Session B — the parabola · Sample exam — 1st term · Kita ט

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

המבחן הזה בונה שאלה אחת גדולה סביב פרבולה יחידה, ושואל עליה הכול: ציר סימטריה, נקודות אפס, קודקוד, תחומי עלייה וירידה, וחיוביות ושליליות. זו הצורה הרגילה של שאלת פונקציה בכיתה ט.

הפונקציה שנעבוד עליה לכל אורך הפרק היא:

y = (x - 4)^2 - 4

הצורה $y = a(x-p)^2 + k$ נקראת צורת הקודקוד, והיא מספרת מיד את מה שמחפשים: הקודקוד יושב ב- $(p, k)$ , וציר הסימטריה הוא $x = p$ . אין צורך בשום חישוב כדי לקרוא אותם.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה $y = (x-4)^2 - 4$ . מהו ציר הסימטריה שלה? (רשמו את ערך $x$ )

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}y &= a(x - p)^2 + k \quad \longrightarrow\quad x \\ &= p\end{aligned}

בצורת הקודקוד, ציר הסימטריה הוא x שווה p

x = 4

כאן p שווה 4

שימו לב לסימן: בביטוי $(x-4)$ הערך הוא $+4$ , לא $-4$ . זו הטעות הנפוצה ביותר בקריאת צורת הקודקוד.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתון שהנקודה $(6, 0)$ נמצאת על הפרבולה $y = a(x-4)^2 - 4$ . מהו ערכו של $a$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

0 = a(6 - 4)^2 - 4

מציבים את הנקודה בפונקציה

\begin{aligned}4a &= 4 \quad \longrightarrow\quad a \\ &= 1\end{aligned}

ופותרים משוואה עם נעלם אחד

נקודה «על הגרף» פירושה תמיד שהצבתה מקיימת את המשוואה. זה מה שהופך אותה לכלי למציאת מקדם חסר.

Check the answer on elev

Exercise 3

בפונקציה $y = (x-4)^2 - 4$ , הקודקוד הוא:

נקודת מקסימום, בנקודה $(-4, 4)$
נקודת מינימום, בנקודה $(-4, 4)$
נקודת מינימום, בנקודה $(4, -4)$
נקודת מקסימום, בנקודה $(4, -4)$

Show the answer and the solution

Answer: C נקודת מינימום, בנקודה $(4, -4)$

Worked solution:

a = 1 > 0

המקדם חיובי — הפרבולה פתוחה כלפי מעלה

(p, k) = (4, -4)

והקודקוד נקרא ישירות מצורת הקודקוד

פתוחה כלפי מעלה — הקודקוד הוא הנקודה הנמוכה ביותר, כלומר מינימום. הסימן של $a$ לבדו קובע זאת.

Check the answer on elev

Exercise 4

אחת מנקודות האפס של $y = (x-4)^2 - 4$ היא $x = 6$ . מהי נקודת האפס השנייה?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x = 4

ציר הסימטריה

6 - 4 = 2

הנקודה הידועה רחוקה 2 מהציר

4 - 2 = 2

והשנייה רחוקה 2 בצד השני

שתי נקודות האפס תמיד סימטריות ביחס לציר הסימטריה. אין צורך לפתור משוואה ריבועית — מספיק למדוד מרחק.

Check the answer on elev

Exercise 5

האם הישר $y = -4$ חותך את גרף הפונקציה $y = (x-4)^2 - 4$ ?

לא, הוא אינו חותך
כן, בשתי נקודות
כן, בנקודה אחת בלבד
כן, באינסוף נקודות

Show the answer and the solution

Answer: C כן, בנקודה אחת בלבד

Worked solution:

\text{הקודקוד} = (4, -4)

הערך הנמוך ביותר של הפונקציה הוא בדיוק -4

y = -4 \text{ משיק לקודקוד}

הישר נוגע בקודקוד ולא יורד מתחתיו

ישר אופקי שעובר בדיוק בגובה הקודקוד נוגע בפרבולה בנקודה אחת. מעל הקודקוד — שתי נקודות; מתחת — אף אחת.

Check the answer on elev

Exercise 6

מהם תחומי העלייה והירידה של $y = (x-4)^2 - 4$ ?

עולה בכל תחום ההגדרה
יורדת עבור $x < 4$ , עולה עבור $x > 4$
עולה עבור $x < 4$ , יורדת עבור $x > 4$
יורדת בכל תחום ההגדרה

Show the answer and the solution

Answer: B יורדת עבור $x < 4$ , עולה עבור $x > 4$

Worked solution:

a > 0 \quad \longrightarrow\quad \text{פתוחה כלפי מעלה}

צורת פרבולה

x = 4

ונקודת המפנה היא ציר הסימטריה

בפרבולה פתוחה כלפי מעלה יורדים עד לקודקוד ואז עולים. הציר הוא תמיד הגבול בין שני התחומים.

Check the answer on elev

Exercise 7

מהם תחומי החיוביות והשליליות של $y = (x-4)^2 - 4$ ?

חיובית עבור $2 < x < 6$ , שלילית מחוץ לתחום הזה
שלילית עבור $x < 4$ , חיובית עבור $x > 4$
חיובית עבור $x < 2$ או $x > 6$ , שלילית עבור $2 < x < 6$
חיובית בכל תחום ההגדרה

Show the answer and the solution

Answer: C חיובית עבור $x < 2$ או $x > 6$ , שלילית עבור $2 < x < 6$

Worked solution:

\begin{aligned}\text{נקודות האפס: } x &= 2 \quad \\ \quad x &= 6\end{aligned}

שם הפונקציה חוצה את ציר ה-x

\text{בין השורשים הפרבולה מתחת לציר}

כי היא פתוחה כלפי מעלה

נקודות האפס הן הגבולות. בפרבולה פתוחה כלפי מעלה: שלילית בין השורשים, חיובית מחוץ להם. שימו לב שהגבולות כאן הם 2 ו-6, ולא 4.

Check the answer on elev

Exercise 8

חשבו את שטח המשולש שקודקודיו הם שתי נקודות האפס והקודקוד של הפונקציה $y = (x-4)^2 - 4$ .

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\begin{aligned}\text{בסיס} &= 6 - 2 \\ &= 4\end{aligned}

המרחק בין שתי נקודות האפס, על ציר ה-x

\begin{aligned}\text{גובה} &= |-4| \\ &= 4\end{aligned}

עומק הקודקוד מתחת לציר

\frac{4 \times 4}{2} = 8

ונוסחת שטח המשולש

הגובה הוא הערך המוחלט של $k$ — מרחק אינו יכול להיות שלילי, גם כשהקודקוד נמצא מתחת לציר.

Check the answer on elev

Exercise 9

בפונקציה $y = -(x-3)^2 + 4$ — מה אפשר לומר על הקודקוד?

נקודת מקסימום $(3, 4)$
הקודקוד הוא $(-3, 4)$
אין לפרבולה קודקוד
נקודת מינימום, כי הפרבולה פותחת כלפי מעלה

Show the answer and the solution

Answer: A נקודת מקסימום $(3, 4)$

Worked solution:

a = -1 < 0

המינוס הופך את הפרבולה

הסוגריים נותנים את שיעור ה-x (3, ולא 3-), והמינוס שלפניהם הופך את הקודקוד למקסימום. המקדם שלילי, הפרבולה «עצובה»

Check the answer on elev

Exercise 10

מהי נקודת האפס הקטנה של $y = -(x-3)^2 + 4$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}(x-3)^2 &= 4 \;\Rightarrow\; x \\ &= 1 \\ \; 5\end{aligned}

שורש לשני הכיוונים

שתי נקודות האפס נמצאות במרחק שווה מציר הסימטריה $x = 3$ — אחת ב-1 והשנייה ב-5.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev