Types de triangles et somme des angles

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

למשולש יש שתי מערכות שמות נפרדות, והן לא סותרות זו את זו: אחת לפי הצלעות, אחת לפי הזוויות. אותו משולש מקבל שם מכל אחת.

לפי הצלעות

33

שווה צלעות — כל שלוש הצלעות שוות, וכל הזוויות הן 60°60°.

22

שווה שוקיים — שתי צלעות שוות, וזוויות הבסיס שוות.

00

שונה צלעות — אין שתי צלעות שוות.

לפי הזוויות

<90°< 90°

חד זווית — כל שלוש הזוויות חדות.

=90°= 90°

ישר זווית — יש בו זווית ישרה אחת.

>90°> 90°

קהה זווית — יש בו זווית קהה אחת.

שימו לב: לא ייתכנו שתי זוויות ישרות או קהות באותו משולש. שתיהן יחד כבר היו מגיעות ל-180 מעלות ומעלה, ולא היה נשאר כלום לשלישית.

האם יכול להיות משולש שהוא גם שווה צלעות וגם ישר זווית?

Voir la réponse et le corrigé

לא. בשווה צלעות כל הזוויות הן 60°60°, ולכן אין בו זווית ישרה. זה הצירוף היחיד שחסר בטבלה — וגם «שווה צלעות וקהה זווית» חסר מאותה סיבה.

סכום הזוויות במשולש

זהו המשפט המרכזי של כל הגאומטריה בכיתה ז, והוא נכון לכל משולש בלי יוצא מן הכלל:

α+β+γ=180°\alpha + \beta + \gamma = 180°

ניסוי שמשכנע: גוזרים משולש מנייר, קורעים את שלוש הפינות ומצמידים אותן זו לזו. הן יוצרות קו ישר מדויק — כלומר בדיוק 180 מעלות.

גררו את הקודקוד CC הרחק מעבר ל-BB. מה קורה לזווית BB, ומה קורה לסכום?

Voir la réponse et le corrigé

הזווית BB נעשית קהה — והזוויות AA ו-CC קטנות בדיוק כדי לפצות. הסכום נשאר 180°180° בכל מצב.

שימוש ישיר

במשולש שתי זוויות הן 50°50° ו-70°70°. מהי השלישית?

50+70=12050 + 70 = 120

סכום השתיים הידועות

180−120=60180 - 120 = 60

מה שנשאר

זווית חיצונית

מאריכים צלע של משולש מעבר לקודקוד — ונוצרת זווית חיצונית, בין ההמשך לבין הצלע השכנה. היא צמודה לזווית הפנימית שלידה, ולכן שתיהן יחד 180°180°.

∠CBD=∠A+∠C\angle CBD = \angle A + \angle C

הכלל: זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. הסיבה פשוטה: גם היא וגם ∠A+∠C\angle A + \angle C משלימות את ∠B\angle B ל-180°180°.

במשולש ∠A=40°\angle A = 40° ו-∠C=75°\angle C = 75°. מהי הזווית החיצונית ב-BB?

Voir la réponse et le corrigé

40+75=115°40 + 75 = 115°. בלי לחשב את ∠B\angle B בכלל. (בדיקה: ∠B=180−115=65\angle B = 180 - 115 = 65, והחיצונית 180−65=115180 - 65 = 115 ✓)

אי-שוויון המשולש

לא כל שלושה מספרים יכולים להיות צלעות של משולש. הכלל: סכום כל שתי צלעות גדול מהשלישית.

ההיגיון פשוט: כדי להגיע מנקודה לנקודה, הדרך הישרה קצרה מהדרך דרך נקודה שלישית. אם 2 ו-3 יחד הם 5 — הם בדיוק מגיעים ולא סוגרים משולש.

בדיקה

האם אפשר לבנות משולש שצלעותיו 3, 4 ו-8?

3+4=73 + 4 = 7

סכום שתי הקצרות

7<87 < 8

קטן מהשלישית

לא ניתן\text{לא ניתן}

שתי הצלעות פשוט לא נפגשות

מספיק לבדוק צירוף אחד: סכום שתי הצלעות הקצרות. אם הוא עובר את הארוכה — כל השאר בטוח מתקיים.

המקלות 88 ו-33 קבועים. מה האורכים השלמים שהמקל השלישי יכול לקבל?

Voir la réponse et le corrigé

כל אורך בין 8−3=58 - 3 = 5 לבין 8+3=118 + 3 = 11, בלי הקצוות: 6,7,8,9,106, 7, 8, 9, 10 — חמישה אורכים.

הטעות של סכום הזוויות.

α+β+γ=360°\alpha + \beta + \gamma = 360°
=180°= 180°

360 הוא סכום הזוויות במרובע, לא במשולש.

3+4=7 ולכן משולש עם צלע 7 קיים3 + 4 = 7 \ \text{ולכן משולש עם צלע 7 קיים}
צריך גדול ממש, לא שווה\text{צריך גדול ממש, לא שווה}

בשוויון מדויק שלוש הנקודות נופלות על ישר אחד — וזה לא משולש.

במשולש זוויות של 65 ו-48 מעלות. מהי השלישית?

Voir la réponse et le corrigé

180−65−48=67180 - 65 - 48 = 67 מעלות. סכום הזוויות — תמיד 180.

האם משולש יכול להיות גם שווה שוקיים וגם ישר זווית?

Voir la réponse et le corrigé

כן — חצי ריבוע שנחתך באלכסון: זווית ישרה בין שתי שוקיים שוות, ושתי זוויות של 45.

Exercices

Exercice 1

במשולש שתי זוויות הן 50°50° ו-70°70°. מהי השלישית (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

50+70=12050 + 70 = 120

סכום הידועות

180−120=60180 - 120 = 60

מה שנשאר

סכום הזוויות במשולש הוא תמיד 180.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במשולש שווה צלעות — כמה מעלות בכל זווית?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

180:3=60180 : 3 = 60

שלוש זוויות שוות

צלעות שוות — זוויות שוות. זה עובד בשני הכיוונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

האם אפשר לבנות משולש שצלעותיו 3, 4 ו-8?

  1. רק אם הוא ישר זווית
  2. כן
  3. לא — 3+4<83 + 4 < 8
  4. רק אם הוא שווה שוקיים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C לא — 3+4<83 + 4 < 8

Corrigé :

3+4=73 + 4 = 7

סכום הקצרות

7<87 < 8

קטן מהארוכה

שתי הצלעות פשוט לא מגיעות זו לזו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

האם ייתכן משולש עם שתי זוויות ישרות?

  1. כן
  2. רק במשולש גדול
  3. לא — הן לבדן כבר 180
  4. רק אם הוא שווה שוקיים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C לא — הן לבדן כבר 180

Corrigé :

90+90=18090 + 90 = 180

כבר הכול

לשלישית נשאר 0\text{לשלישית נשאר 0}

ואין זווית של אפס

ולכן גם לא ייתכנו שתי זוויות קהות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

האם משולש יכול להיות גם שווה שוקיים וגם ישר זווית?

  1. כן
  2. רק בציור
  3. רק אם הוא גם שווה צלעות
  4. לא
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A כן

Corrigé :

90°, 45°, 45°90°,\ 45°,\ 45°

דוגמה

מערכת שמות לפי צלעות ומערכת לפי זוויות — הן בלתי תלויות. שני שמות מאותן שתי מערכות

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

במשולש ישר זווית זווית חדה אחת היא 28°28°. מהי השנייה (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 62

Corrigé :

180−90=90180 - 90 = 90

נשאר לשתי החדות

90−28=6290 - 28 = 62

השנייה

שתי החדות משלימות ל-90, לא ל-180.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

במשולש שתי זוויות בנות 50∘50^\circ ו-81∘81^\circ. חשבו את הזווית השלישית (במעלות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 49

Corrigé :

50+81=13150 + 81 = 131

סכום שתי הידועות

180−131=49180 - 131 = 49

סכום הזוויות במשולש 180∘180^\circ

תמיד אותו מהלך: מחברים את מה שידוע, ומחסרים מ-180.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

במשולש ישר זווית, אחת הזוויות היא 54∘54^\circ. חשבו את הזווית השלישית (במעלות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

90+54=14490 + 54 = 144

הזווית הישרה שווה 90∘90^\circ — גם כשלא כתוב עליה מספר

180−144=36180 - 144 = 36

ומחסרים מ-180

דרך מהירה: בזווית ישרה, שתי הזוויות החדות משלימות זו את זו ל-90∘90^\circ: 90−54=3690 - 54 = 36.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

קטע מחלק את זווית הראש של משולש לשתי זוויות: 52∘52^\circ ו-35∘35^\circ. זווית הבסיס השמאלית היא 68∘68^\circ. חשבו את זווית הבסיס הימנית (במעלות).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25

Corrigé :

52+35=8752 + 35 = 87

זווית הראש כולה — מחברים את שני החלקים

87+68=15587 + 68 = 155

ביחד עם הבסיס השמאלי

180−155=25180 - 155 = 25

סכום הזוויות במשולש הגדול

הקטע שמחלק את הזווית מנסה לבלבל — אבל אפשר להתעלם ממנו לגמרי ולעבוד עם המשולש הגדול. (אפשר גם דרך זווית חיצונית: 68+52=12068 + 52 = 120, ואז 180−120−35=25180 - 120 - 35 = 25 — אותה תשובה.)

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

855
זווית הראש למעלה

במשולש שווה שוקיים זווית הראש 100 מעלות. מהי כל זווית בסיס?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 40

Corrigé :

180−100=80180 - 100 = 80
80:2=4080 : 2 = 40

זוויות הבסיס שוות

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

Associez, reliez (התאימו) chaque cas à ce qu'il indique

  • 33
  • 22
  • 00
  • שווה צלעות — כל שלוש הצלעות שוות, וכל הזוויות הן 60°60°.
  • שווה שוקיים — שתי צלעות שוות, וזוויות הבסיס שוות.
  • שונה צלעות — אין שתי צלעות שוות.
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 33 — שווה צלעות — כל שלוש הצלעות שוות, וכל הזוויות הן 60°60°. · 22 — שווה שוקיים — שתי צלעות שוות, וזוויות הבסיס שוות. · 00 — שונה צלעות — אין שתי צלעות שוות.

Corrigé :

Chaque paire ici est apparue dans la leçon — l'association correspond exactement à ce que le tableau (טבלה) montrait.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

48°?ABC

במשולש שווה שוקיים ABCABC (CA=CBCA = CB) זווית הראש ∠C=48°\angle C = 48°. כמה מעלות בכל זווית בסיס?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 66

Corrigé :

180−48=132180 - 48 = 132

מה שנשאר לשתי זוויות הבסיס יחד

132:2=66132 : 2 = 66

זוויות הבסיס שוות, ולכן מחלקים בשתיים

66+66+48=18066 + 66 + 48 = 180

בדיקה

הפח: לחלק את 180 בשתיים לפני שמחסרים את זווית הראש. קודם מחסרים את הראש, ורק אחר כך מחלקים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

?47°68°ABCD

במשולש ABCABC: ∠A=47°\angle A = 47°, ∠C=68°\angle C = 68°. מאריכים את הצלע ABAB מעבר ל-BB עד הנקודה DD. כמה מעלות בזווית החיצונית ∠CBD\angle CBD?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 115

Corrigé :

∠CBD=∠A+∠C\angle CBD = \angle A + \angle C

זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה

47+68=11547 + 68 = 115

On remplace (מציבים)

180−65=115180 - 65 = 115

בדיקה: ∠ABC=180−47−68=65\angle ABC = 180 - 47 - 68 = 65, והחיצונית צמודה לה

הפח: לחבר את הזווית הצמודה ∠ABC\angle ABC — היא לא משתתפת. החיצונית שווה לשתי הרחוקות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

x2x3xABC

זוויות משולש הן ביחס 1:2:31 : 2 : 3. כמה מעלות בזווית הגדולה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 90

Corrigé :

x+2x+3x=180x + 2x + 3x = 180

מסמנים את הזוויות xx, 2x2x, 3x3x

6x=180 ⇒ x=30\begin{aligned}6x &= 180 \ \Rightarrow \ x \\ &= 30\end{aligned}

On résout

3x=903x = 90

הזווית הגדולה

30+60+90=18030 + 60 + 90 = 180

בדיקה

הפח: לענות x=30x = 30 — זו הזווית הקטנה. והמשולש יצא ישר זווית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

70°70°40°ABC

במשולש זוויות של 40°40°, 70°70° ו-70°70°. מה שני השמות שלו?

  1. שונה צלעות וחד זווית
  2. שווה שוקיים וקהה זווית
  3. שווה שוקיים וחד זווית
  4. שווה צלעות וחד זווית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C שווה שוקיים וחד זווית

Corrigé :

70=7070 = 70

שתי זוויות שוות — ולכן שתי צלעות שוות: שווה שוקיים

40<90, 70<9040 < 90 , \ 70 < 90

כל הזוויות חדות: חד זווית

שם אחד לפי הצלעות ושם אחד לפי הזוויות. שווה צלעות היה דורש שלוש זוויות של 60°60°.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

אילו שלשות זוויות יכולות להיות זוויות של משולש?

  • יש משולש כזה
  • אין משולש כזה
  • 100°,  50°,  40°100° ,\; 50° ,\; 40°
  • 20°,  40°,  120°20° ,\; 40° ,\; 120°
  • 30°,  30°,  120°30° ,\; 30° ,\; 120°
  • 45°,  45°,  80°45° ,\; 45° ,\; 80°
  • 50°,  60°,  70°50° ,\; 60° ,\; 70°
  • 60°,  60°,  70°60° ,\; 60° ,\; 70°
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 50°,  60°,  70°50° ,\; 60° ,\; 70° — יש משולש כזה · 100°,  50°,  40°100° ,\; 50° ,\; 40° — אין משולש כזה · 30°,  30°,  120°30° ,\; 30° ,\; 120° — יש משולש כזה · 60°,  60°,  70°60° ,\; 60° ,\; 70° — אין משולש כזה · 45°,  45°,  80°45° ,\; 45° ,\; 80° — אין משולש כזה · 20°,  40°,  120°20° ,\; 40° ,\; 120° — יש משולש כזה

Corrigé :

50+60+70=18050 + 60 + 70 = 180

מתאים

100+50+40=190100 + 50 + 40 = 190

יותר מדי

45+45+80=17045 + 45 + 80 = 170

פחות מדי

הבדיקה היחידה: הסכום חייב להיות בדיוק 180 — לא קרוב, לא בערך.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

?αβABCD

זווית חיצונית של משולש יכולה להיות קטנה מאחת הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

חיצונית=α+β\text{חיצונית} = \alpha + \beta

היא סכום שתי הזוויות הרחוקות

α+β>α\alpha + \beta > \alpha

וכל זווית במשולש גדולה מאפס

הזווית החיצונית גדולה מכל אחת משתי הזוויות הרחוקות, כי היא שתיהן יחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

50°??ABC

במשולש שווה שוקיים זווית הראש היא 50°50°. נועה חישבה את זוויות הבסיס. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

זווית הראש=50°\text{זווית הראש} = 50°
שתי זוויות הבסיס יחד=180−50=130\begin{aligned}\text{שתי זוויות הבסיס יחד} &= 180 - 50 \\ &= 130\end{aligned}
כל זווית בסיס=130−50=80\begin{aligned}\text{כל זווית בסיס} &= 130 - 50 \\ &= 80\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : כל זווית בסיס=130−50=80\text{כל זווית בסיס} = 130 - 50 = 80 → כל זווית בסיס=130:2=65\text{כל זווית בסיס} = 130 : 2 = 65

Corrigé :

130:2=65130 : 2 = 65

130 מתחלק שווה בשווה בין שתי זוויות הבסיס

65+65+50=18065 + 65 + 50 = 180

בדיקה

נועה חיסרה שוב את 50 — אבל זווית הראש כבר ירדה. עם 80 הסכום היה 80+80+50=21080 + 80 + 50 = 210.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

130°55°?ABCD

במשולש ABCABC מאריכים את BCBC מעבר ל-CC עד DD. הזווית החיצונית ∠ACD=130°\angle ACD = 130°, ו-∠A=55°\angle A = 55°. כמה מעלות ב-∠B\angle B?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 75

Corrigé :

∠A+∠B=∠ACD\angle A + \angle B = \angle ACD

החיצונית ב-CC שווה לשתי הרחוקות

55+∠B=13055 + \angle B = 130

On remplace (מציבים)

∠B=75\angle B = 75

ובדיקה: ∠ACB=50\angle ACB = 50, ו-55+75+50=18055 + 75 + 50 = 180

הפח: לחסר מ-180 — 180−130=50180 - 130 = 50 היא הזווית הצמודה ∠ACB\angle ACB, לא ∠B\angle B.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe