Simplifying algebraic fractions

On elev, this lesson comes with a video, exercises checked instantly and progress tracking.

Practise on elev
Watch the lesson video

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שבר אלגברי הוא שבר שיש בו נעלם, כמו x2+3xx\frac{x^2 + 3x}{x}.

מצמצמים אותו בדיוק כמו את 69\frac{6}{9}. רק שקודם מפרקים לגורמים את המונה ואת המכנה.

את כלי הפירוק כבר יש: טרינום ונוסחאות הכפל המקוצר. אין כלי חדש — יש סדר חדש.

איך מצמצמים את 69\frac{6}{9}?

Show the answer and the solution

69=2⋅33⋅3=23\frac{6}{9} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{2}{3}. מפרקים, ומוחקים את הגורם 3 שלמעלה ושלמטה.

הכלל שקובע הכול

a⋅ba⋅c=bc\frac{a \cdot b}{a \cdot c} = \frac{b}{c}

מותר: aa מוכפל — הוא גורם.

a+ba+c≠bc\frac{a + b}{a + c} \neq \frac{b}{c}

אסור: aa מחובר — הוא איבר בסכום.

מצמצמים רק גורמים — דברים שמוכפלים.

אסור לצמצם איבר מתוך סכום. זו הטעות שחוזרת הכי הרבה בפרק.

כמה זה 5xx\frac{5x}{x}? ואפשר לצמצם את x+5x\frac{x + 5}{x}?

Show the answer and the solution

5xx=5\frac{5x}{x} = 5 — כאן xx גורם. את x+5x\frac{x + 5}{x} אי אפשר לצמצם: שם xx איבר בסכום.

תחום ההגדרה

מכנה אסור שיהיה אפס. לכן רושמים אילו ערכים אסורים לנעלם: זה תחום ההגדרה.

רושמים אותו לפני הצמצום. אחרי הצמצום הגורם שנמחק כבר לא על הדף.

הטעות ששווה את כל הנקודות.

a2−aa−1=a21=a2\begin{aligned}\frac{a^2 - a}{a - 1} &= \frac{a^2}{1} \\ &= a^2\end{aligned}
a(a−1)a−1=a\frac{a(a - 1)}{a - 1} = a

מחקו את ה-aa ואת ה-11 מתוך סכומים. צמצום מותר רק אחרי פירוק, וכשמדובר בסוגריים שלמות מול סוגריים שלמות.

מתי אסור לצמצם ב-xx?

Show the answer and the solution

כש-xx עלול להיות אפס — או כשהוא מחובר ולא מוכפל: את x+3x\frac{x+3}{x} אסור «לצמצם» ל-3.

Exercises

Exercise 1

צמצמו את השבר:

a2−aa−1\frac{a^2 - a}{a - 1}
  1. 1a\frac{1}{a}
  2. a2a^2
  3. aa
  4. a−1a - 1
Show the answer and the solution

Answer: C aa

Worked solution:

a(a−1)a−1\frac{a(a - 1)}{a - 1}

גורם משותף במונה

=a= a

מצמצמים את הגורם (a−1)(a-1)

תחום הגדרה: a≠1a \neq 1.

Check the answer on elev

Exercise 2

צמצמו את השבר:

m2+mm2−1\frac{m^2 + m}{m^2 - 1}
  1. m+1m−1\frac{m + 1}{m - 1}
  2. mm
  3. mm+1\frac{m}{m + 1}
  4. mm−1\frac{m}{m - 1}
Show the answer and the solution

Answer: D mm−1\frac{m}{m - 1}

Worked solution:

m(m+1)(m−1)(m+1)\frac{m(m + 1)}{(m - 1)(m + 1)}

גורם משותף למעלה, הפרש ריבועים למטה

=mm−1= \frac{m}{m - 1}

מצמצמים (m+1)(m+1)

תחום הגדרה: m≠1m \neq 1 וגם m≠−1m \neq -1.

Check the answer on elev

Exercise 3

צמצמו את השבר:

k2+4k+43k+6\frac{k^2 + 4k + 4}{3k + 6}
  1. 23\frac{2}{3}
  2. k23\frac{k^2}{3}
  3. k+23k\frac{k + 2}{3k}
  4. k+23\frac{k + 2}{3}
Show the answer and the solution

Answer: D k+23\frac{k + 2}{3}

Worked solution:

(k+2)23(k+2)\frac{(k + 2)^2}{3(k + 2)}

ריבוע מושלם למעלה, גורם משותף למטה

=k+23= \frac{k + 2}{3}

מצמצמים (k+2)(k+2) אחד

תחום הגדרה: k≠−2k \neq -2.

Check the answer on elev

Exercise 4

צמצמו את השבר:

2b2−72b2−7b+6\frac{2b^2 - 72}{b^2 - 7b + 6}
  1. b+6b−1\frac{b + 6}{b - 1}
  2. 2(b−6)b−1\frac{2(b - 6)}{b - 1}
  3. 2(b+6)b−1\frac{2(b + 6)}{b - 1}
  4. 22
Show the answer and the solution

Answer: C 2(b+6)b−1\frac{2(b + 6)}{b - 1}

Worked solution:

2(b−6)(b+6)(b−6)(b−1)\frac{2(b - 6)(b + 6)}{(b - 6)(b - 1)}

הפרש ריבועים למעלה, טרינום למטה

=2(b+6)b−1= \frac{2(b + 6)}{b - 1}

מצמצמים (b−6)(b-6)

הטרינום: מכפלה 6, סכום 7− — כלומר 6− ו-1−.

Check the answer on elev

Exercise 5

צמצמו את השבר:

a3−aa2−2a+1\frac{a^3 - a}{a^2 - 2a + 1}
  1. a(a+1)a(a+1)
  2. a+1a−1\frac{a + 1}{a - 1}
  3. aa−1\frac{a}{a - 1}
  4. a(a+1)a−1\frac{a(a + 1)}{a - 1}
Show the answer and the solution

Answer: D a(a+1)a−1\frac{a(a + 1)}{a - 1}

Worked solution:

a(a−1)(a+1)(a−1)2\frac{a(a - 1)(a + 1)}{(a - 1)^2}

גורם משותף ואז הפרש ריבועים

=a(a+1)a−1= \frac{a(a + 1)}{a - 1}

מצמצמים (a−1)(a-1) אחד

תחום הגדרה: a≠1a \neq 1.

Check the answer on elev

Exercise 6

צמצמו את השבר:

k3−6k2−16kk3−4k\frac{k^3 - 6k^2 - 16k}{k^3 - 4k}
  1. k−8k−2\frac{k - 8}{k - 2}
  2. k−8k+2\frac{k - 8}{k + 2}
  3. k+8k+2\frac{k + 8}{k + 2}
  4. k−8k - 8
Show the answer and the solution

Answer: A k−8k−2\frac{k - 8}{k - 2}

Worked solution:

k(k2−6k−16)k(k2−4)\frac{k(k^2 - 6k - 16)}{k(k^2 - 4)}

גורם משותף kk בשניהם

k(k−8)(k+2)k(k−2)(k+2)\frac{k(k - 8)(k + 2)}{k(k - 2)(k + 2)}

טרינום למעלה, הפרש ריבועים למטה

=k−8k−2= \frac{k - 8}{k - 2}

מצמצמים kk ו-(k+2)(k+2)

הטרינום: מכפלה 16−, סכום 6− — כלומר 8− ו-2.

Check the answer on elev

Exercise 7

מה מותר לצמצם בשבר אלגברי?

  1. כל איבר שמופיע למעלה ולמטה
  2. רק מספרים
  3. רק גורמים
  4. רק נעלמים
Show the answer and the solution

Answer: C רק גורמים

Worked solution:

a+ba+c≠bc\frac{a+b}{a+c} \neq \frac{b}{c}

איבר של סכום אינו גורם

זו הסיבה שמפרקים לגורמים לפני הצמצום: הפירוק הופך סכומים למכפלות. דברים שמוכפלים

Check the answer on elev

Exercise 8

מתי רושמים את תחום ההגדרה?

  1. אף פעם
  2. לפני הצמצום, על סמך המכנה המקורי
  3. רק אם השאלה מבקשת
  4. אחרי הצמצום, על סמך התוצאה
Show the answer and the solution

Answer: B לפני הצמצום, על סמך המכנה המקורי

Worked solution:

a(a−1)a−1, a≠1\frac{a(a-1)}{a-1},\ a \neq 1

הגורם שנמחק נעלם מהדף

אחרי הצמצום כבר אי אפשר לדעת שהיה שם (a−1)(a-1) — ולכן התנאי חייב להירשם לפני.

Check the answer on elev

Exercise 9

צמצמו: 6x23x\frac{6x^2}{3x} — מהו המקדם?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

6x23x=2x\frac{6x^2}{3x} = 2x

מצמצמים גם את המקדמים וגם את החזקות: 6:36:3 נותן 2, ו-x2:xx^2:x נותן xx.

Check the answer on elev

Exercise 10

צמצמו: 5(x+2)10(x+2)\frac{5(x+2)}{10(x+2)} — מהו המכנה?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

510=12\frac{5}{10} = \frac{1}{2}

הגורם הזהה מצטמצם

Check the answer on elev

Exercise 11

צמצמו: x2+3xx\frac{x^2 + 3x}{x} =

x ועוד ____.

Show the answer and the solution

Answer: x ועוד 3.

Worked solution:

x(x+3)x=x+3\frac{x(x+3)}{x} = x + 3

מוציאים גורם משותף — ואז מצמצמים

קודם מפרקים את המונה: x(x+3)x(x+3). עכשיו ה-x גורם כופל, ומותר לצמצם אותו עם המכנה.

Check the answer on elev

Exercise 12

מיינו: באילו שברים מותר לצמצם את ה-x — ובאילו אסור?

  • מותר לצמצם ב-x
  • אסור
  • 3x2x\frac{3x^2}{x}
  • 5xx\frac{5x}{x}
  • x2+1x\frac{x^2+1}{x}
  • x2+2xx\frac{x^2+2x}{x}
  • x+2x\frac{x+2}{x}
  • x+77x\frac{x+7}{7x}
Show the answer and the solution

Answer: x2+2xx\frac{x^2+2x}{x} — מותר לצמצם ב-x · x+2x\frac{x+2}{x} — אסור · 5xx\frac{5x}{x} — מותר לצמצם ב-x · x2+1x\frac{x^2+1}{x} — אסור · 3x2x\frac{3x^2}{x} — מותר לצמצם ב-x · x+77x\frac{x+7}{7x} — אסור

Worked solution:

x+2x≠1+2\frac{x+2}{x} \ne 1 + 2

מצמצמים גורמים, לא מחוברים

צמצום מותר רק כשה-x כופל את כל המונה. ב-x+2x\frac{x+2}{x} ה-2 לא מוכפל ב-x — נגיעה בו משנה את הערך.

Check the answer on elev

Exercise 13

צמצום עם שגיאה — מצאו את השורה:

x2+5xx\frac{x^2 + 5x}{x}
=x2+5= x^2 + 5
Show the answer and the solution

Answer: =x2+5= x^2 + 5 → =x+5= x + 5

Worked solution:

x(x+5)x=x+5\frac{x(x+5)}{x} = x + 5

ה-x מתחלק מכל גורם

חילקו רק את האיבר השני. הדרך הבטוחה: להוציא גורם משותף קודם, ואז לצמצם גורם שלם.

Check the answer on elev

Exercise 14

חשבו את 2x2+4x2x\frac{2x^2 + 4x}{2x} עבור x=3x = 3:

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

2x(x+2)2x=x+2=5\begin{aligned}\frac{2x(x+2)}{2x} &= x + 2 \\ &= 5\end{aligned}

הצמצום לפני ההצבה

מי שמציב ישר מחשב 306\frac{30}{6} — נכון אבל איטי. הצמצום נותן x+2x+2, וההצבה נהיית טריוויאלית.

Check the answer on elev

Exercise 15

x(x−2)x−2=x\frac{x(x - 2)}{x - 2} = x לכל ערך של xx.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x−2≠0  ⇒  x≠2x - 2 \neq 0 \;\Rightarrow\; x \neq 2

תחום ההגדרה של השבר המקורי

x(x−2)x−2=x(x≠2)\frac{x(x - 2)}{x - 2} = x \quad (x \neq 2)

הצמצום נכון — רק בתוך התחום

ב-x=2x = 2 השבר המקורי לא מוגדר, ו-xx דווקא כן. הצמצום לא מוחק את התנאי x≠2x \neq 2.

Check the answer on elev

Exercise 16

מהו הערך היחיד שאסור להציב ב-aa בשבר a2+3aa2+6a+9\frac{a^2 + 3a}{a^2 + 6a + 9}?

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

a(a+3)(a+3)2\frac{a(a + 3)}{(a + 3)^2}

גורם משותף למעלה, ריבוע מושלם למטה

a+3≠0  ⇒  a≠−3a + 3 \neq 0 \;\Rightarrow\; a \neq -3

מה שמאפס את המכנה

aa+3\frac{a}{a + 3}

ואחרי הצמצום

גם אחרי הצמצום a=−3a = -3 נשאר אסור. את a=0a = 0 מותר להציב: הוא מאפס את המונה, לא את המכנה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade