אם… אז, אלא אם, כל ואף אחד

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

משפט "אם… אז" הוא כלל: "אם יורד גשם, דנה לוקחת מטרייה".

הכלל מדבר רק על מה שקורה כשיורד גשם. ביום בלי גשם הוא לא אומר כלום — דנה יכולה לקחת מטרייה, ויכולה לא לקחת.

"אם יורד גשם, דנה לוקחת מטרייה"
מזג האווירהמטרייהדנה הפרה את הכלל?
יורד גשםלוקחתלא
יורד גשםלא לוקחתכן — הפרה
לא יורד גשםלוקחתלא
לא יורד גשםלא לוקחתלא

ראינו את דנה עם מטרייה. האם בוודאות ירד גשם?

Show the answer and the solution

לא. הכלל לא אוסר לקחת מטרייה ביום יבש. רק צירוף אחד שובר אותו: גשם בלי מטרייה.

ההפוך המסוכן, וההפוך-השלילי שתמיד נכון

אם A אז B\text{אם } A \text{ אז } B

הכלל: "אם גשם, אז מטרייה"

אם B אז A\text{אם } B \text{ אז } A

ההפוך — "אם מטרייה, אז גשם". לא נובע מהכלל

אם לא A אז לא B\text{אם לא } A \text{ אז לא } B

"אם אין גשם, אין מטרייה". גם זה לא נובע

אם לא B אז לא A\text{אם לא } B \text{ אז לא } A

"אם אין מטרייה, אז אין גשם". זה תמיד נובע — אילו ירד גשם, הייתה מטרייה

הכלל: "אם בצד אחד יש מספר זוגי, אז בצד השני אדום". מאחורי קלף אדום — חייב להיות מספר זוגי?

Show the answer and the solution

לא. זה ההפוך של הכלל, והוא לא נובע ממנו. מאחורי אדום מותר גם 7.

רוב האנשים בוחרים "4 ואדום". זו בדיוק מלכודת ההפוך.

"אלא אם"

"דני הולך לים בשבת, אלא אם יורד גשם." בשבת בלי גשם — דני בים. בשבת עם גשם — הכלל הרגיל לא חל.

לפעמים השאלה אומרת מה כן קורה אז. במבחן יש בדרך כלל שני כללים כאלה, ושואלים מה ייתכן: מה לא סותר אף כלל.

כל, חלק, אף אחד

"אף דג אינו מטפס על עצים. חלק מחיות המחמד הן דגים." האם בוודאות חלק מחיות המחמד אינן מטפסות על עצים?

Show the answer and the solution

כן. חיות המחמד שהן דגים — ויש כאלה — אינן מטפסות. שימו לב: לא נובע שאף חיית מחמד לא מטפסת; חתול הבית מטפס יפה.

חידות משפחה

שלוש מלכודות.

אם A אז B  ⇒  אם B אז A\text{אם } A \text{ אז } B \;\Rightarrow\; \text{אם } B \text{ אז } A
אם לא B אז לא A\text{אם לא } B \text{ אז לא } A

ההפוך לא נובע מהכלל. ההפוך-השלילי — כן.

השלילה של "אם גשם אז בית":"אם גשם אז לא בית"\text{השלילה של "אם גשם אז בית"}: \text{"אם גשם אז לא בית"}
"יורד גשם ולא נשארים בבית"\text{"יורד גשם ולא נשארים בבית"}

הכלל נשבר רק במקרה אחד — כשיש גשם ואין בית. זו השלילה שלו.

"חלק" = "לא כולם"\text{"חלק" = "לא כולם"}
"חלק" = "לפחות אחד"\text{"חלק" = "לפחות אחד"}

במתמטיקה, "חלק מהדובים ישנים" נשאר נכון גם אם כל הדובים ישנים.

בשאלת "מה ייתכן" — חפשו את האפשרות שלא סותרת אף כלל. בשאלת "מה בוודאות" — חפשו את המשפט שנכון בכל מצב שמתאים לכללים. אלה שתי שאלות שונות מאוד.

Exercises

Exercise 1

ידוע: "אם שחר בבית, אז האור בחדר שלו דולק". איזה משפט נכון בוודאות?

  1. אם האור בחדר של שחר כבוי, אז שחר לא בבית
  2. האור בחדר של שחר דולק
  3. אם שחר לא בבית, אז האור בחדר שלו כבוי
  4. אם האור בחדר של שחר דולק, אז שחר בבית
Show the answer and the solution

Answer: A אם האור בחדר של שחר כבוי, אז שחר לא בבית

Worked solution:

בית⇒אור\text{בית} \Rightarrow \text{אור}

הכלל

אין אור⇒אין בית\text{אין אור} \Rightarrow \text{אין בית}

אילו שחר היה בבית, האור היה דולק — ההפוך-השלילי

אור⇏בית\text{אור} \nRightarrow \text{בית}

ייתכן שאחותו השאירה את האור דולק

התשובה היא "אם האור כבוי, שחר לא בבית". "אם האור דולק, שחר בבית" הוא ההפוך — ייתכן שאחותו שכחה לכבות את האור כשיצאה.

Check the answer on elev

Exercise 2

במסעדה של עמוס, כל מנה עיקרית מוגשת עם צ'יפס ולא עם שום תוספת אחרת, אלא אם הלקוח הזמין גם סלט — ואז מגישים לו לחם, ולא מגישים צ'יפס. איזה מהבאים ייתכן?

  1. לקוח שלא הזמין סלט קיבל לחם
  2. לקוח שהזמין סלט קיבל צ'יפס
  3. לקוח שלא הזמין סלט לא קיבל שום תוספת
  4. לקוח קיבל לחם ולא קיבל צ'יפס
Show the answer and the solution

Answer: D לקוח קיבל לחם ולא קיבל צ'יפס

Worked solution:

בלי סלט⇒צ’יפס בלבד\text{בלי סלט} \Rightarrow \text{צ'יפס בלבד}

הכלל הרגיל

עם סלט⇒לחם, בלי צ’יפס\text{עם סלט} \Rightarrow \text{לחם, בלי צ'יפס}

ה"אלא אם"

לחם בלי צ’יפס\text{לחם בלי צ'יפס}

זה בדיוק מה שקורה ללקוח שהזמין סלט

התשובה היא לקוח שקיבל לחם ולא צ'יפס — כך קורה לכל מי שהזמין סלט. שלוש האפשרויות האחרות שוברות את אחד משני הכללים.

Check the answer on elev

Exercise 3

"כל הציפורים בכלוב צהובות. חלק מהציפורים בכלוב הן תוכים." לכן בוודאות: יש תוכים צהובים.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

תוכי בכלוב\text{תוכי בכלוב}

יש לפחות תוכי אחד בכלוב

בכלוב⇒צהוב\text{בכלוב} \Rightarrow \text{צהוב}

וכל מי שבכלוב — צהוב

נכון. התוכים שבכלוב — ויש כאלה — צהובים. מה שלא נובע: "כל התוכים צהובים". מחוץ לכלוב יכולים להיות תוכים ירוקים.

Check the answer on elev

Exercise 4

לנגה יש שלושה אחים ושתי אחיות. כמה אחיות יש לכל אחד מהאחים של נגה?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

2+1=32 + 1 = 3

שתי האחיות של נגה — ונגה עצמה

33

בשביל האח, נגה היא אחות

לכל אח יש 3 אחיות. התשובה 2 שוכחת את נגה עצמה.

Check the answer on elev

Exercise 5

הכלל: "אם אורי מקבל 100 במבחן, אמא קונה לו גלידה". מיינו: מה נובע מהכלל, ומה לא?

  • נובע מהכלל
  • לא נובע
  • אורי לא קיבל 100 — לכן הוא לא קיבל גלידה
  • אורי לא קיבל גלידה — לכן הוא לא קיבל 100
  • אורי קיבל 100 — לכן הוא קיבל גלידה
  • אורי קיבל גלידה — לכן הוא קיבל 100
Show the answer and the solution

Answer: אורי קיבל 100 — לכן הוא קיבל גלידה — נובע מהכלל · אורי קיבל גלידה — לכן הוא קיבל 100 — לא נובע · אורי לא קיבל 100 — לכן הוא לא קיבל גלידה — לא נובע · אורי לא קיבל גלידה — לכן הוא לא קיבל 100 — נובע מהכלל

Worked solution:

100⇒גלידה100 \Rightarrow \text{גלידה}

הכלל עצמו

אין גלידה⇒אין 100\text{אין גלידה} \Rightarrow \text{אין } 100

ההפוך-השלילי — תמיד נובע

גלידה⇏100\text{גלידה} \nRightarrow 100

אמא יכולה לקנות גלידה גם סתם

נובעים: הכלל עצמו וההפוך-השלילי שלו. ההפוך ("גלידה, לכן 100") והשלילי ("לא 100, לכן אין גלידה") לא נובעים: הכלל לא אוסר גלידה ביום רגיל.

Check the answer on elev

Exercise 6

על כל כרטיס נוסע כתוב בצד אחד הגיל, ובצד השני איפה ישב במכונית. הכלל: "אם הנוסע בן פחות מ-12, הוא יושב מאחור". על השולחן: גיל 8, גיל 15, מקדימה, מאחור. אילו כרטיסים חייבים להפוך כדי לבדוק את הכלל?

  1. גיל 8 ומקדימה
  2. גיל 8 ומאחור
  3. גיל 8 וגיל 15
  4. רק גיל 8
Show the answer and the solution

Answer: A גיל 8 ומקדימה

Worked solution:

גיל 8→ ?\text{גיל } 8 \to\ ?

אם כתוב מאחוריו "מקדימה" — הכלל נשבר

מקדימה→ ?\text{מקדימה} \to\ ?

אם מאחוריו גיל קטן מ-12 — הכלל נשבר

גיל 15, מאחור\text{גיל } 15,\ \text{מאחור}

הם לא יכולים לשבור את הכלל

גיל 8 ומקדימה. "מאחור" הוא המלכודת: גם מבוגר מותר לו לשבת מאחור. הכלל לא אומר דבר על מי שבן 12 ומעלה.

Check the answer on elev

Exercise 7

בספרייה: ספר מושאל לשבועיים, אלא אם הוא ספר חדש — ואז הוא מושאל לשבוע אחד בלבד. ייתכן שספר שהושאל לשבועיים הוא ספר חדש.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

חדש⇒שבוע\text{חדש} \Rightarrow \text{שבוע}

ה"אלא אם"

שבועיים⇒לא חדש\text{שבועיים} \Rightarrow \text{לא חדש}

ההפוך-השלילי — תמיד נובע

לא נכון. ספר חדש מושאל רק לשבוע. אם הספר הושאל לשבועיים — בוודאות הוא לא חדש.

Check the answer on elev

Exercise 8

במשפחה בנים ובנות. לכל בת יש אותו מספר של אחים ושל אחיות. לכל בן יש פי שלושה אחיות מאחים. כמה ילדים במשפחה?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

b=g−1b = g - 1

לבת: g−1g - 1 אחיות ו-bb אחים

g=3(b−1)g = 3(b - 1)

לבן: b−1b - 1 אחים ו-gg אחיות

g=3(g−2)⇒g=3 b=2\begin{aligned}g &= 3(g - 2) \Rightarrow g \\ &= 3 \\ \ b &= 2\end{aligned}

מציבים

3+2=53 + 2 = 5

בדיקה: לבת 2 אחיות ו-2 אחים ✓. לבן אח אחד ו-3 אחיות ✓

במשפחה 5 ילדים. הטעות: לשכוח שבת לא נספרת כאחות של עצמה, ובן לא נספר כאח של עצמו.

Check the answer on elev

Exercise 9

השלימו.

בכיתה 30 תלמידים, ו-18 מהם שרים במקהלה. כל מי שמנגן בכינור — שר במקהלה. לכן לכל היותר ____ תלמידים מנגנים בכינור, ולפחות ____ תלמידים לא מנגנים בכינור.

Show the answer and the solution

Answer: בכיתה 30 תלמידים, ו-18 מהם שרים במקהלה. כל מי שמנגן בכינור — שר במקהלה. לכן לכל היותר 18 תלמידים מנגנים בכינור, ולפחות 12 תלמידים לא מנגנים בכינור.

Worked solution:

כינור⊆מקהלה\text{כינור} \subseteq \text{מקהלה}

כל הכנרים בתוך המקהלה

כינור≤18\text{כינור} \leq 18

אי אפשר שיהיו יותר כנרים מזמרים

30−18=1230 - 18 = 12

12 התלמידים שלא במקהלה — בוודאות לא מנגנים

18 ו-12. הפיתוי: לחשוב שכל 18 הזמרים מנגנים. הכלל אומר "כל כנר שר", לא "כל זמר מנגן" — זה ההפוך.

Check the answer on elev

Exercise 10

התאימו לכל משפט את השלילה שלו.

  • אם יורד גשם, נשארים בבית
  • כל הדובים ישנים בחורף
  • חלק מהדגים צבעוניים
  • אף ציפור אינה שוחה
  • אף דג אינו צבעוני
  • יורד גשם ולא נשארים בבית
  • יש דוב שלא ישן בחורף
  • יש ציפור ששוחה
Show the answer and the solution

Answer: אם יורד גשם, נשארים בבית — יורד גשם ולא נשארים בבית · כל הדובים ישנים בחורף — יש דוב שלא ישן בחורף · חלק מהדגים צבעוניים — אף דג אינו צבעוני · אף ציפור אינה שוחה — יש ציפור ששוחה

Worked solution:

אם A אז B\text{אם } A \text{ אז } B

נשבר רק כש-AA קורה ו-BB לא

כל↔יש אחד שלא\text{כל} \leftrightarrow \text{יש אחד שלא}
חלק↔אף אחד\text{חלק} \leftrightarrow \text{אף אחד}

השלילה של "כל" היא "יש אחד שלא" — לא "אף אחד". והשלילה של כלל "אם… אז" היא מקרה אחד שבו התנאי קורה והתוצאה לא.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade