The full question: the kite · Kite · Kita ט

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

במבחן, גאומטריה לא מגיעה כתרגיל בודד. מגיעים שרטוט, נתון, ושלושה או ארבעה סעיפים.

הסעיפים נבנים זה על זה: הראשון מוכיח משהו קטן, השני משתמש בו, והאחרון מחשב מספר. מי שמדלג על סעיף א׳ נתקע בסעיף ג׳.

שלושת הכללים של תשובה מתקבלת

1

כל טענה — ונימוק לצידה. ״כי כך נראה בשרטוט״ אינו נימוק. הנימוק הוא נתון, הגדרה, או משפט שלמדתם.

2

מה שהוכחתם — מותר להשתמש בו. סעיף ב׳ נשען על סעיף א׳, וזה בדיוק הרעיון של השאלה המדורגת.

3

חפשו את המשולשים החופפים. ברוב ההוכחות, השוויון שמבקשים ממכם הוא ״צלעות מתאימות במשולשים חופפים״ — צריך רק למצוא איזה שני משולשים.

ובדלתון יש קיצור דרך שחוזר כמעט תמיד: האלכסון הראשי הוא ציר סימטריה.

הוא חוצה את שתי הזוויות שדרכן הוא עובר. הוא מאונך לאלכסון השני, וחוצה אותו.

שטח דלתון: $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$ — מכפלת האלכסונים חלקי שתיים. הנוסחה עובדת מפני שהאלכסונים מאונכים, ולכן היא נכונה גם במעוין ובריבוע.

בדלתון $ABCD$ ( $AB = AD$ , $CB = CD$ ) האלכסונים נחתכים ב- $M$ , ונתון $MB = 12$ , $AM = 5$ . מהו אורך $AB$ ?

Show the answer and the solution

13. האלכסונים מאונכים, ולכן המשולש $AMB$ ישר-זווית: $AB^2 = 5^2 + 12^2 = 169$ .

ולמה בכלל מותר להפעיל שם את משפט פיתגורס?

Show the answer and the solution

מפני שהוכחנו קודם ש- $AC \perp BD$ . פיתגורס אינו נתון — הוא תוצאה של ההוכחה, וזו בדיוק הסיבה שסעיף א׳ מגיע לפני סעיף ב׳.

שתי טעויות שמורידות נקודות גם כשהתשובה נכונה.

AB = AD

AB = AD \ (\text{נתון})

טענה בלי נימוק אינה שורה בהוכחה. גם ״נתון״ הוא נימוק — צריך רק לכתוב אותו.

S = d_1 \cdot d_2

S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

מכפלת האלכסונים היא שטח המלבן החוסם — הדלתון הוא בדיוק חציו.

Exercises

Exercise 1

האלכסונים מסומנים במקווקו.

E

ו-

F

מרוחקות במידה שווה מ-

B

ומ-

D

בשרטוט 1 נתון דלתון $ABCD$ שבו $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AB$ , הנקודה $F$ על הצלע $AD$ , ונתון $BE = DF$ . א. הוכיחו: $AE = AF$ .

$AB = AD$
$CB = CD$
$E$ על $AB$ ו- $F$ על $AD$
$BE = DF$

$AE = AF$

Show the answer and the solution

$AB = AD$ — נתון
$BE = DF$ — נתון
$AE = AB - BE$ — $E$ נמצאת על הצלע $AB$
$AF = AD - DF$ — $F$ נמצאת על הצלע $AD$
$AE = AF$ — הפרש של גדלים שווים

Worked solution:

\begin{aligned}AE &= AB - BE \ \\ \ AF &= AD - DF\end{aligned}

$E$ על $AB$ ו- $F$ על $AD$

\begin{aligned}AE &= AB - BE \\ &= AD - DF \\ &= AF\end{aligned}

מחסרים גדלים שווים מגדלים שווים

אין כאן חפיפה בכלל — רק חיסור. $AB = AD$ נתון, $BE = DF$ נתון, ומה שנשאר שווה גם הוא.

Check the answer on elev

Exercise 2

האלכסונים מסומנים במקווקו.

E

ו-

F

מרוחקות במידה שווה מ-

B

ומ-

D

בשרטוט 1 נתון דלתון $ABCD$ שבו $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AB$ , הנקודה $F$ על הצלע $AD$ , ונתון $BE = DF$ . ב. הוכיחו: $\triangle CBE \cong \triangle CDF$ .

$AB = AD$
$CB = CD$
$E$ על $AB$ ו- $F$ על $AD$
$BE = DF$

$\triangle CBE \cong \triangle CDF$

Show the answer and the solution

$CB = CD$ — נתון
$BE = DF$ — נתון
$\angle ABC = \angle ADC$ — בדלתון הזוויות שבין הצלעות הלא-שוות שוות זו לזו
$\angle CBE = \angle ABC$ — $E$ על הצלע $AB$ , ולכן זו אותה זווית
$\angle CDF = \angle ADC$ — $F$ על הצלע $AD$ , ולכן זו אותה זווית
$\angle CBE = \angle CDF$ — שוויון עובר
$\triangle CBE \cong \triangle CDF$ — משפט חפיפה צ.ז.צ

Worked solution:

\angle ABC = \angle ADC

בדלתון הזוויות שבין הצלעות הלא-שוות שוות

\angle CBE = \angle CDF

אותן זוויות, כי $E$ על $AB$ ו- $F$ על $AD$

\begin{aligned}CB &= CD \ \\ \ \angle CBE &= \angle CDF \ \\ \ BE &= DF\end{aligned}

שתי צלעות והזווית שביניהן

\triangle CBE \cong \triangle CDF

משפט חפיפה צ.ז.צ

הזווית שבין $BE$ ל- $BC$ היא בדיוק $\angle ABC$ , כי $E$ נמצאת על $AB$ . זו הזווית שהופכת את שני הנתונים לצ.ז.צ.

Check the answer on elev

Exercise 3

האלכסונים מסומנים במקווקו.

E

ו-

F

מרוחקות במידה שווה מ-

B

ומ-

D

בשרטוט 1 נתון דלתון $ABCD$ שבו $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AB$ , הנקודה $F$ על הצלע $AD$ , ונתון $BE = DF$ . ג. הוכיחו: $EF \parallel BD$ .

$AB = AD$
$CB = CD$
$E$ על $AB$ ו- $F$ על $AD$
$BE = DF$

$EF \parallel BD$

Show the answer and the solution

$AE = AF$ — הוכח בסעיף א
$\triangle AEF$ שווה-שוקיים — משולש שיש בו שתי צלעות שוות הוא שווה-שוקיים
$\angle AEF = \frac{180° - \angle A}{2}$ — זוויות הבסיס במשולש $AEF$
$AB = AD$ — נתון
$\triangle ABD$ שווה-שוקיים — משולש שיש בו שתי צלעות שוות הוא שווה-שוקיים
$\angle ABD = \frac{180° - \angle A}{2}$ — זוויות הבסיס במשולש $ABD$
$\angle AEF = \angle ABD$ — שני הגדלים שווים לאותו ביטוי
$EF \parallel BD$ — זוויות מתאימות שוות ⇐ הישרים מקבילים

Worked solution:

\begin{aligned}AE &= AF \ \\ \ AB &= AD\end{aligned}

סעיף א, ונתון

\begin{aligned}\angle AEF &= \frac{180^\circ - \angle A}{2} \\ &= \angle ABD\end{aligned}

זוויות הבסיס בשני משולשים שווי-שוקיים עם אותה זווית ראש

EF \parallel BD

זוויות מתאימות שוות

שני המשולשים $AEF$ ו- $ABD$ שווי-שוקיים, ויש להם אותה זווית ראש $\angle A$ . לכן גם זוויות הבסיס שלהם שוות, והן זוויות מתאימות על הישרים $EF$ ו- $BD$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

האלכסונים מסומנים במקווקו.

E

ו-

F

מרוחקות במידה שווה מ-

B

ומ-

D

בשרטוט 1 נתון דלתון $ABCD$ שבו $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AB$ , הנקודה $F$ על הצלע $AD$ , ונתון $BE = DF$ . ד. נתון בנוסף $\angle BAD = 50°$ . חשבו את $\angle AEF$ (בדרגות).

Show the answer and the solution

Answer: 65

Worked solution:

AE = AF

מסעיף א — המשולש שווה-שוקיים

\begin{aligned}\angle AEF &= \frac{180° - 50°}{2} \\ &= 65°\end{aligned}

זוויות הבסיס

שימו לב ש- $\angle ABD$ שווה גם הוא ל- $65°$ — וזה בדיוק מה שהוכיח את המקבילות בסעיף ג.

Check the answer on elev

Exercise 5

AMD

הוא ישר אחד: התיכון

AM

ממשיך אל

D

בשרטוט 2 נתון משולש שווה-שוקיים $ABC$ שבו $AB = AC$ , ו- $AM$ הוא התיכון לבסיס $BC$ . הנקודה $D$ נמצאת על המשך $AM$ מעבר ל- $M$ . א. הוכיחו: $DB = DC$ .

$AB = AC$
$AM$ תיכון לבסיס $BC$
$D$ על המשך $AM$ מעבר ל- $M$

$DB = DC$

Show the answer and the solution

$AB = AC$ — נתון
$BM = MC$ — נתון: $AM$ תיכון, ולכן $M$ אמצע $BC$
$AM = AM$ — צלע משותפת לשני המשולשים
$\triangle ABM \cong \triangle ACM$ — משפט חפיפה צ.צ.צ
$\angle AMB = \angle AMC$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
$\angle AMB + \angle AMC = 180°$ — זוויות צמודות על הישר $BC$
$\angle AMB = 90°$ — שתי זוויות שוות שסכומן $180°$
$\angle DMB = \angle DMC = 90°$ — זוויות צמודות לזוויות ישרות — ישרות
$DM = DM$ — צלע משותפת לשני המשולשים
$\triangle DBM \cong \triangle DCM$ — משפט חפיפה צ.ז.צ
$DB = DC$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Worked solution:

\triangle ABM \cong \triangle ACM

משפט חפיפה צ.צ.צ

\begin{aligned}\angle AMB &= \angle AMC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

שוות וצמודות

\begin{aligned}\angle DMB &= \angle DMC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

צמודות לזוויות ישרות

\triangle DBM \cong \triangle DCM \Rightarrow DB = DC

משפט חפיפה צ.ז.צ, ואז צלעות מתאימות

החפיפה הראשונה אינה נותנת את המבוקש — היא נותנת את הזווית הישרה ב- $M$ , שבלעדיה החפיפה השנייה בלתי אפשרית.

Check the answer on elev

Exercise 6

AMD

הוא ישר אחד: התיכון

AM

ממשיך אל

D

בשרטוט 2 נתון משולש שווה-שוקיים $ABC$ שבו $AB = AC$ , ו- $AM$ הוא התיכון לבסיס $BC$ . הנקודה $D$ נמצאת על המשך $AM$ מעבר ל- $M$ . ב. הוכיחו: מרובע $ABDC$ הוא דלתון.

$AB = AC$
$AM$ תיכון לבסיס $BC$
$D$ על המשך $AM$ מעבר ל- $M$

מרובע $ABDC$ הוא דלתון

Show the answer and the solution

$AB = AC$ — נתון
$DB = DC$ — הוכח בסעיף א
מרובע $ABDC$ הוא דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה

Worked solution:

AB = AC

נתון — שתי הצלעות נפגשות ב- $A$

DB = DC

סעיף א — שתי הצלעות נפגשות ב- $D$

שני הזוגות הם של צלעות סמוכות: כל זוג נפגש בקודקוד אחד. לכן $ABDC$ דלתון, ו- $AD$ הוא האלכסון הראשי שלו.

Check the answer on elev

Exercise 7

AMD

הוא ישר אחד: התיכון

AM

ממשיך אל

D

בשרטוט 2 נתון משולש שווה-שוקיים $ABC$ שבו $AB = AC$ , ו- $AM$ הוא התיכון לבסיס $BC$ . הנקודה $D$ נמצאת על המשך $AM$ מעבר ל- $M$ . ג. נתון בנוסף $\angle BAC = 40°$ ו- $\angle BDC = 100°$ . חשבו את $\angle ABD$ (בדרגות).

Show the answer and the solution

Answer: 110

Worked solution:

\angle ABD = \angle ACD

בדלתון — הזוויות שבין הצלעות הלא-שוות

40° + 100° + 2x = 360°

סכום זוויות במרובע

x = 110°

סכום הזוויות בכל מרובע הוא $360°$ , ושתי הזוויות הנותרות שוות זו לזו — לכן מספיק לחלק את השארית לשניים.

Check the answer on elev

Exercise 8

AMD

הוא ישר אחד: התיכון

AM

ממשיך אל

D

בשרטוט 2 נתון משולש שווה-שוקיים $ABC$ שבו $AB = AC$ , ו- $AM$ הוא התיכון לבסיס $BC$ . הנקודה $D$ נמצאת על המשך $AM$ מעבר ל- $M$ . ד. נתון $\angle BAC = 40°$ . חשבו את $\angle BAM$ (בדרגות).

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

\triangle ABM \cong \triangle ACM

צ.צ.צ, כמו בסעיף א

\begin{aligned}\angle BAM &= \frac{40°}{2} \\ &= 20°\end{aligned}

התיכון לבסיס חוצה גם את זווית הראש

במשולש שווה-שוקיים התיכון לבסיס הוא גם חוצה זווית הראש וגם גובה — שלוש תכונות בקטע אחד.

Check the answer on elev

Exercise 9

AC

הוא האלכסון הראשי — הוא מחבר את שני הקודקודים שבין הצלעות השוות.

בשרטוט 3 נתון דלתון $ABCD$ שבו $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . האלכסונים נחתכים בנקודה $M$ . א. הוכיחו: $AC \perp BD$ .

$AB = AD$
$CB = CD$

$AC \perp BD$

Show the answer and the solution

$AB = AD$ — נתון
$CB = CD$ — נתון
$AC = AC$ — צלע משותפת לשני המשולשים
$\triangle ABC \cong \triangle ADC$ — משפט חפיפה צ.צ.צ
$\angle BAC = \angle DAC$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
$AM = AM$ — צלע משותפת לשני המשולשים
$\triangle ABM \cong \triangle ADM$ — משפט חפיפה צ.ז.צ
$\angle AMB = \angle AMD$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
$\angle AMB + \angle AMD = 180°$ — זוויות צמודות על הישר $BD$
$\angle AMB = 90°$ — שתי זוויות שוות שסכומן $180°$
$AC \perp BD$ — זווית ישרה בין שני ישרים היא בדיוק מאונכות

Worked solution:

\triangle ABC \cong \triangle ADC

משפט חפיפה צ.צ.צ — ומכאן $\angle BAC = \angle DAC$

\triangle ABM \cong \triangle ADM

משפט חפיפה צ.ז.צ

\begin{aligned}\angle AMB &= \angle AMD \ \\ \ \angle AMB + \angle AMD &= 180^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות, וזוויות צמודות

\angle AMB = 90^\circ

ולכן $AC \perp BD$

«שוות וצמודות ⇐ ישרות» היא התבנית שמוכיחה מאונכות. בזכותה מותר בסעיפים הבאים להפעיל את משפט פיתגורס במשולשים $AMB$ ו- $CMB$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

AC

הוא האלכסון הראשי — הוא מחבר את שני הקודקודים שבין הצלעות השוות.

בשרטוט 3 נתון דלתון $ABCD$ שבו $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . האלכסונים נחתכים בנקודה $M$ . ב. נתון בנוסף $AB = 13$ ס״מ ו- $MB = 12$ ס״מ. חשבו את $AM$ (בס״מ).

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\angle AMB = 90°

מסעיף א

\begin{aligned}AM^2 &= 13^2 - 12^2 \\ &= 25\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $AMB$

AM = 5

ההוכחה של סעיף א היא שמאפשרת את החישוב הזה: בלי הזווית הישרה, פיתגורס לא חל.

Check the answer on elev

Exercise 11

AC

הוא האלכסון הראשי — הוא מחבר את שני הקודקודים שבין הצלעות השוות.

בשרטוט 3 נתון דלתון $ABCD$ שבו $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . האלכסונים נחתכים בנקודה $M$ . ג. נתון $MB = 12$ ס״מ, $AM = 5$ ס״מ ו- $MC = 9$ ס״מ. חשבו את שטח הדלתון (בסמ״ר).

Show the answer and the solution

Answer: 168

Worked solution:

\begin{aligned}BD &= 2 \cdot 12 \\ &= 24\end{aligned}

האלכסון הראשי חוצה את המשני

\begin{aligned}AC &= 5 + 9 \\ &= 14\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{24 \cdot 14}{2} \\ &= 168\end{aligned}

מכפלת האלכסונים חלקי 2

הנוסחה $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$ תקפה בכל מרובע שאלכסוניו מאונכים — ולכן גם בדלתון.

Check the answer on elev

Exercise 12

AC

הוא האלכסון הראשי — הוא מחבר את שני הקודקודים שבין הצלעות השוות.

בשרטוט 3 נתון דלתון $ABCD$ שבו $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . האלכסונים נחתכים בנקודה $M$ . ד. נתון $MC = 9$ ס״מ ו- $MB = 12$ ס״מ. חשבו את היקף הדלתון (בס״מ), בהינתן $AB = 13$ ס״מ.

Show the answer and the solution

Answer: 56

Worked solution:

\begin{aligned}CB^2 &= 9^2 + 12^2 \\ &= 225\end{aligned}

פיתגורס במשולש $CMB$

CB = 15

\begin{aligned}P &= 2(13 + 15) \\ &= 56\end{aligned}

שתי צלעות מכל אורך

בדלתון יש בדיוק שני אורכי צלעות, כל אחד פעמיים — לכן ההיקף הוא $2(a+b)$ .

Check the answer on elev

Exercise 13

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

AB = AD

Show the answer and the solution

Answer: $AB = AD$ → $AB = AD \ (\text{נתון})$

Worked solution:

טענה בלי נימוק אינה שורה בהוכחה. גם ״נתון״ הוא נימוק — צריך רק לכתוב אותו.

Check the answer on elev

Exercise 14

בדלתון $ABCD$ ( $AB = AD$ , $CB = CD$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $M$ . נתון $AM = 5$ ס״מ, $MB = 12$ ס״מ ו- $MC = 16$ ס״מ. סדרו את הקטעים מהקצר לארוך.

$AB$
$AC$
$AM$
$BD$
$CB$
$MB$
$MC$

Show the answer and the solution

Answer: $AM$ · $MB$ · $AB$ · $MC$ · $CB$ · $AC$ · $BD$

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{5^2 + 12^2} \\ &= 13\end{aligned}

פיתגורס ב- $\triangle AMB$

\begin{aligned}CB &= \sqrt{16^2 + 12^2} \\ &= 20\end{aligned}

פיתגורס ב- $\triangle CMB$

\begin{aligned}AC &= 5 + 16 \\ &= 21\end{aligned}

\begin{aligned}BD &= 2 \cdot 12 \\ &= 24\end{aligned}

5 < 12 < 13 < 16 < 20 < 21 < 24

האלכסונים מאונכים, ולכן המשולשים $AMB$ ו- $CMB$ ישרי-זווית ומותר להפעיל בהם את משפט פיתגורס. $BD$ כפול $MB$ , כי הראשי חוצה את המשני.

Check the answer on elev

שלושת הכללים של תשובה מתקבלת

Exercises

Keep practising on elev