מבחן סימולציה 8

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מבחן סימולציה — בר-אילן, לקראת כיתה ז׳. 2424 שאלות אמריקאיות, 6060 דקות, בלי מחשבון. פרק א׳ (1515 שאלות) בודק ידע מתמטי, ופרק ב׳ (99 שאלות) בודק חשיבה מתמטית-לוגית. על תשובה שגויה לא מורידים נקודות: אם אתם לא בטוחים, סמנו את התשובה הסבירה ביותר והמשיכו הלאה.

זה המבחן הקשה בסדרה. אם שאלה נראית ארוכה מדי, כנראה שיש דרך קצרה: חפשו תכונה — זוגיות, התחלקות, סימטריה, או ״מה לא משתנה״ — לפני שאתם מתחילים חישוב מלא. ואם לא מצאתם אותה תוך דקה, עברו הלאה.

Exercises

פרק א׳ — ידע מתמטי

Exercise 1

ביום הראשון קרא יוסי 13\frac{1}{3} מהספר ועוד 1010 עמודים. ביום השני קרא חצי מהעמודים שנותרו ועוד 55 עמודים. נותרו לו עוד 4545 עמודים. כמה עמודים יש בספר?

  1. 120120
  2. 180180
  3. 150150
  4. 165165
Show the answer and the solution

Answer: D 165165

Worked solution:

(45+5)×2=100(45 + 5) \times 2 = 100

לפני היום השני נותרו 100 עמודים

100+10=110100 + 10 = 110

110 עמודים הם שני שלישים מהספר

110÷23=165110 \div \frac{2}{3} = 165

התשובה היא 165165. הולכים אחורה, וכל פעם מבטלים פעולה אחת: קודם מחזירים את ה-55 ורק אחר כך מכפילים. מי שמכפיל קודם (45×2+545 \times 2 + 5) מקבל 9595, ומגיע ל-157.5157.5 — מספר עמודים לא שלם, סימן לטעות.

Check the answer on elev

Exercise 2

ab\frac{a}{b} הוא שבר קטן מ-11, ו-aa ו-bb שלמים חיוביים. מוסיפים 11 גם למונה וגם למכנה. מה קורה לערך השבר?

  1. הוא לא משתנה
  2. הוא קטן
  3. הוא גדל
  4. לא ניתן לדעת — זה תלוי ב-aa וב-bb
Show the answer and the solution

Answer: C הוא גדל

Worked solution:

12→2334→45\frac{1}{2} \to \frac{2}{3} \qquad \frac{3}{4} \to \frac{4}{5}

דוגמאות

1−ab=b−ab→b−ab+11 - \frac{a}{b} = \frac{b - a}{b} \quad \to \quad \frac{b - a}{b + 1}

המרחק מ-1 קטן: אותו מונה, מכנה גדול יותר

התשובה היא הוא גדל. המרחק של השבר מ-11 הוא b−ab\frac{b-a}{b}, ואחרי ההוספה הוא b−ab+1\frac{b-a}{b+1} — אותו מונה ומכנה גדול יותר, כלומר מרחק קטן יותר. השבר מתקרב ל-11 מלמטה, ולכן גדל.

Check the answer on elev

Exercise 3

בשנה שעברה 20%20\% מהמשתתפים בחוג היו בנים. השנה מספר הבנים בחוג הוכפל, ומספר הבנות לא השתנה. איזה אחוז מהמשתתפים בחוג הם בנים השנה?

  1. 36%36\%
  2. 3313%33\frac{1}{3}\%
  3. 40%40\%
  4. 25%25\%
Show the answer and the solution

Answer: B 3313%33\frac{1}{3}\%

Worked solution:

20 בנים, 80 בנות20 \ \text{בנים}, \ 80 \ \text{בנות}

נניח שהיו 100 משתתפים

40 בנים, 80 בנות40 \ \text{בנים}, \ 80 \ \text{בנות}

השנה

40120=13\frac{40}{120} = \frac{1}{3}

התשובה היא 3313%33\frac{1}{3}\%. 40%40\% מכפיל את האחוז — אבל כשמספר הבנים גדל, גם מספר המשתתפים כולו גדל, ולכן האחוז גדל בפחות מפי 22.

Check the answer on elev

Exercise 4

מחיר של מוצר עלה ב-x%x\%, ואחר כך ירד ב-x%x\% (אותו xx). בסוף היה המחיר נמוך ב-4%4\% מהמחיר המקורי. מהו xx?

  1. 44
  2. 22
  3. 2020
  4. 4040
Show the answer and the solution

Answer: C 2020

Worked solution:

x=20:100→120→96x = 20: \quad 100 \to 120 \to 96

בודקים את התשובות

x=2:100→102→99.96x = 2: \quad 100 \to 102 \to 99.96

ירידה קטנה מאוד

x=40:100→140→84x = 40: \quad 100 \to 140 \to 84

התשובה היא 2020. ככל ש-xx גדול יותר, ההפסד גדול יותר — והוא תמיד x%x\% מתוך x%x\%: 20%20\% מ-20%20\% הם 4%4\%. 22 ו-44 מבוססים על ההנחה שההפסד שווה ל-xx עצמו או לחצי ממנו.

Check the answer on elev

Exercise 5

בחוג, היחס בין מספר הבנים למספר הבנות הוא 2:32:3. אילו 55 בנים היו מצטרפים ו-55 בנות היו עוזבות, היחס היה 3:23:2. כמה ילדים יש בחוג?

  1. 2525
  2. 2020
  3. 3030
  4. 5050
Show the answer and the solution

Answer: A 2525

Worked solution:

2k בנים, 3k בנות2k \ \text{בנים}, \ 3k \ \text{בנות}
(2k+5)×2=(3k−5)×3(2k + 5) \times 2 = (3k - 5) \times 3

לפי היחס החדש

4k+10=9k−15⇒k=5\begin{aligned}4k + 10 &= 9k - 15 \quad \Rightarrow \quad k \\ &= 5\end{aligned}
10+15=2510 + 15 = 25

בדיקה: 15 בנים ו-10 בנות — יחס 3:2

התשובה היא 2525. גם בדיקה של התשובות עובדת מהר: עם 5050 ילדים (2020 בנים ו-3030 בנות) ההחלפה נותנת 25:2525:25, ועם 2020 ילדים היא נותנת 13:713:7. רק עם 2525 ילדים היחס מתהפך בדיוק.

Check the answer on elev

Exercise 6

שני גלגלי שיניים משולבים זה בזה. בגלגל הגדול 4040 שיניים, ובגלגל הקטן 1515 שיניים. כשהגלגל הגדול מסתובב 66 סיבובים שלמים, כמה סיבובים מסתובב הגלגל הקטן?

  1. 1616
  2. 66
  3. 2424
  4. 2.252.25
Show the answer and the solution

Answer: A 1616

Worked solution:

40×6=24040 \times 6 = 240

מספר השיניים שעוברות בנקודת המגע

240÷15=16240 \div 15 = 16

התשובה היא 1616. בנקודת המגע עוברות אותן שיניים בשני הגלגלים. הגלגל הקטן חייב להסתובב יותר — ולכן 2.252.25, שמתקבל מחלוקה הפוכה, אינו אפשרי.

Check the answer on elev

Exercise 7

מטילים מטבע 33 פעמים. מה ההסתברות שיתקבל ״עץ״ לפחות פעם אחת?

  1. 38\frac{3}{8}
  2. 78\frac{7}{8}
  3. 12\frac{1}{2}
  4. 34\frac{3}{4}
Show the answer and the solution

Answer: B 78\frac{7}{8}

Worked solution:

12×12×12=18\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}

ההסתברות שלא ייצא עץ אף פעם

1−18=781 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}

התשובה היא 78\frac{7}{8}. ״לפחות פעם אחת״ הוא ההפך של ״אף פעם״, ואת ״אף פעם״ קל לחשב. 38\frac{3}{8} היא ההסתברות לעץ בדיוק פעם אחת.

Check the answer on elev

Exercise 8

בשקית 1212 כדורים, חלקם לבנים והשאר שחורים. מוציאים שני כדורים בזה אחר זה, בלי להחזיר. ההסתברות ששניהם לבנים היא 111\frac{1}{11}. כמה כדורים לבנים יש בשקית?

  1. 33
  2. 66
  3. 44
  4. 11
Show the answer and the solution

Answer: C 44

Worked solution:

w12×w−111=111\frac{w}{12} \times \frac{w - 1}{11} = \frac{1}{11}

w — מספר הלבנים

w×(w−1)=12w \times (w - 1) = 12

המספר כפול העוקב הקודם לו

4×3=12⇒w=4\begin{aligned}4 \times 3 &= 12 \quad \Rightarrow \quad w \\ &= 4\end{aligned}

התשובה היא 44. בדיקה: 412×311=12132=111\frac{4}{12} \times \frac{3}{11} = \frac{12}{132} = \frac{1}{11}. עם 33 לבנים מקבלים 6132=122\frac{6}{132} = \frac{1}{22} — חצי מהנדרש.

Check the answer on elev

Exercise 9

ברז ממלא מכל ריק ב-44 שעות. פתח ניקוז מרוקן מכל מלא ב-66 שעות. המכל ריק. פותחים את הברז, ואחרי שעה פותחים גם את פתח הניקוז. כמה שעות אחרי פתיחת הברז יתמלא המכל?

  1. 1313
  2. 1010
  3. 99
  4. 1212
Show the answer and the solution

Answer: B 1010

Worked solution:

14\frac{1}{4}

אחרי השעה הראשונה המכל מלא ברבע

14−16=112\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12}

מכאן הוא מתמלא בקצב של 1/12 מכל בשעה

34÷112=9\frac{3}{4} \div \frac{1}{12} = 9

עוד 9 שעות

1+9=101 + 9 = 10

התשובה היא 1010 שעות. 99 הוא הזמן אחרי שהניקוז נפתח — השאלה סופרת מפתיחת הברז. 1212 מתאים למקרה שבו שניהם נפתחים יחד מההתחלה.

Check the answer on elev

Exercise 10

קבוצת מטיילים יצאה לדרך בשעה 7:007{:}00 והלכה במהירות 55 ק״מ לשעה. בשעה 8:308{:}30 יצא אחריה רוכב אופניים מאותה נקודה, במהירות 2020 ק״מ לשעה. הוא השיג את הקבוצה, מסר לה חבילה, ומיד חזר לנקודת ההתחלה באותה מהירות. באיזו שעה חזר הרוכב?

  1. 9:309{:}30
  2. 10:0010{:}00
  3. 9:009{:}00
  4. 9:459{:}45
Show the answer and the solution

Answer: A 9:309{:}30

Worked solution:

5×1.5=7.55 \times 1.5 = 7.5

בשעה 8:30 הקבוצה רחוקה 7.5 ק״מ

7.5÷(20−5)=0.57.5 \div (20 - 5) = 0.5

הרוכב משיג אותה בשעה 9:00

20×0.5=1010÷20=0.5\begin{aligned}20 \times 0.5 &= 10 \qquad 10 \div 20 \\ &= 0.5\end{aligned}

10 ק״מ מנקודת ההתחלה, וחצי שעה חזרה

התשובה היא 9:309{:}30. 9:009{:}00 היא השעה שבה הרוכב השיג את הקבוצה, לפני הדרך חזרה. הדרך חזרה ארוכה מ-7.57.5 ק״מ, כי בזמן המרדף הקבוצה המשיכה ללכת.

Check the answer on elev

Exercise 11

בבית ספר א׳ נבחנו 300300 תלמידים, ו-60%60\% מהם עברו את המבחן. בבית ספר ב׳ נבחנו 200200 תלמידים, ו-80%80\% מהם עברו. איזה אחוז מכל הנבחנים בשני בתי הספר יחד עברו את המבחן?

  1. 68%68\%
  2. 70%70\%
  3. 140%140\%
  4. 72%72\%
Show the answer and the solution

Answer: A 68%68\%

Worked solution:

60%×300=18080%×200=160\begin{aligned}60\% \times 300 &= 180 \qquad 80\% \times 200 \\ &= 160\end{aligned}

עוברים בכל בית ספר

180+160500=340500=68%\begin{aligned}\frac{180 + 160}{500} &= \frac{340}{500} \\ &= 68\%\end{aligned}

התשובה היא 68%68\%. 70%70\% הוא ממוצע שני האחוזים, והוא נכון רק כששני בתי הספר באותו גודל. בית ספר א׳ גדול יותר, ולכן הוא מושך את התוצאה לכיוון 60%60\%.

Check the answer on elev

Exercise 12

ברשימה 77 מספרים שונים. מגדילים את המספר הגדול ביותר ברשימה ב-1414, ושאר המספרים לא משתנים. מה נכון בוודאות?

  1. הממוצע גדל ב-1414, והחציון לא השתנה
  2. החציון גדל ב-22, והממוצע לא השתנה
  3. גם הממוצע וגם החציון גדלו ב-22
  4. הממוצע גדל ב-22, והחציון לא השתנה
Show the answer and the solution

Answer: D הממוצע גדל ב-22, והחציון לא השתנה

Worked solution:

14÷7=214 \div 7 = 2

הסכום גדל ב-14, והוא מתחלק בין 7 מספרים

המספר הרביעי בגודלו\text{המספר הרביעי בגודלו}

החציון הוא המספר האמצעי, והוא לא זז

התשובה היא הממוצע גדל ב-22, והחציון לא השתנה. החציון תלוי רק במספר שבאמצע הרשימה המסודרת, והמספר הגדול נשאר גדול — הסדר לא משתנה. הממוצע, לעומת זאת, רגיש לכל מספר. 1414 הוא השינוי בסכום, לא בממוצע.

Check the answer on elev

Exercise 13

בטרפז שווה-שוקיים אחת הזוויות היא 65∘65^\circ. מהו הסכום של שתי הזוויות הגדולות בטרפז?

  1. 180∘180^\circ
  2. 130∘130^\circ
  3. 295∘295^\circ
  4. 230∘230^\circ
Show the answer and the solution

Answer: D 230∘230^\circ

Worked solution:

65∘, 65∘65^\circ, \ 65^\circ

בטרפז שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות

180∘−65∘=115∘180^\circ - 65^\circ = 115^\circ

זווית סמוכה לשוק משלימה ל-180 מעלות

115∘+115∘=230∘115^\circ + 115^\circ = 230^\circ

התשובה היא 230∘230^\circ. 130∘130^\circ הוא הסכום של שתי הזוויות הקטנות. 180∘180^\circ הוא הסכום של שתי זוויות סמוכות לאותה שוק — זווית אחת קטנה ואחת גדולה.

Check the answer on elev

Exercise 14

קובייה שאורך המקצוע שלה 44 ס״מ נחתכת לקוביות קטנות שאורך המקצוע של כל אחת 11 ס״מ. פי כמה גדול סכום שטחי הפנים של כל הקוביות הקטנות משטח הפנים של הקובייה הגדולה?

  1. פי 44
  2. הם שווים
  3. פי 1616
  4. פי 6464
Show the answer and the solution

Answer: A פי 44

Worked solution:

6×4×4=966 \times 4 \times 4 = 96

שטח הפנים של הקובייה הגדולה

4×4×4=644 \times 4 \times 4 = 64

מספר הקוביות הקטנות

64×6=384384÷96=4\begin{aligned}64 \times 6 &= 384 \qquad 384 \div 96 \\ &= 4\end{aligned}

התשובה היא פי 44. 6464 הוא היחס בין הנפחים — מספר הקוביות. ״הם שווים״ מבלבל בין שטח הפנים לנפח: הנפח הכולל לא משתנה, אבל כל חיתוך חושף פאות חדשות.

Check the answer on elev

Exercise 15

בתוך עיגול גדול שהרדיוס שלו 1010 ס״מ מצוירים שני עיגולים קטנים ושווים. שניהם נוגעים זה בזה, ושני המרכזים שלהם נמצאים על קוטר של העיגול הגדול, כך ששני העיגולים הקטנים ממלאים יחד את הקוטר כולו. מה השטח של החלק בעיגול הגדול שמחוץ לשני העיגולים הקטנים? (π=3.14\pi = 3.14)

  1. 235.5235.5 סמ״ר
  2. 00 סמ״ר
  3. 157157 סמ״ר
  4. 78.578.5 סמ״ר
Show the answer and the solution

Answer: C 157157 סמ״ר

Worked solution:

20÷4=520 \div 4 = 5

הקוטר, 20 ס״מ, מורכב משני קטרים קטנים — לכן הרדיוס הקטן 5

3.14×10×10=3143.14 \times 10 \times 10 = 314

העיגול הגדול

2×3.14×5×5=1572 \times 3.14 \times 5 \times 5 = 157

שני העיגולים הקטנים

314−157=157314 - 157 = 157

התשובה היא 157157 סמ״ר — בדיוק חצי מהעיגול הגדול. הרדיוס של כל עיגול קטן הוא חצי מהרדיוס הגדול, ולכן השטח שלו הוא רבע מהשטח הגדול, לא חצי. מי שחושב ״חצי רדיוס — חצי שטח״ מקבל ששני הקטנים ממלאים את כל הגדול, ובוחר 00. 78.578.5 הוא השטח של עיגול קטן אחד.

Check the answer on elev

פרק ב׳ — חשיבה מתמטית-לוגית

Exercise 16

איזה מספר צריך לבוא במקום הריק בסדרה: 1,2,2,4,3,8,5,16,8,__1, 2, 2, 4, 3, 8, 5, 16, 8, \_\_ ?

  1. 1111
  2. 1313
  3. 3232
  4. 2424
Show the answer and the solution

Answer: C 3232

Worked solution:

1, 2, 3, 5, 81, \ 2, \ 3, \ 5, \ 8

המקומות האי-זוגיים: כל איבר הוא סכום שני הקודמים

2, 4, 8, 16, 322, \ 4, \ 8, \ 16, \ 32

המקומות הזוגיים: כל פעם כפול 2

התשובה היא 3232. 1313 הוא האיבר הבא בסדרת המקומות האי-זוגיים (5+85 + 8) — אבל המקום הריק הוא העשירי, מקום זוגי.

Check the answer on elev

Exercise 17

נגדיר פעולה חדשה: a⊕b=a+b2a \oplus b = \frac{a + b}{2} (הממוצע של שני המספרים). איזו מהטענות הבאות נכונה לכל שלושה מספרים aa, bb, cc?

  1. a⊕a=2aa \oplus a = 2a
  2. (a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c)(a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)
  3. a⊕0=aa \oplus 0 = a
  4. a⊕b=b⊕aa \oplus b = b \oplus a
Show the answer and the solution

Answer: D a⊕b=b⊕aa \oplus b = b \oplus a

Worked solution:

a+b2=b+a2\frac{a + b}{2} = \frac{b + a}{2}

הסדר לא משנה

(0⊕0)⊕4=20⊕(0⊕4)=1\begin{aligned}(0 \oplus 0) \oplus 4 &= 2 \qquad 0 \oplus (0 \oplus 4) \\ &= 1\end{aligned}

דוגמה נגדית לטענה השנייה

1⊕1=12⊕0=1\begin{aligned}1 \oplus 1 &= 1 \qquad 2 \oplus 0 \\ &= 1\end{aligned}

דוגמאות נגדיות לשתי האחרונות

התשובה היא a⊕b=b⊕aa \oplus b = b \oplus a. הטענה השנייה נכונה בחיבור ובכפל, ולכן היא נראית ״טבעית״ — אבל בממוצע היא נכשלת: המספר שנכנס אחרון מקבל משקל של חצי, והראשונים רק רבע.

Check the answer on elev

Exercise 18

ארבעה ילדים — אלה, בן, גל ודנה — ובדיוק אחד מהם דובר אמת. אלה אמרה: ״בן משקר.״ בן אמר: ״גל משקר.״ גל אמר: ״אלה ובן שניהם משקרים.״ דנה אמרה: ״גל דובר אמת.״ מי דובר האמת?

  1. גל
  2. בן
  3. דנה
  4. אלה
Show the answer and the solution

Answer: B בן

Worked solution:

גל⇔דנה\text{גל} \Leftrightarrow \text{דנה}

דנה אומרת שגל דובר אמת: שניהם אמת או שניהם שקר. רק אחד דובר אמת — לכן שניהם משקרים

גל משקר⇒אלה או בן\text{גל משקר} \Rightarrow \text{אלה או בן}

המשפט של גל שקרי: לא נכון ששניהם משקרים

בן\text{בן}

בן אומר ״גל משקר״ — וזה נכון. ואלה, שאומרת ״בן משקר״, משקרת

התשובה היא בן. המפתח הוא דנה: המשפט שלה קושר אותה לגל, ולכן שניהם באותו מצב — ומכיוון שיש רק דובר אמת אחד, שניהם משקרים. מכאן נשארים אלה ובן, והמשפט של אלה מתגלה כשקר.

Check the answer on elev

Exercise 19

טל, נגה ועידו לובשים חולצות בשלושה צבעים שונים — אדום, ירוק וכחול — ונועלים נעליים בשלושה צבעים שונים, באותם שלושה צבעים. אף אחד מהם אינו לובש חולצה ונעליים באותו צבע. החולצה של טל אדומה. הנעליים של נגה כחולות. עידו אינו לובש שום דבר ירוק. מה צבע הנעליים של עידו?

  1. כחול
  2. אדום
  3. לא ניתן לדעת
  4. ירוק
Show the answer and the solution

Answer: B אדום

Worked solution:

עידו: חולצה≠אדומה, ירוקה\text{עידו: חולצה} \neq \text{אדומה}, \ \text{ירוקה}

האדומה של טל, והוא לא לובש ירוק — לכן חולצה כחולה

עידו: נעליים≠כחולות, ירוקות\text{עידו: נעליים} \neq \text{כחולות}, \ \text{ירוקות}

הכחולות של נגה — לכן נעליים אדומות

נגה: חולצה ירוקהטל: נעליים ירוקות\text{נגה: חולצה ירוקה} \qquad \text{טל: נעליים ירוקות}

ובדיקה: אף אחד אינו באותו צבע מלמעלה ומלמטה

התשובה היא אדום. מתחילים ממי שיש עליו הכי הרבה הגבלות — עידו. החולצה שלו אינה אדומה (של טל) ואינה ירוקה, והנעליים שלו אינן כחולות (של נגה) ואינן ירוקות. כל השאר נסגר מעצמו.

Check the answer on elev

Exercise 20

כמה זוגות של מספרים ראשוניים pp ו-qq, עם p<qp < q, מקיימים p+q=2,025p + q = 2{,}025?

  1. 00
  2. יותר מ-22
  3. 22
  4. 11
Show the answer and the solution

Answer: A 00

Worked solution:

2,025=זוגי+אי-זוגי2{,}025 = \text{זוגי} + \text{אי-זוגי}

סכום אי-זוגי — אחד המספרים זוגי

p=2⇒q=2,023\begin{aligned}p &= 2 \quad \Rightarrow \quad q \\ &= 2{,}023\end{aligned}

הראשוני הזוגי היחיד הוא 2

2,023=7×2892{,}023 = 7 \times 289

אבל 2,023 אינו ראשוני

התשובה היא 00. נראה שבין כל כך הרבה מספרים ״חייב להיות״ זוג — אבל הזוגיות משאירה אפשרות אחת בלבד, 2+2,0232 + 2{,}023, ו-2,0232{,}023 מתחלק ב-77. מי שעוצר אחרי השלב השני בוחר 11 בלי לבדוק את 2,0232{,}023.

Check the answer on elev

Exercise 21

nn הוא מספר שלם כלשהו. איזה מהביטויים הבאים הוא בהכרח מספר שלם?

  1. n×n+n6\frac{n \times n + n}{6}
  2. n×n×n−n12\frac{n \times n \times n - n}{12}
  3. n×n×n−n6\frac{n \times n \times n - n}{6}
  4. n×n−n4\frac{n \times n - n}{4}
Show the answer and the solution

Answer: C n×n×n−n6\frac{n \times n \times n - n}{6}

Worked solution:

n×n×n−n=(n−1)×n×(n+1)n \times n \times n - n = (n - 1) \times n \times (n + 1)

מכפלה של שלושה עוקבים — מתחלקת ב-6

n=2:24612\begin{aligned}n &= 2: \quad \frac{2}{4} \\ \quad \frac{6}{12}\end{aligned}

דוגמה נגדית לשני ולשלישי

n=1:26n = 1: \quad \frac{2}{6}

דוגמה נגדית לרביעי

התשובה היא n×n×n−n6\frac{n \times n \times n - n}{6}. הפירוק (n−1)×n×(n+1)(n-1) \times n \times (n+1) מראה שזו מכפלה של שלושה מספרים עוקבים, ובהם תמיד מספר זוגי וכפולה של 33. לחלוקה ב-1212 כבר אין ערובה: n=2n=2 נותן 612\frac{6}{12}.

Check the answer on elev

Exercise 22

המשפט ״אם מספר מתחלק ב-44, אז הוא זוגי״ נכון. דני טוען שגם המשפט ההפוך — ״אם מספר זוגי, אז הוא מתחלק ב-44״ — נכון. איזה מהמספרים הבאים מראה שדני טועה?

  1. 1212
  2. 88
  3. 66
  4. 77
Show the answer and the solution

Answer: C 66

Worked solution:

6=2×36 = 2 \times 3

זוגי

6÷4=1.56 \div 4 = 1.5

ואינו מתחלק ב-4

התשובה היא 66: הוא זוגי, ואינו מתחלק ב-44 — בדיוק מה שהמשפט של דני אומר שלא יקרה. 88 ו-1212 מתאימים למשפט, ולכן אינם מפריכים אותו. 77 אינו זוגי, ולכן המשפט של דני לא אומר עליו דבר.

Check the answer on elev

Exercise 23

כמה מספרים תלת-ספרתיים יש שכל הספרות שלהם אי-זוגיות, ואין בהם ספרה שחוזרת פעמיים?

  1. 125125
  2. 120120
  3. 6060
  4. 1010
Show the answer and the solution

Answer: C 6060

Worked solution:

1,3,5,7,91, 3, 5, 7, 9

5 ספרות אי-זוגיות

5×4×3=605 \times 4 \times 3 = 60

מאות, עשרות, אחדות — כל פעם אחת פחות

התשובה היא 6060. 125125 (5×5×55 \times 5 \times 5) מרשה ספרות חוזרות, כמו 111111. 1010 סופר רק את קבוצות הספרות, בלי הסדר — אבל 135135 ו-531531 הם שני מספרים שונים.

Check the answer on elev

Exercise 24

xx ו-yy הם מספרים חיוביים, x<yx < y, ו-x×y=1x \times y = 1. איזו מהטענות הבאות נכונה בהכרח?

  1. x<1<yx < 1 < y
  2. x+y<2x + y < 2
  3. x+y=2x + y = 2
  4. y<1y < 1
Show the answer and the solution

Answer: A x<1<yx < 1 < y

Worked solution:

x=0.5 y=2:x+y=2.5\begin{aligned}x &= 0.5 \\ \ y &= 2: \quad x + y \\ &= 2.5\end{aligned}

דוגמה

x≥1⇒y≤1≤xx \geq 1 \Rightarrow y \leq 1 \leq x

אילו x היה 1 או יותר, המכפלה הייתה מחייבת y קטן ממנו — סתירה

התשובה היא x<1<yx < 1 < y. אילו שניהם היו גדולים מ-11, המכפלה הייתה גדולה מ-11; ואילו שניהם היו קטנים — קטנה. הדוגמה 0.50.5 ו-22 פוסלת את שתי טענות הסכום: x+y=2x + y = 2 רק כששניהם שווים ל-11, והשאלה אומרת ש-x<yx < y.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade