Properties of a rhombus

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מעוין הוא מרובע שכל ארבע צלעותיו שוות.

מעוין הוא גם מקבילית. לכן הוא יורש את כל תכונותיה, ומוסיף עליהן.

במעוין ABCDABCD הצלע AB=5AB = 5 ס״מ. מה היקף המעוין?

Show the answer and the solution

20 ס״מ. ארבע הצלעות שוות: 4⋅5=204 \cdot 5 = 20.

התכונות

נקפל את המעוין לאורך כל אחד מהאלכסונים. כל קיפול מגלה תכונות.

במעוין ABCDABCD נתון ∠BAD=80∘\angle BAD = 80^\circ. מה גודל ∠BAC\angle BAC?

Show the answer and the solution

40∘40^\circ. האלכסון ACAC חוצה את הזווית: 80∘2=40∘\frac{80^\circ}{2} = 40^\circ.

מאונכים, לא שווים

האלכסונים במעוין מאונכים אבל אינם שווים — אלכסונים שווים זו תכונה של מלבן. מעוין שאלכסוניו גם שווים הוא כבר ריבוע.

הבלבול הקבוע עם המלבן.

AC=BDAC = BD
AC⊥BDAC \perp BD

במעוין האלכסונים מאונכים, לא שווים. במלבן — הפוך בדיוק. זו ההבחנה שנבדקת בכל מבחן.

השטח

האלכסונים מאונכים וחוצים זה את זה. לכן הם חותכים את המעוין לארבעה משולשים ישרי זווית חופפים.

S=d1⋅d22S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

כל משולש כזה ישר זווית: חצאי האלכסונים הם הניצבים, והצלע היא היתר.

במעוין האלכסונים הם 6 ו-8. מה אורך הצלע?

Show the answer and the solution

5. החצאים הם 3 ו-4, ו-32+42=25=523^2 + 4^2 = 25 = 5^2.

אלכסוני מעוין — שלוש תכונות?

Show the answer and the solution

חוצים זה את זה, מאונכים זה לזה, וחוצים את זוויות המעוין. השילוש שמזהה מעוין מיד.

Exercises

Exercise 1

במעוין האלכסונים הם 6 ס״מ ו-8 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

S=d1⋅d22=6⋅82\begin{aligned}S &= \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \\ &= \frac{6 \cdot 8}{2}\end{aligned}

נוסחת השטח לאלכסונים מאונכים

S=24S = 24

ומחשבים

הנוסחה עובדת בזכות האנכיות — ולכן היא נכונה גם בדלתון.

Check the answer on elev

Exercise 2

במעוין האלכסונים הם 10 ס״מ ו-24 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?

Show the answer and the solution

Answer: 120

Worked solution:

S=d1⋅d22=10⋅242\begin{aligned}S &= \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \\ &= \frac{10 \cdot 24}{2}\end{aligned}

נוסחת השטח לאלכסונים מאונכים

S=120S = 120

ומחשבים

הנוסחה עובדת בזכות האנכיות — ולכן היא נכונה גם בדלתון.

Check the answer on elev

Exercise 3

במעוין האלכסונים הם 12 ס״מ ו-16 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?

Show the answer and the solution

Answer: 96

Worked solution:

S=d1⋅d22=12⋅162\begin{aligned}S &= \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \\ &= \frac{12 \cdot 16}{2}\end{aligned}

נוסחת השטח לאלכסונים מאונכים

S=96S = 96

ומחשבים

הנוסחה עובדת בזכות האנכיות — ולכן היא נכונה גם בדלתון.

Check the answer on elev

Exercise 4

במעוין האלכסונים הם 6 ס״מ ו-8 ס״מ. מה אורך הצלע?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

62=382=4\begin{aligned}\frac{6}{2} &= 3 \\ \quad \frac{8}{2} &= 4\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

a2=32+42=25\begin{aligned}a^2 &= 3^2 + 4^2 \\ &= 25\end{aligned}

והם מאונכים — פיתגורס

a=5a = 5

ומוציאים שורש

חצאי האלכסונים הם הניצבים, והצלע היא היתר.

Check the answer on elev

Exercise 5

במעוין האלכסונים הם 10 ס״מ ו-24 ס״מ. מה אורך הצלע?

Show the answer and the solution

Answer: 13

Worked solution:

102=5242=12\begin{aligned}\frac{10}{2} &= 5 \\ \quad \frac{24}{2} &= 12\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

a2=52+122=169\begin{aligned}a^2 &= 5^2 + 12^2 \\ &= 169\end{aligned}

והם מאונכים — פיתגורס

a=13a = 13

ומוציאים שורש

חצאי האלכסונים הם הניצבים, והצלע היא היתר.

Check the answer on elev

Exercise 6

איזו תכונה מבדילה מעוין ממקבילית כללית?

  1. האלכסונים מאונכים
  2. האלכסונים חוצים זה את זה
  3. האלכסונים שווים
  4. הזוויות הנגדיות שוות
Show the answer and the solution

Answer: A האלכסונים מאונכים

Worked solution:

AC⊥BDAC \perp BD

רק במעוין ובריבוע

אלכסונים שווים זו תכונת המלבן, לא המעוין.

Check the answer on elev

Exercise 7

מעוין שאלכסוניו גם שווים זה לזה הוא:

  1. דלתון
  2. עדיין מעוין רגיל
  3. ריבוע
  4. מלבן שאינו ריבוע
Show the answer and the solution

Answer: C ריבוע

Worked solution:

⊥+נחצים+=⇒ריבוע\perp \quad +\quad \text{נחצים} \quad +\quad = \quad \Rightarrow\quad \text{ריבוע}

שלוש התכונות יחד

זו בדיוק הדרך השלישית להוכיח ריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 8

במעוין אלכסונים 12 ו-16. מהי צלע המעוין? (רמז: פיתגורס על החצאים)

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

62+82=1006^2 + 8^2 = 100

חצאי האלכסונים והצלע

100=10\sqrt{100} = 10
Check the answer on elev

Exercise 9

שטח מעוין עם אלכסונים 10 ו-14?

Show the answer and the solution

Answer: 70

Worked solution:

10×142=70\frac{10 \times 14}{2} = 70

שטח מעוין הוא מכפלת האלכסונים חלקי שתיים — כי הם מאונכים וחוצים זה את זה.

Check the answer on elev

Exercise 10

במעוין זווית אחת היא 60∘60^\circ. מהי הזווית הנגדית לה, במעלות?

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

6060

נגדיות שוות — כמו בכל מקבילית

Check the answer on elev

Exercise 11

ABCDO
במעוין כל ארבע הצלעות שוות.

נתון מעוין ABCDABCD שאלכסוניו נחתכים בנקודה OO. הוכיחו: AC⊥BDAC \perp BD.

  • ABCDABCD מעוין
  • ACAC ו-BDBD נחתכים ב-OO

∠AOB=90∘\angle AOB = 90^\circ

Show the answer and the solution
  1. ABCDABCD מעוין — נתון
  2. ACAC ו-BDBD נחתכים ב-OO — נתון
  3. AB=ADAB = AD — במעוין כל הצלעות שוות
  4. BO=ODBO = OD — אלכסוני המעוין חוצים זה את זה
  5. AO=AOAO = AO — צלע משותפת לשני המשולשים
  6. △ABO≅△ADO\triangle ABO \cong \triangle ADO — משפט חפיפה צ.צ.צ
  7. ∠AOB=∠AOD\angle AOB = \angle AOD — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  8. ∠AOB+∠AOD=180∘\angle AOB + \angle AOD = 180^\circ — זוויות צמודות משלימות ל-180∘180^\circ
  9. ∠AOB=90∘\angle AOB = 90^\circ — שתי זוויות שוות שסכומן 180∘180^\circ — כל אחת ישרה

Worked solution:

AB=ADBO=ODAO=AO\begin{aligned}AB &= AD \\ \quad BO &= OD \\ \quad AO &= AO\end{aligned}

צלעות המעוין, חציית האלכסון, וצלע משותפת

△ABO≅△ADO\triangle ABO \cong \triangle ADO

צ.צ.צ

∠AOB=∠AOD∠AOB+∠AOD=180∘\begin{aligned}\angle AOB &= \angle AOD \\ \quad \angle AOB + \angle AOD &= 180^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות, וזוויות צמודות

∠AOB=90∘\angle AOB = 90^\circ

שוות ומשלימות — כל אחת ישרה

התבנית «שוות וגם סכומן 180180» הופכת חפיפה לזווית ישרה.

Check the answer on elev

Exercise 12

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • AB=BC=CD=DAAB = BC = CD = DA
  • AO=OC,BO=ODAO = OC ,\quad BO = OD
  • AC⊥BDAC \perp BD
  • ∠BAC=∠CAD\angle BAC = \angle CAD
  • האלכסונים חוצים זה את זה — ירושה מהמקבילית.
  • האלכסונים מאונכים — וזו התכונה שהמקבילית הכללית אינה מקיימת.
  • כל אלכסון חוצה את הזוויות שדרכן הוא עובר.
  • כל הצלעות שוות — זו ההגדרה.
Show the answer and the solution

Answer: AB=BC=CD=DAAB = BC = CD = DA — כל הצלעות שוות — זו ההגדרה. · AO=OC,BO=ODAO = OC ,\quad BO = OD — האלכסונים חוצים זה את זה — ירושה מהמקבילית. · AC⊥BDAC \perp BD — האלכסונים מאונכים — וזו התכונה שהמקבילית הכללית אינה מקיימת. · ∠BAC=∠CAD\angle BAC = \angle CAD — כל אלכסון חוצה את הזוויות שדרכן הוא עובר.

Worked solution:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

Check the answer on elev

Exercise 13

מיינו: מה נכון בכל מעוין, ומה לא בהכרח?

  • נכון בכל מעוין
  • לא בהכרח
  • אחד האלכסונים שווה לצלע
  • האלכסונים חוצים את זוויות המעוין
  • האלכסונים מאונכים זה לזה
  • האלכסונים שווים זה לזה
  • הזוויות הנגדיות שוות
  • כל הזוויות ישרות
  • כל הצלעות שוות
Show the answer and the solution

Answer: כל הצלעות שוות — נכון בכל מעוין · האלכסונים מאונכים זה לזה — נכון בכל מעוין · האלכסונים חוצים את זוויות המעוין — נכון בכל מעוין · הזוויות הנגדיות שוות — נכון בכל מעוין · האלכסונים שווים זה לזה — לא בהכרח · כל הזוויות ישרות — לא בהכרח · אחד האלכסונים שווה לצלע — לא בהכרח

Worked solution:

AB=BC=CD=DA\begin{aligned}AB &= BC \\ &= CD \\ &= DA\end{aligned}

כל הצלעות שוות

AC⊥BDAC \perp BD

האלכסונים מאונכים

∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC

האלכסון חוצה את הזווית

המעוין יורש את תכונות המקבילית ומוסיף צלעות שוות ואלכסונים מאונכים שחוצים את הזוויות. אלכסונים שווים וזוויות ישרות מתקיימים רק בריבוע, ואלכסון ששווה לצלע — רק במעוין שאחת מזוויותיו 60°60°.

Check the answer on elev

Exercise 14

במעוין ABCDABCD האלכסונים AC=30AC = 30 ס״מ ו-BD=16BD = 16 ס״מ נחתכים בנקודה OO. מחשבים את הצלע ואת השטח — שורה אחת שגויה

AO=15 BO=8\begin{aligned}AO &= 15 \\ \ BO &= 8\end{aligned}
AB2=152+82=289\begin{aligned}AB^2 &= 15^2 + 8^2 \\ &= 289\end{aligned}
AB=17AB = 17
S=16⋅30=480\begin{aligned}S &= 16 \cdot 30 \\ &= 480\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: S=16⋅30=480S = 16 \cdot 30 = 480 → S=16⋅302=240S = \frac{16 \cdot 30}{2} = 240

Worked solution:

S=16⋅302=240\begin{aligned}S &= \frac{16 \cdot 30}{2} \\ &= 240\end{aligned}

סמ״ר

שטח המעוין הוא חצי מכפלת האלכסונים: S=d1⋅d22S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}. המכפלה לבדה היא שטח המלבן שמקיף את המעוין — כפול ממנו.

Check the answer on elev

Exercise 15

השלימו

במעוין ABCDABCD נתון ∠BAD=70°\angle BAD = 70°, והאלכסונים נחתכים בנקודה OO. אז ∠BAO=\angle BAO = ____ מעלות, ∠ABC=\angle ABC = ____ מעלות, ו-∠AOB=\angle AOB = ____ מעלות.

Show the answer and the solution

Answer: במעוין ABCDABCD נתון ∠BAD=70°\angle BAD = 70°, והאלכסונים נחתכים בנקודה OO. אז ∠BAO=\angle BAO = 35 מעלות, ∠ABC=\angle ABC = 110 מעלות, ו-∠AOB=\angle AOB = 90 מעלות.

Worked solution:

∠BAO=70°2=35°\begin{aligned}\angle BAO &= \frac{70°}{2} \\ &= 35°\end{aligned}

האלכסון חוצה את זווית המעוין

∠ABC=180°−70°=110°\begin{aligned}\angle ABC &= 180° - 70° \\ &= 110°\end{aligned}

זוויות סמוכות משלימות ל-180°180°

∠AOB=90°\angle AOB = 90°

האלכסונים מאונכים

שלוש תכונות, שלוש תשובות.

Check the answer on elev

Exercise 16

לפניכם אורכי האלכסונים של חמישה מעוינים (בס״מ). סדרו את המעוינים לפי השטח, מהקטן לגדול

  • d1=4, d2=12d_1 = 4 ,\ d_2 = 12
  • d1=4, d2=16d_1 = 4 ,\ d_2 = 16
  • d1=5, d2=10d_1 = 5 ,\ d_2 = 10
  • d1=6, d2=9d_1 = 6 ,\ d_2 = 9
  • d1=7, d2=10d_1 = 7 ,\ d_2 = 10
Show the answer and the solution

Answer: d1=4, d2=12d_1 = 4 ,\ d_2 = 12 · d1=5, d2=10d_1 = 5 ,\ d_2 = 10 · d1=6, d2=9d_1 = 6 ,\ d_2 = 9 · d1=4, d2=16d_1 = 4 ,\ d_2 = 16 · d1=7, d2=10d_1 = 7 ,\ d_2 = 10

Worked solution:

24<25<27<32<3524 < 25 < 27 < 32 < 35

השטחים בסמ״ר

השטח הוא חצי מכפלת האלכסונים, ולכן מספיק להשוות את המכפלות.

Check the answer on elev

Exercise 17

ABCD
AB=6.5AB = 6.5. ארבע הצלעות שוות.

במעוין ABCDABCD הצלע AB=6.5AB = 6.5 ס״מ. מה היקף המעוין, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 26

Worked solution:

AB=BC=CD=DA=6.5\begin{aligned}AB &= BC \\ &= CD \\ &= DA \\ &= 6.5\end{aligned}

במעוין כל הצלעות שוות

4⋅6.5=264 \cdot 6.5 = 26

ההיקף: ארבע צלעות

לא 2⋅6.52 \cdot 6.5: למעוין ארבע צלעות, וכולן שוות.

Check the answer on elev

Exercise 18

ABCD
נתון: ∠BAD=70∘\angle BAD = 70^\circ

במעוין ABCDABCD נתון ∠BAD=70∘\angle BAD = 70^\circ. מה גודל ∠BAC\angle BAC, במעלות?

Show the answer and the solution

Answer: 35

Worked solution:

∠BAC=∠CAD\angle BAC = \angle CAD

במעוין האלכסון חוצה את הזווית שדרכה הוא עובר

∠BAC=70∘2=35∘\begin{aligned}\angle BAC &= \frac{70^\circ}{2} \\ &= 35^\circ\end{aligned}

חצי מהזווית

70∘70^\circ היא הזווית כולה. האלכסון חוצה אותה לשני חצאים שווים.

Check the answer on elev

Exercise 19

השלימו

במעוין ABCD הזווית A היא 50 מעלות. הזווית C היא ____ מעלות, הזווית B היא ____ מעלות, והזווית ABD היא ____ מעלות.

Show the answer and the solution

Answer: במעוין ABCD הזווית A היא 50 מעלות. הזווית C היא 50 מעלות, הזווית B היא 130 מעלות, והזווית ABD היא 65 מעלות.

Worked solution:

∠C=∠A=50∘\begin{aligned}\angle C &= \angle A \\ &= 50^\circ\end{aligned}

זוויות נגדיות שוות

∠B=180∘−50∘=130∘\begin{aligned}\angle B &= 180^\circ - 50^\circ \\ &= 130^\circ\end{aligned}

זוויות סמוכות משלימות

∠ABD=130∘2=65∘\begin{aligned}\angle ABD &= \frac{130^\circ}{2} \\ &= 65^\circ\end{aligned}

האלכסון BDBD חוצה את ∠B\angle B

שלושה כללים: נגדיות שוות, סמוכות משלימות, והאלכסון חוצה את הזווית. ∠ABD\angle ABD היא חצי מ-∠B\angle B, לא חצי מ-∠A\angle A.

Check the answer on elev

Exercise 20

מיינו: מה נכון בכל מעוין ABCDABCD, ומה לא בהכרח? הנקודה OO היא נקודת החיתוך של האלכסונים.

  • בכל מעוין
  • לא בהכרח
  • ∠A=90∘\angle A = 90^\circ
  • ∠BAC=∠CAD\angle BAC = \angle CAD
  • AB=ACAB = AC
  • AB=BCAB = BC
  • AC⊥BDAC \perp BD
  • AC=BDAC = BD
  • AO=BOAO = BO
  • AO=OCAO = OC
Show the answer and the solution

Answer: AB=BCAB = BC — בכל מעוין · AC⊥BDAC \perp BD — בכל מעוין · AO=OCAO = OC — בכל מעוין · ∠BAC=∠CAD\angle BAC = \angle CAD — בכל מעוין · AC=BDAC = BD — לא בהכרח · ∠A=90∘\angle A = 90^\circ — לא בהכרח · AO=BOAO = BO — לא בהכרח · AB=ACAB = AC — לא בהכרח

Worked solution:

AC⊥BDAO=OC\begin{aligned}AC \perp BD \\ \quad AO &= OC\end{aligned}

האלכסונים מאונכים וחוצים זה את זה

AC=BD⇒ריבועAC = BD \Rightarrow \text{ריבוע}

אלכסונים שווים במעוין: כבר ריבוע

אלכסונים שווים, זווית ישרה ו-AO=BOAO = BO יש רק בריבוע. AB=ACAB = AC רק כשהזווית BB היא 60∘60^\circ.

Check the answer on elev

Exercise 21

ABCD
S=60S = 60, AC=12AC = 12. מחפשים את BDBD.

שטח מעוין הוא 60 סמ״ר, ואחד האלכסונים שלו 12 ס״מ. מה אורך האלכסון השני, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

12⋅d22=60\frac{12 \cdot d_2}{2} = 60

נוסחת השטח, והאלכסון השני לא ידוע

12⋅d2=120d2=10\begin{aligned}12 \cdot d_2 &= 120 \\ \quad d_2 &= 10\end{aligned}

כופלים ב-2, ומחלקים ב-12

לא 60:12=560 : 12 = 5: שוכחים את החלוקה ב-2 שבנוסחה. בדיקה: 12⋅102=60\frac{12 \cdot 10}{2} = 60.

Check the answer on elev

Exercise 22

ABCDO
AO=9AO = 9, BO=12BO = 12.

במעוין ABCDABCD האלכסונים נחתכים ב-OO. נתון AO=9AO = 9 ס״מ ו-BO=12BO = 12 ס״מ. מה שטח המעוין, בסמ״ר?

Show the answer and the solution

Answer: 216

Worked solution:

AC=2⋅9=18BD=2⋅12=24\begin{aligned}AC &= 2 \cdot 9 \\ &= 18 \\ \quad BD &= 2 \cdot 12 \\ &= 24\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

S=18⋅242=216\begin{aligned}S &= \frac{18 \cdot 24}{2} \\ &= 216\end{aligned}

נוסחת השטח, על האלכסונים השלמים

9⋅122=54\frac{9 \cdot 12}{2} = 54 הוא שטח משולש אחד מתוך ארבעה. הנוסחה לוקחת את האלכסונים השלמים.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade