Série 5 — vers le bagrout · Similitude des triangles · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

ארבע שאלות בנוסח שאלון 471, כל אחת מחולקת לסעיפים — סעיף אחד לכל צעד, כמו בבחינה: אלכסוני טרפז עם שטח, מקבילה לצלע עם שלוש שאלות, מלבן חסום עם $x$ , וטרפז שמוכיחים ואז מודדים.

כתבו כל תשובה כמו בבחינה: הזוויות עם נימוק, הדמיון עם סדר האותיות, היחס עם «צלעות מתאימות», ורק אז המספר. סעיף שמשתמש בסעיף קודם אומר זאת במפורש.

Exercices

Exercice 1

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $AB=8$ , $DC=12$ , $AO=6$ , ושטח המשולש $AOB$ הוא $24$ . א. הוכיחו: $\triangle AOB \sim \triangle COD$ .

$AB \parallel DC$
$O$ נקודת החיתוך של האלכסונים $AC$ ו- $BD$

$\triangle AOB \sim \triangle COD$

Voir la réponse et le corrigé

$\angle AOB = \angle COD$ — זוויות קודקודיות שוות
$\angle BAO = \angle DCO$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות ( $AB \parallel DC$ )
$\triangle AOB \sim \triangle COD$ — Théorème de similitude A-A

Corrigé :

\begin{aligned}\angle AOB &= \angle COD \\ \quad \angle BAO &= \angle DCO\end{aligned}

קודקודיות; מתחלפות

\triangle AOB \sim \triangle COD

ז.ז: $A \leftrightarrow C$ , $O \leftrightarrow O$ , $B \leftrightarrow D$

האלכסונים של טרפז יוצרים שעון חול, והבסיסים הם המקבילים. המלכודת: $\triangle AOB \sim \triangle DOC$ — $A$ מתאימה ל- $C$ (על אותו אלכסון $AC$ ), לא ל- $D$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $AB=8$ , $DC=12$ , $AO=6$ , ושטח המשולש $AOB$ הוא $24$ . ב. מצאו את $OC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

\triangle AOB \sim \triangle COD

סעיף א

\begin{aligned}\frac{OC}{AO} &= \frac{DC}{AB} \\ &= \frac{12}{8} \\ &= 1.5\end{aligned}

צלעות מתאימות: $O \leftrightarrow O$ , $C \leftrightarrow A$ ; $DC \leftrightarrow AB$

\begin{aligned}OC &= 1.5 \cdot 6 \\ &= 9\end{aligned}

התשובה

$OC=9$ . $OC$ מתאימה ל- $AO$ , שני החלקים של האלכסון $AC$ . מי שכתב $\frac{OC}{AO} = \frac{8}{12}$ הפך את היחס וקיבל $4$ , קטן מ- $AO$ אף ש- $DC > AB$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $AB=8$ , $DC=12$ , $AO=6$ , ושטח המשולש $AOB$ הוא $24$ . ג. מצאו את שטח המשולש $COD$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 54

Corrigé :

\begin{aligned}k &= \frac{DC}{AB} \\ &= \frac{12}{8} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

יחס הדמיון, גדול חלקי קטן

\begin{aligned}\frac{S_{COD}}{S_{AOB}} &= k^2 \\ &= \frac{9}{4}\end{aligned}

יחס השטחים

\begin{aligned}S_{COD} &= 24 \cdot \frac{9}{4} \\ &= 54\end{aligned}

התשובה

$54$ . השטח פי $k^2 = \frac{9}{4}$ , לא פי $\frac{3}{2}$ . מי שקיבל $36$ שכח את הריבוע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ , ו- $DE \parallel BC$ . נתון $AD=6$ , $DB=2$ , $AE=9$ ו- $DE=12$ . א. הוכיחו $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ , ומצאו את $BC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

\begin{aligned}\angle A \ \text{משותפת} \\ \quad \angle ADE &= \angle ABC\end{aligned}

זווית משותפת; זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים ( $DE \parallel BC$ )

\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט דמיון ז.ז

\begin{aligned}\frac{BC}{DE} &= \frac{AB}{AD} \\ &= \frac{8}{6} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

צלעות מתאימות; $AB = 6 + 2 = 8$ , חלק מול שלם

\begin{aligned}BC &= 12 \cdot \frac{4}{3} \\ &= 16\end{aligned}

התשובה

$BC=16$ . $k = \frac{8}{6}$ ולא $\frac{2}{6}$ : $AB$ השלם מול $AD$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ , ו- $DE \parallel BC$ . נתון $AD=6$ , $DB=2$ , $AE=9$ ו- $DE=12$ . ב. מצאו את $EC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{AC}{AE} &= \frac{AB}{AD} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

צלעות מתאימות, מסעיף א

\begin{aligned}AC &= 9 \cdot \frac{4}{3} \\ &= 12\end{aligned}

השלם

\begin{aligned}EC &= 12 - 9 \\ &= 3\end{aligned}

החלק שנשאר

$EC=3$ . $EC$ אינו צלע של אף אחד מהמשולשים, ולכן קודם $AC$ מהיחס, ואז חיסור. בדיקה: $\frac{AE}{EC} = \frac{9}{3} = \frac{AD}{DB}$ ✓.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ , ו- $DE \parallel BC$ . נתון $AD=6$ , $DB=2$ , $AE=9$ ו- $DE=12$ . ג. שטח המשולש $ABC$ הוא $64$ . מצאו את שטח הטרפז $DBCE$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 28

Corrigé :

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{6}{8} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

יחס הדמיון, קטן חלקי גדול

\begin{aligned}S_{ADE} &= 64 \cdot \frac{9}{16} \\ &= 36\end{aligned}

יחס השטחים $k^2$

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 64 - 36 \\ &= 28\end{aligned}

הטרפז הוא מה שנשאר

$28$ . שלושה סעיפים, שלושה שימושים באותו דמיון: צלע, צלע שלמה ואז חיסור, ושטח דרך $k^2$ . מי שכתב $64 \cdot \frac{3}{4} = 48$ שכח את הריבוע וקיבל טרפז של $16$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

במשולש $ABC$ , $BC=24$ והגובה $AH=16$ . חסום בו המלבן $KLMN$ ( $K$ על $AB$ , $L$ על $AC$ , $M$ ו- $N$ על $BC$ ), וגובהו $KN=x$ . א. הביעו את $KL$ באמצעות $x$ .

$KL = 24 - 1.5x$
$KL = 1.5x$
$KL = 24 - x$
$KL = 16 - x$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $KL = 24 - 1.5x$

Corrigé :

\triangle AKL \sim \triangle ABC

ז.ז: $KL \parallel BC$

\frac{KL}{24} = \frac{16 - x}{16}

גבהים מתאימים ביחס הדמיון: $AP = 16 - x$

\begin{aligned}KL &= \frac{24(16 - x)}{16} \\ &= 1.5(16 - x) \\ &= 24 - 1.5x\end{aligned}

מפשטים

הנכונה: $KL = 24 - 1.5x$ . בדיקה: $x=0$ נותן $KL=24$ (המלבן שטוח על הבסיס), $x=16$ נותן $0$ (הקודקוד). « $24 - x$ » מניח שהצלע יורדת באותו קצב שהגובה עולה, וזה נכון רק כש- $BC = AH$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

במשולש $ABC$ , $BC=24$ והגובה $AH=16$ . חסום בו המלבן $KLMN$ ( $K$ על $AB$ , $L$ על $AC$ , $M$ ו- $N$ על $BC$ ), וגובהו $KN=x$ . ב. מצאו את $x$ שעבורו המלבן הוא ריבוע.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9.6

Corrigé :

\begin{aligned}KL &= KN \ \Rightarrow \ 24 - 1.5x \\ &= x\end{aligned}

ריבוע: הצלע שווה לגובה; הביטוי מסעיף א

\begin{aligned}24 &= 2.5x \ \Rightarrow \ x \\ &= 9.6\end{aligned}

On résout

$x=9.6$ . בדיקה: $KL = 24 - 14.4 = 9.6$ ✓. סעיף ב הוא משוואה אחת בנעלם שסעיף א הכין.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

במשולש $ABC$ , $AB=16$ , $AC=20$ ו- $BC=24$ . הנקודה $D$ על $AB$ עם $AD=4$ , והנקודה $E$ על $AC$ עם $AE=5$ . א. הוכיחו: $DE \parallel BC$ .

$AB=16$ , $AC=20$
$AD=4$ , $AE=5$

$DE \parallel BC$

Voir la réponse et le corrigé

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{4}$ — חישוב: $\frac{4}{16} = \frac{5}{20}$
$\angle DAE = \angle BAC$ — angle (זווית) commun aux deux triangles
$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ — משפט דמיון צ.ז.צ: שני יחסים שווים והזווית הכלואה ביניהם שווה
$\angle ADE = \angle ABC$ — זוויות מתאימות במשולשים דומים שוות
$DE \parallel BC$ — אם זוויות מתאימות שוות, הישרים מקבילים

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{4}{16} &= \frac{5}{20} \\ &= \frac{1}{4} \\ \quad \angle A \ \text{משותפת}\end{aligned}

צ.ז.צ

\triangle ADE \sim \triangle ABC \ \Rightarrow \ \angle ADE = \angle ABC

זוויות מתאימות במשולשים דומים

DE \parallel BC

זוויות מתאימות שוות

ההקבלה היא המסקנה, ולכן המשפט הפותח הוא צ.ז.צ ולא ז.ז. מי שכותב «מתאימות בין מקבילים» בצעד השני משתמש במה שצריך להוכיח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

במשולש $ABC$ , $AB=16$ , $AC=20$ ו- $BC=24$ . הנקודה $D$ על $AB$ עם $AD=4$ , והנקודה $E$ על $AC$ עם $AE=5$ . ב. מצאו את היקף הטרפז $DBCE$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 57

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{DE}{BC} &= \frac{1}{4} \ \Rightarrow \ DE \\ &= 6\end{aligned}

צלעות מתאימות במשולשים הדומים מסעיף א

\begin{aligned}DB &= 16 - 4 \\ &= 12 \\ \quad CE &= 20 - 5 \\ &= 15\end{aligned}

השוקיים של הטרפז: החלקים שנשארו

\begin{aligned}P &= 12 + 24 + 15 + 6 \\ &= 57\end{aligned}

שתי שוקיים ושני בסיסים

$57$ . המלכודת: להכניס להיקף את $AB$ ו- $AC$ השלמות ( $16 + 24 + 20 + 6 = 66$ ). השוקיים של הטרפז הן $DB$ ו- $CE$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev