Série 3 — difficile · Le cercle · Kita י

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

כאן מופיעות הוכחות, דוגמאות נגדיות ושרשראות של שלושה משפטים. חלק מהשאלות מערבבות שני נושאים בשרטוט אחד — זווית היקפית יחד עם משיקים, או מיתרים יחד עם שטח.

בשאלת «הוכיחו או הפריכו» נסו קודם למצוא דוגמה נגדית פשוטה — מלבן, מעוין, מקבילית. אם לא מצאתם, כנראה שהטענה נכונה, ועכשיו מחפשים את הנימוק.

Exercices

Exercice 1

במעגל שמרכזו $O$ נתונים שני מיתרים שווים $AB = CD$ . $M$ אמצע $AB$ ו- $N$ אמצע $CD$ . הוכיחו כי $OM = ON$ .

$AB = CD$
$M$ אמצע $AB$ , $N$ אמצע $CD$

$OM = ON$

Voir la réponse et le corrigé

$AM = CN$ — חצאים של מיתרים שווים
$OA = OC$ — רדיוסים באותו מעגל
$\angle OMA = \angle ONC = 90^\circ$ — הקטע ממרכז המעגל לאמצע מיתר מאונך למיתר
$\triangle OMA \cong \triangle ONC$ — צ.צ.ז — שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
$OM = ON$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים

Corrigé :

AM = CN

חצאים של מיתרים שווים

OA = OC

רדיוסים באותו מעגל

\begin{aligned}\angle OMA &= \angle ONC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

הקטע ממרכז המעגל לאמצע מיתר מאונך למיתר

\triangle OMA \cong \triangle ONC

צ.צ.ז — שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן

OM = ON

צלעות מתאימות במשולשים חופפים

המלכודת: להשתמש ב- $\angle OMA = 90^\circ$ בלי נימוק. זה משפט — «הקטע מהמרכז לאמצע המיתר מאונך לו» — וצריך לכתוב אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, והצלע $AB$ היא קוטר. נתון $\angle ADC = 124^\circ$ . חשבו את $\angle BAC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 34

Corrigé :

\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ - 124^\circ \\ &= 56^\circ\end{aligned}

זוויות נגדיות במרובע חסום

\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית על הקוטר $AB$

\begin{aligned}\angle BAC &= 180^\circ - 90^\circ - 56^\circ \\ &= 34^\circ\end{aligned}

סכום זוויות במשולש $ABC$

המלכודת: להשלים את $124$ ישר ל- $180$ ולענות $56$ . זו $\angle ABC$ ; השאלה על זווית במשולש $ABC$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

$PA$ ו- $PB$ משיקים למעגל שמרכזו $O$ . הנקודה $C$ על הקשת הגדולה $AB$ , ו- $\angle ACB = 58^\circ$ . חשבו את $\angle APB$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 64

Corrigé :

\begin{aligned}\angle AOB &= 2 \cdot 58^\circ \\ &= 116^\circ\end{aligned}

זווית מרכזית כפולה מההיקפית

\begin{aligned}\angle APB &= 180^\circ - 116^\circ \\ &= 64^\circ\end{aligned}

במרובע $OAPB$ שתי זוויות ישרות

המלכודת: לענות $58$ או $116$ . $P$ מחוץ למעגל: הזווית שלה משלימה את המרכזית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במשולש $ABC$ נתון $AB = 13$ , $BC = 14$ , $CA = 15$ . המעגל החסום במשולש נוגע בצלע $BC$ בנקודה $D$ . חשבו את $BD$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

\begin{aligned}BD &= BF \\ &= x\end{aligned}

שני משיקים מ- $B$ ( $F$ על $AB$ )

\begin{aligned}CD &= CE \\ &= 14 - x \\ \ \ AF &= AE \\ &= 13 - x\end{aligned}

שני משיקים מ- $C$ ומ- $A$

(13 - x) + (14 - x) = 15

הצלע $CA$ מורכבת מ- $AE$ ומ- $CE$

\begin{aligned}27 - 2x &= 15 \Rightarrow x \\ &= 6\end{aligned}

המלכודת: לחלק את $BC$ לשניים ( $7$ ). נקודת ההשקה אינה אמצע הצלע, אלא אם המשולש שווה שוקיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

האם ייתכן מעוין החסום במעגל שאינו ריבוע?

לא — הזוויות הנגדיות במעוין שוות, ובמרובע חסום הן משלימות, ולכן כולן $90^\circ$
כן — כל מעוין חסום במעגל
כן — כשהזווית החדה $60^\circ$
כן — כי אלכסוני המעוין מאונכים

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A לא — הזוויות הנגדיות במעוין שוות, ובמרובע חסום הן משלימות, ולכן כולן $90^\circ$

Corrigé :

\angle A = \angle C

במעוין (כמו בכל מקבילית) זוויות נגדיות שוות

\angle A + \angle C = 180^\circ

אם הוא חסום

\angle A = 90^\circ

ולכן מעוין עם זווית ישרה — ריבוע

התשובה: «לא — הזוויות הנגדיות במעוין שוות, ובמרובע חסום הן משלימות, ולכן כולן $90^\circ$ ». המלכודת: «כי אלכסוני המעוין מאונכים» — זו תכונה נכונה של המעוין, אבל היא לא קשורה לחסימה במעגל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $13$ נתון מיתר $AB = 24$ . הנקודה $C$ על הקשת הגדולה, כך ש- $CA = CB$ . חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 216

Corrigé :

CA = CB

$C$ על האנך האמצעי של $AB$ , והאנך האמצעי של מיתר עובר דרך המרכז

\begin{aligned}OM &= \sqrt{13^2 - 12^2} \\ &= 5\end{aligned}

המרחק של המיתר מהמרכז

\begin{aligned}CM &= 13 + 5 \\ &= 18\end{aligned}

הגובה: רדיוס ועוד המרחק, כי $C$ ו- $M$ משני צדי $O$

\begin{aligned}S &= \frac{24 \cdot 18}{2} \\ &= 216\end{aligned}

המלכודת: $CM = 13 - 5 = 8$ . $C$ על הקשת הגדולה, ולכן המרכז נמצא בין $C$ לבין המיתר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

הנקודות $A, B, C, D, E$ מחלקות את המעגל לחמש קשתות שוות, בסדר הזה. חשבו את $\angle ACB$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

\begin{aligned}\overset{\frown}{AB} &= \frac{360^\circ}{5} \\ &= 72^\circ\end{aligned}

חמש קשתות שוות

\begin{aligned}\angle ACB &= \tfrac{1}{2} \cdot 72^\circ \\ &= 36^\circ\end{aligned}

$\angle ACB$ נשענת על הקשת $AB$ שאינה מכילה את $C$

המלכודת: לחשב את הזווית של המחומש ( $108^\circ$ ). $\angle ACB$ היא זווית היקפית שנשענת על קשת אחת בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הוכיחו או הפריכו: אם במרובע $ABCD$ מתקיים $\angle A = \angle C$ , אז $ABCD$ חסום במעגל.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}ABCD \text{ מקבילית} \\ \ \angle A &= \angle C \\ &= 70^\circ\end{aligned}

דוגמה נגדית

\angle A + \angle C = 140^\circ \ne 180^\circ

הזוויות הנגדיות אינן משלימות

\Rightarrow

$ABCD$ אינו חסום: במרובע חסום סכום זוג נגדיות חייב להיות $180^\circ$

לא נכון. מקבילית שאינה מלבן היא דוגמה נגדית. המלכודת: לבלבל «שוות» עם «משלימות».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

במעגל שמרכזו $O$ נתון $\angle AOB = 100^\circ$ . $PA$ ו- $PB$ משיקים, $C$ על הקשת הגדולה $AB$ ו- $D$ על הקשת הקטנה. סדרו את הזוויות מהקטנה לגדולה.

$\angle ACB$
$\angle ADB$
$\angle AOB$
$\angle APB$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $\angle ACB$ · $\angle APB$ · $\angle AOB$ · $\angle ADB$

Corrigé :

\angle ACB = 50^\circ

חצי מהמרכזית

\begin{aligned}\angle APB &= 180^\circ - 100^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}

זווית בין שני משיקים

\angle AOB = 100^\circ

נתון

\begin{aligned}\angle ADB &= \tfrac{1}{2}(360^\circ - 100^\circ) \\ &= 130^\circ\end{aligned}

$D$ נשענת על הקשת הגדולה

$50 < 80 < 100 < 130$ . המלכודת: לחשוב ש- $\angle ADB$ שווה ל- $\angle ACB$ — הקודקודים על קשתות שונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

טרפז ישר זווית $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ , $\angle A = \angle D = 90^\circ$ ) חוסם מעגל שרדיוסו $4$ . הבסיסים הם $AB = 12$ ו- $DC = 6$ . חשבו את השוק $BC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

\begin{aligned}AD &= 2 \cdot 4 \\ &= 8\end{aligned}

השוק הניצבת שווה לקוטר — המרחק בין שני המשיקים המקבילים

AB + DC = AD + BC

מרובע חוסם מעגל

\begin{aligned}18 &= 8 + BC \Rightarrow BC \\ &= 10\end{aligned}

\sqrt{8^2 + (12 - 6)^2} = 10 \ \checkmark

בדיקה בפיתגורס

המלכודת: להניח $AD = 4$ . המעגל נוגע בשני הבסיסים, ולכן הגובה הוא קוטר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev