Entraînement

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עשרה תרגילים על כל הפרק: אסימפטוטות אנכיות ונקודות סליקות, אסימפטוטה אופקית, סימן הפונקציה, כלל המנה, משיקים ונקודות קיצון. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercices

Série A — Facile

Exercice 1

לפונקציה f(x)=x+23x−6f(x)=\dfrac{x+2}{3x-6} יש אסימפטוטה אנכית אחת. מהו שיעור ה-xx שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

3x−6=0⇒x=2\begin{aligned}3x-6 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

המכנה מתאפס

2+2=4≠02+2=4 \neq 0

המונה לא מתאפס שם — קיר, לא חור

האסימפטוטה האנכית היא x=2x=2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

האסימפטוטה האופקית של f(x)=5x2−x2x2+3f(x)=\dfrac{5x^2-x}{2x^2+3} היא y=ky=k. מהו kk? כתבו תשובה עשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2.5

Corrigé :

5x22x2=52\frac{5x^2}{2x^2}=\frac{5}{2}

אותה מעלה במונה ובמכנה — יחס האיברים המובילים

רחוק מהראשית הגרף מתקרב ל-y=2.5y=2.5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

לגרף של f(x)=x2−16x−4f(x)=\dfrac{x^2-16}{x-4} יש אסימפטוטה אנכית x=4x=4.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

(x−4)(x+4)x−4=x+4x≠4\begin{aligned}\frac{(x-4)(x+4)}{x-4} &= x+4 \\ \quad x\neq4\end{aligned}

מפרקים ומצמצמים

(4, 8)(4,\,8)

נקודה סליקה

הטענה שגויה: גם המונה מתאפס ב-x=4x=4, ולכן יש שם חור, לא קיר. x=4x=4 עדיין לא בתחום ההגדרה.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ב — בינוני

Exercice 4

נתונה f(x)=2x+1x−1f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}. חשבו את f′(2)f'(2).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -3

Corrigé :

f′(x)=2(x−1)−(2x+1)⋅1(x−1)2f'(x)=\frac{2(x-1)-(2x+1)\cdot1}{(x-1)^2}

כלל המנה

f′(x)=−3(x−1)2f'(x)=\frac{-3}{(x-1)^2}
f′(2)=−31=−3\begin{aligned}f'(2) &= \frac{-3}{1} \\ &= -3\end{aligned}

f′(2)=−3f'(2)=-3. הנגזרת שלילית בכל התחום — הפונקציה יורדת בכל ענף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

נתונה f(x)=x+3x−2f(x)=\dfrac{x+3}{x-2}. באיזה תחום f(x)<0f(x)<0?

  1. −3<x<2-3<x<2
  2. x<2x<2
  3. x<−3x<-3 או x>2x>2
  4. −3≤x<2-3\le x<2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A −3<x<2-3<x<2

Corrigé :

x=−3x=-3

המונה מתאפס — חיתוך עם ציר ה-xx

x=2x=2

המכנה מתאפס — אסימפטוטה

x>2: +−3<x<2: −x<−3: +x>2:\ +\quad -3<x<2:\ -\quad x<-3:\ +

סימן בכל תחום

f<0f<0 בין −3-3 ל-22. ב-x=−3x=-3 הפונקציה שווה 00, לא שלילית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

נתונה f(x)=x+5x−1f(x)=\dfrac{x+5}{x-1}. מצאו את משוואת המשיק בנקודה שבה x=3x=3. מהו המספר החופשי במשוואה? כתבו תשובה עשרונית.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8.5

Corrigé :

y0=f(3)=82=4\begin{aligned}y_0 &= f(3) \\ &= \frac{8}{2} \\ &= 4\end{aligned}

הנקודה

f′(x)=(x−1)−(x+5)(x−1)2=−6(x−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x-1)-(x+5)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{-6}{(x-1)^2}\end{aligned}
m=f′(3)=−64=−1.5\begin{aligned}m &= f'(3) \\ &= \frac{-6}{4} \\ &= -1.5\end{aligned}

השיפוע

y−4=−1.5(x−3)⇒y=−1.5x+8.5\begin{aligned}y-4 &= -1.5(x-3) \Rightarrow y \\ &= -1.5x+8.5\end{aligned}

המשוואה

המשיק הוא y=−1.5x+8.5y=-1.5x+8.5.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נתונה f(x)=x2x−2f(x)=\dfrac{x^2}{x-2}. מהו שיעור ה-yy של נקודת המינימום שלה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

x≠2x\neq2

תחום הגדרה — קודם

f′(x)=2x(x−2)−x2(x−2)2=x(x−4)(x−2)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-2)-x^2}{(x-2)^2} \\ &= \frac{x(x-4)}{(x-2)^2}\end{aligned}
x<0: +0<x<2: −2<x<4: −x>4: +x<0:\ +\quad 0<x<2:\ -\quad 2<x<4:\ -\quad x>4:\ +

מקסימום ב-x=0x=0, מינימום ב-x=4x=4

f(4)=162=8\begin{aligned}f(4) &= \frac{16}{2} \\ &= 8\end{aligned}

המינימום (4, 8)(4,\,8) נמצא בענף הימני, והמקסימום (0, 0)(0,\,0) בענף השמאלי. אל תשוו ביניהם: כל קיצון נבדק בסביבה שלו.

Vérifier la réponse sur elev

סדרה ג — מאתגר

Exercice 8

מפעל בנתניה מייצר xx ארגזים ביום. העלות הממוצעת לארגז, בש״ח, היא A(x)=x2+360010xA(x)=\dfrac{x^2+3600}{10x} (עבור x>0x>0). כמה ארגזים ביום צריך לייצר כדי שהעלות הממוצעת תהיה הקטנה ביותר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

A(x)=x10+360xA(x)=\frac{x}{10}+\frac{360}{x}

מפרקים את המנה

A′(x)=110−360x2A'(x)=\frac{1}{10}-\frac{360}{x^2}
x2=3600⇒x=60\begin{aligned}x^2 &= 3600 \Rightarrow x \\ &= 60\end{aligned}

x>0x>0; A′A' עובר מ-−- ל-++

A(60)=7200600=12\begin{aligned}A(60) &= \frac{7200}{600} \\ &= 12\end{aligned}

6060 ארגזים ביום, בעלות ממוצעת של 1212 ש״ח לארגז.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

לפונקציה f(x)=x2+ax−1f(x)=\dfrac{x^2+a}{x-1} יש נקודת קיצון שבה x=3x=3. מהו aa?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

f′(x)=2x(x−1)−(x2+a)(x−1)2=x2−2x−a(x−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-1)-(x^2+a)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2-2x-a}{(x-1)^2}\end{aligned}

כלל המנה

9−6−a=09-6-a=0

קיצון — המונה של f′f' מתאפס ב-x=3x=3

a=3a=3

עבור a=3a=3: f′(x)=(x−3)(x+1)(x−1)2f'(x)=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}, והסימן מתחלף ב-x=3x=3.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

אחרי הוספת כלור לבריכה עירונית, ריכוז הכלור במים (ביחידות מתאימות) אחרי tt שעות הוא C(t)=30tt2+9C(t)=\dfrac{30t}{t^2+9}, עבור t≥0t\ge0. מהו הריכוז הגדול ביותר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

C′(t)=30(t2+9)−30t⋅2t(t2+9)2=30(9−t2)(t2+9)2\begin{aligned}C'(t) &= \frac{30(t^2+9)-30t\cdot2t}{(t^2+9)^2} \\ &= \frac{30(9-t^2)}{(t^2+9)^2}\end{aligned}

המכנה חיובי — הסימן הוא סימן המונה

t=3t=3

C′C' עובר מ-++ ל-−-: מקסימום

C(3)=9018=5\begin{aligned}C(3) &= \frac{90}{18} \\ &= 5\end{aligned}

הריכוז הגדול ביותר, 55, מתקבל אחרי 33 שעות. אחר כך הוא יורד לאט אל האסימפטוטה y=0y=0.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe