{24 - 3x}{2\sqrt{12 - x}}\end{aligned}

כלל המכפלה, ומכנה משותף

S′(x)=0 ⇒ x=8\begin{aligned}S'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

S(8)=84=16\begin{aligned}S(8) &= 8\sqrt{4} \\ &= 16\end{aligned}

השטח

בכלל המכפלה יש שני מחוברים. מי ששוכח את 12−x\sqrt{12 - x} (הנגזרת של xx כפול השורש) מקבל נגזרת שלילית בכל התחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

המרחק מ-A(0, 2.5) לנקודה P על y = x²

מהו המרחק הקטן ביותר בין הנקודה A(0, 2.5)A(0,\,2.5) לבין הגרף y=x2y = x^2? כתבו תשובה עשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.5

Corrigé :

d(x)=x2+(x2−2.5)2=x4−4x2+6.25\begin{aligned}d(x) &= \sqrt{x^2 + (x^2 - 2.5)^2} \\ &= \sqrt{x^4 - 4x^2 + 6.25}\end{aligned}

נקודה על הגרף: (x, x2)(x,\,x^2)

d′(x)=4x3−8x2x4−4x2+6.25=2x(x2−2)x4−4x2+6.25\begin{aligned}d'(x) &= \frac{4x^3 - 8x}{2\sqrt{x^4 - 4x^2 + 6.25}} \\ &= \frac{2x(x^2 - 2)}{\sqrt{x^4 - 4x^2 + 6.25}}\end{aligned}

נגזרת של שורש

x=0x=±2\begin{aligned}x &= 0 \\ \quad x &= \pm\sqrt{2}\end{aligned}

שלוש נקודות חשודות

d(0)=2.5d(±2)=4−8+6.25=1.5\begin{aligned}d(0) &= 2.5 \\ \quad d(\pm\sqrt{2}) &= \sqrt{4 - 8 + 6.25} \\ &= 1.5\end{aligned}

משווים

dmin=1.5d_{min} = 1.5

בנקודות (±2, 2)(\pm\sqrt{2},\,2)

ב-x=0x = 0 הנגזרת מתאפסת, אבל שם המרחק מקסימלי מקומית (2.52.5). את הסוג קובעת טבלת הסימנים, לא «נראה קרוב».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

המרחק מ-A(0, 2.5) לנקודה P על y = x²

הוכיחו או הפריכו: הנקודה על הגרף y=x2y = x^2 הקרובה ביותר לנקודה A(0, 2.5)A(0,\,2.5) היא הקודקוד (0, 0)(0,\,0).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

d(0)=2.5d(0) = 2.5

המרחק לקודקוד

d(2)=2+(2−2.5)2=2.25=1.5\begin{aligned}d(\sqrt{2}) &= \sqrt{2 + (2 - 2.5)^2} \\ &= \sqrt{2.25} \\ &= 1.5\end{aligned}

נקודה אחרת על הגרף

1.5<2.51.5 < 2.5

יש נקודה קרובה יותר

הטענה לא נכונה. הקודקוד נמצא «מתחת» ל-AA, אבל הגרף מתעקל לכיוון AA משני הצדדים. הנקודות הקרובות ביותר הן (±2, 2)(\pm\sqrt{2},\,2).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

המרחק מ-A(6.5, 0) לנקודה P על y = √x
AP0123456789-10123xy
P היא נקודה כללית על הגרף.

מחפשים את המרחק הקטן ביותר בין A(6.5, 0)A(6.5,\,0) לבין הגרף y=xy = \sqrt{x}, כמו בשרטוט. שורה אחת בפתרון שגויה. מצאו אותה.

d(x)=(x−6.5)2+x=x2−12x+42.25\begin{aligned}d(x) &= \sqrt{(x - 6.5)^2 + x} \\ &= \sqrt{x^2 - 12x + 42.25}\end{aligned}
d′(x)=12x2−12x+42.25d'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 12x + 42.25}}
x=6d(6)=6.25=2.5\begin{aligned}x &= 6 \\ \quad d(6) &= \sqrt{6.25} \\ &= 2.5\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : d′(x)=12x2−12x+42.25d'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 12x + 42.25}} → d′(x)=2x−122x2−12x+42.25d'(x) = \frac{2x - 12}{2\sqrt{x^2 - 12x + 42.25}}

Corrigé :

(f)′=f′2f\left(\sqrt{f}\right)' = \frac{f'}{2\sqrt{f}}

הכלל

f(x)=x2−12x+42.25 ⇒ f′(x)=2x−12\begin{aligned}f(x) &= x^2 - 12x + 42.25 \ \Rightarrow \ f'(x) \\ &= 2x - 12\end{aligned}

הנגזרת של מה שמתחת לשורש

d′(x)=0 ⇒ x=6\begin{aligned}d'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

עכשיו השורה האחרונה נכונה

בשורה השנייה חסרה הנגזרת הפנימית 2x−122x - 12. בלעדיה d′(x)d'(x) לעולם אינה אפס, והמסקנה x=6x = 6 לא נובעת ממנה.

Vérifier la réponse sur elev

חזרה — שאלה 1

Exercice 11

מלבן מתחת לגרף f(x) = 9x − x²

נתונה הפונקציה f(x)=9x−x2f(x) = 9x - x^2. מנקודה AA שעל גרף הפונקציה ברביע הראשון מורידים אנכים לשני הצירים, כך שנוצר מלבן שאחד מקודקודיו בראשית הצירים, כמו בשרטוט. שיעור ה-xx של AA הוא xx. א. מהי הפונקציה של שטח המלבן?

  1. S(x)=2x(9x−x2)S(x) = 2x(9x - x^2)
  2. S(x)=9x−x2S(x) = 9x - x^2
  3. S(x)=9x2−x3S(x) = 9x^2 - x^3
  4. S(x)=2x+2(9x−x2)S(x) = 2x + 2(9x - x^2)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C S(x)=9x2−x3S(x) = 9x^2 - x^3

Corrigé :

A=(x, 9x−x2)0<x<9\begin{aligned}A &= (x,\, 9x - x^2) \\ \quad 0 < x < 9\end{aligned}

נקודה על הגרף ברביע הראשון

רוחב=xגובה=9x−x2\begin{aligned}\text{רוחב} &= x \\ \quad \text{גובה} &= 9x - x^2\end{aligned}

המרחקים של AA מהצירים

S(x)=x(9x−x2)=9x2−x3\begin{aligned}S(x) &= x(9x - x^2) \\ &= 9x^2 - x^3\end{aligned}

שטח

הנכונה: S(x)=9x2−x3S(x) = 9x^2 - x^3. 9x−x29x - x^2 הוא רק הגובה, 2x+2(9x−x2)2x + 2(9x - x^2) הוא היקף, ו-2x(9x−x2)2x(9x - x^2) מתאים למלבן סימטרי משני צדי ציר ה-yy.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מלבן מתחת לגרף f(x) = 9x − x²

נתונה הפונקציה f(x)=9x−x2f(x) = 9x - x^2. מנקודה AA שעל גרף הפונקציה ברביע הראשון מורידים אנכים לשני הצירים, כך שנוצר מלבן שאחד מקודקודיו בראשית הצירים, כמו בשרטוט. שיעור ה-xx של AA הוא xx. שטח המלבן הוא S(x)=9x2−x3S(x) = 9x^2 - x^3. ב. מה צריכים להיות שיעורי הנקודה AA כדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי?

A=A = ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A=A = ( 6 , 18 )

Corrigé :

S′(x)=18x−3x2=3x(6−x)=0\begin{aligned}S'(x) &= 18x - 3x^2 \\ &= 3x(6 - x) \\ &= 0\end{aligned}

גוזרים ומשווים לאפס

x=6x = 6

x=0x = 0 מחוץ לתחום 0<x<90 < x < 9

S′(5)=15>0S′(7)=−21<0\begin{aligned}S'(5) &= 15 > 0 \\ \quad S'(7) &= -21 < 0\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

f(6)=54−36=18\begin{aligned}f(6) &= 54 - 36 \\ &= 18\end{aligned}

שיעור ה-yy של AA

A(6,18)A(6, 18). המלכודת: לעצור ב-x=6x = 6 — השאלה מבקשת את שני השיעורים של AA.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

מלבן מתחת לגרף f(x) = 9x − x²

נתונה הפונקציה f(x)=9x−x2f(x) = 9x - x^2. מנקודה AA שעל גרף הפונקציה ברביע הראשון מורידים אנכים לשני הצירים, כך שנוצר מלבן שאחד מקודקודיו בראשית הצירים, כמו בשרטוט. שיעור ה-xx של AA הוא xx. שטח המלבן מקסימלי כאשר A=(6,18)A = (6, 18). ג. מהו השטח המקסימלי של המלבן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 108

Corrigé :

S(6)=6⋅18=108\begin{aligned}S(6) &= 6 \cdot 18 \\ &= 108\end{aligned}

רוחב כפול גובה

השטח המקסימלי 108108. בדיקה: 9⋅36−216=1089 \cdot 36 - 216 = 108 ✓.

Vérifier la réponse sur elev

חזרה — שאלה 2

Exercice 14

f(x) = x² + 10 , g(x) = 8x − x²

נתונות הפונקציות f(x)=x2+10f(x) = x^2 + 10 ו-g(x)=8x−x2g(x) = 8x - x^2. הנקודות AA ו-BB נמצאות על הגרפים של f(x)f(x) ושל g(x)g(x) בהתאמה, כך שהקטע ABAB מקביל לציר ה-yy, כמו בשרטוט. שיעור ה-xx של שתי הנקודות הוא xx. א. הביעו באמצעות xx את אורך הקטע ABAB.

AB=AB = ____ x2−x^2 - ____ x+x + ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : AB=AB = 2 x2−x^2 - 8 x+x + 10

Corrigé :

AB=f(x)−g(x)=x2+10−(8x−x2)\begin{aligned}AB &= f(x) - g(x) \\ &= x^2 + 10 - (8x - x^2)\end{aligned}

הגרף של ff מעל הגרף של gg

=2x2−8x+10= 2x^2 - 8x + 10

מכנסים איברים

2x2−8x+10=2(x−2)2+2>02x^2 - 8x + 10 = 2(x - 2)^2 + 2 > 0

בדיקה: ההפרש חיובי לכל xx, ולכן אין צורך בערך מוחלט

AB=2x2−8x+10AB = 2x^2 - 8x + 10. המלכודת: לא לשים סוגריים סביב g(x)g(x) ולכתוב x2+10−8x−x2x^2 + 10 - 8x - x^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

f(x) = x² + 10 , g(x) = 8x − x²

נתונות הפונקציות f(x)=x2+10f(x) = x^2 + 10 ו-g(x)=8x−x2g(x) = 8x - x^2. הנקודות AA ו-BB נמצאות על הגרפים של f(x)f(x) ושל g(x)g(x) בהתאמה, כך שהקטע ABAB מקביל לציר ה-yy, כמו בשרטוט. שיעור ה-xx של שתי הנקודות הוא xx. אורך הקטע הוא AB=2x2−8x+10AB = 2x^2 - 8x + 10. ב. מה צריכים להיות שיעורי הנקודה AA כדי שאורך הקטע ABAB יהיה מינימלי?

A=A = ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A=A = ( 2 , 14 )

Corrigé :

d′(x)=4x−8=0 ⇒ x=2\begin{aligned}d'(x) &= 4x - 8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

נקודה חשודה לקיצון

d′(1)=−4<0d′(3)=4>0\begin{aligned}d'(1) &= -4 < 0 \\ \quad d'(3) &= 4 > 0\end{aligned}

מ-−- ל-++: מינימום

f(2)=4+10=14\begin{aligned}f(2) &= 4 + 10 \\ &= 14\end{aligned}

AA על גרף ff, לא על גרף gg

A(2,14)A(2, 14). המלכודת: להציב ב-gg ולקבל (2,12)(2, 12) — אלה שיעורי BB.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

f(x) = x² + 10 , g(x) = 8x − x²

נתונות הפונקציות f(x)=x2+10f(x) = x^2 + 10 ו-g(x)=8x−x2g(x) = 8x - x^2. הנקודות AA ו-BB נמצאות על הגרפים של f(x)f(x) ושל g(x)g(x) בהתאמה, כך שהקטע ABAB מקביל לציר ה-yy, כמו בשרטוט. שיעור ה-xx של שתי הנקודות הוא xx. אורך הקטע הוא AB=2x2−8x+10AB = 2x^2 - 8x + 10, והוא מינימלי כאשר x=2x = 2. ג. מהו האורך המינימלי של הקטע ABAB?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

d(2)=8−16+10=2\begin{aligned}d(2) &= 8 - 16 + 10 \\ &= 2\end{aligned}

מציבים x=2x = 2

f(2)−g(2)=14−12=2\begin{aligned}f(2) - g(2) &= 14 - 12 \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה: הפרש השיעורים

האורך המינימלי 22.

Vérifier la réponse sur elev

חזרה — שאלה 3

Exercice 17

f(x) = x² − 16x + 72 , g(x) = −x² + 8x

בשרטוט הגרפים של הפונקציות f(x)=x2−16x+72f(x) = x^2 - 16x + 72 ו-g(x)=−x2+8xg(x) = -x^2 + 8x. הנקודה AA נמצאת על גרף f(x)f(x) והנקודה BB על גרף g(x)g(x), כך שהקטע ABAB מקביל לציר ה-yy. מ-AA ומ-BB מעבירים אנכים לציר ה-yy, שפוגשים אותו ב-DD וב-CC, כך שנוצר המלבן ABCDABCD. שיעור ה-xx של AA מסומן ב-tt, ו-0<t<60 < t < 6. א. הביעו באמצעות tt את שטח המלבן ABCDABCD.

S(t)=S(t) = ____ t3−t^3 - ____ t2+t^2 + ____ tt

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : S(t)=S(t) = 2 t3−t^3 - 24 t2+t^2 + 72 tt

Corrigé :

AB=f(t)−g(t)=t2−16t+72−(−t2+8t)=2t2−24t+72\begin{aligned}AB &= f(t) - g(t) \\ &= t^2 - 16t + 72 - (-t^2 + 8t) \\ &= 2t^2 - 24t + 72\end{aligned}

אורך הצלע המקבילה לציר ה-yy

AD=tAD = t

המרחק של AA מציר ה-yy

S(t)=t(2t2−24t+72)=2t3−24t2+72t\begin{aligned}S(t) &= t(2t^2 - 24t + 72) \\ &= 2t^3 - 24t^2 + 72t\end{aligned}

שטח

S(t)=2t3−24t2+72tS(t) = 2t^3 - 24t^2 + 72t. שימו לב: AB=2(t−6)2AB = 2(t - 6)^2, ולכן הגרפים נוגעים זה בזה ב-t=6t = 6, וזה גבול התחום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

f(x) = x² − 16x + 72 , g(x) = −x² + 8x

בשרטוט הגרפים של הפונקציות f(x)=x2−16x+72f(x) = x^2 - 16x + 72 ו-g(x)=−x2+8xg(x) = -x^2 + 8x. הנקודה AA נמצאת על גרף f(x)f(x) והנקודה BB על גרף g(x)g(x), כך שהקטע ABAB מקביל לציר ה-yy. מ-AA ומ-BB מעבירים אנכים לציר ה-yy, שפוגשים אותו ב-DD וב-CC, כך שנוצר המלבן ABCDABCD. שיעור ה-xx של AA מסומן ב-tt, ו-0<t<60 < t < 6. שטח המלבן הוא S(t)=2t3−24t2+72tS(t) = 2t^3 - 24t^2 + 72t. ב. מצאו את ערכו של tt שעבורו שטח המלבן מקסימלי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

S′(t)=6t2−48t+72=6(t−2)(t−6)=0\begin{aligned}S'(t) &= 6t^2 - 48t + 72 \\ &= 6(t - 2)(t - 6) \\ &= 0\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

t=2t = 2

t=6t = 6 מחוץ לתחום 0<t<60 < t < 6 (שם השטח 00)

S′(1)=30>0S′(3)=−18<0\begin{aligned}S'(1) &= 30 > 0 \\ \quad S'(3) &= -18 < 0\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

t=2t = 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

f(x) = x² − 16x + 72 , g(x) = −x² + 8x

בשרטוט הגרפים של הפונקציות f(x)=x2−16x+72f(x) = x^2 - 16x + 72 ו-g(x)=−x2+8xg(x) = -x^2 + 8x. הנקודה AA נמצאת על גרף f(x)f(x) והנקודה BB על גרף g(x)g(x), כך שהקטע ABAB מקביל לציר ה-yy. מ-AA ומ-BB מעבירים אנכים לציר ה-yy, שפוגשים אותו ב-DD וב-CC, כך שנוצר המלבן ABCDABCD. שיעור ה-xx של AA מסומן ב-tt, ו-0<t<60 < t < 6. שטח המלבן הוא S(t)=2t3−24t2+72tS(t) = 2t^3 - 24t^2 + 72t, והוא מקסימלי כאשר t=2t = 2. ג. מהו השטח המקסימלי של המלבן?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 64

Corrigé :

S(2)=16−96+144=64\begin{aligned}S(2) &= 16 - 96 + 144 \\ &= 64\end{aligned}

מציבים t=2t = 2

AB=f(2)−g(2)=44−12=322⋅32=64\begin{aligned}AB &= f(2) - g(2) \\ &= 44 - 12 \\ &= 32 \\ \quad 2 \cdot 32 &= 64\end{aligned}

בדיקה: רוחב כפול גובה

השטח המקסימלי 6464.

Vérifier la réponse sur elev

חזרה — שאלה 4

Exercice 20

הטרפז ABOC מתחת לגרף f(x) = 27 − 3x²

נתונה הפונקציה f(x)=27−3x2f(x) = 27 - 3x^2. על גרף הפונקציה ברביע הראשון נמצאת הנקודה AA. דרך AA מעבירים ישר המקביל לציר ה-xx, והוא חותך את ציר ה-yy בנקודה CC. BB היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם החלק החיובי של ציר ה-xx, ו-OO היא ראשית הצירים. שיעור ה-xx של AA הוא xx. א. מהי הפונקציה של שטח הטרפז ABOCABOC?

  1. S(x)=(x+3)(27−3x2)2S(x) = \frac{(x + 3)(27 - 3x^2)}{2}
  2. S(x)=(x+3)(27−3x2)S(x) = (x + 3)(27 - 3x^2)
  3. S(x)=(x+9)(27−3x2)2S(x) = \frac{(x + 9)(27 - 3x^2)}{2}
  4. S(x)=x(27−3x2)S(x) = x(27 - 3x^2)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A S(x)=(x+3)(27−3x2)2S(x) = \frac{(x + 3)(27 - 3x^2)}{2}

Corrigé :

27−3x2=0 ⇒ x2=9 ⇒ B=(3,0)\begin{aligned}27 - 3x^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ B \\ &= (3, 0)\end{aligned}

החיתוך עם החלק החיובי של ציר ה-xx

OB=3CA=xOC=27−3x2\begin{aligned}OB &= 3 \\ \quad CA &= x \\ \quad OC &= 27 - 3x^2\end{aligned}

שני הבסיסים והגובה

S(x)=(OB+CA)⋅OC2=(x+3)(27−3x2)2\begin{aligned}S(x) &= \frac{(OB + CA) \cdot OC}{2} \\ &= \frac{(x + 3)(27 - 3x^2)}{2}\end{aligned}

שטח טרפז

הנכונה: S(x)=(x+3)(27−3x2)2S(x) = \frac{(x + 3)(27 - 3x^2)}{2}. מי שכותב x+9x + 9 שכח להוציא שורש: x2=9x^2 = 9 נותן x=3x = 3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

הטרפז ABOC מתחת לגרף f(x) = 27 − 3x²

נתונה הפונקציה f(x)=27−3x2f(x) = 27 - 3x^2. על גרף הפונקציה ברביע הראשון נמצאת הנקודה AA. דרך AA מעבירים ישר המקביל לציר ה-xx, והוא חותך את ציר ה-yy בנקודה CC. BB היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם החלק החיובי של ציר ה-xx, ו-OO היא ראשית הצירים. שיעור ה-xx של AA הוא xx. שטח הטרפז הוא S(x)=(x+3)(27−3x2)2S(x) = \frac{(x + 3)(27 - 3x^2)}{2}. ב. מה צריכים להיות שיעורי הנקודה AA כדי ששטח הטרפז ABOCABOC יהיה מקסימלי?

A=A = ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A=A = ( 1 , 24 )

Corrigé :

S(x)=−3x3−9x2+27x+8120<x<3\begin{aligned}S(x) &= \frac{-3x^3 - 9x^2 + 27x + 81}{2} \\ \quad 0 < x < 3\end{aligned}

פותחים סוגריים; AA ברביע הראשון

S′(x)=−9x2−18x+272=0 ⇒ x2+2x−3=0\begin{aligned}S'(x) &= \frac{-9x^2 - 18x + 27}{2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 + 2x - 3 \\ &= 0\end{aligned}

גוזרים ומחלקים ב-−9-9

x=1x = 1

x=−3x = -3 מחוץ לתחום

S′(0)=13.5>0S′(2)=−22.5<0\begin{aligned}S'(0) &= 13.5 > 0 \\ \quad S'(2) &= -22.5 < 0\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

f(1)=27−3=24\begin{aligned}f(1) &= 27 - 3 \\ &= 24\end{aligned}

שיעור ה-yy של AA

A(1,24)A(1, 24).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

הטרפז ABOC מתחת לגרף f(x) = 27 − 3x²

נתונה הפונקציה f(x)=27−3x2f(x) = 27 - 3x^2. על גרף הפונקציה ברביע הראשון נמצאת הנקודה AA. דרך AA מעבירים ישר המקביל לציר ה-xx, והוא חותך את ציר ה-yy בנקודה CC. BB היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם החלק החיובי של ציר ה-xx, ו-OO היא ראשית הצירים. שיעור ה-xx של AA הוא xx. שטח הטרפז ABOCABOC מקסימלי כאשר A=(1,24)A = (1, 24). ג. מהו השטח של הטרפז במקרה זה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 48

Corrigé :

S(1)=(1+3)⋅242=48\begin{aligned}S(1) &= \frac{(1 + 3) \cdot 24}{2} \\ &= 48\end{aligned}

סכום הבסיסים כפול הגובה, חלקי 22

S(0)=3⋅272=40.5<48\begin{aligned}S(0) &= \frac{3 \cdot 27}{2} \\ &= 40.5 < 48\end{aligned}

בדיקה בקצה: כשהטרפז נעשה משולש

שטח הטרפז 4848.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe