Practice · Square · Kita ט

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

אחד-עשר תרגילים על כל הפרק: תכונות הריבוע, שיורש גם מהמלבן וגם מהמעוין, האלכסון והזוויות שהוא יוצר, ושלוש הדרכים להוכיח שמרובע הוא ריבוע. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercises

סדרה א — קל

Exercise 1

היקף של ריבוע הוא 36 ס״מ. מה אורך הצלע שלו, בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

36 : 4 = 9

ארבע צלעות שוות

Check the answer on elev

Exercise 2

בריבוע $ABCD$ האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $AC = 12$ ס״מ. מה אורך $OB$ , בס״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\begin{aligned}BD &= AC \\ &= 12\end{aligned}

האלכסונים בריבוע שווים — ירושה מהמלבן

\begin{aligned}OB &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

והם חוצים זה את זה

Check the answer on elev

Exercise 3

כל מעוין הוא ריבוע.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= BC \\ &= CD \\ &= DA\end{aligned}

למעוין יש צלעות שוות

\angle A = 90° \ \text{?}

אבל הזוויות שלו לא חייבות להיות ישרות

הכיוון ההפוך נכון: כל ריבוע הוא מעוין. מעוין הוא ריבוע רק אם יש לו גם זווית ישרה.

Check the answer on elev

סדרה ב — בינוני

Exercise 4

ריבוע ואלכסוניו

צלע של ריבוע היא 9 ס״מ. מה אורך האלכסון, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 12.73

Worked solution:

\begin{aligned}d^2 &= 9^2 + 9^2 \\ &= 162\end{aligned}

משפט פיתגורס — הזוויות בריבוע ישרות

\begin{aligned}d &= \sqrt{162} \\ &= 9\sqrt{2} \approx 12.73\end{aligned}

מוציאים שורש

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון מעוין $ABCD$ שאלכסוניו נחתכים בנקודה $O$ . איזה נתון נוסף מוכיח שהוא ריבוע?

$AC = BD$
$AO = OC$
$AC \perp BD$
$AB = BC$

Show the answer and the solution

Answer: A $AC = BD$

Worked solution:

\begin{aligned}AC \perp BD \\ \quad AO &= OC \\ \quad AC &= BD\end{aligned}

מאונכים, חוצים וגם שווים — רק בריבוע

אלכסונים מאונכים וחוצים וצלעות סמוכות שוות נכונים כבר בכל מעוין — הם לא מוסיפים דבר. חסר רק מה שבא מהמלבן: אלכסונים שווים.

Check the answer on elev

Exercise 6

ריבוע ואלכסוניו

האלכסון של ריבוע הוא 10 ס״מ. מה שטח הריבוע, בסמ״ר?

Show the answer and the solution

Answer: 50

Worked solution:

S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

הריבוע הוא מעוין, ולכן נוסחת המעוין עובדת

\begin{aligned}S &= \frac{10 \cdot 10}{2} \\ &= 50\end{aligned}

שני האלכסונים שווים — ירושה מהמלבן

בדיקה: $a^2 + a^2 = 100$ , ולכן $a^2 = 50$ ✓

Check the answer on elev

Exercise 7

לוח משחק שחמט הוא ריבוע, והיקפו 160 ס״מ. מה שטח הלוח, בסמ״ר?

Show the answer and the solution

Answer: 1600

Worked solution:

160 : 4 = 40

הצלע

40 \cdot 40 = 1600

השטח

Check the answer on elev

סדרה ג — מאתגר

Exercise 8

BE = CF

: שני קטעים שווים על שתי צלעות סמוכות.

בריבוע $ABCD$ הנקודה $E$ על הצלע $BC$ והנקודה $F$ על הצלע $CD$ , ונתון $BE = CF$ . הקטעים $AE$ ו- $BF$ נחתכים בנקודה $G$ . הוכיחו: $AE = BF$ וגם $AE \perp BF$ .

$ABCD$ ריבוע
$E$ על $BC$ ו- $F$ על $CD$
$BE = CF$
$AE$ ו- $BF$ נחתכים ב- $G$

$AE = BF$ וגם $AE \perp BF$

Show the answer and the solution

$ABCD$ ריבוע — נתון
$E$ על $BC$ ו- $F$ על $CD$ — נתון
$BE = CF$ — נתון
$AE$ ו- $BF$ נחתכים ב- $G$ — נתון
$AB = BC$ — בריבוע כל הצלעות שוות
$\angle ABE = \angle BCF = 90^\circ$ — בריבוע כל הזוויות ישרות
$\triangle ABE \cong \triangle BCF$ — משפט חפיפה צ.ז.צ
$AE = BF$ — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
$\angle BAE = \angle CBF$ — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות
$\angle BAE + \angle AEB = 90^\circ$ — סכום הזוויות במשולש שווה $180^\circ$
$\angle GBE + \angle GEB = 90^\circ$ — הצבה: $\angle CBF = \angle BAE$ , שכן $G$ על $BF$ ועל $AE$
$\angle BGE = 90^\circ$ — סכום הזוויות במשולש שווה $180^\circ$
$AE \perp BF$ — ישרים הנחתכים בזווית ישרה מאונכים זה לזה

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= BC \\ \quad \angle ABE &= \angle BCF \\ &= 90^\circ \\ \quad BE &= CF\end{aligned}

צלע, זווית, צלע

\begin{aligned}\triangle ABE \cong \triangle BCF \ \Rightarrow\ AE &= BF \\ \ \angle BAE &= \angle CBF\end{aligned}

צלעות וזוויות מתאימות

\angle BAE + \angle AEB = 90^\circ

במשולש הישר $ABE$

\begin{aligned}\angle GBE + \angle GEB &= \angle CBF + \angle AEB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

מציבים $\angle CBF = \angle BAE$

\begin{aligned}\angle BGE &= 180^\circ - 90^\circ \\ &= 90^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $BGE$

החפיפה נותנת את שני החלקים: את השוויון מיד, ואת האנכיות דרך הזוויות המתאימות. המשולש $BCF$ הוא בעצם המשולש $ABE$ מסובב ב- $90^\circ$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

בריבוע $ABCD$ הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$ , ונתון $\angle BAE = 20°$ . האלכסון $BD$ חותך את $AE$ בנקודה $P$ . מה גודל $\angle APB$ , במעלות?

Show the answer and the solution

Answer: 115

Worked solution:

\begin{aligned}\angle ABD &= \frac{90°}{2} \\ &= 45°\end{aligned}

האלכסון בריבוע חוצה את הזווית

\begin{aligned}\angle APB &= 180° - 20° - 45° \\ &= 115°\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $ABP$

Check the answer on elev

Exercise 10

בריבוע $ABCD$ בנו על הצלע $AB$ , מחוץ לריבוע, משולש שווה צלעות $ABE$ . מה גודל $\angle AED$ , במעלות?

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

\begin{aligned}AE &= AB \\ &= AD\end{aligned}

צלע המשולש שווה לצלע הריבוע

\begin{aligned}\angle DAE &= 90° + 60° \\ &= 150°\end{aligned}

זווית הריבוע ועוד זווית המשולש

\begin{aligned}\angle AED &= \frac{180° - 150°}{2} \\ &= 15°\end{aligned}

זוויות הבסיס במשולש שווה השוקיים $ADE$

המפתח: לזהות שהמשולש $ADE$ שווה שוקיים, כי $AE$ ו- $AD$ שתיהן שוות לצלע הריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 11

ריבוע ואלכסוניו

חצר בית ספר בכרמיאל היא ריבוע. המרחק בין שתי פינות נגדיות, לאורך האלכסון, הוא 30 מטר. מה שטח החצר, במ״ר?

Show the answer and the solution

Answer: 450

Worked solution:

\begin{aligned}S &= \frac{30 \cdot 30}{2} \\ &= 450\end{aligned}

שני אלכסונים שווים ומאונכים — נוסחת המעוין

בדיקה: $a^2 + a^2 = 900$ , ולכן $a^2 = 450$ ✓

Check the answer on elev

Exercises

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

Keep practising on elev