Équation de la tangente

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

בפרק הזה ראינו שהנגזרת בנקודה היא שיפוע המשיק שם. עכשיו נשתמש בזה עד הסוף: נכתוב את משוואת המשיק.

באנימציה, באילו שני ערכי xx המשיק אופקי? אמתו בחישוב.

Voir la réponse et le corrigé

f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2), והנגזרת מתאפסת ב-x=0x = 0 וב-x=2x = 2. שם m=0m = 0, ומשוואות המשיקים הן y=0y = 0 ו-y=−4y = -4.

הכלל

m=f′(x0)m = f'(x_0)

שיפוע המשיק בנקודה שווה לנגזרת של הפונקציה ב-xx של נקודת ההשקה. לא לנגזרת «באופן כללי» — לערך שלה ב-x0x_0 עצמו.

שימו לב להבדל: f′(x)f'(x) הוא ביטוי, ו-f′(x0)f'(x_0) הוא מספר. השיפוע של ישר הוא תמיד מספר.

שלושת השלבים

y0=f(x0)y_0 = f(x_0)

הנקודה — מציבים ב-ff עצמה.

m=f′(x0)m = f'(x_0)

השיפוע — מציבים בנגזרת.

y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)

המשוואה — ישר דרך נקודה עם שיפוע.

הטעות הנפוצה היא לערבב בין השניים: הגובה בא מ-ff, השיפוע מ-f′f'. הצבה בפונקציה הלא נכונה מקלקלת את כל הסעיף.

משיק בנקודה נתונה

מצאו את משוואת המשיק ל-f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2 בנקודה שבה x0=3x_0 = 3.

y0=f(3)=27−27=0\begin{aligned}y_0 &= f(3) \\ &= 27 - 27 \\ &= 0\end{aligned}

הגובה, מ-ff

f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x

גוזרים

m=f′(3)=27−18=9\begin{aligned}m &= f'(3) \\ &= 27 - 18 \\ &= 9\end{aligned}

השיפוע, מ-f′f'

y−0=9(x−3)y - 0 = 9(x - 3)

ישר דרך נקודה

y=9x−27y = 9x - 27

משוואת המשיק

בדוגמה יצא y0=0y_0 = 0. האם זה אומר שגם השיפוע אפס?

Voir la réponse et le corrigé

לא. y0=0y_0 = 0 אומר שהנקודה יושבת על ציר ה-xx; השיפוע שם הוא 99. שני מספרים שונים משתי פונקציות שונות — ff ו-f′f'.

כשנתון השיפוע ומחפשים את הנקודה

השאלה מגיעה גם הפוכה: נתון שיפוע, ומבקשים איפה יש משיק בשיפוע הזה. אז פותרים משוואה f′(x)=mf'(x) = m במקום להציב.

מהשיפוע אל הנקודה

באילו נקודות המשיק לגרף y=x3y = x^3 הוא בעל שיפוע 1212?

f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2

הנגזרת

3x2=12 ⇒ x2=4\begin{aligned}3x^2 &= 12 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 4\end{aligned}

משווים לשיפוע הנתון

x=2x=−2\begin{aligned}x &= 2 \quad \\ \quad x &= -2\end{aligned}

שני פתרונות

(2,8),(−2,−8)(2, 8) \quad , \quad (-2, -8)

והגבהים מ-ff

משיק מקביל לישר נתון

ניסוח נפוץ נוסף: ישרים מקבילים — שיפועים שווים. קוראים את השיפוע מהישר הנתון, וממשיכים כמו קודם.

מקביל לישר

מצאו את המשיק ל-y=x2y = x^2 המקביל לישר y=6x+1y = 6x + 1.

m=6m = 6

מקבילים — אותו שיפוע

2x=6 ⇒ x=3\begin{aligned}2x &= 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

משווים את הנגזרת

y0=9y_0 = 9

הגובה מ-ff

y−9=6(x−3) ⇒ y=6x−9\begin{aligned}y - 9 &= 6(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= 6x - 9\end{aligned}

משוואת המשיק

המשיק ל-y=x3y = x^3 בנקודה (1,1)(1, 1) הוא y=3x−2y = 3x - 2. האם הוא פוגש את הגרף בנקודה נוספת?

Voir la réponse et le corrigé

כן. x3=3x−2x^3 = 3x - 2 שקול ל-(x−1)2(x+2)=0(x - 1)^2(x + 2) = 0, ולכן גם ב-x=−2x = -2. משיק נוגע בגרף בנקודת ההשקה, אבל רחוק ממנה הוא יכול לחתוך אותו. המשיק למעגל אינו המודל כאן.

שתי הטעויות של המשיק.

y0=f′(x0)y_0 = f'(x_0)
y0=f(x0)y_0 = f(x_0)

הגובה בא מ-ff, השיפוע מ-f′f'. החלפה ביניהם נותנת ישר שאינו נוגע בגרף בכלל.

3x2=12 ⇒ x=2\begin{aligned}3x^2 &= 12 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}
3x2=12 ⇒ x=±2\begin{aligned}3x^2 &= 12 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

משוואה ריבועית — שני פתרונות. שכחת השני היא הפסד של חצי סעיף, גם כשכל החישוב נכון.

Exercices

Exercice 1

מהי משוואת המשיק ל-f(x)=x2f(x) = x^2 בנקודה שבה x=2x = 2?

  1. y=4xy = 4x
  2. y=4x−4y = 4x - 4
  3. y=2xy = 2x
  4. y=4x+4y = 4x + 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B y=4x−4y = 4x - 4

Corrigé :

y0=f(2)=4\begin{aligned}y_0 &= f(2) \\ &= 4\end{aligned}

הגובה

m=f′(2)=4\begin{aligned}m &= f'(2) \\ &= 4\end{aligned}

השיפוע

y−4=4(x−2)y - 4 = 4(x - 2)

ישר דרך נקודה

y=4x−4y = 4x - 4

מסדרים

הנכונה: y=4x−4y = 4x - 4. y=2xy = 2x לוקח את f′(x)=2xf'(x) = 2x כאילו הוא המשיק; y=4xy = 4x שוכח את הנקודה. בדיקה: ב-x=2x = 2 המשיק חייב לתת 44.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

באילו נקודות המשיק לגרף y=x3y = x^3 הוא בעל שיפוע 1212?

  1. x=12x = 12
  2. x=2x = 2 או x=−2x = -2
  3. x=2x = 2 בלבד
  4. x=4x = 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x=2x = 2 או x=−2x = -2

Corrigé :

3x2=123x^2 = 12

משווים את הנגזרת לשיפוע

x2=4x^2 = 4

מחלקים

x=±2x = \pm 2

שני פתרונות

הנכונה: x=2x = 2 או x=−2x = -2. «x=2x = 2 בלבד» שוכח את השורש השלילי; x=4x = 4 עוצר ב-x2=4x^2 = 4; x=12x = 12 מבלבל שיפוע עם מקום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו המשיק ל-y=x2y = x^2 המקביל לישר y=6x+1y = 6x + 1?

  1. y=6x+9y = 6x + 9
  2. y=2x−9y = 2x - 9
  3. y=6x−9y = 6x - 9
  4. y=6x+1y = 6x + 1
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C y=6x−9y = 6x - 9

Corrigé :

m=6m = 6

מקבילים — אותו שיפוע

2x=6 ⇒ x=3\begin{aligned}2x &= 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

הנקודה

y0=9y_0 = 9

הגובה

y−9=6(x−3) ⇒ y=6x−9\begin{aligned}y - 9 &= 6(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= 6x - 9\end{aligned}

המשוואה

הנכונה: y=6x−9y = 6x - 9. y=6x+1y = 6x + 1 הוא הישר הנתון עצמו — הוא לא נוגע בפרבולה; y=6x+9y = 6x + 9 טועה בסימן של המספר החופשי — בדיקה ב-x=3x = 3 נותנת 2727 ולא 99.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

נתון f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2. בכמה נקודות המשיק לגרף הוא אופקי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x \\ &= 3x(x - 2)\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

f′(x)=0 ⇒ x=0  x=2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \ \\ \ x &= 2\end{aligned}

משיק אופקי — שיפוע אפס

מי שמחלק ב-xx את 3x2=6x3x^2 = 6x מאבד את הפתרון x=0x = 0. מפרקים, לא מחלקים במשתנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

המשיק לגרף ff בנקודה שבה x=5x = 5 הוא y=3x−7y = 3x - 7. מהו f(5)f(5)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

y=3⋅5−7=8\begin{aligned}y &= 3 \cdot 5 - 7 \\ &= 8\end{aligned}

נקודת ההשקה נמצאת על המשיק

f(5)=8f′(5)=3\begin{aligned}f(5) &= 8 \\ \quad f'(5) &= 3\end{aligned}

והשיפוע נקרא מהמשוואה

נקודת ההשקה שייכת לשני הגרפים, ולכן מציבים במשוואת המשיק. −7-7 הוא החיתוך עם ציר ה-yy, לא f(5)f(5).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתון f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2. מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x = 1. באיזה ערך yy המשיק חותך את ציר ה-yy?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

y0=f(1)=1−3=−2\begin{aligned}y_0 &= f(1) \\ &= 1 - 3 \\ &= -2\end{aligned}

הגובה

m=f′(1)=3−6=−3\begin{aligned}m &= f'(1) \\ &= 3 - 6 \\ &= -3\end{aligned}

השיפוע

y+2=−3(x−1) ⇒ y=−3x+1\begin{aligned}y + 2 &= -3(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -3x + 1\end{aligned}

המשוואה

x=0 ⇒ y=1\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 1\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה-yy

המלכודת בסוגריים: y−(−2)y - (-2) הוא y+2y + 2. מי שכותב y−2y - 2 מקבל y=−3x+5y = -3x + 5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

מהי משוואת המשיק לגרף f(x)=(2x−1)3f(x) = (2x - 1)^3 בנקודה שבה x=1x = 1?

  1. y=6x−5y = 6x - 5
  2. y=6x+1y = 6x + 1
  3. y=6x−6y = 6x - 6
  4. y=3x−2y = 3x - 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A y=6x−5y = 6x - 5

Corrigé :

y0=f(1)=13=1\begin{aligned}y_0 &= f(1) \\ &= 1^3 \\ &= 1\end{aligned}

הגובה

f′(x)=3(2x−1)2⋅2f'(x) = 3(2x - 1)^2 \cdot 2

נגזרת של פונקציה מורכבת

m=f′(1)=6\begin{aligned}m &= f'(1) \\ &= 6\end{aligned}

השיפוע

y−1=6(x−1) ⇒ y=6x−5\begin{aligned}y - 1 &= 6(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 6x - 5\end{aligned}

המשוואה

הנכונה: y=6x−5y = 6x - 5. y=3x−2y = 3x - 2 שוכח את הנגזרת הפנימית 22; y=6x−6y = 6x - 6 שוכח את הגובה y0=1y_0 = 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

המשיק לגרף f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 בנקודה שבה x=ax = a עובר דרך ראשית הצירים. מצאו את הערך החיובי של aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

y−(a2+1)=2a(x−a)y - (a^2 + 1) = 2a(x - a)

משוואת המשיק בנקודה x=ax = a

0−(a2+1)=2a(0−a)0 - (a^2 + 1) = 2a(0 - a)

מציבים את (0,0)(0, 0)

−a2−1=−2a2 ⇒ a2=1\begin{aligned}-a^2 - 1 &= -2a^2 \ \Rightarrow \ a^2 \\ &= 1\end{aligned}

מסדרים

a=1a = 1

הפתרון החיובי; יש גם a=−1a = -1

הראשית אינה נקודת ההשקה — היא נקודה על המשיק. מי שמציב x=0x = 0 בנגזרת מחפש משיק בנקודה הלא נכונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הוכיחו או הפריכו: משיק לגרף של פונקציה אינו יכול לחתוך את הגרף בנקודה נוספת.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

f(x)=x3x0=1\begin{aligned}f(x) &= x^3 \\ \quad x_0 &= 1\end{aligned}

דוגמה נגדית

y=3x−2y = 3x - 2

המשיק: y0=1y_0 = 1, m=3m = 3

x3−3x+2=(x−1)2(x+2)=0\begin{aligned}x^3 - 3x + 2 &= (x - 1)^2(x + 2) \\ &= 0\end{aligned}

משווים משיק לגרף

x=−2x = -2

נקודת מפגש נוספת: (−2,−8)(-2, -8)

הטענה לא נכונה. «משיק נוגע בנקודה אחת» נכון במעגל, לא בכל גרף. משיק מוגדר על ידי השיפוע בנקודה, לא על ידי מספר נקודות המפגש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

נתונה ff גזירה, ונקודה x0x_0 שבה f′(x0)=0f'(x_0) = 0. הוכיחו שמשוואת המשיק בנקודה זו היא y=f(x0)y = f(x_0).

  • שיפוע המשיק: m=f′(x0)m = f'(x_0)
  • f′(x0)=0f'(x_0) = 0
  • משוואת ישר דרך נקודה: y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)

y=f(x0)y = f(x_0)

Voir la réponse et le corrigé
  1. m=f′(x0)m = f'(x_0) — שיפוע המשיק שווה לנגזרת בנקודת ההשקה
  2. m=0m = 0 — הצבת הנתון f′(x0)=0f'(x_0) = 0
  3. y−f(x0)=0⋅(x−x0)y - f(x_0) = 0 \cdot (x - x_0) — הצבה במשוואת ישר דרך נקודה, עם y0=f(x0)y_0 = f(x_0)
  4. y−f(x0)=0y - f(x_0) = 0 — כפל באפס
  5. y=f(x0)y = f(x_0) — העברת אגף — וזהו ישר אופקי

Corrigé :

m=f′(x0)m = f'(x_0)

שיפוע המשיק שווה לנגזרת בנקודת ההשקה

m=0m = 0

הצבת הנתון f′(x0)=0f'(x_0) = 0

y−f(x0)=0⋅(x−x0)y - f(x_0) = 0 \cdot (x - x_0)

הצבה במשוואת ישר דרך נקודה, עם y0=f(x0)y_0 = f(x_0)

y−f(x0)=0y - f(x_0) = 0

כפל באפס

y=f(x0)y = f(x_0)

העברת אגף — וזהו ישר אופקי

המשיק בנקודה שבה f′(x0)=0f'(x_0) = 0 הוא ישר אופקי. הטעות היא לכתוב y=0y = 0: הגובה של המשיק הוא f(x0)f(x_0), לא אפס.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe