מבחן לדוגמא — שליש ראשון

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מבחן לדוגמא — שליש ראשון. 5 שאלות עם סעיפים, 24 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. החומר: מבוא להנדסה אנליטית, מקומות גאומטריים, מבוא לאנליזה של פונקציות, והנגזרת של פולינום — עד חקירה מלאה ומשוואת משיק.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בגאומטריה כתבו טענה ונימוק לכל שורה, ובחקירה בנו טבלת סימנים לפני שקובעים סוג קיצון.

Exercices

שאלה 1 — הנדסה אנליטית ומקום גאומטרי

Exercice 1

שרטוט לשאלה 1
AB-4-3-2-101234567-2-112345678xy

נתונות הנקודות A(−3,2)A(-3, 2) ו-B(5,6)B(5, 6). א. מצאו את משוואת האנך האמצעי לקטע ABAB.

y=y = ____ x+x + ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = -2 x+x + 6

Corrigé :

M=(−3+52,2+62)=(1,4)\begin{aligned}M &= \left(\frac{-3+5}{2}, \frac{2+6}{2}\right) \\ &= (1, 4)\end{aligned}

אמצע הקטע: ממוצע השיעורים

mAB=6−25−(−3)=12\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{6-2}{5-(-3)} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שיפוע הקטע

m1⋅12=−1⇒m1=−2\begin{aligned}m_1 \cdot \frac{1}{2} &= -1 \Rightarrow m_1 \\ &= -2\end{aligned}

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים −1-1

y−4=−2(x−1)⇒y=−2x+6\begin{aligned}y - 4 &= -2(x - 1) \Rightarrow y \\ &= -2x + 6\end{aligned}

ישר דרך MM בשיפוע −2-2

האנך האמצעי הוא y=−2x+6y = -2x + 6. המלכודת: להעביר את הישר דרך AA או דרך BB במקום דרך האמצע MM, או לקחת שיפוע 22 — הופכי בלי להפוך סימן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

שרטוט לשאלה 1
ABM-4-3-2-101234567-2-112345678xy

נתונות הנקודות A(−3,2)A(-3, 2) ו-B(5,6)B(5, 6). האנך האמצעי לקטע ABAB הוא y=−2x+6y = -2x + 6. ב. הנקודה CC נמצאת על האנך האמצעי ועל ציר ה-xx. מצאו את שיעורי CC.

C=C = ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C=C = ( 3 , 0 )

Corrigé :

y=0y = 0

כל נקודה על ציר ה-xx

0=−2x+6⇒x=3\begin{aligned}0 &= -2x + 6 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

מציבים במשוואת האנך האמצעי

C(3,0)C(3, 0). המלכודת: להציב x=0x = 0 — כך מקבלים את נקודת החיתוך עם ציר ה-yy, (0,6)(0, 6).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

שרטוט לשאלה 1
ABMC-4-3-2-101234567-2-112345678xy

נתונות הנקודות A(−3,2)A(-3, 2) ו-B(5,6)B(5, 6). M(1,4)M(1, 4) אמצע ABAB, והנקודה C(3,0)C(3, 0) על האנך האמצעי לקטע. ג. חשבו את שטח המשולש ABCABC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20

Corrigé :

AB=82+42=80\begin{aligned}AB &= \sqrt{8^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{80}\end{aligned}

אורך הבסיס, בנוסחת המרחק

CM=22+42=20\begin{aligned}CM &= \sqrt{2^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

CM⊥ABCM \perp AB, ולכן CMCM הוא הגובה לבסיס

S=80⋅202=402=20\begin{aligned}S &= \frac{\sqrt{80} \cdot \sqrt{20}}{2} \\ &= \frac{40}{2} \\ &= 20\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה

השטח 2020. המלכודת: לקחת את CACA או CBCB כגובה. הגובה הוא הקטע המאונך לבסיס — כאן CMCM, כי CC על האנך האמצעי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

שרטוט לשאלה 1, סעיפים ד-ה
ABC-4-20246810-6-4-22468xy

נתונות הנקודות A(−3,2)A(-3, 2) ו-B(5,6)B(5, 6). הנקודה C(3,0)C(3, 0) נמצאת על האנך האמצעי לקטע ABAB. ד. מהי משוואת המעגל שמרכזו CC ועובר דרך AA?

  1. (x+3)2+y2=40(x+3)^2 + y^2 = 40
  2. (x−3)2+y2=40(x-3)^2 + y^2 = 40
  3. (x−3)2+y2=20(x-3)^2 + y^2 = 20
  4. (x−3)2+y2=40(x-3)^2 + y^2 = \sqrt{40}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B (x−3)2+y2=40(x-3)^2 + y^2 = 40

Corrigé :

R2=CA2=(−3−3)2+(2−0)2=40\begin{aligned}R^2 &= CA^2 \\ &= (-3-3)^2 + (2-0)^2 \\ &= 40\end{aligned}

רדיוס בריבוע, בנוסחת המרחק

(x−3)2+(y−0)2=40(x-3)^2 + (y-0)^2 = 40

מעגל שמרכזו (a,b)(a, b): (x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2

התשובה הנכונה: (x−3)2+y2=40(x-3)^2 + y^2 = 40. המלכודות: (x+3)2(x+3)^2 — סימן הפוך של המרכז; 40\sqrt{40} באגף ימין — שוכחים שבמשוואה מופיע R2R^2; 2020 — הריבוע של CMCM, לא של CACA.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

שרטוט לשאלה 1, סעיפים ד-ה
ABC-4-20246810-6-4-22468xy

נתונות הנקודות A(−3,2)A(-3, 2) ו-B(5,6)B(5, 6). הנקודה C(3,0)C(3, 0) נמצאת על האנך האמצעי לקטע ABAB, והמעגל שמרכזו CC עובר דרך AA. ה. הוכיחו או הפריכו: המעגל עובר גם דרך BB.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

CA=CBCA = CB

כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו

CB2=(5−3)2+62=40=R2\begin{aligned}CB^2 &= (5-3)^2 + 6^2 \\ &= 40 \\ &= R^2\end{aligned}

בדיקה בחישוב: BB מקיימת את משוואת המעגל

נכון, ובלי חישוב: האנך האמצעי הוא המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מ-AA ומ-BB שווה. המלכודת: לחשוב שצריך למצוא את משוואת המעגל מחדש — המשפט על המקום הגאומטרי כבר נותן את התשובה.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — מקומות גאומטריים במשולש

Exercice 6

ABCIDE

במשולש ABCABC חוצי הזוויות BB ו-CC נפגשים בנקודה II. דרך II העבירו ישר המקביל ל-BCBC, והוא חותך את ABAB ב-DD ואת ACAC ב-EE. א. הוכיחו כי DB=DIDB = DI.

  • BIBI חוצה את ∠ABC\angle ABC
  • DE∥BCDE \parallel BC

DB=DIDB = DI

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠DBI=∠IBC\angle DBI = \angle IBC — נתון — BIBI חוצה זווית
  2. ∠DIB=∠IBC\angle DIB = \angle IBC — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים
  3. ∠DBI=∠DIB\angle DBI = \angle DIB — כלל המעבר
  4. DB=DIDB = DI — במשולש, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

Corrigé :

∠DBI=∠IBC\angle DBI = \angle IBC

נתון — BIBI חוצה זווית

∠DIB=∠IBC\angle DIB = \angle IBC

זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים

∠DBI=∠DIB\angle DBI = \angle DIB

כלל המעבר

DB=DIDB = DI

במשולש, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

המשולש DBIDBI שווה שוקיים. המלכודת: לכתוב «זוויות מתאימות» — ∠DIB\angle DIB ו-∠IBC\angle IBC נמצאות משני צדי החותך BIBI, ולכן הן מתחלפות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABCIDE

במשולש ABCABC חוצי הזוויות BB ו-CC נפגשים בנקודה II. דרך II העבירו ישר המקביל ל-BCBC, והוא חותך את ABAB ב-DD ואת ACAC ב-EE. הוכח כי DB=DIDB = DI, ובאותה דרך EC=EIEC = EI. ב. נתון AB=9AB = 9, AC=12AC = 12 ו-BC=10BC = 10. חשבו את היקף המשולש ADEADE.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 21

Corrigé :

PADE=AD+DI+IE+EAP_{ADE} = AD + DI + IE + EA

DE=DI+IEDE = DI + IE

=AD+DB+EC+EA= AD + DB + EC + EA

מחליפים DI=DBDI = DB ו-IE=ECIE = EC

AB+AC=9+12=21\begin{aligned}AB + AC &= 9 + 12 \\ &= 21\end{aligned}

שני זוגות מתחברים לצלעות שלמות

ההיקף 2121, והוא אינו תלוי ב-BCBC. המלכודת: לחפש את ADAD ו-DEDE בנפרד, או להוסיף את BC=10BC = 10 לסכום — הנתון הזה מיותר כאן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCIDE

במשולש ABCABC חוצי הזוויות BB ו-CC נפגשים בנקודה II. דרך II העבירו ישר המקביל ל-BCBC, והוא חותך את ABAB ב-DD ואת ACAC ב-EE. ג. הנקודה II היא:

  1. מרכז הכובד של המשולש ABCABC
  2. מרכז המעגל החסום במשולש ABCABC
  3. מרכז המעגל החוסם את המשולש ABCABC
  4. נקודת המפגש של הגבהים במשולש ABCABC
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B מרכז המעגל החסום במשולש ABCABC

Corrigé :

I∈BI: d(I,AB)=d(I,BC)I \in BI: \ d(I, AB) = d(I, BC)

על חוצה זווית כל נקודה במרחק שווה משוקי הזווית

I∈CI: d(I,BC)=d(I,AC)I \in CI: \ d(I, BC) = d(I, AC)

אותו דבר לזווית CC

d(I,AB)=d(I,AC)d(I, AB) = d(I, AC)

ולכן II גם על חוצה הזווית AA — מרכז המעגל החסום

התשובה הנכונה: מרכז המעגל החסום. המלכודת: לבלבל עם מרכז המעגל החוסם — הוא מפגש האנכים האמצעיים, והוא שווה מרחק מהקודקודים ולא מהצלעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABCIDE

במשולש ABCABC חוצי הזוויות BB ו-CC נפגשים בנקודה II. דרך II העבירו ישר המקביל ל-BCBC, והוא חותך את ABAB ב-DD ואת ACAC ב-EE. ד. הוכיחו או הפריכו: אם AB=ACAB = AC, אז הישר AIAI מאונך ל-BCBC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

∠BAI=∠CAI\angle BAI = \angle CAI

AIAI חוצה את ∠A\angle A: שלושת חוצי הזוויות נפגשים ב-II

AB=ACAB = AC

המשולש שווה שוקיים

AI⊥BCAI \perp BC

במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם גובה

נכון. המלכודת: לענות «לא» כי בשרטוט AB≠ACAB \neq AC — הטענה עוסקת במקרה שבו הצלעות שוות, והשרטוט אינו חלק מהנתון.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — חקירת פולינום

Exercice 10

נתונה הפונקציה f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x. א. מהן נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים, ומה קורה בנקודה x=3x = 3?

  1. (−3,0)(-3, 0), (0,0)(0, 0) ו-(3,0)(3, 0)
  2. (0,0)(0, 0) בלבד
  3. (0,0)(0, 0) ו-(3,0)(3, 0); ב-x=3x = 3 הגרף משיק לציר ה-xx
  4. (0,0)(0, 0) ו-(3,0)(3, 0); בשתי הנקודות הגרף חוצה את ציר ה-xx
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C (0,0)(0, 0) ו-(3,0)(3, 0); ב-x=3x = 3 הגרף משיק לציר ה-xx

Corrigé :

f(x)=x(x2−6x+9)=x(x−3)2\begin{aligned}f(x) &= x(x^2 - 6x + 9) \\ &= x(x-3)^2\end{aligned}

מוציאים גורם משותף ומזהים ריבוע

x=0 (ריבוי 1)x=3 (ריבוי 2)\begin{aligned}x &= 0 \ (\text{ריבוי } 1) \\ \quad x &= 3 \ (\text{ריבוי } 2)\end{aligned}

שורש מריבוי זוגי — הגרף נוגע בציר ולא חוצה

התשובה הנכונה: (0,0)(0,0) ו-(3,0)(3,0), וב-x=3x = 3 הגרף משיק לציר. המלכודת: לפתור x2=9x^2 = 9 ולקבל גם x=−3x = -3 — הביטוי הוא (x−3)2(x-3)^2, לא x2−9x^2 - 9.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתונה הפונקציה f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x. ב. תלמיד חיפש את הנקודות החשודות לקיצון. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

f′(x)=3x2−12x+9f'(x) = 3x^2 - 12x + 9
3x2−12x+9=03x^2 - 12x + 9 = 0
x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0
x=−1 או x=−3\begin{aligned}x &= -1 \ \text{או} \ x \\ &= -3\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=−1 או x=−3x = -1 \ \text{או} \ x = -3 → x=1 או x=3x = 1 \ \text{או} \ x = 3

Corrigé :

x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)

מפרקים: מכפלה 33, סכום 44

x=1 או x=3\begin{aligned}x &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= 3\end{aligned}

כל גורם שווה לאפס

השגיאה בשורה האחרונה: מהפירוק (x−1)(x−3)(x-1)(x-3) יוצאים x=1x = 1 ו-x=3x = 3. המלכודת: לקחת את המספרים שבתוך הסוגריים עם הסימן שלהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

נתונה הפונקציה f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x. הנגזרת מתאפסת ב-x=1x = 1 וב-x=3x = 3. ג. מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

Maximum : ( ____ , ____ ) Minimum : ( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Maximum : ( 1 , 4 ) Minimum : ( 3 , 0 )

Corrigé :

f′(x)=3(x−1)(x−3)f'(x) = 3(x-1)(x-3)

הנגזרת מפורקת

x<1:f′>0,1<x<3:f′<0,x>3:f′>0x<1: f'>0, \quad 1<x<3: f'<0, \quad x>3: f'>0

טבלת סימנים של f′f'

f(1)=1−6+9=4f(3)=0\begin{aligned}f(1) &= 1 - 6 + 9 \\ &= 4 \\ \quad f(3) &= 0\end{aligned}

מציבים בפונקציה עצמה

מקסימום (1,4)(1, 4) ומינימום (3,0)(3, 0). המלכודת: להציב את xx בנגזרת במקום בפונקציה — ואז שיעור ה-yy יוצא 00 בשתי הנקודות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

נתונה הפונקציה f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x. לפונקציה מקסימום ב-(1,4)(1, 4) ומינימום ב-(3,0)(3, 0). ד. מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?

  1. עולה ב-x<4x < 4; יורדת ב-x>4x > 4
  2. יורדת ב-x<1x < 1 וב-x>3x > 3; עולה ב-1<x<31 < x < 3
  3. עולה ב-0<x<10 < x < 1 בלבד
  4. עולה ב-x<1x < 1 וב-x>3x > 3; יורדת ב-1<x<31 < x < 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D עולה ב-x<1x < 1 וב-x>3x > 3; יורדת ב-1<x<31 < x < 3

Corrigé :

f′>0  ⟺  x<1 או x>3f' > 0 \iff x < 1 \ \text{או} \ x > 3

הנגזרת חיובית מחוץ לשורשים

f′<0  ⟺  1<x<3f' < 0 \iff 1 < x < 3

ושלילית ביניהם

התשובה הנכונה: עולה ב-x<1x<1 וב-x>3x>3, יורדת ב-1<x<31<x<3. המלכודת: לכתוב את התחומים לפי ערכי yy של הקיצון (44) — תחומי עלייה נכתבים תמיד על ציר ה-xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

נתונה הפונקציה f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x. לפונקציה מקסימום ב-(1,4)(1, 4) ומינימום ב-(3,0)(3, 0). ה. לאילו ערכים של kk יש למשוואה f(x)=kf(x) = k שלושה פתרונות שונים?

  1. 0≤k≤40 \le k \le 4
  2. 0<k<40 < k < 4
  3. 1<k<31 < k < 3
  4. k>4k > 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 0<k<40 < k < 4

Corrigé :

y=ky = k

ישר אופקי שחותך את הגרף

0<k<40 < k < 4

בין ערך המינימום לערך המקסימום — שלוש נקודות חיתוך

k=0 או k=4\begin{aligned}k &= 0 \ \text{או} \ k \\ &= 4\end{aligned}

הישר משיק בקיצון — רק שני פתרונות

התשובה הנכונה: 0<k<40 < k < 4. המלכודות: לכלול את הקצוות — שם הישר משיק לגרף ונותן רק שני פתרונות; או לקחת את שיעורי ה-xx של הקיצון, 11 ו-33.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

נתונה הפונקציה f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x. ו. מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בראשית הצירים.

y=y = ____ xx

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = 9 xx

Corrigé :

f′(0)=3⋅0−12⋅0+9=9\begin{aligned}f'(0) &= 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 9 \\ &= 9\end{aligned}

שיפוע המשיק

y−0=9(x−0)⇒y=9x\begin{aligned}y - 0 &= 9(x - 0) \Rightarrow y \\ &= 9x\end{aligned}

ישר דרך (0,0)(0, 0)

המשיק y=9xy = 9x. המלכודת: לחשב f(0)=0f(0) = 0 ולכתוב y=0y = 0 — הערך של הפונקציה אינו השיפוע.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 4 — משיק ופרמטר

Exercice 16

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax+1f(x) = x^2 + ax + 1, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=2x = 2 מקביל לישר y=6x−5y = 6x - 5. א. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

f′(x)=2x+af'(x) = 2x + a

גוזרים: aa הוא מספר קבוע

f′(2)=4+af'(2) = 4 + a

שיפוע המשיק ב-x=2x = 2

4+a=6⇒a=2\begin{aligned}4 + a &= 6 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

ישרים מקבילים — שיפועים שווים

a=2a = 2. המלכודת: להשוות את f(2)f(2) ל-66 — המקביל נותן את השיפוע, כלומר את f′(2)f'(2), ולא את ערך הפונקציה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax+1f(x) = x^2 + ax + 1, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=2x = 2 מקביל לישר y=6x−5y = 6x - 5. נמצא כי a=2a = 2. ב. מצאו את משוואת המשיק בנקודה שבה x=2x = 2.

y=y = ____ x+x + ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = 6 x+x + -3

Corrigé :

f(2)=4+4+1=9\begin{aligned}f(2) &= 4 + 4 + 1 \\ &= 9\end{aligned}

נקודת ההשקה (2,9)(2, 9)

y−9=6(x−2)⇒y=6x−3\begin{aligned}y - 9 &= 6(x - 2) \Rightarrow y \\ &= 6x - 3\end{aligned}

שיפוע 66 דרך נקודת ההשקה

המשיק y=6x−3y = 6x - 3. המלכודת: להעתיק את y=6x−5y = 6x - 5 מהנתון — ישר מקביל בעל אותו שיפוע, אבל הוא אינו עובר בנקודת ההשקה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

שרטוט לשאלה 4, סעיף ג
APQ-4-3-2-10123-4-2246810xy

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax+1f(x) = x^2 + ax + 1, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=2x = 2 מקביל לישר y=6x−5y = 6x - 5. נמצא כי a=2a = 2 והמשיק הוא y=6x−3y = 6x - 3. ג. המשיק חותך את ציר ה-xx בנקודה PP ואת ציר ה-yy בנקודה QQ. חשבו את שטח המשולש OPQOPQ (OO ראשית הצירים).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0.75

Corrigé :

y=0: 6x−3=0⇒P(0.5,0)\begin{aligned}y &= 0: \ 6x - 3 \\ &= 0 \Rightarrow P(0.5, 0)\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx

x=0: Q(0,−3)x = 0: \ Q(0, -3)

חיתוך עם ציר ה-yy

S=0.5⋅32=0.75\begin{aligned}S &= \frac{0.5 \cdot 3}{2} \\ &= 0.75\end{aligned}

משולש ישר זווית בראשית: חצי מכפלת הניצבים

השטח 0.750.75. המלכודת: להכניס את −3-3 עם הסימן ולקבל שטח שלילי — אורך צלע הוא תמיד חיובי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax+1f(x) = x^2 + ax + 1, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=2x = 2 מקביל לישר y=6x−5y = 6x - 5. נמצא כי a=2a = 2. ד. מצאו את הנקודה על גרף הפונקציה שבה המשיק מקביל לציר ה-xx.

( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ( -1 , 0 )

Corrigé :

f′(x)=2x+2=0⇒x=−1\begin{aligned}f'(x) &= 2x + 2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

מקביל לציר ה-xx — שיפוע אפס

f(−1)=1−2+1=0\begin{aligned}f(-1) &= 1 - 2 + 1 \\ &= 0\end{aligned}

שיעור ה-yy מהפונקציה

הנקודה (−1,0)(-1, 0) — זה קדקוד הפרבולה, והיא נוגעת שם בציר ה-xx כי f(x)=(x+1)2f(x) = (x+1)^2. המלכודת: לפתור f(x)=0f(x) = 0 במקום f′(x)=0f'(x) = 0; כאן זה יוצא במקרה אותו xx, אבל הדרך שגויה.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 5 — פונקציות: זוגיות, שיטת הקטעים והזזות

Exercice 20

נתונה הפונקציה g(x)=x4−5x2+4g(x) = x^4 - 5x^2 + 4. א. מצאו את נקודות האפס של הפונקציה. כתבו אותן מהקטנה לגדולה.

x=x = ____ , ____ , ____ , ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x = -2 , -1 , 1 , 2

Corrigé :

t=x2: t2−5t+4=0\begin{aligned}t &= x^2: \ t^2 - 5t + 4 \\ &= 0\end{aligned}

משוואה דו-ריבועית: מציבים משתנה עזר

t=1 או t=4\begin{aligned}t &= 1 \ \text{או} \ t \\ &= 4\end{aligned}

פירוק: (t−1)(t−4)(t-1)(t-4)

x2=1⇒x=±1x2=4⇒x=±2\begin{aligned}x^2 &= 1 \Rightarrow x \\ &= \pm 1 \\ \quad x^2 &= 4 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

חוזרים ל-xx

ארבע נקודות אפס: −2,−1,1,2-2, -1, 1, 2. המלכודת: לעצור ב-t=1,4t = 1, 4 ולכתוב שני פתרונות בלבד — כל ערך חיובי של tt נותן שני ערכים של xx.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

נתונה הפונקציה g(x)=x4−5x2+4g(x) = x^4 - 5x^2 + 4. ב. הוכיחו או הפריכו: gg היא פונקציה זוגית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

g(−x)=(−x)4−5(−x)2+4g(-x) = (-x)^4 - 5(-x)^2 + 4

מציבים −x-x

=x4−5x2+4=g(x)= x^4 - 5x^2 + 4 = g(x)

חזקה זוגית מבטלת את המינוס

נכון: g(−x)=g(x)g(-x) = g(x) לכל xx, והגרף סימטרי לציר ה-yy. המלכודת: להסתפק בבדיקה של מספר אחד, כמו g(−1)=g(1)g(-1) = g(1) — זוגיות צריך להוכיח לכל xx; רק הפרכה מסתפקת בדוגמה אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

נתונה הפונקציה g(x)=x4−5x2+4g(x) = x^4 - 5x^2 + 4. נקודות האפס שלה −2,−1,1,2-2, -1, 1, 2. ג. פתרו בשיטת הקטעים את אי-השוויון g(x)<0g(x) < 0.

  1. x<−2x < -2 או x>2x > 2
  2. −1<x<1-1 < x < 1
  3. −2<x<−1-2 < x < -1 או 1<x<21 < x < 2
  4. −2<x<2-2 < x < 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C −2<x<−1-2 < x < -1 או 1<x<21 < x < 2

Corrigé :

g(x)=(x+2)(x+1)(x−1)(x−2)g(x) = (x+2)(x+1)(x-1)(x-2)

פירוק לגורמים ליניאריים

x>2: g>0x > 2: \ g > 0

מקדם מוביל חיובי — הקטע הימני חיובי

+ ∣ − ∣ + ∣ − ∣ ++ \ | \ - \ | \ + \ | \ - \ | \ +

ארבעה שורשים פשוטים: הסימן מתחלף בכל אחד

התשובה הנכונה: −2<x<−1-2<x<-1 או 1<x<21<x<2. המלכודת: −2<x<2-2 < x < 2 — להתייחס רק לשורשים הקיצוניים כאילו זו פרבולה, ולשכוח שהסימן מתחלף גם ב-±1\pm 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 23

נתונה הפונקציה g(x)=x4−5x2+4g(x) = x^4 - 5x^2 + 4. נקודות האפס שלה −2,−1,1,2-2, -1, 1, 2. ד. התאימו לכל פונקציה את נקודות האפס שלה.

  • g(x−1)g(x-1)
  • g(x+1)g(x+1)
  • g(2x)g(2x)
  • g(x)−4g(x) - 4
  • −1, 0, 2, 3-1, \ 0, \ 2, \ 3
  • −3, −2, 0, 1-3, \ -2, \ 0, \ 1
  • ±12, ±1\pm \frac{1}{2}, \ \pm 1
  • 0, ±50, \ \pm \sqrt{5}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : g(x−1)g(x-1) — −1, 0, 2, 3-1, \ 0, \ 2, \ 3 · g(x+1)g(x+1) — −3, −2, 0, 1-3, \ -2, \ 0, \ 1 · g(2x)g(2x) — ±12, ±1\pm \frac{1}{2}, \ \pm 1 · g(x)−4g(x) - 4 — 0, ±50, \ \pm \sqrt{5}

Corrigé :

g(x−1)=0  ⟺  x−1∈{−2,−1,1,2}g(x-1) = 0 \iff x - 1 \in \{-2, -1, 1, 2\}

הזזה ימינה ב-11: מוסיפים 11 לכל שורש

g(2x)=0  ⟺  2x∈{−2,−1,1,2}g(2x) = 0 \iff 2x \in \{-2, -1, 1, 2\}

כיווץ אופקי: מחלקים כל שורש ב-22

g(x)−4=x4−5x2=x2(x2−5)\begin{aligned}g(x) - 4 &= x^4 - 5x^2 \\ &= x^2(x^2 - 5)\end{aligned}

הזזה למטה משנה את הצורה: פותרים מחדש

המלכודת: להזיז את g(x−1)g(x-1) שמאלה — מינוס בתוך הסוגריים מזיז ימינה. ו-g(x)−4g(x)-4 מזיזה למטה, ולכן נקודות האפס שלה אינן הזזה של הקודמות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

נתונה הפונקציה g(x)=x4−5x2+4g(x) = x^4 - 5x^2 + 4. ה. מצאו את ערך המינימום של הפונקציה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2.25

Corrigé :

g′(x)=4x3−10x=2x(2x2−5)\begin{aligned}g'(x) &= 4x^3 - 10x \\ &= 2x(2x^2 - 5)\end{aligned}

גוזרים ומוציאים גורם משותף

x=0x2=52\begin{aligned}x &= 0 \\ \quad x^2 &= \frac{5}{2}\end{aligned}

נקודות חשודות

g=(52)2−5⋅52+4=−94\begin{aligned}g &= \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 5 \cdot \frac{5}{2} + 4 \\ &= -\frac{9}{4}\end{aligned}

ב-x=±2.5x = \pm\sqrt{2.5} — שני מינימומים באותו גובה

ערך המינימום −2.25-2.25, והוא מתקבל פעמיים בגלל הזוגיות. המלכודת: לתת את g(0)=4g(0) = 4 — ב-x=0x = 0 יש מקסימום מקומי, לא מינימום.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe