On résout ensemble · Problèmes d'optimisation · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל סוג של בעיית קיצון: מספרים, מקבילית בתוך מלבן, משולש עם שורש, קטע בין שני גרפים, ומחיר וכמות. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. בכל שאלה חוזרים אותם חמישה שלבים: סימון המשתנה, הבעת הגודל כפונקציה, תחום ההגדרה של הבעיה, גזירה והשוואה לאפס, ובדיקת סוג הקיצון ותשובה לשאלה.

1 — מספרים: מכפלה עם חזקה

Activité interactive

$x$ ו- $y$ מספרים חיוביים, ו- $x + y = 9$ . א. הביעו את $x^2 \cdot y$ באמצעות $x$ . ב. מצאו את $x$ שעבורו $x^2 \cdot y$ הגדול ביותר. ג. מהו הערך הגדול ביותר?

\begin{aligned}x + y &= 9 \\ \qquad P &= x^2 y\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הצעד הראשון: לסלק את $y$ .

סימון

y = 9 - x

מהנתון הקבוע.

א. הבעה

\begin{aligned}P(x) &= x^2(9 - x) \\ &= 9x^2 - x^3\end{aligned}

הגודל באמצעות $x$ בלבד.

Domaine de définition

0 < x < 9

שני המספרים חיוביים.

ב. גזירה

\begin{aligned}P'(x) &= 18x - 3x^2 \\ &= 3x(6 - x) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 6\end{aligned}

$x = 0$ אינו בתחום.

סוג

\begin{aligned}P'(1) &= 15 > 0 \\ \quad P'(7) &= -21 < 0\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום ב- $x = 6$ .

ג. תשובה

\begin{aligned}P(6) &= 36 \cdot 3 \\ &= 108\end{aligned}

המספרים $6$ ו- $3$ .

המספרים אינם שווים במקסימום. הכלל «שני מספרים שווים» נכון רק למכפלה $x \cdot y$ .

Faire l'activité sur elev

למה $x = 0$ נפסל, אף שהוא פותר את $P'(x) = 0$ ?

Voir la réponse et le corrigé

המספרים חיוביים, ולכן $x = 0$ מחוץ לתחום. וגם בלי זה: $P(0) = 0$ , וזו המכפלה הקטנה ביותר, לא הגדולה.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מקבילית בתוך מלבן

AB = 16, BC = 12. AQ = CE = x, AP = CT = 2x.

Activité interactive

במלבן $ABCD$ , $AB = 16$ ו- $BC = 12$ . על הצלעות נמצאות הנקודות $P, E, T, Q$ , כך ש- $AQ = CE = x$ ו- $AP = CT = 2x$ . $PETQ$ היא מקבילית. א. הביעו את שטח המקבילית באמצעות $x$ . ב. מצאו את השטח הגדול ביותר.

\begin{aligned}AB &= 16 \\ \ BC &= 12 \\ \quad AQ &= CE \\ &= x \\ \ AP &= CT \\ &= 2x\end{aligned}

לחצו «להתחיל». את שטח המקבילית מקבלים מהמלבן, בחיסור.

פינות A ו-C

\begin{aligned}S_{\triangle APQ} &= S_{\triangle CTE} \\ &= \tfrac{1}{2} \cdot 2x \cdot x \\ &= x^2\end{aligned}

משולשים ישרי זווית: חצי מכפלת הניצבים.

פינות B ו-D

\begin{aligned}S_{\triangle PBE} &= S_{\triangle TDQ} \\ &= \tfrac{1}{2}(16 - 2x)(12 - x)\end{aligned}

$PB = 16 - 2x$ ו- $BE = 12 - x$ .

א.

\begin{aligned}S(x) &= 192 - 2x^2 - (16 - 2x)(12 - x) \\ &= 40x - 4x^2\end{aligned}

המלבן פחות ארבעת המשולשים.

Domaine de définition

0 < x \le 8

$2x \le 16$ וגם $x \le 12$ : ההגבלה החזקה היא $x \le 8$ .

גזירה

\begin{aligned}S'(x) &= 40 - 8x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

בתוך התחום; מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום.

ב.

\begin{aligned}S(5) &= 200 - 100 \\ &= 100 \\ \qquad S(8) &= 64 < 100\end{aligned}

השטח הגדול ביותר $100$ , גם לעומת הקצה.

כמו בכל מקבילית כזאת, השטח הגדול ביותר קרוב לחצי משטח המלבן.

Faire l'activité sur elev

מה אורכי הקטעים $AP$ ו- $AQ$ במקבילית הגדולה ביותר?

Voir la réponse et le corrigé

$AQ = x = 5$ ו- $AP = 2x = 10$ . בדיקה: שטח ארבעת המשולשים $2 \cdot 25 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 = 50 + 42 = 92 = 192 - 100$ ✓.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — משולש עם שורש

AB = 10 (היתר), BC = x.

Activité interactive

המשולש הגדול ביותר עם יתר נתון

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, והיתר $AB = 10$ . הניצב $BC = x$ . מהו השטח הגדול ביותר של המשולש?

$25$

$50$

$24$

$5\sqrt{2}$

איך מבטאים את הניצב $AC$ ?

$AC = \sqrt{100 - x^2}$

Voir la réponse et le corrigé

לפי משפט פיתגורס.

$AC = 10 - x$

Voir la réponse et le corrigé

ביתר לא מחסרים אורכים. משתמשים במשפט פיתגורס.

\begin{aligned}S(x) &= \tfrac{1}{2} x\sqrt{100 - x^2} \\ \quad 0 < x < 10\end{aligned}

חצי מכפלת הניצבים. $x$ קטן מהיתר.

מה הנגזרת?

$S'(x) = \frac{100 - 2x^2}{2\sqrt{100 - x^2}}$

Voir la réponse et le corrigé

כלל המכפלה ונגזרת של שורש, ואז מכנה משותף.

$S'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{100 - x^2}}$

Voir la réponse et le corrigé

זו רק הנגזרת של השורש. בכלל המכפלה יש שני מחוברים.

\begin{aligned}S'(x) &= \tfrac{1}{2}\left(\sqrt{100 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{100 - x^2}}\right) \\ &= \frac{100 - 2x^2}{2\sqrt{100 - x^2}}\end{aligned}

המכנה חיובי, והסימן נקבע לפי המונה.

איפה $S'(x) = 0$ בתחום?

$x = 5\sqrt{2}$

Voir la réponse et le corrigé

$x^2 = 50$ , ורק הפתרון החיובי בתחום.

$x = 5$

Voir la réponse et le corrigé

$100 - 2x^2 = 0$ נותן $x^2 = 50$ , לא $x = 5$ .

\begin{aligned}x^2 &= 50 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\sqrt{2} \approx 7.07\end{aligned}

המונה $100 - 2x^2$ עובר מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום.

Voir la réponse et le corrigé

השטח הגדול ביותר הוא $25$ : $S = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 25$ . שני הניצבים שווים: המשולש שווה שוקיים. $5\sqrt{2}$ הוא אורך הניצב, לא השטח. $24$ הוא שטח המשולש $6, 8, 10$ , ולכן קטן יותר.

Faire l'activité sur elev

למה המשולש הגדול ביותר הוא דווקא המשולש שבו הניצבים שווים?

Voir la réponse et le corrigé

ב- $x = 5\sqrt{2}$ גם $AC = \sqrt{100 - 50} = 5\sqrt{2}$ . החישוב מראה את זה, לא מניח את זה: מבין כל המשולשים ישרי הזווית עם יתר $10$ , לשווה השוקיים השטח הגדול ביותר.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — הקטע האנכי בין שורש לישר

f(x) = 2√x ו-g(x) = x/2

A על f ו-B על g, באותו x. הגרפים נחתכים בראשית וב-(16, 8).

Activité interactive

נתונות $f(x) = 2\sqrt{x}$ ו- $g(x) = \frac{x}{2}$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך את $f$ ב- $A$ ואת $g$ ב- $B$ , בתחום $0 \le x \le 16$ . א. מצאו את $x$ שעבורו הקטע $AB$ הארוך ביותר. ב. מהו האורך הגדול ביותר?

\begin{aligned}f(x) &= 2\sqrt{x} \\ \quad g(x) &= \frac{x}{2} \\ \quad 0 \le x \le 16\end{aligned}

לחצו «להתחיל». קודם בודקים איזה גרף עליון.

עליון

\begin{aligned}f(4) &= 4 > g(4) \\ &= 2\end{aligned}

בין נקודות החיתוך $0$ ו- $16$ , הגרף של $f$ מעל הגרף של $g$ .

הבעה

\begin{aligned}L(x) &= 2\sqrt{x} - \frac{x}{2} \\ \quad 0 \le x \le 16\end{aligned}

העליון פחות התחתון. תחום סגור.

גזירה

\begin{aligned}L'(x) &= \frac{2}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2}\end{aligned}

הנגזרת לא מוגדרת ב- $x = 0$ , קצה התחום.

א.

\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{x}} &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

בתוך התחום.

קצוות

\begin{aligned}L(0) &= 0 \\ \quad L(16) &= 8 - 8 \\ &= 0\end{aligned}

בנקודות החיתוך האורך $0$ .

ב.

\begin{aligned}L(4) &= 4 - 2 \\ &= 2\end{aligned}

האורך הגדול ביותר $2$ , ב- $A(4,\,4)$ ו- $B(4,\,2)$ .

בתחום סגור משווים את הנקודה החשודה לשני הקצוות, גם כשברור שהם קטנים.

Faire l'activité sur elev

מה מיוחד בשיפועים של $f$ ושל $g$ ב- $x = 4$ ?

Voir la réponse et le corrigé

הם שווים: $f'(4) = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} = g'(4)$ . זה בדיוק התנאי $L'(x) = f'(x) - g'(x) = 0$ . המשיק ל- $f$ ב- $A$ מקביל לישר $g$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — מחיר וכמות

Activité interactive

קיוסק המיצים

קיוסק בתל אביב מוכר $80$ כוסות מיץ ביום, במחיר $18$ שקלים לכוס. כל כוס עולה לקיוסק $6$ שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה $10$ כוסות ביום. א. באיזה מחיר הרווח היומי הגדול ביותר? ב. מהו הרווח הזה?

$16$ שקלים, רווח $1000$

$18$ שקלים, רווח $960$

$2$ שקלים, רווח $1000$

$16$ שקלים, רווח $1600$

$x$ היא ההורדה במחיר. מהו הרווח היומי?

$P(x) = (12 - x)(80 + 10x)$

Voir la réponse et le corrigé

רווח לכוס $18 - x - 6$ , כפול מספר הכוסות.

$P(x) = (18 - x)(80 + 10x)$

Voir la réponse et le corrigé

זו ההכנסה. לא חיסרתם את העלות.

\begin{aligned}P(x) &= (12 - x)(80 + 10x) \\ &= 960 + 40x - 10x^2 \\ \quad 0 \le x \le 12\end{aligned}

לא מוכרים מתחת לעלות.

איפה $P'(x) = 0$ ?

$x = 2$

Voir la réponse et le corrigé

$40 - 20x = 0$ .

$x = 4$

Voir la réponse et le corrigé

הנגזרת של $-10x^2$ היא $-20x$ .

\begin{aligned}P'(x) &= 40 - 20x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום. $P(0) = 960$ ו- $P(12) = 0$ קטנים יותר.

מה עונים בסעיף א?

המחיר $18 - 2 = 16$ שקלים

Voir la réponse et le corrigé

נשאלתם על המחיר.

$2$ שקלים

Voir la réponse et le corrigé

זו ההורדה, לא המחיר.

\begin{aligned}P(2) &= 10 \cdot 100 \\ &= 1000\end{aligned}

סעיף ב: רווח לכוס $10$ , ו- $100$ כוסות.

Voir la réponse et le corrigé

$16$ שקלים לכוס, ורווח יומי של $1000$ שקלים. $1600 = 16 \cdot 100$ היא ההכנסה. $960$ הוא הרווח בלי הורדה: ההורדה משתלמת.

Faire l'activité sur elev

בכמה אחוזים גדל מספר הכוסות, ובכמה ירד הרווח לכוס?

Voir la réponse et le corrigé

הכוסות: מ- $80$ ל- $100$ , עלייה של $25\%$ . הרווח לכוס: מ- $12$ ל- $10$ , ירידה של כ- $17\%$ . העלייה בכמות גדולה מהירידה ברווח לכוס, ולכן הרווח הכולל גדל.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercices

Exercice 1

$x$ ו- $y$ מספרים חיוביים, ו- $x + y = 15$ . מהו הערך הגדול ביותר של $x^2 \cdot y$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 500

Corrigé :

\begin{aligned}P(x) &= x^2(15 - x) \\ &= 15x^2 - x^3 \\ \quad 0 < x < 15\end{aligned}

מסלקים את $y$

\begin{aligned}P'(x) &= 30x - 3x^2 \\ &= 3x(10 - x) \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

$x = 0$ אינו בתחום

P'(1) > 0 ,\quad P'(11) < 0

מקסימום

\begin{aligned}P(10) &= 100 \cdot 5 \\ &= 500\end{aligned}

המספרים $10$ ו- $5$

המכפלה $x^2 y$ אינה מקסימלית כשהמספרים שווים: $7.5^2 \cdot 7.5 \approx 422 < 500$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

AB = 12, BC = 8. AQ = CE = x, AP = CT = 3x.

במלבן $ABCD$ , $AB = 12$ ו- $BC = 8$ . על הצלעות נמצאות הנקודות $P, E, T, Q$ , כך ש- $AQ = CE = x$ ו- $AP = CT = 3x$ , כמו בשרטוט. $PETQ$ היא מקבילית. מהו השטח הגדול ביותר של המקבילית?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 54

Corrigé :

S(x) = 96 - 2 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot 3x \cdot x - 2 \cdot \tfrac{1}{2}(12 - 3x)(8 - x)

המלבן פחות ארבעת המשולשים בפינות

\begin{aligned}S(x) &= 96 - 3x^2 - (96 - 36x + 3x^2) \\ &= 36x - 6x^2\end{aligned}

מפשטים

0 < x \le 4

תחום: $3x \le 12$

\begin{aligned}S'(x) &= 36 - 12x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}S(3) &= 108 - 54 \\ &= 54\end{aligned}

השטח. בקצה: $S(4) = 48 < 54$

התחום נקבע לפי $AP = 3x \le 12$ , כלומר $x \le 4$ . מי שכותב $x \le 8$ שכח שהנקודה $P$ צריכה להישאר על הצלע $AB$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

AB = 6 (היתר), BC = x.

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, היתר $AB = 6$ , והניצב $BC = x$ , כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המשולש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

\begin{aligned}AC &= \sqrt{36 - x^2} \ \Rightarrow \ S(x) \\ &= \tfrac{1}{2}x\sqrt{36 - x^2} \\ \quad 0 < x < 6\end{aligned}

משפט פיתגורס

S'(x) = \frac{36 - 2x^2}{2\sqrt{36 - x^2}}

כלל המכפלה ונגזרת של שורש

\begin{aligned}S'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 18 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\sqrt{2}\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} \\ &= \tfrac{1}{2} \cdot 18 \\ &= 9\end{aligned}

השטח

ב- $x = 3\sqrt{2}$ שני הניצבים שווים. מי שעונה $3\sqrt{2}$ נתן את אורך הניצב, לא את השטח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

f(x) = 4√x ו-g(x) = x

A על f ו-B על g, באותו x.

נתונות $f(x) = 4\sqrt{x}$ ו- $g(x) = x$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך את $f$ ב- $A$ ואת $g$ ב- $B$ , בתחום $0 \le x \le 16$ , כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של הקטע $AB$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

\begin{aligned}L(x) &= 4\sqrt{x} - x \\ \quad 0 \le x \le 16\end{aligned}

$f(4) = 8 > g(4) = 4$ : $f$ העליון

\begin{aligned}L'(x) &= \frac{4}{2\sqrt{x}} - 1 \\ &= \frac{2}{\sqrt{x}} - 1\end{aligned}

נגזרת של שורש

\begin{aligned}L'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

בתוך התחום

\begin{aligned}L(4) &= 8 - 4 \\ &= 4 \\ \quad L(0) &= L(16) \\ &= 0\end{aligned}

משווים לקצוות

האורך הגדול ביותר $4$ , ב- $x = 4$ . שני המספרים שווים כאן במקרה: $x$ מהנגזרת, והאורך מ- $L$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

קיוסק מוכר $60$ כוסות מיץ ביום, במחיר $20$ שקלים לכוס. כל כוס עולה לקיוסק $8$ שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה $10$ כוסות ביום. מהו הרווח היומי הגדול ביותר, בשקלים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 810

Corrigé :

\begin{aligned}P(x) &= (12 - x)(60 + 10x) \\ \quad 0 \le x \le 12\end{aligned}

רווח לכוס $20 - x - 8$

\begin{aligned}P'(x) &= -(60 + 10x) + 10(12 - x) \\ &= 60 - 20x\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}P'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}P(3) &= 9 \cdot 90 \\ &= 810\end{aligned}

מחיר $17$ שקלים, $90$ כוסות

בלי הורדה הרווח $12 \cdot 60 = 720$ . ההורדה של $3$ שקלים מוסיפה $90$ שקלים ביום. $17 \cdot 90 = 1530$ היא ההכנסה, לא הרווח.

Vérifier la réponse sur elev

1 — מספרים: מכפלה עם חזקה

2 — מקבילית בתוך מלבן

3 — משולש עם שורש

4 — הקטע האנכי בין שורש לישר

5 — מחיר וכמות

Exercices

La suite se pratique sur elev