Équations bicarrées

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

לפניכם גרף של פולינום ממעלה רביעית. לפני כל חישוב — הסתכלו עליו: בכמה נקודות הוא חותך את ציר xx, ומה מיוחד בסידור של הנקודות?

למה נקודות החיתוך עם ציר xx באות בזוגות של מספרים נגדיים?

Voir la réponse et le corrigé

כי בפולינום יש רק חזקות זוגיות של xx, ולכן f(−x)=f(x)f(-x)=f(x): הפונקציה זוגית והגרף סימטרי לציר yy. אם f(2)=0f(2)=0 אז גם f(−2)=0f(-2)=0.

משוואה דו-ריבועית — הצבה t=x2t=x^2

משוואה מהצורה ax4+bx2+c=0ax^4+bx^2+c=0 נקראת משוואה דו-ריבועית. אין בה x3x^3 ואין xx — ולכן x4=(x2)2x^4=(x^2)^2, ואם מסמנים t=x2t=x^2 מקבלים משוואה ריבועית רגילה.

ax4+bx2+c=0→ t=x2 at2+bt+c=0\begin{aligned}ax^4+bx^2+c &= 0 \quad \xrightarrow{\ t=x^2\ } \quad at^2+bt+c \\ &= 0\end{aligned}

כמה פתרונות יכולים להיות?

כל ערך של tt נותן ל-xx שניים, אחד או אפס פתרונות — לפי הסימן שלו:

t>0t>0

שני פתרונות: x=±tx=\pm\sqrt t

t=0t=0

פתרון אחד: x=0x=0

t<0t<0

אין פתרון: x2x^2 אינו שלילי

האם למשוואה דו-ריבועית יכולים להיות בדיוק שלושה פתרונות? הביאו דוגמה או הסבירו למה לא.

Voir la réponse et le corrigé

כן, כשאחד הערכים של tt הוא 00 והשני חיובי. לדוגמה x4−4x2=0x^4-4x^2=0:  x2(x2−4)=0\ x^2(x^2-4)=0, ולכן x=0x=0 או x=±2x=\pm2 — שלושה פתרונות. בגרף: הפונקציה נוגעת בציר ב-00 וחוצה אותו ב-±2\pm2.

הצבה של ביטוי שלם

אותו רעיון עובד כשביטוי שלם חוזר על עצמו. שימו לב: כאן tt יכול להיות גם שלילי, כי הוא לא ריבוע.

הצבה t=x2−2xt=x^2-2x

פתרו: (x2−2x)2−2(x2−2x)−3=0(x^2-2x)^2-2(x^2-2x)-3=0.

t=x2−2x⇒t2−2t−3=0\begin{aligned}t &= x^2-2x \Rightarrow t^2-2t-3 \\ &= 0\end{aligned}

מסמנים את הביטוי שחוזר

(t−3)(t+1)=0⇒t=3 או t=−1\begin{aligned}(t-3)(t+1) &= 0 \Rightarrow t \\ &= 3 \ \text{או}\ t \\ &= -1\end{aligned}

פותרים ב-tt

x2−2x=3⇒(x−3)(x+1)=0⇒x=3 x=−1\begin{aligned}x^2-2x &= 3 \Rightarrow (x-3)(x+1) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3 \\ \ x &= -1\end{aligned}

חוזרים ל-xx עם t=3t=3

x2−2x=−1⇒(x−1)2=0⇒x=1\begin{aligned}x^2-2x &= -1 \Rightarrow (x-1)^2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

גם t=−1t=-1 נותן פתרון — הביטוי x2−2xx^2-2x יכול להיות שלילי

x∈{−1, 1, 3}x\in\{-1,\ 1,\ 3\}

שלושה פתרונות

ומה אם יש גם xx בחזקה אי-זוגית בכל האיברים? מוציאים גורם משותף: x5−5x3+4x=x(x4−5x2+4)x^5-5x^3+4x=x(x^4-5x^2+4), ומקבלים את x=0x=0 ועוד ארבעת הפתרונות של הדו-ריבועית.

שלוש טעויות של משוואות דו-ריבועיות.

x2=−4⇒x=±2\begin{aligned}x^2 &= -4 \Rightarrow x \\ &= \pm2\end{aligned}
x2=−4⇒∅x^2=-4 \Rightarrow \varnothing

ערך שלילי של t=x2t=x^2 נפסל: הוא אינו נותן פתרון (∅\varnothing), גם לא «בערך מוחלט».

t=9⇒x=9\begin{aligned}t &= 9 \Rightarrow x \\ &= 9\end{aligned}
t=9⇒x=±3\begin{aligned}t &= 9 \Rightarrow x \\ &= \pm3\end{aligned}

tt הוא משתנה עזר. התשובה נכתבת ב-xx, ולכן תמיד חוזרים דרך x2=tx^2=t.

x4=16x2⇒x2=16\begin{aligned}x^4 &= 16x^2 \Rightarrow x^2 \\ &= 16\end{aligned}
x2(x2−16)=0⇒x=0 x=±4\begin{aligned}x^2(x^2-16) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= \pm4\end{aligned}

חילוק ב-x2x^2 מאבד את הפתרון x=0x=0. מעבירים אגף ומוציאים גורם משותף.

Exercices

Exercice 1

כמה פתרונות יש למשוואה x4−13x2+36=0x^4-13x^2+36=0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

t=x2: t2−13t+36=0\begin{aligned}t &= x^2:\ t^2-13t+36 \\ &= 0\end{aligned}

הצבה

(t−4)(t−9)=0⇒t=4 t=9\begin{aligned}(t-4)(t-9) &= 0 \Rightarrow t \\ &= 4 \\ \ t &= 9\end{aligned}

שני ערכים חיוביים

x=±2 x=±3\begin{aligned}x &= \pm2 \\ \ x &= \pm3\end{aligned}

כל tt חיובי נותן שני פתרונות

מי שעוצר ב-t=4, t=9t=4,\ t=9 עונה «שניים». כל tt חיובי נותן שני ערכים של xx — סך הכול ארבעה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו הפתרון הגדול ביותר של המשוואה x4−3x2−4=0x^4-3x^2-4=0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

t2−3t−4=0⇒(t−4)(t+1)=0\begin{aligned}t^2-3t-4 &= 0 \Rightarrow (t-4)(t+1) \\ &= 0\end{aligned}

הצבה t=x2t=x^2

t=4 ✓t=−1 נפסל\begin{aligned}t &= 4 \ \checkmark \\ \quad t &= -1 \ \text{נפסל}\end{aligned}

x2x^2 אינו שלילי

x2=4⇒x=±2\begin{aligned}x^2 &= 4 \Rightarrow x \\ &= \pm2\end{aligned}

הגדול: 22

התשובה 44 היא ערך של tt, לא של xx. חוזרים ל-xx:  x=4=2\ x=\sqrt4=2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מה הפתרונות של המשוואה x4+5x2+4=0x^4+5x^2+4=0?

  1. x=±1x=\pm1 או x=±2x=\pm2
  2. x=−1x=-1 או x=−4x=-4
  3. x=±2x=\pm2
  4. אין פתרון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D אין פתרון

Corrigé :

t2+5t+4=0⇒t=−1 t=−4\begin{aligned}t^2+5t+4 &= 0 \Rightarrow t \\ &= -1 \\ \ t &= -4\end{aligned}

הצבה t=x2t=x^2

x2=−1 x2=−4\begin{aligned}x^2 &= -1 \\ \ x^2 &= -4\end{aligned}

שני הערכים שליליים — שניהם נפסלים

x4+5x2+4≥4>0x^4+5x^2+4 \ge 4>0

או בלי חישוב: סכום של איברים אי-שליליים ועוד 44 אינו מתאפס

הערכים −1-1 ו-−4-4 הם של t=x2t=x^2, ושניהם שליליים. התשובה: אין פתרון — ואת זה רואים גם בלי לפתור: x4+5x2+4≥4x^4+5x^2+4\ge4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הוכיחו או הפריכו: למשוואה מהצורה x4+bx2+c=0x^4+bx^2+c=0 לא ייתכנו בדיוק שלושה פתרונות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

b=−9 c=0:x4−9x2=0\begin{aligned}b &= -9 \\ \ c &= 0:\quad x^4-9x^2 \\ &= 0\end{aligned}

מחפשים דוגמה נגדית: t=0t=0 ועוד tt חיובי

x2(x2−9)=0⇒x=0 x=±3\begin{aligned}x^2(x^2-9) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= \pm3\end{aligned}

שלושה פתרונות בדיוק

הטענה שגויה — דוגמה נגדית אחת מספיקה: x4−9x2=0x^4-9x^2=0. הפתרון t=0t=0 נותן רק x=0x=0, ולכן המספר יכול להיות אי-זוגי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

פותרים את x4−10x2+9=0x^4-10x^2+9=0 בהצבה t=x2t=x^2. השלימו.

הערך הקטן של tt הוא ____, הערך הגדול הוא ____, ומספר הפתרונות של המשוואה ב-xx הוא ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : הערך הקטן של tt הוא 1, הערך הגדול הוא 9, ומספר הפתרונות של המשוואה ב-xx הוא 4.

Corrigé :

t2−10t+9=0⇒(t−1)(t−9)=0\begin{aligned}t^2-10t+9 &= 0 \Rightarrow (t-1)(t-9) \\ &= 0\end{aligned}

סכום 1010, מכפלה 99

x2=1⇒x=±1x2=9⇒x=±3\begin{aligned}x^2 &= 1 \Rightarrow x \\ &= \pm1 \\ \quad x^2 &= 9 \Rightarrow x \\ &= \pm3\end{aligned}

חוזרים ל-xx

4 פתרונות4 \ \text{פתרונות}

שני ערכים של tt אינם שני פתרונות. כל tt חיובי מכפיל את עצמו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

-3-2-10123-224681012141618xy

לפניכם גרף של פונקציה. איזו נוסחה מתאימה לו?

  1. y=(x−2)2y=(x-2)^2
  2. y=(x2−4)2y=(x^2-4)^2
  3. y=x2(x2−4)y=x^2(x^2-4)
  4. y=x4−16y=x^4-16
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B y=(x2−4)2y=(x^2-4)^2

Corrigé :

x=±2x=\pm2

נגיעה בציר: בשתי הנקודות הגרף נוגע וחוזר — ריבוי זוגי

(x2−4)2=(x−2)2(x+2)2(x^2-4)^2=(x-2)^2(x+2)^2

כל גורם מופיע בריבוי 2

y(0)=16y(0)=16

וגם נקודת החיתוך עם ציר yy מתאימה

x4−16x^4-16 מתאפס באותן נקודות, אבל חוצה את הציר ועובר דרך (0,−16)(0,-16). הנגיעה אומרת ריבוי זוגי — התשובה y=(x2−4)2y=(x^2-4)^2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

פתרו את המשוואה (x2−x)2−8(x2−x)+12=0(x^2-x)^2-8(x^2-x)+12=0. מהי מכפלת כל הפתרונות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

t=x2−x: t2−8t+12=0⇒t=2 t=6\begin{aligned}t &= x^2-x:\ t^2-8t+12 \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= 2 \\ \ t &= 6\end{aligned}

הצבה של הביטוי שחוזר

x2−x−2=0⇒x=2 x=−1\begin{aligned}x^2-x-2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2 \\ \ x &= -1\end{aligned}

t=2t=2

x2−x−6=0⇒x=3 x=−2\begin{aligned}x^2-x-6 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3 \\ \ x &= -2\end{aligned}

t=6t=6

2⋅(−1)⋅3⋅(−2)=122\cdot(-1)\cdot3\cdot(-2)=12

מכפלת ארבעת הפתרונות

המכפלה של ערכי tt היא 1212 במקרה — אבל לא מסתפקים בה. חוזרים ל-xx ובודקים שכל ארבעת הפתרונות קיימים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

בפתרון של x4−x2−12=0x^4-x^2-12=0 יש שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

t2−t−12=0t^2-t-12=0
(t−4)(t+3)=0(t-4)(t+3)=0
t=4 או t=−3\begin{aligned}t &= 4 \ \text{או}\ t \\ &= -3\end{aligned}
x=±2 או x=±3\begin{aligned}x &= \pm2 \ \text{או}\ x \\ &= \pm\sqrt3\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=±2 או x=±3x=\pm2 \ \text{או}\ x=\pm\sqrt3 → x=±2x=\pm2

Corrigé :

t2−t−12=(t−4)(t+3)t^2-t-12=(t-4)(t+3)

הפירוק נכון

x2=4⇒x=±2\begin{aligned}x^2 &= 4 \Rightarrow x \\ &= \pm2\end{aligned}

מ-t=4t=4

x2=−3x^2=-3

מ-t=−3t=-3 אין פתרון — ולא ±3\pm\sqrt3

מי שכותב ±3\pm\sqrt3 «מתעלם» מהמינוס. x2=−3x^2=-3 אין לה פתרון, והתשובה היא x=±2x=\pm2 בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

כמה פתרונות יש למשוואה x5−10x3+9x=0x^5-10x^3+9x=0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

x(x4−10x2+9)=0x(x^4-10x^2+9)=0

גורם משותף xx

x=0 או x4−10x2+9=0\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או}\ x^4-10x^2+9 \\ &= 0\end{aligned}

מכפלה שווה לאפס

t=1 t=9⇒x=±1 ±3\begin{aligned}t &= 1 \\ \ t &= 9 \Rightarrow x \\ &= \pm1 \\ \ \pm3\end{aligned}

הדו-ריבועית נותנת ארבעה

{−3,−1,0,1,3}\{-3,-1,0,1,3\}

חמישה פתרונות

מי שמחלק ב-xx «כדי לקבל דו-ריבועית» מאבד את x=0x=0. מוציאים גורם משותף, לא מחלקים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

הביאו דוגמה: לאיזו משוואה יש בדיוק שני פתרונות?

  1. x4+3x2+2=0x^4+3x^2+2=0
  2. x4−4x2=0x^4-4x^2=0
  3. x4−5x2+4=0x^4-5x^2+4=0
  4. x4−3x2−4=0x^4-3x^2-4=0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x4−3x2−4=0x^4-3x^2-4=0

Corrigé :

x4−3x2−4=0: t=4 t=−1⇒x=±2\begin{aligned}x^4-3x^2-4 &= 0:\ t \\ &= 4 \\ \ t &= -1 \Rightarrow x \\ &= \pm2\end{aligned}

tt חיובי אחד ו-tt שלילי אחד — שני פתרונות

x4−5x2+4=0: t=1 t=4\begin{aligned}x^4-5x^2+4 &= 0:\ t \\ &= 1 \\ \ t &= 4\end{aligned}

שני ערכים חיוביים — ארבעה פתרונות

x4+3x2+2=0: t=−1 t=−2\begin{aligned}x^4+3x^2+2 &= 0:\ t \\ &= -1 \\ \ t &= -2\end{aligned}

אין פתרון

x4−4x2=0: t=0 t=4\begin{aligned}x^4-4x^2 &= 0:\ t \\ &= 0 \\ \ t &= 4\end{aligned}

שלושה פתרונות

המספר נקבע לפי הסימנים של ערכי tt, לא לפי מספרם. רק ב-x4−3x2−4=0x^4-3x^2-4=0 יש tt חיובי יחיד.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe