Série 4 — avancé · Trigonométrie du triangle rectangle · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשר שאלות של שני צעדים: טרפז שלם, מלבן מהאלכסון, זווית ראש של $120^\circ$ , שטח עם זווית קהה, דלתון, התיכון ליתר, וזווית ראש מהבסיס.

בכל שאלה של שני צעדים, הצלע שמצאתם בצעד הראשון היא הנתון של השני. כתבו אותה על השרטוט לפני שממשיכים.

Exercices

Exercice 1

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיס $AB = 20$ , השוקיים $AD = BC = 10$ וזווית הבסיס $\angle A = 60^\circ$ . א. חשבו את הבסיס $DC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

\begin{aligned}AE &= 10\cos 60^\circ \\ &= 5\end{aligned}

במשולש $AED$ : $AE$ ליד $60^\circ$ , $AD$ היתר

\begin{aligned}DC &= 20 - 2 \cdot 5 \\ &= 10\end{aligned}

שני המשולשים ישרי הזווית חופפים

$DC = 10$ . הטרפז הזה מורכב משלושה משולשים שווי צלעות שצלעם $10$ : בדיקה יפה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיס $AB = 20$ , השוקיים $AD = BC = 10$ וזווית הבסיס $\angle A = 60^\circ$ . ב. חשבו את שטח הטרפז. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 129.9

Corrigé :

\begin{aligned}DE &= 10\sin 60^\circ \\ &= 5\sqrt{3}\end{aligned}

הגובה: מול $60^\circ$

\begin{aligned}S &= \frac{(20 + 10) \cdot 5\sqrt{3}}{2} \\ &= 75\sqrt{3} \approx 129.9\end{aligned}

שטח טרפז

$S = 75\sqrt{3} \approx 129.9$ . המלכודת: לקחת את השוק $10$ כגובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

במלבן $ABCD$ האלכסון $AC = 20$ , והזווית בין האלכסון לצלע $AB$ היא $30^\circ$ . חשבו את שטח המלבן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 173.21

Corrigé :

\begin{aligned}BC &= 20\sin 30^\circ \\ &= 10\end{aligned}

במשולש $ABC$ : $BC$ מול, $AC$ היתר

\begin{aligned}AB &= 20\cos 30^\circ \\ &= 10\sqrt{3}\end{aligned}

הניצב שליד

\begin{aligned}S &= 10 \cdot 10\sqrt{3} \\ &= 100\sqrt{3} \approx 173.21\end{aligned}

שטח מלבן

$S = 100\sqrt{3} \approx 173.21$ . בדיקה: $S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20 \cdot \sin 60^\circ = 100\sqrt{3}$ , כי הזווית בין האלכסונים היא $60^\circ$ ✓

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC = 8$ ) זווית הראש $\angle BAC = 120^\circ$ . מהו אורך הבסיס $BC$ ?

$16$
$8\sqrt{3}$
$4\sqrt{3}$
$8$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $8\sqrt{3}$

Corrigé :

\angle BAD = 60^\circ

הגובה $AD$ חוצה את זווית הראש

\begin{aligned}BD &= 8\sin 60^\circ \\ &= 4\sqrt{3}\end{aligned}

במשולש $ABD$ : $BD$ מול $60^\circ$

\begin{aligned}BC &= 2 \cdot 4\sqrt{3} \\ &= 8\sqrt{3}\end{aligned}

הגובה הוא גם תיכון

הנכונה: $8\sqrt{3}$ . $4\sqrt{3}$ הוא חצי הבסיס. $16$ היה נכון רק אם הזווית הייתה $180^\circ$ , כלומר לא משולש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

במשולש $ABC$ : $CA = 9$ , $CB = 8$ והזווית שביניהן $\angle C = 135^\circ$ . חשבו את שטח המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25.46

Corrigé :

\begin{aligned}\sin 135^\circ &= \sin 45^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}

הזווית המשלימה ל- $180^\circ$

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 18\sqrt{2} \approx 25.46\end{aligned}

נוסחת השטח

$S = 18\sqrt{2} \approx 25.46$ . אותו שטח כמו עם זווית של $45^\circ$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בדלתון $ABCD$ : $AB = AD = 13$ , $CB = CD$ , האלכסון המשני $BD = 10$ , ו- $\angle BCA = 45^\circ$ . חשבו את שטח הדלתון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 85

Corrigé :

\begin{aligned}BO &= 5 \\ \quad AO &= \sqrt{169 - 25} \\ &= 12\end{aligned}

האלכסון הראשי חוצה את המשני ומאונך לו; פיתגורס במשולש $ABO$

\begin{aligned}OC &= \frac{BO}{\tan 45^\circ} \\ &= 5\end{aligned}

במשולש $CBO$ ישר הזווית: $BO$ מול $45^\circ$ , $OC$ ליד

\begin{aligned}AC &= 12 + 5 \\ &= 17 \\ \quad S &= \frac{17 \cdot 10}{2} \\ &= 85\end{aligned}

שטח דלתון: מכפלת האלכסונים חלקי $2$

$S = 85$ . שני צעדים: $BO$ מהמשולש הראשון משמש במשולש השני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $\angle A = 30^\circ$ ו- $AB = 12$ . $M$ היא אמצע היתר $AB$ . חשבו את היקף המשולש $BCM$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 18

Corrigé :

\begin{aligned}CM &= \frac{1}{2} AB \\ &= 6\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

\begin{aligned}BC &= 12\sin 30^\circ \\ &= 6\end{aligned}

הניצב שמול $30^\circ$ הוא חצי היתר

BM = 6

$M$ אמצע $AB$

\begin{aligned}P &= 6 + 6 + 6 \\ &= 18\end{aligned}

המשולש $BCM$ שווה צלעות

$P = 18$ . שלושה משפטים, שלוש צלעות שוות: $BCM$ שווה צלעות, וגם $\angle B = 60^\circ$ מאשר את זה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ישר עובר דרך הנקודות $(1,\,2)$ ו- $(4,\,7)$ . מהי הזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$ ? עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 59

Corrigé :

\begin{aligned}m &= \frac{7 - 2}{4 - 1} \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}

השיפוע

\alpha = \tan^{-1}\left(\tfrac{5}{3}\right) \approx 59.0^\circ

השיפוע הוא הטנגנס

$\alpha \approx 59.0^\circ$ . מי שחישב $\tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \approx 31.0^\circ$ מצא את הזווית עם ציר ה- $y$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הוכיחו או הפריכו: אם $\sin\alpha = 0.6$ עבור זווית חדה $\alpha$ , אז $\cos\alpha = 0.4$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}\cos^2\alpha &= 1 - 0.36 \\ &= 0.64\end{aligned}

הזהות על הריבועים

\cos\alpha = 0.8

ולא $1 - 0.6$

הטענה לא נכונה. $\sin\alpha + \cos\alpha$ אינו $1$ ; $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ הוא. הקוסינוס הוא $0.8$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC = 10$ ) הבסיס $BC = 12$ . חשבו את זווית הראש $\angle BAC$ במעלות. עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 73.7

Corrigé :

BD = 6

הגובה $AD$ הוא גם תיכון

\begin{aligned}\sin\angle BAD &= \frac{6}{10} \\ &= 0.6 \ \Rightarrow \ \angle BAD \approx 36.87^\circ\end{aligned}

במשולש $ABD$ : $BD$ מול, $AB$ היתר

\angle BAC = 2 \cdot \angle BAD \approx 73.7^\circ

הגובה חוצה את זווית הראש

$\angle BAC \approx 73.7^\circ$ . המלכודת: לענות $36.87^\circ$ , חצי הזווית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev