מבחן לדוגמא — סוף שנה

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

מבחן לדוגמא — סוף שנה. 7 שאלות עם סעיפים, 29 סעיפים בסך הכול, 135 דקות. כל חומר השנה: מעגל במערכת צירים, המעגל ודמיון, טריגונומטריה במישור, חקירת פונקציה רציונלית ופונקציית שורש, ומשוואה טריגונומטרית.

שלושה הרגלים שחוסכים נקודות: בחקירה — תחום הגדרה קודם לכול; במשוואה עם שורש — מציבים כל פתרון במשוואה המקורית; ובמשפט הסינוסים — בודקים אם יש שני משולשים. עגלו רק בתוצאה הסופית.

Exercices

שאלה 1 — מעגל ומשיק במערכת צירים

Exercice 1

שרטוט לשאלה 1
MAP-4-2024681012-5-3-113579xy

נתון המעגל (x−2)2+(y−1)2=25(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25 שמרכזו MM, והנקודה A(5,5)A(5, 5) נמצאת עליו. א. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה AA.

y=y = ____ x+x + ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = -0.75 x+x + 8.75

Corrigé :

M(2,1)mMA=5−15−2=43\begin{aligned}M(2, 1) \\ \quad m_{MA} &= \frac{5-1}{5-2} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס לנקודת ההשקה

m1=−34m_1 = -\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

y−5=−34(x−5)⇒y=−0.75x+8.75\begin{aligned}y - 5 &= -\frac{3}{4}(x - 5) \Rightarrow y \\ &= -0.75x + 8.75\end{aligned}

המשיק y=−0.75x+8.75y = -0.75x + 8.75. המלכודת: להעביר את הישר בשיפוע הרדיוס, 43\frac{4}{3} — זה הישר MAMA עצמו, שחותך את המעגל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

שרטוט לשאלה 1
MAP-4-2024681012-5-3-113579xy

נתון המעגל (x−2)2+(y−1)2=25(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25 שמרכזו MM, והנקודה A(5,5)A(5, 5) נמצאת עליו. המשיק למעגל ב-AA הוא y=−0.75x+8.75y = -0.75x + 8.75. ב. המשיק חותך את ציר ה-xx בנקודה PP. מצאו את שיעור ה-xx של PP (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 11.67

Corrigé :

0=−0.75x+8.750 = -0.75x + 8.75

על ציר ה-xx: y=0y = 0

x=8.750.75=353≈11.67\begin{aligned}x &= \frac{8.75}{0.75} \\ &= \frac{35}{3} \approx 11.67\end{aligned}

P(353,0)P(\frac{35}{3}, 0), כלומר x≈11.67x \approx 11.67. המלכודת: להציב x=0x = 0 ולקבל את נקודת החיתוך עם ציר ה-yy, 8.758.75.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

שרטוט לשאלה 1
MAP-4-2024681012-5-3-113579xy

נתון המעגל (x−2)2+(y−1)2=25(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25 שמרכזו MM, והנקודה A(5,5)A(5, 5) נמצאת עליו. המשיק ב-AA חותך את ציר ה-xx בנקודה P(353,0)P\left(\frac{35}{3}, 0\right). ג. חשבו את אורך הקטע PAPA (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8.33

Corrigé :

PA2=(353−5)2+(0−5)2=4009+25=6259\begin{aligned}PA^2 &= \left(\frac{35}{3} - 5\right)^2 + (0 - 5)^2 \\ &= \frac{400}{9} + 25 \\ &= \frac{625}{9}\end{aligned}

נוסחת המרחק

PA=253≈8.33PA = \frac{25}{3} \approx 8.33
PM2−R2=8509−25=6259\begin{aligned}PM^2 - R^2 &= \frac{850}{9} - 25 \\ &= \frac{625}{9}\end{aligned}

בדיקה בפיתגורס: MA⊥PAMA \perp PA

PA=253≈8.33PA = \frac{25}{3} \approx 8.33. המלכודת: לחשב את PMPM במקום PAPA — המרחק למרכז ארוך יותר מהמשיק, ≈9.72\approx 9.72.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

שרטוט לשאלה 1
MAP-4-2024681012-5-3-113579xy

נתון המעגל (x−2)2+(y−1)2=25(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25 שמרכזו MM, והנקודה A(5,5)A(5, 5) נמצאת עליו. מהנקודה PP, שעל ציר ה-xx, יוצאים שני משיקים למעגל: PAPA, ומשיק שני PBPB. ד. הוכיחו או הפריכו: PB>PAPB > PA.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

PA=PBPA = PB

שני משיקים למעגל מאותה נקודה שווים זה לזה

△PMA≅△PMB\triangle PMA \cong \triangle PMB

הנימוק: יתר משותף, MA=MBMA = MB רדיוסים, וזווית ישרה ליד ההשקה

הטענה אינה נכונה: PB=PA=253PB = PA = \frac{25}{3}. המלכודת: לשפוט לפי מיקום BB בשרטוט — אורך המשיקים שווה תמיד, בלי קשר לצד שבו נמצאת נקודת ההשקה.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 2 — מרובע חסום וטריגונומטריה במישור

Exercice 5

שרטוט לשאלה 2
ABCD0

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. נתון AB=5AB = 5, BC=8BC = 8, ∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ ו-AD=DCAD = DC. א. חשבו את אורך האלכסון ACAC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

AC2=52+82−2⋅5⋅8cos⁡60∘AC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cos 60^\circ

משפט הקוסינוסים במשולש ABCABC

25+64−40=49⇒AC=7\begin{aligned}25 + 64 - 40 &= 49 \Rightarrow AC \\ &= 7\end{aligned}

cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}

AC=7AC = 7. המלכודת: לשכוח את האיבר −2abcos⁡γ-2ab\cos\gamma ולקבל 89\sqrt{89} — פיתגורס נכון רק כשהזווית ישרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

שרטוט לשאלה 2
ABCD0

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. נתון AB=5AB = 5, BC=8BC = 8, ∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ ו-AD=DCAD = DC. ב. מהו גודל הזווית ∠ADC\angle ADC?

  1. 90∘90^\circ
  2. 30∘30^\circ
  3. 120∘120^\circ
  4. 60∘60^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 120∘120^\circ

Corrigé :

∠ABC+∠ADC=180∘\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות 180∘180^\circ

∠ADC=180∘−60∘=120∘\begin{aligned}\angle ADC &= 180^\circ - 60^\circ \\ &= 120^\circ\end{aligned}

התשובה הנכונה: 120∘120^\circ. המלכודת: 60∘60^\circ — לחשוב שזוויות נגדיות במרובע חסום שוות, כמו במקבילית. הן משלימות ל-180∘180^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

שרטוט לשאלה 2
ABCD0

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. נתון AB=5AB = 5, BC=8BC = 8, ∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ ו-AD=DCAD = DC. נמצא AC=7AC = 7. ג. חשבו את רדיוס המעגל (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.04

Corrigé :

ACsin⁡∠ABC=2R\frac{AC}{\sin \angle ABC} = 2R

משפט הסינוסים במשולש ABCABC, שחסום באותו מעגל

R=72sin⁡60∘=73≈4.04\begin{aligned}R &= \frac{7}{2 \sin 60^\circ} \\ &= \frac{7}{\sqrt{3}} \approx 4.04\end{aligned}

R≈4.04R \approx 4.04. המלכודת: לשכוח את ה-22 ולקבל 8.088.08 — היחס בין צלע לסינוס הזווית שמולה הוא הקוטר, לא הרדיוס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

שרטוט לשאלה 2
ABCD0

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. נתון AB=5AB = 5, BC=8BC = 8, ∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ ו-AD=DCAD = DC. נמצא AC=7AC = 7 ו-∠ADC=120∘\angle ADC = 120^\circ. ד. חשבו את ADAD (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4.04

Corrigé :

72=AD2+AD2−2⋅AD2cos⁡120∘7^2 = AD^2 + AD^2 - 2 \cdot AD^2 \cos 120^\circ

משפט הקוסינוסים במשולש ADCADC, עם DC=ADDC = AD

49=2AD2+AD2=3AD2\begin{aligned}49 &= 2AD^2 + AD^2 \\ &= 3AD^2\end{aligned}

cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}

AD=73≈4.04AD = \frac{7}{\sqrt{3}} \approx 4.04

AD≈4.04AD \approx 4.04 — שווה לרדיוס. המלכודת: לקחת cos⁡120∘=12\cos 120^\circ = \frac{1}{2} ולקבל AD=7AD = 7; הקוסינוס של זווית קהה שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

שרטוט לשאלה 2
ABCD0

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. נתון AB=5AB = 5, BC=8BC = 8, ∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ ו-AD=DCAD = DC. נמצא ∠ADC=120∘\angle ADC = 120^\circ ו-AD2=493AD^2 = \frac{49}{3}. ה. חשבו את שטח המרובע ABCDABCD (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24.39

Corrigé :

SABC=12⋅5⋅8sin⁡60∘=103\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \sin 60^\circ \\ &= 10\sqrt{3}\end{aligned}

Aire (שטח) d'un triangle (משולש) : la moitié (חצי) du produit (מכפלת) de deux côtés (צלעות) par le sinus (סינוס) de l'angle compris (זווית שביניהן)

SADC=12⋅493sin⁡120∘=49312\begin{aligned}S_{ADC} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{49}{3} \sin 120^\circ \\ &= \frac{49\sqrt{3}}{12}\end{aligned}

sin⁡120∘=sin⁡60∘\sin 120^\circ = \sin 60^\circ

S=169312≈24.39S = \frac{169\sqrt{3}}{12} \approx 24.39

סכום שני המשולשים

השטח ≈24.39\approx 24.39. המלכודת: לחשוב ש-sin⁡120∘\sin 120^\circ שלילי ולחסר את השטח השני — הסינוס של זווית קהה חיובי, ושטח תמיד מתווסף.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 3 — מיתרים נחתכים ודמיון

Exercice 10

שרטוט לשאלה 3
ABCDE0

במעגל המיתרים ABAB ו-CDCD נחתכים בנקודה EE. א. הוכיחו כי △AEC∼△DEB\triangle AEC \sim \triangle DEB.

  • ABAB ו-CDCD מיתרים
  • ABAB ו-CDCD נחתכים ב-EE

△AEC∼△DEB\triangle AEC \sim \triangle DEB

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠AEC=∠DEB\angle AEC = \angle DEB — זוויות קודקודיות
  2. ∠CAB=∠CDB\angle CAB = \angle CDB — Des angles inscrits qui interceptent le même arc (קשת) sont égaux
  3. △AEC∼△DEB\triangle AEC \sim \triangle DEB — Théorème de similitude A-A

Corrigé :

∠AEC=∠DEB\angle AEC = \angle DEB

זוויות קודקודיות

∠CAB=∠CDB\angle CAB = \angle CDB

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות

△AEC∼△DEB\triangle AEC \sim \triangle DEB

משפט דמיון ז.ז

הדמיון לפי ז.ז בהתאמה A→DA \to D, E→EE \to E, C→BC \to B. המלכודת: להתאים AA ל-BB כי שתיהן על אותו מיתר — הזוויות השוות הן שליד AA וליד DD, שתיהן נשענות על הקשת CBCB.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

שרטוט לשאלה 3
ABCDE0

במעגל המיתרים ABAB ו-CDCD נחתכים בנקודה EE. הוכח כי △AEC∼△DEB\triangle AEC \sim \triangle DEB. ב. נתון AE=4AE = 4, EB=6EB = 6 ו-CE=3CE = 3. חשבו את EDED.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

AEDE=CEBE\frac{AE}{DE} = \frac{CE}{BE}

יחס צלעות מתאימות: AE↔DEAE \leftrightarrow DE, CE↔BECE \leftrightarrow BE

4DE=36⇒DE=8\begin{aligned}\frac{4}{DE} &= \frac{3}{6} \Rightarrow DE \\ &= 8\end{aligned}

כופלים בהצלבה: AE⋅EB=CE⋅EDAE \cdot EB = CE \cdot ED

ED=8ED = 8. המלכודת: לכתוב AEEB=CEED\frac{AE}{EB} = \frac{CE}{ED} ולקבל ED=4.5ED = 4.5 — זה יחס בין קטעים של אותו מיתר, והם אינם צלעות מתאימות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

שרטוט לשאלה 3
ABCDE0

במעגל המיתרים ABAB ו-CDCD נחתכים בנקודה EE. נתון AE=4AE = 4, EB=6EB = 6, CE=3CE = 3, ונמצא ED=8ED = 8. ג. מהו היחס בין שטח △AEC\triangle AEC לשטח △DEB\triangle DEB?

  1. 23\frac{2}{3}
  2. 12\frac{1}{2}
  3. 916\frac{9}{16}
  4. 14\frac{1}{4}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 14\frac{1}{4}

Corrigé :

k=AEDE=48=12\begin{aligned}k &= \frac{AE}{DE} \\ &= \frac{4}{8} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

יחס הדמיון

SAECSDEB=k2=14\begin{aligned}\frac{S_{AEC}}{S_{DEB}} &= k^2 \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

התשובה הנכונה: 14\frac{1}{4}. המלכודות: 12\frac{1}{2} — יחס הדמיון בלי ריבוע; 916\frac{9}{16} — ריבוע של 34\frac{3}{4}, יחס בין צלעות שאינן מתאימות; 23\frac{2}{3} — היחס AEEB\frac{AE}{EB} על אותו מיתר.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 4 — חקירת פונקציה רציונלית

Exercice 13

נתונה הפונקציה f(x)=x2x2−4f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 4}. א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

  1. כל xx פרט ל-x=±2x = \pm 2
  2. כל xx פרט ל-x=0x = 0
  3. x>2x > 2 או x<−2x < -2
  4. כל xx פרט ל-x=2x = 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A כל xx פרט ל-x=±2x = \pm 2

Corrigé :

x2−4=0⇒x=±2\begin{aligned}x^2 - 4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

המכנה לא יכול להתאפס

התשובה הנכונה: כל xx פרט ל-±2\pm 2. המלכודות: לשכוח את −2-2; או x>2x > 2 או x<−2x < -2 — זה תחום של פונקציית שורש, ובפונקציה רציונלית רק המכנה פוסל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

נתונה הפונקציה f(x)=x2x2−4f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 4}. ב. מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים.

אנכיות: x=±x = \pm ____ אופקית: y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אנכיות: x=±x = \pm 2 אופקית: y=y = 1

Corrigé :

x=±2x = \pm 2

המכנה מתאפס והמונה לא — אסימפטוטות אנכיות

x→∞: x2x2−4→1x \to \infty: \ \frac{x^2}{x^2 - 4} \to 1

ל-xx גדול מאוד ה-44 זניח לעומת x2x^2

אנכיות x=±2x = \pm 2, אופקית y=1y = 1. המלכודת: לכתוב y=0y = 0 כאסימפטוטה אופקית «כי יש שבר» — כשמעלת המונה שווה למעלת המכנה, הגרף מתקרב ליחס המקדמים המובילים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

נתונה הפונקציה f(x)=x2x2−4f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 4}. ג. מהי נקודת הקיצון של הפונקציה, ומה סוגה?

  1. (0,0)(0, 0) — מקסימום
  2. אין לפונקציה נקודות קיצון
  3. (0,0)(0, 0) — מינימום
  4. (2,1)(2, 1) — מינימום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A (0,0)(0, 0) — מקסימום

Corrigé :

f′(x)=2x(x2−4)−x2⋅2x(x2−4)2=−8x(x2−4)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x^2-4) - x^2 \cdot 2x}{(x^2-4)^2} \\ &= \frac{-8x}{(x^2-4)^2}\end{aligned}

Dérivée d’un quotient (נגזרת של מנה)

f′(x)=0⇒x=0\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

המכנה חיובי תמיד בתחום

−1<x<0:f′>0,0<x<1:f′<0-1<x<0: f'>0, \quad 0<x<1: f'<0

עלייה ואז ירידה

התשובה הנכונה: (0,0)(0, 0) — מקסימום. המלכודות: «מינימום» — כי 00 נראה ערך נמוך, בלי טבלת סימנים; ו-(2,1)(2, 1) — הנקודה הזאת אינה בתחום בכלל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

נתונה הפונקציה f(x)=x2x2−4f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 4}. הנגזרת היא f′(x)=−8x(x2−4)2f'(x) = \dfrac{-8x}{(x^2-4)^2}. ד. מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?

  1. עולה ב-x<0x < 0; יורדת ב-x>0x > 0
  2. עולה ב-x<−2x < -2 וב-−2<x<0-2 < x < 0; יורדת ב-0<x<20 < x < 2 וב-x>2x > 2
  3. יורדת ב-x<−2x < -2 וב-−2<x<0-2 < x < 0; עולה ב-0<x<20 < x < 2 וב-x>2x > 2
  4. עולה ב-−2<x<2-2 < x < 2; יורדת ב-x<−2x < -2 וב-x>2x > 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B עולה ב-x<−2x < -2 וב-−2<x<0-2 < x < 0; יורדת ב-0<x<20 < x < 2 וב-x>2x > 2

Corrigé :

x<0: −8x>0⇒f′>0x < 0: \ -8x > 0 \Rightarrow f' > 0

סימן הנגזרת נקבע רק לפי המונה

x=±2∉Dx = \pm 2 \notin D

מחוץ לתחום. בטבלת הסימנים מסמנים גם את הנקודות שאינן בתחום

התשובה הנכונה: עולה ב-x<−2x<-2 וב-−2<x<0-2<x<0, יורדת ב-0<x<20<x<2 וב-x>2x>2. המלכודת: «עולה ב-x<0x<0» — לאחד את שני הקטעים מעל האסימפטוטה; הפונקציה אינה מוגדרת ב-x=−2x=-2, ולכן אי אפשר לכתוב קטע אחד שעובר דרכה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

נתונה הפונקציה f(x)=x2x2−4f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 4}. ה. הוכיחו או הפריכו: למשוואה f(x)=12f(x) = \frac{1}{2} אין פתרון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x2x2−4=12⇒2x2=x2−4\begin{aligned}\frac{x^2}{x^2-4} &= \frac{1}{2} \Rightarrow 2x^2 \\ &= x^2 - 4\end{aligned}

כופלים במכנים

x2=−4x^2 = -4

Pas de solution (אין פתרון) en nombre réel (ממשי)

−2<x<2: f(x)≤0,∣x∣>2: f(x)>1-2<x<2: \ f(x) \le 0, \quad |x|>2: \ f(x) > 1

ובגרף: הערך 12\frac{1}{2} לא מתקבל

נכון. המלכודת: לחשוב שכל ערך בין המקסימום 00 לאסימפטוטה 11 מתקבל — הגרף קופץ מעל האסימפטוטות ולא עובר דרך הרצועה 0<y≤10 < y \le 1.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 5 — פונקציית שורש

Exercice 18

נתונה הפונקציה f(x)=x6−xf(x) = x\sqrt{6 - x}. א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

  1. x<6x < 6
  2. x≤6x \le 6
  3. x≥6x \ge 6
  4. 0≤x≤60 \le x \le 6
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x≤6x \le 6

Corrigé :

6−x≥0⇒x≤66 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 6

מתחת לשורש — אי-שלילי

התשובה הנכונה: x≤6x \le 6. המלכודות: x<6x < 6 — השורש של אפס מוגדר; 0≤x≤60 \le x \le 6 — ה-xx שמחוץ לשורש יכול להיות שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

נתונה הפונקציה f(x)=x6−xf(x) = x\sqrt{6 - x}. ב. מהי הנגזרת של הפונקציה, בתחום x<6x < 6?

  1. f′(x)=12−3x26−xf'(x) = \dfrac{12 - 3x}{2\sqrt{6 - x}}
  2. f′(x)=126−xf'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{6 - x}}
  3. f′(x)=−x26−xf'(x) = \dfrac{-x}{2\sqrt{6 - x}}
  4. f′(x)=12+x26−xf'(x) = \dfrac{12 + x}{2\sqrt{6 - x}}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A f′(x)=12−3x26−xf'(x) = \dfrac{12 - 3x}{2\sqrt{6 - x}}

Corrigé :

f′(x)=1⋅6−x+x⋅−126−xf'(x) = 1 \cdot \sqrt{6-x} + x \cdot \frac{-1}{2\sqrt{6-x}}

כלל המכפלה, ונגזרת פנימית −1-1

=2(6−x)−x26−x=12−3x26−x= \frac{2(6-x) - x}{2\sqrt{6-x}} = \frac{12 - 3x}{2\sqrt{6-x}}

מכנה משותף

התשובה הנכונה: 12−3x26−x\dfrac{12-3x}{2\sqrt{6-x}}. המלכודת: 12+x26−x\dfrac{12+x}{2\sqrt{6-x}} — פותחים את 2(6−x)2(6 - x) כ-12+2x12 + 2x. ומי ששוכח את הנגזרת הפנימית −1-1 של 6−x6 - x מקבל 12−x26−x\dfrac{12-x}{2\sqrt{6-x}}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

נתונה הפונקציה f(x)=x6−xf(x) = x\sqrt{6 - x}. הנגזרת היא f′(x)=12−3x26−xf'(x) = \dfrac{12 - 3x}{2\sqrt{6 - x}}. ג. מצאו את נקודת המקסימום של הפונקציה (את שיעור ה-yy עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

( ____ , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ( 4 , 5.66 )

Corrigé :

12−3x=0⇒x=4\begin{aligned}12 - 3x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

המונה מתאפס

x<4:f′>0,4<x<6:f′<0x<4: f'>0, \quad 4<x<6: f'<0

עלייה ואז ירידה

f(4)=42≈5.66f(4) = 4\sqrt{2} \approx 5.66

המקסימום (4,42)(4, 4\sqrt{2}). המלכודת: לכתוב f(4)=4⋅2=8f(4) = 4 \cdot 2 = 8 — מתחת לשורש יש 6−4=26 - 4 = 2, ו-2≠2\sqrt{2} \neq 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 21

נתונה הפונקציה f(x)=x6−xf(x) = x\sqrt{6 - x}. הנגזרת היא f′(x)=12−3x26−xf'(x) = \dfrac{12 - 3x}{2\sqrt{6 - x}}. ד. מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה x=5x = 5.

y=y = ____ x+x + ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : y=y = -1.5 x+x + 12.5

Corrigé :

f(5)=51=5\begin{aligned}f(5) &= 5\sqrt{1} \\ &= 5\end{aligned}

נקודת ההשקה (5,5)(5, 5)

f′(5)=12−152⋅1=−1.5\begin{aligned}f'(5) &= \frac{12 - 15}{2 \cdot 1} \\ &= -1.5\end{aligned}

שיפוע המשיק

y−5=−1.5(x−5)⇒y=−1.5x+12.5\begin{aligned}y - 5 &= -1.5(x - 5) \Rightarrow y \\ &= -1.5x + 12.5\end{aligned}

המשיק y=−1.5x+12.5y = -1.5x + 12.5. המלכודת: לשכוח את ה-22 שבמכנה של נגזרת השורש ולקבל שיפוע −3-3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 22

נתונה הפונקציה f(x)=x6−xf(x) = x\sqrt{6 - x}. ה. פתרו את המשוואה 6−x=x\sqrt{6 - x} = x.

  1. x=2x = 2 או x=−3x = -3
  2. x=2x = 2
  3. x=−3x = -3
  4. אין פתרון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x=2x = 2

Corrigé :

6−x=x2⇒x2+x−6=0\begin{aligned}6 - x &= x^2 \Rightarrow x^2 + x - 6 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים את שני האגפים בריבוע

(x+3)(x−2)=0⇒x=2 או x=−3\begin{aligned}(x+3)(x-2) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2 \ \text{או} \ x \\ &= -3\end{aligned}

פתרונות חשודים

x=−3: 9=3≠−3\begin{aligned}x &= -3: \ \sqrt{9} \\ &= 3 \neq -3\end{aligned}

בדיקה: שורש אינו שלילי — הפתרון נפסל

התשובה הנכונה: x=2x = 2 בלבד. המלכודת: x=2x = 2 או x=−3x = -3 — העלאה בריבוע מוסיפה פתרונות, ולכן חובה להציב כל פתרון במשוואה המקורית.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 6 — משפט הסינוסים והמקרה הדו-משמעי

Exercice 23

ABC1C2

במשולש ABCABC נתון ∠B=40∘\angle B = 40^\circ, AB=7AB = 7 ו-AC=5AC = 5. בשרטוט שני המקומות האפשריים של הקודקוד CC על הקרן היוצאת מ-BB: C1C_1 ו-C2C_2. א. כמה משולשים שונים מקיימים את הנתונים?

  1. משולש אחד
  2. אין משולש כזה
  3. אינסוף משולשים
  4. שני משולשים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D שני משולשים

Corrigé :

sin⁡C=7sin⁡40∘5≈0.9\sin C = \frac{7 \sin 40^\circ}{5} \approx 0.9

Loi des sinus (משפט הסינוסים)

C≈64.1∘ או C≈115.9∘C \approx 64.1^\circ \ \text{או} \ C \approx 115.9^\circ

לסינוס חיובי יש זווית חדה וזווית קהה

40∘+115.9∘<180∘40^\circ + 115.9^\circ < 180^\circ

גם הזווית הקהה משאירה מקום לזווית AA

התשובה הנכונה: שני משולשים. הזווית הנתונה מול הצלע הקצרה מבין השתיים (5<75 < 7) — זה בדיוק המקרה שבו משפט החפיפה הרביעי לא חל. המלכודת: לקחת רק את הזווית שהמחשבון נותן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 24

ABC1C2

במשולש ABCABC נתון ∠B=40∘\angle B = 40^\circ, AB=7AB = 7 ו-AC=5AC = 5. בשרטוט שני המקומות האפשריים של הקודקוד CC על הקרן היוצאת מ-BB: C1C_1 ו-C2C_2. ב. חשבו את הזווית CC במשולש שבו היא חדה (במעלות, עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 64.1

Corrigé :

ACsin⁡B=ABsin⁡C\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}

משפט הסינוסים: כל צלע מול הזווית שלה

sin⁡C=7⋅sin⁡40∘5≈0.8999\sin C = \frac{7 \cdot \sin 40^\circ}{5} \approx 0.8999
C≈64.1∘C \approx 64.1^\circ

C≈64.1∘C \approx 64.1^\circ. המלכודת: להתאים את ACAC לזווית CC — ACAC מונחת מול BB, ו-ABAB מול CC.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 25

ABC1C2

במשולש ABCABC נתון ∠B=40∘\angle B = 40^\circ, AB=7AB = 7 ו-AC=5AC = 5. בשרטוט שני המקומות האפשריים של הקודקוד CC על הקרן היוצאת מ-BB: C1C_1 ו-C2C_2. במשולש שבו הזווית CC קהה, C≈115.9∘C \approx 115.9^\circ. ג. חשבו במשולש הזה את הצלע BCBC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.18

Corrigé :

A=180∘−40∘−115.86∘≈24.14∘A = 180^\circ - 40^\circ - 115.86^\circ \approx 24.14^\circ

Somme (סכום) des angles (זוויות) dans un triangle (משולש)

BC=AC⋅sin⁡Asin⁡B=5sin⁡24.14∘sin⁡40∘≈3.18\begin{aligned}BC &= \frac{AC \cdot \sin A}{\sin B} \\ &= \frac{5 \sin 24.14^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 3.18\end{aligned}

Loi des sinus (משפט הסינוסים)

BC≈3.18BC \approx 3.18 — הצלע BC1BC_1 בשרטוט. המלכודת: לחשב עם A≈75.9∘A \approx 75.9^\circ של המשולש השני ולקבל 7.547.54. עגלו רק בסוף: עיגול מוקדם של הזווית מזיז את התוצאה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 26

ABC1C2

במשולש ABCABC נתון ∠B=40∘\angle B = 40^\circ, AB=7AB = 7 ו-AC=5AC = 5. בשרטוט שני המקומות האפשריים של הקודקוד CC על הקרן היוצאת מ-BB: C1C_1 ו-C2C_2. במשולש שבו הזווית CC קהה, BC≈3.18BC \approx 3.18. ד. חשבו את שטח המשולש הזה (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7.16

Corrigé :

S=12⋅AB⋅BC⋅sin⁡BS = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B

שתי צלעות והזווית שביניהן

=12⋅7⋅3.18⋅sin⁡40∘≈7.15= \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 3.18 \cdot \sin 40^\circ \approx 7.15

עם BCBC לא מעוגל, 3.18193.1819, יוצא 7.167.16 — שתי התשובות מתקבלות

השטח ≈7.16\approx 7.16. המלכודת: לקחת את sin⁡C\sin C עם ABAB ו-BCBC — הזווית בנוסחה חייבת להיות הזווית שבין שתי הצלעות, כאן BB.

Vérifier la réponse sur elev

שאלה 7 — משוואה טריגונומטרית

Exercice 27

נתונה הפונקציה f(x)=4sin⁡(x+30∘)−2f(x) = 4\sin(x + 30^\circ) - 2 בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ. א. פתרו את המשוואה f(x)=0f(x) = 0 בתחום הנתון. כתבו את הפתרונות מהקטן לגדול.

x=x = ____° , ____° , ____°

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x = 0° , 120° , 360°

Corrigé :

sin⁡(x+30∘)=12\sin(x + 30^\circ) = \frac{1}{2}

מבודדים את הסינוס

x+30∘=30∘+360∘k או x+30∘=150∘+360∘k\begin{aligned}x + 30^\circ &= 30^\circ + 360^\circ k \ \text{או} \ x + 30^\circ \\ &= 150^\circ + 360^\circ k\end{aligned}

פתרון כללי

x=360∘k או x=120∘+360∘k\begin{aligned}x &= 360^\circ k \ \text{או} \ x \\ &= 120^\circ + 360^\circ k\end{aligned}
x=0∘ 120∘ 360∘\begin{aligned}x &= 0^\circ \\ \ 120^\circ \\ \ 360^\circ\end{aligned}

שני הקצוות של התחום כלולים

שלושה פתרונות: 0∘,120∘,360∘0^\circ, 120^\circ, 360^\circ. המלכודת: לשכוח את 360∘360^\circ — התחום סגור, ו-k=1k = 1 נותן עוד פתרון על הקצה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 28

נתונה הפונקציה f(x)=4sin⁡(x+30∘)−2f(x) = 4\sin(x + 30^\circ) - 2 בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ. ב. מצאו את נקודת המקסימום ואת נקודת המינימום של הפונקציה בתחום.

מקסימום: ( ____° , ____ ) מינימום: ( ____° , ____ )

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מקסימום: ( 60° , 2 ) מינימום: ( 240° , -6 )

Corrigé :

x+30∘=90∘⇒x=60∘ f=4−2=2\begin{aligned}x + 30^\circ &= 90^\circ \Rightarrow x \\ &= 60^\circ \\ \ f &= 4 - 2 \\ &= 2\end{aligned}

הסינוס מגיע ל-11

x+30∘=270∘⇒x=240∘ f=−4−2=−6\begin{aligned}x + 30^\circ &= 270^\circ \Rightarrow x \\ &= 240^\circ \\ \ f &= -4 - 2 \\ &= -6\end{aligned}

הסינוס מגיע ל-−1-1

מקסימום (60∘,2)(60^\circ, 2), מינימום (240∘,−6)(240^\circ, -6). המלכודת: להזיז בכיוון הלא נכון ולקבל x=120∘x = 120^\circ — כאן x+30∘=90∘x + 30^\circ = 90^\circ, ולכן מחסרים 30∘30^\circ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 29

נתונה הפונקציה f(x)=4sin⁡(x+30∘)−2f(x) = 4\sin(x + 30^\circ) - 2 בתחום 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ. ג. הוכיחו או הפריכו: למשוואה f(x)=−7f(x) = -7 יש פתרון בתחום.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

−1≤sin⁡(x+30∘)≤1-1 \le \sin(x + 30^\circ) \le 1
−6≤f(x)≤2-6 \le f(x) \le 2

הערך הקטן ביותר של הפונקציה −6-6

sin⁡(x+30∘)=−54<−1\sin(x + 30^\circ) = -\frac{5}{4} < -1

אין זווית כזאת

הטענה אינה נכונה: אין פתרון. המלכודת: לפתור «על אוטומט» ולחפש זווית שהסינוס שלה −1.25-1.25 — לפני כל משוואה בודקים שהערך בין −1-1 ל-11.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe