Sinus, cosinus et tangente · Trigonométrie du triangle rectangle · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בכניסה לקניון בנתניה בונים כבש לכיסאות גלגלים. הכבש מגיע לגובה $5$ מטר, ואורכו על הקרקע $12$ מטר. באמצע הדרך, אחרי $6$ מטר על הקרקע, כמה גבוה נמצאים? הסתכלו על השרטוט לפני שתחשבו.

כבש לכיסא גלגלים:

AC

הוא הכבש,

BC

הגובה שלו. באמצע הדרך, בנקודה

D

, מודדים את הגובה

DE

. שני משולשים ישרי זווית, אותה זווית

A

למה המשולש $ADE$ והמשולש $ABC$ דומים? ומה זה אומר על היחס $\frac{DE}{AD}$ לעומת $\frac{CB}{AB}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

בשניהם יש זווית ישרה, והזווית $A$ משותפת. שתי זוויות שוות, ולכן המשולשים דומים לפי ז.ז. במשולשים דומים היחס בין צלעות מתאימות שווה: $\frac{DE}{AD} = \frac{CB}{AB} = \frac{5}{12}$ , ולכן $DE = 6 \cdot \frac{5}{12} = 2.5$ מטר.

זו כל הטריגונומטריה של המשולש ישר הזווית: היחס בין שתי צלעות אינו תלוי בגודל המשולש, אלא רק בזווית. לכן אפשר לתת ליחס שם, ולחשב אותו פעם אחת לכל זווית.

שלושת היחסים

בוחרים זווית חדה $\alpha$ במשולש. ביחס אליה, לכל צלע יש תפקיד: הניצב שמול הזווית, הניצב שליד הזווית, והיתר. שימו לב: כשעוברים לזווית החדה השנייה, «מול» ו«ליד» מתחלפים, והיתר נשאר יתר.

\sin\alpha = \dfrac{a}{c}

סינוס: הניצב שמול הזווית, חלקי היתר.

\cos\alpha = \dfrac{b}{c}

קוסינוס: הניצב שליד הזווית, חלקי היתר.

\tan\alpha = \dfrac{a}{b}

טנגנס: הניצב שמול, חלקי הניצב שליד. בלי היתר.

כאן $a$ הוא הניצב שמול $\alpha$ , $b$ הניצב שלידה ו- $c$ היתר. שלושת היחסים מוגדרים לזווית חדה, והזווית נמדדת במעלות.

לפני כל חישוב: לסמן את הזווית, ואז לכתוב ליד כל צלע «מול», «ליד» או «יתר». רוב הטעויות בפרק הן החלפה בין «מול» ל«ליד».

למה הערך תלוי רק בזווית

קחו שני משולשים ישרי זווית עם אותה זווית חדה $\alpha$ . יש בהם זווית ישרה וזווית $\alpha$ , ולכן הם דומים לפי ז.ז. במשולשים דומים כל היחסים בין צלעות מתאימות שווים: הניצב שמול $\alpha$ חלקי היתר יוצא אותו מספר בשניהם. לכן $\sin\alpha$ הוא מספר אחד לכל זווית, ולא משנה באיזה משולש מדדנו אותו. זו הסיבה שמחשבון יכול לדעת את $\sin 37^\circ$ בלי לראות את המשולש שלכם.

האם ייתכן ש- $\sin\alpha = 1.2$ עבור זווית חדה $\alpha$ ?

Voir la réponse et le corrigé

לא. $\sin\alpha$ הוא ניצב חלקי יתר, והניצב תמיד קצר מהיתר. לכן $0 < \sin\alpha < 1$ לכל זווית חדה, וכך גם הקוסינוס. אם קיבלתם סינוס גדול מ- $1$ , החלפתם בין הניצב ליתר.

כשהזווית גדלה

נשאיר את היתר באורך $1$ ונגדיל את הזווית $\alpha$ מ- $0^\circ$ עד $90^\circ$ . הניצב שמול $\alpha$ גדל מ- $0$ עד $1$ , והניצב שליד קטן מ- $1$ עד $0$ . לכן:

\begin{aligned}\sin 0^\circ &= 0 \ \longrightarrow \ \sin 90^\circ \\ &= 1\end{aligned}

הסינוס עולה מ- $0$ ל- $1$ .

\begin{aligned}\cos 0^\circ &= 1 \ \longrightarrow \ \cos 90^\circ \\ &= 0\end{aligned}

הקוסינוס יורד מ- $1$ ל- $0$ .

\tan 0^\circ = 0 \ \longrightarrow \ \tan 90^\circ \ \text{?}

הטנגנס עולה מ- $0$ וגדל ללא גבול. ב- $90^\circ$ הניצב שליד הוא $0$ , ואסור לחלק ב- $0$ : $\tan 90^\circ$ אינו מוגדר.

ב- $0^\circ$ וב- $90^\circ$ אין משולש של ממש, אבל הערכים האלה הם הגבולות שאליהם היחסים מתקרבים, ומשתמשים בהם כמו בכל ערך אחר.

מי גדול יותר, $\sin 20^\circ$ או $\sin 70^\circ$ ? ומי גדול יותר, $\cos 20^\circ$ או $\cos 70^\circ$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$\sin 70^\circ$ גדול יותר: הסינוס עולה עם הזווית. $\cos 20^\circ$ גדול יותר: הקוסינוס יורד עם הזווית. במחשבון: $\sin 70^\circ \approx 0.94$ לעומת $\sin 20^\circ \approx 0.34$ .

טנגנס ושיפוע

ישר במערכת צירים יוצר זווית $\alpha$ עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ . אם מתקדמים על הישר, ה«עלייה» חלקי ה«התקדמות» היא השיפוע $m$ . אבל העלייה היא הניצב שמול $\alpha$ , וההתקדמות היא הניצב שלידה. לכן:

הישר

OQ

יוצא מהראשית. כשמתקדמים

4

ימינה עולים

3

: השיפוע הוא

\frac{3}{4}

, וזה בדיוק

\tan

של הזווית

O

שבין הישר לציר ה-

x

m = \tan\alpha

השיפוע של ישר הוא הטנגנס של הזווית שהוא יוצר עם ציר ה- $x$

מהישר לזווית

ישר עובר דרך הנקודות $(1,\,2)$ ו- $(4,\,8)$ . מהי הזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ ? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

\begin{aligned}m &= \frac{8-2}{4-1} \\ &= \frac{6}{3} \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע: הפרש ה- $y$ חלקי הפרש ה- $x$

\tan\alpha = 2

השיפוע הוא הטנגנס של הזווית

\alpha = \tan^{-1}(2) \approx 63.43^\circ

במחשבון: $\tan^{-1}$ , במצב מעלות

שיפוע חיובי: הישר עולה, והזווית חדה. ישר עם שיפוע $1$ יוצר זווית של $45^\circ$ , כי $\tan 45^\circ = 1$ . ישר יורד? השיפוע שלילי, ואז $-m$ הוא הטנגנס של הזווית החדה שבין הישר לציר.

שלוש טעויות שחוזרות בהגדרות.

\sin\alpha = \frac{b}{c}

\sin\alpha = \frac{a}{c}

סינוס הולך עם הניצב שמול הזווית, $a$ . הניצב שליד, $b$ , שייך לקוסינוס.

\tan 90^\circ = 1

\tan 45^\circ = 1

$\tan 90^\circ$ אינו מוגדר: ב- $90^\circ$ הניצב שליד הוא $0$ , וחילוק ב- $0$ אסור. הזווית שהטנגנס שלה $1$ היא $45^\circ$ .

\sin\alpha = \frac{10}{6}

\sin\alpha = \frac{6}{10}

המכנה של סינוס וקוסינוס הוא תמיד היתר, הצלע הארוכה. תוצאה גדולה מ- $1$ היא סימן שהתהפכתם.

Exercices

Exercice 1

במשולש $PQR$ הזווית $R$ ישרה. איזה יחס שווה ל- $\sin P$ ?

$\frac{QR}{PQ}$
$\frac{PR}{PQ}$
$\frac{PQ}{QR}$
$\frac{QR}{PR}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{QR}{PQ}$

Corrigé :

\sin P = \frac{QR}{PQ}

הניצב שמול $P$ הוא $QR$ , והיתר, מול הזווית הישרה, הוא $PQ$

הנכונה: $\frac{QR}{PQ}$ . המלכודת: $\frac{PR}{PQ}$ הוא $\cos P$ , כי $PR$ יוצא מהקדקוד $P$ ולכן הוא הניצב שליד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במשולש $PQR$ הזווית $R$ ישרה. איזה יחס שווה ל- $\tan Q$ ?

$\frac{PR}{PQ}$
$\frac{PR}{QR}$
$\frac{QR}{PR}$
$\frac{QR}{PQ}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\frac{PR}{QR}$

Corrigé :

\tan Q = \frac{PR}{QR}

מול $Q$ נמצא הניצב $PR$ , ליד $Q$ הניצב $QR$ . טנגנס: מול חלקי ליד

הנכונה: $\frac{PR}{QR}$ . $\frac{QR}{PR}$ הוא $\tan P$ : כשעוברים לזווית השנייה, «מול» ו«ליד» מתחלפים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $BC = 6$ , $AC = 8$ ו- $AB = 10$ . חשבו את $\sin A$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.6

Corrigé :

\begin{aligned}\sin A &= \frac{BC}{AB} \\ &= \frac{6}{10} \\ &= 0.6\end{aligned}

$BC$ מול $A$ , $AB$ היתר

$\sin A = 0.6$ . מי שקיבל $0.8$ לקח את $AC$ , הניצב שליד, וזה $\cos A$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

באותו משולש $ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ , $BC = 6$ , $AC = 8$ , $AB = 10$ ) חשבו את $\tan B$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.33

Corrigé :

\begin{aligned}\tan B &= \frac{AC}{BC} \\ &= \frac{8}{6} \approx 1.33\end{aligned}

מול $B$ נמצא $AC$ , ליד $B$ נמצא $BC$

$\tan B \approx 1.33$ , גדול מ- $1$ : הזווית $B$ גדולה מ- $45^\circ$ , כי הניצב שמולה ארוך מהניצב שלידה. טנגנס יכול להיות גדול מ- $1$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

הוכיחו או הפריכו: קיימת זווית חדה $\alpha$ שעבורה $\cos\alpha = 1.25$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\cos\alpha = \frac{b}{c}

ניצב חלקי יתר

b < c \ \Rightarrow \ \frac{b}{c} < 1

הניצב קצר מהיתר

הטענה לא נכונה. קוסינוס של זווית חדה תמיד בין $0$ ל- $1$ , כי היתר הוא הצלע הארוכה ביותר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מיינו: אילו מהמספרים יכולים להיות $\sin\alpha$ של זווית חדה $\alpha$ ?

יכול להיות סינוס של זווית חדה
לא יכול

$-0.2$
$\frac{1}{2}$
$0.3$
$0.99$
$1.5$
$2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $0.3$ — יכול להיות סינוס של זווית חדה · $0.99$ — יכול להיות סינוס של זווית חדה · $\frac{1}{2}$ — יכול להיות סינוס של זווית חדה · $1.5$ — לא יכול · $-0.2$ — לא יכול · $2$ — לא יכול

Corrigé :

0 < \sin\alpha < 1

הניצב חיובי וקצר מהיתר

סינוס של זווית חדה הוא מספר חיובי וקטן מ- $1$ . שלילי אי אפשר (אורכים חיוביים), ו- $1.5$ או $2$ אי אפשר (הניצב קצר מהיתר).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מי מהערכים הבאים הוא הגדול ביותר?

$\cos 10^\circ$
שלושתם שווים
$\cos 40^\circ$
$\cos 80^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\cos 10^\circ$

Corrigé :

\cos 10^\circ \approx 0.98 ,\quad \cos 40^\circ \approx 0.77 ,\quad \cos 80^\circ \approx 0.17

הקוסינוס יורד כשהזווית גדלה

הנכונה: $\cos 10^\circ$ . ככל שהזווית גדלה, הניצב שלידה מתקצר, והקוסינוס קטן. בסינוס זה הפוך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הישר $y = 3x - 1$ יוצר זווית $\alpha$ עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ . חשבו את $\tan\alpha$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

m = 3

השיפוע של $y = 3x - 1$

\begin{aligned}\tan\alpha &= m \\ &= 3\end{aligned}

השיפוע הוא הטנגנס של הזווית

$\tan\alpha = 3$ . המספר החופשי $-1$ מזיז את הישר למעלה ולמטה ואינו משנה את הזווית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ישר עובר דרך הנקודות $(2,\,1)$ ו- $(6,\,4)$ . חשבו את הטנגנס של הזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.75

Corrigé :

\begin{aligned}m &= \frac{4-1}{6-2} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

שיפוע: הפרש ה- $y$ חלקי הפרש ה- $x$

\tan\alpha = 0.75

השיפוע הוא הטנגנס

$\tan\alpha = 0.75$ . מי שחישב $\frac{4}{3}$ חילק את ההתקדמות בעלייה: הטנגנס הוא עלייה חלקי התקדמות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

מהו $\tan 90^\circ$ ?

$90$
לא מוגדר
$0$
$1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B לא מוגדר

Corrigé :

\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{a}{b} \\ \quad b \to 0\end{aligned}

ב- $90^\circ$ הניצב שליד מתאפס, ואי אפשר לחלק ב- $0$

הנכונה: לא מוגדר. $\sin 90^\circ = 1$ ו- $\cos 90^\circ = 0$ מוגדרים היטב, אבל $\frac{1}{0}$ אינו מספר.

Vérifier la réponse sur elev

שלושת היחסים

למה הערך תלוי רק בזווית

כשהזווית גדלה

טנגנס ושיפוע

Exercices

La suite se pratique sur elev