סדר הפעולות — הכללים שמכריעים · Order of operations · Bar-Ilan — entrance exam for ⁨ח׳⁩ (pupils in ⁨ז׳⁩)

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בכיתה ח׳ המבחן מפסיק לשאול ״כמה זה״ ומתחיל לשאול ״באיזה סדר״. תרגיל אחד ארוך, עם סוגריים מקוננים, חזקה וערך מוחלט, בודק דבר אחד: אם אתם עובדים לפי כלל או לפי הרגל. אין מחשבון, וזה מכוון — כל תרגיל נבנה כך שהמספרים יוצאים נוחים אם הסדר נכון, ומכוערים אם לא.

הסדר, מלמעלה למטה

(\ )

סוגריים, מבפנים החוצה

a^{n}

חזקות ושורשים

\times \ :

כפל וחילוק, משמאל לימין

+ \ -

חיבור וחיסור, משמאל לימין

Interactive activity

מה עושים קודם?

חשבו: $12 : 3 \times 2$ . ואחר כך: $20 - 4 + 3$ .

$2$ ו- $13$

$8$ ו- $19$

$8$ ו- $13$

$2$ ו- $19$

ב- $12 : 3 \times 2$ — איזו פעולה ראשונה?

$12 : 3$ — היא כתובה ראשונה

Show the answer and the solution

כפל וחילוק באותה דרגה, ולכן עובדים משמאל לימין.

$3 \times 2$ — כפל לפני חילוק

Show the answer and the solution

אין כלל כזה. כפל וחילוק שווים בדרגה, והסדר הכתוב מכריע.

12 : 3 \times 2 = 4 \times 2

קודם החילוק, כי הוא משמאל.

ומה נשאר לעשות?

$4 \times 2$

Show the answer and the solution

נשארה פעולה אחת.

$12 : 8$

Show the answer and the solution

את $12$ כבר חילקנו. הוא לא חוזר לתרגיל.

4 \times 2 = 8

התוצאה $8$ , ולא $2$ .

ב- $20 - 4 + 3$ — איזו פעולה ראשונה?

$4 + 3$ — חיבור לפני חיסור

Show the answer and the solution

חיבור וחיסור באותה דרגה. גם כאן עובדים משמאל לימין.

$20 - 4$ — היא כתובה ראשונה

Show the answer and the solution

אותו כלל כמו בכפל וחילוק.

\begin{aligned}20 - 4 + 3 &= 16 + 3 \\ &= 19\end{aligned}

התוצאה $19$ , ולא $13$ .

Show the answer and the solution

$8$ ו- $19$ . מי שהעדיף את הכפל על החילוק קיבל $2$ , ומי שהעדיף את החיבור על החיסור קיבל $13$ . שתי הטעויות האלה הן בדיוק המסיחים של המבחן.

Do the activity on elev

״משמאל לימין״ אינו קישוט. $12 : 3 \times 2$ אינו $12 : 6$ אלא $4 \times 2 = 8$ . כפל וחילוק שווים בדרגה, ולכן מבצעים אותם לפי הסדר שבו הם כתובים — לא קודם את הכפל.

המלכודת הראשונה: להעדיף את הכפל על החילוק.

\begin{aligned}12 : 3 \times 2 &= 12 : 6 \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}12 : 3 \times 2 &= 4 \times 2 \\ &= 8\end{aligned}

אותה דרגה, אז לפי הסדר הכתוב

\begin{aligned}20 - 4 + 3 &= 20 - 7 \\ &= 13\end{aligned}

\begin{aligned}20 - 4 + 3 &= 16 + 3 \\ &= 19\end{aligned}

אותו כלל, לחיבור וחיסור

חוק הפילוג, בשני הכיוונים

הפילוג אינו רק כלי לפתיחת סוגריים — הוא גם כלי לסגור אותם, וזה מה שחוסך זמן. $37 \times 8 + 63 \times 8$ אינו שני כפלים אלא $(37 + 63) \times 8 = 800$ , ואת זה עושים בראש.

Interactive activity

לסגור במקום לפתוח

37 \times 8 + 63 \times 8

לחצו «להתחיל». שימו לב: המספר $8$ מופיע בשני המחוברים.

מזהים

37 \times \mathbf{8} + 63 \times \mathbf{8}

אותו מספר, $8$ , חוזר בשני המחוברים. זה הגורם המשותף.

מוציאים

(37 + 63) \times 8

מוציאים את $8$ מחוץ לסוגריים. זה חוק הפילוג, מימין לשמאל.

סוגריים

100 \times 8

בתוך הסוגריים יוצא מספר עגול: $37 + 63 = 100$ .

תוצאה

= 800

כפל אחד קל, במקום שני כפלים קשים.

הפילוג עובד בשני הכיוונים: $a(b+c) = ab + ac$ פותח סוגריים, ו- $ab + ac = a(b+c)$ סוגר אותם.

Do the activity on elev

a(b + c) = ab + ac

חוק הפילוג

כמה הוא $99 \times 47$ , בלי מחשבון?

Show the answer and the solution

$4{,}653$ . כותבים $99 = 100 - 1$ ומפלגים: $100 \times 47 - 1 \times 47 = 4700 - 47 = 4653$ . הפילוג הופך כפל קשה לחיסור קל.

חזקה: מה בדיוק מוגבה

Interactive activity

$-2^{2}$ מול $(-2)^{2}$

-2^{2} \quad \text{מול} \quad (-2)^{2}

לחצו «להתחיל». השאלה: על מה פועלת החזקה?

בלי סוגריים

-2^{2} = -(2 \times 2)

החזקה פועלת רק על $2$ . המינוס מחכה בחוץ.

תוצאה

-2^{2} = -4

התוצאה שלילית.

עם סוגריים

(-2)^{2} = (-2) \times (-2)

הסוגריים מכניסים גם את המינוס לחזקה.

תוצאה

(-2)^{2} = 4

שני מינוסים — תוצאה חיובית.

אותן ספרות, תשובות הפוכות. בודקים תמיד אם יש סוגריים סביב המינוס.

Do the activity on elev

$-2^{2}$ ו- $(-2)^{2}$ אינם אותו דבר. בראשון החזקה חלה על $2$ בלבד והמינוס נשאר מחוץ, ולכן התוצאה היא $-4$ ; בשני הסוגריים מכניסים גם את הסימן, והתוצאה היא $4$ . המבחן מציב את שני הביטויים באותה שאלה.

(-2)^{2} = 4

הסוגריים כוללים את הסימן

-2^{2} = -4

בלעדיהם, רק ה-2 מוגבה

(-2)^{3} = -8

חזקה אי-זוגית שומרת על הסימן

(-2)^{4} = 16

וזוגית מוחקת אותו

חזקה זוגית של מספר שלילי היא חיובית; חזקה אי-זוגית נשארת שלילית. מכאן שכל שאלת ״מי הגדול״ בין חזקות של שליליים נפתרת בשני מבטים — קודם הסימן, ואז הגודל.

ערך מוחלט

$|a|$ הוא המרחק של $a$ מאפס, ולכן הוא לעולם אינו שלילי. הוא מתנהג כמו סוגריים: מחשבים קודם מה שבפנים, ורק אז מסירים את הסימן.

האם $|a - b|$ ו- $|b - a|$ שווים תמיד?

Show the answer and the solution

כן, תמיד. שניהם מודדים את המרחק בין $a$ ל- $b$ , והמרחק אינו תלוי בכיוון. זו אחת הטענות ה״תמיד נכונות״ שהמבחן אוהב לבחון.

הסדר, מלמעלה למטה

חוק הפילוג, בשני הכיוונים

חזקה: מה בדיוק מוגבה

ערך מוחלט

Keep practising on elev