Practice · Rhombus · Kita ט

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

אחד-עשר תרגילים על כל הפרק: תכונות המעוין — הצלעות השוות והאלכסונים המאונכים — השטח והצלע לפי האלכסונים, ואיך מוכיחים שמרובע הוא מעוין. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercises

סדרה א — קל

Exercise 1

צלע של מעוין היא 7.5 ס״מ. מה היקף המעוין, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 30

Worked solution:

4 \cdot 7.5 = 30

כל ארבע הצלעות במעוין שוות

Check the answer on elev

Exercise 2

במעוין האלכסונים הם 11 ס״מ ו-8 ס״מ. מה השטח, בסמ״ר?

Show the answer and the solution

Answer: 44

Worked solution:

S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

האלכסונים במעוין מאונכים

\begin{aligned}S &= \frac{11 \cdot 8}{2} \\ &= 44\end{aligned}

מציבים

Check the answer on elev

Exercise 3

האלכסונים בכל מעוין שווים זה לזה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

AC \perp BD

במעוין האלכסונים מאונכים; שווים זה לזה הם רק בריבוע

אלכסונים שווים הם תכונה של המלבן. מעוין שאלכסוניו גם שווים הוא כבר ריבוע.

Check the answer on elev

סדרה ב — בינוני

Exercise 4

במעוין האלכסונים הם 18 ס״מ ו-24 ס״מ. מה אורך הצלע, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

9 ,\ 12

האלכסונים חוצים זה את זה — חצאי האלכסונים

\begin{aligned}a^2 &= 9^2 + 12^2 \\ &= 225\end{aligned}

משפט פיתגורס — האלכסונים מאונכים

a = 15

מוציאים שורש

משתמשים בחצאי האלכסונים, לא באלכסונים השלמים.

Check the answer on elev

Exercise 5

במעוין $ABCD$ נתון $\angle A = 50°$ . מה גודל $\angle ABD$ , במעלות?

Show the answer and the solution

Answer: 65

Worked solution:

\begin{aligned}\angle ABC &= 180° - 50° \\ &= 130°\end{aligned}

זוויות סמוכות משלימות ל- $180°$

\begin{aligned}\angle ABD &= \frac{130°}{2} \\ &= 65°\end{aligned}

האלכסון במעוין חוצה את הזווית

בדיקה במשולש שווה השוקיים $ABD$ : $50° + 65° + 65° = 180°$ ✓

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה מקבילית $ABCD$ . איזה נתון נוסף מוכיח שהיא מעוין?

$AB = BC$
$\angle A = 90°$
$AC = BD$
$AB = DC$

Show the answer and the solution

Answer: A $AB = BC$

Worked solution:

AB = BC

שתי צלעות סמוכות שוות

\begin{aligned}AB &= BC \\ &= CD \\ &= DA\end{aligned}

יחד עם הצלעות הנגדיות השוות — כל הצלעות שוות

$AB = DC$ נכון בכל מקבילית. אלכסונים שווים או זווית ישרה הופכים אותה למלבן.

Check the answer on elev

Exercise 7

רצפת מרפסת בירושלים מכוסה באריחים בצורת מעוין. האלכסונים של כל אריח הם 20 ס״מ ו-30 ס״מ. כמה אריחים צריך כדי לכסות 6 מ״ר, בלי חיתוך ובלי רווחים?

Show the answer and the solution

Answer: 200

Worked solution:

\frac{20 \cdot 30}{2} = 300

שטח אריח אחד, בסמ״ר

6 \cdot 10000 = 60000

ב-1 מ״ר יש 10000 סמ״ר

60000 : 300 = 200

מספר האריחים

הטעות הנפוצה כאן היא לשכוח להמיר מ״ר לסמ״ר.

Check the answer on elev

סדרה ג — מאתגר

Exercise 8

שני הגבהים יוצאים מאותו קודקוד

A

, אל שתי הצלעות הרחוקות ממנו.

במקבילית $ABCD$ מורידים מהקודקוד $A$ שני גבהים: $AE \perp BC$ ו- $AF \perp CD$ , כאשר $E$ על $BC$ ו- $F$ על $CD$ . נתון $AE = AF$ . הוכיחו: $ABCD$ מעוין.

$ABCD$ מקבילית
$AE \perp BC$ , ו- $E$ על $BC$
$AF \perp CD$ , ו- $F$ על $CD$
$AE = AF$

$ABCD$ מעוין

Show the answer and the solution

$ABCD$ מקבילית — נתון
$AE \perp BC$ , ו- $E$ על $BC$ — נתון
$AF \perp CD$ , ו- $F$ על $CD$ — נתון
$AE = AF$ — נתון
$\angle ABC = \angle ADC$ — במקבילית הזוויות הנגדיות שוות
$\angle AEB = \angle AFD = 90^\circ$ — ישרים מאונכים יוצרים זווית ישרה
$\angle BAE = \angle DAF$ — סכום הזוויות במשולש שווה $180^\circ$
$\triangle ABE \cong \triangle ADF$ — משפט חפיפה ז.צ.ז
$AB = AD$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
$ABCD$ מעוין — מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין

Worked solution:

\angle ABC = \angle ADC

זוויות נגדיות במקבילית

\begin{aligned}\angle BAE &= 90^\circ - \angle B \\ &= 90^\circ - \angle D \\ &= \angle DAF\end{aligned}

סכום הזוויות במשולשים הישרים $ABE$ ו- $ADF$

\triangle ABE \cong \triangle ADF

ז.צ.ז: $\angle BAE = \angle DAF$ , $AE = AF$ , והזוויות הישרות

AB = AD

צלעות מתאימות — שתי צלעות סמוכות

ABCD \ \text{מעוין}

מקבילית עם שתי צלעות סמוכות שוות

גבהים שווים מאותו קודקוד מכריחים צלעות שוות: שטח המקבילית הוא $BC \cdot AE = CD \cdot AF$ , ולכן $BC = CD$ — דרך שנייה להגיע לאותה מסקנה.

Check the answer on elev

Exercise 9

שטח מעוין הוא 96 סמ״ר, ואחד האלכסונים 12 ס״מ. מה אורך הצלע, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{12 \cdot d}{2} &= 96 \Rightarrow d \\ &= 16\end{aligned}

האלכסון השני מנוסחת השטח

6 ,\ 8

חצאי האלכסונים

\begin{aligned}a &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

משפט פיתגורס

Check the answer on elev

Exercise 10

היקף מעוין הוא 52 ס״מ, ואחד האלכסונים 10 ס״מ. מה שטח המעוין, בסמ״ר?

Show the answer and the solution

Answer: 120

Worked solution:

\begin{aligned}a &= \frac{52}{4} \\ &= 13\end{aligned}

הצלע

\sqrt{13^2 - 5^2} = 12

חצי האלכסון השני, לפי משפט פיתגורס

\begin{aligned}S &= \frac{10 \cdot 24}{2} \\ &= 120\end{aligned}

האלכסון השני הוא $24$

שלושה שלבים: צלע, חצי אלכסון, שטח.

Check the answer on elev

Exercise 11

תמרור בצורת מעוין $ABCD$ . צלעו 8 ס״מ, ונתון $\angle BAD = 60°$ . מה אורך האלכסון הקצר $BD$ , בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= AD \\ &= 8\end{aligned}

צלעות המעוין שוות

\begin{aligned}\angle ABD &= \angle ADB \\ &= \frac{180° - 60°}{2} \\ &= 60°\end{aligned}

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים

\begin{aligned}BD &= AB \\ &= 8\end{aligned}

המשולש $ABD$ שווה צלעות

כשזווית המעוין היא $60°$ , האלכסון הקצר שווה לצלע.

Check the answer on elev

Exercises

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

Keep practising on elev