Cordes, arcs et angles au centre

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

במעגל אחד יש שלושה גדלים שתמיד הולכים יחד: הזווית המרכזית, הקשת שמולה, והמיתר שמחבר את קצות הקשת. אם אחד מהם שווה, גם השניים האחרים שווים.

OABCD010096
המיתרים AB ו-CD שווים. המשולשים OAB ו-OCD חופפים לפי צ.צ.צ — שתי צלעות הן רדיוסים — ולכן גם הזוויות המרכזיות AOB ו-COD שוות.

נתון ∠AOB=∠COD\angle AOB = \angle COD. למה נובע ש-AB=CDAB = CD?

Voir la réponse et le corrigé

המשולשים OABOAB ו-OCDOCD חופפים לפי צ.ז.צ: OA=OCOA = OC ו-OB=ODOB = OD (רדיוסים), והזוויות שביניהן שוות. צלעות מתאימות: AB=CDAB = CD.

שלושה שוויונות שהולכים יחד

∠AOB=∠COD\angle AOB = \angle COD

זוויות מרכזיות שוות

AB⌢=CD⌢\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}

⇔ קשתות שוות

AB=CDAB = CD

⇔ מיתרים שווים

שלושת השוויונות נכונים באותו מעגל (או במעגלים שווים). במעגל גדול יותר, אותה זווית מרכזית נותנת מיתר ארוך יותר.

האנך מהמרכז למיתר

OM⊥AB⇒AM=MBOM \perp AB \Rightarrow AM = MB

האנך מהמרכז למיתר חוצה אותו.

AM=MB⇒OM⊥ABAM = MB \Rightarrow OM \perp AB

הקטע מהמרכז לאמצע מיתר מאונך לו — כשהמיתר אינו קוטר.

⇒O\Rightarrow O

האנך האמצעי של מיתר עובר דרך מרכז המעגל. כך מוצאים מרכז של מעגל נתון: שני אנכים אמצעיים של שני מיתרים נפגשים במרכז.

נתון AM=MBAM = MB במיתר ABAB. מה אפשר להסיק על OMOM? ולמה צריך לדרוש ש-ABAB אינו קוטר?

Voir la réponse et le corrigé

ש-OM⊥ABOM \perp AB — המשפט עובד בשני הכיוונים. אם ABAB קוטר, אמצעו הוא OO עצמה, ואין קטע OMOM שאפשר לדבר על הזווית שלו.

פיתגורס בתוך המעגל

האנך מהמרכז יוצר משולש ישר זווית OMAOMA: היתר הוא הרדיוס, ניצב אחד הוא המרחק dd של המיתר מהמרכז, והניצב השני הוא חצי המיתר.

R2=d2+(AB2)2R^2 = d^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2

מיתר מתוך רדיוס ומרחק

רדיוס המעגל 13, והמרחק מהמרכז אל המיתר הוא 5. מהו אורך המיתר?

AM=MBAM = MB

האנך חוצה

132=52+AM213^2 = 5^2 + AM^2

פיתגורס במשולש OMAOMA

AM=12AM = 12

חצי המיתר

AB=24AB = 24

והמיתר כולו

המלכודת: לא לעצור ב-12. פיתגורס נותן את החצי, והשאלה מבקשת את השלם. זו שגיאה שעולה נקודות אף שכל החישוב נכון.

מיתר ארוך יותר — קרוב יותר למרכז

בנוסחה RR קבוע. לכן כש-dd גדל, חצי המיתר קטן. מיתרים שווים נמצאים במרחק שווה מהמרכז, ומיתר ארוך יותר נמצא קרוב יותר למרכז.

במעגל שרדיוסו 1010 יש מיתר של 1616 ומיתר של 1212. איזה מהם קרוב יותר למרכז, ובכמה?

Voir la réponse et le corrigé

המיתר של 1616: d=100−64=6d = \sqrt{100 - 64} = 6. המיתר של 1212: d=100−36=8d = \sqrt{100 - 36} = 8. הארוך קרוב יותר, בהפרש של 22.

שתי הטעויות של מיתרים.

AB=12AB = 12
AB=24AB = 24

פיתגורס נתן את חצי המיתר. תמיד לשאול מה בדיוק חושב.

AB>CD⇒d1>d2AB > CD \Rightarrow d_1 > d_2
AB>CD⇒d1<d2AB > CD \Rightarrow d_1 < d_2

המיתר הארוך הוא הקרוב יותר למרכז. הקוטר, הארוך מכולם, נמצא במרחק 00.

Exercices

Exercice 1

OABM13509843.6

רדיוס המעגל 1313, והמרחק מהמרכז אל המיתר ABAB הוא 55. מהו אורך המיתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24

Corrigé :

AM=MBAM = MB

האנך מהמרכז חוצה את המיתר

132=52+AM213^2 = 5^2 + AM^2

פיתגורס במשולש OMAOMA

AM=12AM = 12

חצי המיתר

AB=2⋅12=24\begin{aligned}AB &= 2 \cdot 12 \\ &= 24\end{aligned}

המיתר כולו

המלכודת: לעצור ב-1212. האנך נותן את החצי, והשאלה מבקשת את השלם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

OABM10AB = 16010096

רדיוס המעגל 1010, ואורך המיתר ABAB הוא 1616. מהו המרחק מהמרכז אל המיתר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

AM=8AM = 8

האנך חוצה את המיתר: 16:216 : 2

102=82+d210^2 = 8^2 + d^2

פיתגורס במשולש OMAOMA

d2=36⇒d=6\begin{aligned}d^2 &= 36 \Rightarrow d \\ &= 6\end{aligned}

המלכודת: להציב 1616 בפיתגורס. קודם מחלקים את המיתר לשניים, ורק אז פיתגורס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

3x−202x+10OABCD010096

במעגל שמרכזו OO נתון AB=CDAB = CD. הזווית המרכזית ∠AOB\angle AOB שווה (3x−20)∘(3x - 20)^\circ, והזווית המרכזית ∠COD\angle COD שווה (2x+10)∘(2x + 10)^\circ. מצאו את xx.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 30

Corrigé :

AB=CD⇒∠AOB=∠COD\begin{aligned}AB &= CD \Rightarrow \angle AOB \\ &= \angle COD\end{aligned}

מיתרים שווים ⇐ זוויות מרכזיות שוות

3x−20=2x+103x - 20 = 2x + 10

משוואה

x=30x = 30

ושתי הזוויות 70∘70^\circ

המלכודת: לחבר את הזוויות ל-180∘180^\circ. הן אינן צמודות — הן שוות, כי המיתרים שווים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

OABMCDN010096

הוכיחו או הפריכו: שני מיתרים באותו מעגל, שמרחקם מהמרכז שווה, שווים באורכם.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

R2=d2+(AB2)2R^2 = d^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2

למיתר הראשון

R2=d2+(CD2)2R^2 = d^2 + \left(\frac{CD}{2}\right)^2

למיתר השני — אותו RR ואותו dd

AB2=CD2⇒AB=CD\begin{aligned}\frac{AB}{2} &= \frac{CD}{2} \Rightarrow AB \\ &= CD\end{aligned}

נכון. אפשר גם בחפיפה: △OMA≅△ONC\triangle OMA \cong \triangle ONC לפי יתר וניצב. המלכודת: לחשוב שהמיתרים חייבים להיות מקבילים — הם יכולים לשבת בכל כיוון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

OABCD010096

שני מיתרים באותו מעגל שווים באורכם. מה בהכרח נכון?

  1. אחד מהם קוטר
  2. הם מקבילים
  3. הם נחתכים במרכז המעגל
  4. הם נמצאים במרחק שווה מהמרכז
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D הם נמצאים במרחק שווה מהמרכז

Corrigé :

R2=d2+(AB2)2R^2 = d^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2

אותו רדיוס ואותו חצי מיתר

AB=CD⇒d1=d2\begin{aligned}AB &= CD \Rightarrow d_1 \\ &= d_2\end{aligned}

התשובה: «הם נמצאים במרחק שווה מהמרכז». המלכודת: «הם מקבילים» — שני מיתרים שווים יכולים להיות בכל כיוון, כמו בשרטוט.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

OABM17AB = 30010297.92

במעגל שרדיוסו 1717 נתון מיתר באורך 3030. מהו המרחק של המיתר מהמרכז?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

AM=15AM = 15

חצי המיתר

172=152+d217^2 = 15^2 + d^2

פיתגורס

d2=64⇒d=8\begin{aligned}d^2 &= 64 \Rightarrow d \\ &= 8\end{aligned}

השלשה 8,15,178, 15, 17 שווה לזכור. המלכודת: 172−30217^2 - 30^2 שלילי — סימן שלא חילקו את המיתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

OABCDMN1612010096

במעגל שרדיוסו 1010 נתונים שני מיתרים מקבילים: AB=16AB = 16 ו-CD=12CD = 12. המרכז נמצא ביניהם. מהו המרחק בין שני המיתרים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 14

Corrigé :

d1=102−82=6\begin{aligned}d_1 &= \sqrt{10^2 - 8^2} \\ &= 6\end{aligned}

המרחק של ABAB מהמרכז

d2=102−62=8\begin{aligned}d_2 &= \sqrt{10^2 - 6^2} \\ &= 8\end{aligned}

המרחק של CDCD מהמרכז

d1+d2=14d_1 + d_2 = 14

המרכז ביניהם: מחברים

המלכודת: לחסר (8−6=28 - 6 = 2). חיסור מתאים רק כששני המיתרים באותו צד של המרכז.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

OABM15AB = 2409843.6

במעגל שרדיוסו 1515 חישבו את המרחק של מיתר באורך 2424 מהמרכז. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

AM=242=12\begin{aligned}AM &= \frac{24}{2} \\ &= 12\end{aligned}
d2=152+122d^2 = 15^2 + 12^2
d2=81d^2 = 81
d=9d = 9
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : d2=152+122d^2 = 15^2 + 12^2 → d2=152−122d^2 = 15^2 - 12^2

Corrigé :

152=d2+12215^2 = d^2 + 12^2

הרדיוס הוא היתר

d2=225−144=81\begin{aligned}d^2 &= 225 - 144 \\ &= 81\end{aligned}

מחסרים מהיתר

הרדיוס הוא היתר, ולכן מחסרים. המלכודת: לחבר את שני הריבועים מתוך הרגל, כאילו dd הוא היתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

OABM010096

נתון מעגל שמרכזו OO ומיתר ABAB. הנקודה MM היא אמצע המיתר. הוכיחו: OM⊥ABOM \perp AB.

  • OAOA ו-OBOB רדיוסים
  • AM=MBAM = MB (MM אמצע המיתר)

OM⊥ABOM \perp AB

Voir la réponse et le corrigé
  1. OA=OBOA = OB — שני רדיוסים באותו מעגל
  2. AM=MBAM = MB — נתון — MM אמצע המיתר
  3. OM=OMOM = OM — צלע משותפת
  4. △OMA≅△OMB\triangle OMA \cong \triangle OMB — צ.צ.צ — שלוש צלעות שוות בהתאמה
  5. ∠OMA=∠OMB\angle OMA = \angle OMB — זוויות מתאימות במשולשים חופפים
  6. ∠OMA+∠OMB=180°\angle OMA + \angle OMB = 180° — שתי הזוויות משלימות על הישר ABAB
  7. ∠OMA=90°\angle OMA = 90° — שתי זוויות שוות שסכומן 180°180°
  8. OM⊥ABOM \perp AB — זווית של 90°90° היא בדיוק מאונכות

Corrigé :

OA=OBOA = OB

שני רדיוסים באותו מעגל

AM=MBAM = MB

נתון — MM אמצע המיתר

OM=OMOM = OM

צלע משותפת

△OMA≅△OMB\triangle OMA \cong \triangle OMB

צ.צ.צ — שלוש צלעות שוות בהתאמה

∠OMA=∠OMB\angle OMA = \angle OMB

זוויות מתאימות במשולשים חופפים

∠OMA+∠OMB=180°\angle OMA + \angle OMB = 180°

שתי הזוויות משלימות על הישר ABAB

∠OMA=90°\angle OMA = 90°

שתי זוויות שוות שסכומן 180°180°

OM⊥ABOM \perp AB

זווית של 90°90° היא בדיוק מאונכות

זה הכיוון ההפוך: מאמצע המיתר אל האנך. המלכודת: לפתוח ב«∠OMA=90∘\angle OMA = 90^\circ» — זו המטרה, לא נתון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

OABM010096

נתון מעגל שמרכזו OO ומיתר ABAB. הישר OMOM מאונך ל-ABAB, כאשר MM על המיתר. הוכיחו: AM=MBAM = MB — כלומר האנך חוצה את המיתר.

  • OAOA ו-OBOB רדיוסים
  • OM⊥ABOM \perp AB
  • MM נמצאת על ABAB

AM=MBAM = MB

Voir la réponse et le corrigé
  1. OA=OBOA = OB — שני רדיוסים באותו מעגל
  2. ∠OMA=∠OMB=90°\angle OMA = \angle OMB = 90° — נתון OM⊥ABOM \perp AB
  3. OM=OMOM = OM — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △OMA≅△OMB\triangle OMA \cong \triangle OMB — יתר וניצב — שני משולשים ישרי זווית עם יתר שווה וניצב משותף
  5. AM=MBAM = MB — צלעות מתאימות במשולשים חופפים

Corrigé :

OA=OBOA = OB

שני רדיוסים באותו מעגל

∠OMA=∠OMB=90°\begin{aligned}\angle OMA &= \angle OMB \\ &= 90°\end{aligned}

נתון OM⊥ABOM \perp AB

OM=OMOM = OM

צלע משותפת לשני המשולשים

△OMA≅△OMB\triangle OMA \cong \triangle OMB

יתר וניצב — שני משולשים ישרי זווית עם יתר שווה וניצב משותף

AM=MBAM = MB

צלעות מתאימות במשולשים חופפים

חפיפה לפי יתר וניצב: היתר הוא הרדיוס. המלכודת: לנמק בצ.ז.צ — הזווית הישרה אינה בין שתי הצלעות השוות.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe