Arithmetic sequence · Sequences · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בסדרה חשבונית מוסיפים בכל צעד אותו מספר — ההפרש $d$ . כל השאר נובע מזה.

a_n = a_1 + (n-1)d

שימו לב ל- $(n-1)$ : מ- $a_1$ אל $a_{10}$ יש תשע קפיצות, לא עשר. זו הטעות הנפוצה ביותר בפרק, והיא עולה סעיף שלם.

הסכום

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

הרעיון של גאוס: מזווגים את הראשון עם האחרון, את השני עם הלפני-אחרון, וכל זוג נותן אותו סכום. יש $\frac{n}{2}$ זוגות.

סכום בשתי שורות

בסדרה $a_1 = 5$ , $d = 3$ . חשבו את $S_{10}$ .

\begin{aligned}a_{10} &= 5 + 9 \cdot 3 \\ &= 32\end{aligned}

קודם האיבר האחרון

S_{10} = \frac{10(5+32)}{2}

ואז הסכום

= 185

הסכום נשען על האיבר האחרון. מי שמנסה לחשב $S_n$ בלי $a_n$ נתקע — חשבו אותו קודם, תמיד.

בסדרה $a_1 = 100$ ו- $d = -4$ . באיזה מקום מופיע האיבר $0$ ?

Show the answer and the solution

$100 - 4(n-1) = 0$ , כלומר $4(n-1) = 100$ ו- $n = 26$ . הפרש שלילי הוא סדרה יורדת — הנוסחה זהה, רק הסימן משתנה.

שלושה איברים עוקבים

2b = a + c

האיבר האמצעי הוא הממוצע של שכניו. זהו גם התנאי שבודקים כשמבקשים להוכיח שסדרה חשבונית.

האיברים $4$ , $b$ , $10$ הם שלושה עוקבים בסדרה חשבונית. מהו $b$ ?

Show the answer and the solution

$2b = 14$ , ולכן $b = 7$ — בדיוק הממוצע. ההפרש הוא $3$ , ואפשר לבדוק: $4, 7, 10$ .

שתי הטעויות של הסדרה החשבונית.

a_n = a_1 + nd

a_n = a_1 + (n-1)d

$(n-1)$ קפיצות, לא $n$ . עם $n$ מקבלים תמיד איבר אחד קדימה.

S_n = \frac{n \cdot a_n}{2}

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

הסכום מזווג את הראשון עם האחרון. שכחת $a_1$ נותנת בערך חצי מהתשובה.

Exercises

Exercise 1

בסדרה חשבונית $a_1 = 5$ ו- $d = 3$ . מהו $a_{10}$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 32

Worked solution:

5 + 9 \cdot 3

תשע קפיצות

= 32

$(n-1)$ , לא $n$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

בסדרה חשבונית $a_1 = 5$ ו- $d = 3$ . מהו $S_{10}$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 185

Worked solution:

a_{10} = 32

קודם האחרון

\frac{10(5+32)}{2} = 185

בלי $a_{10}$ אי אפשר להתחיל.

Check the answer on elev

Exercise 3

בסדרה חשבונית $a_1 = 5$ ו- $d = 3$ . מהו $S_{20}$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 670

Worked solution:

\begin{aligned}a_{20} &= 5 + 19 \cdot 3 \\ &= 62\end{aligned}

\frac{20(5+62)}{2} = 670

אותה דרך בדיוק, מספרים גדולים יותר.

Check the answer on elev

Exercise 4

בסדרה $a_1 = 100$ , $d = -4$ . באיזה מקום $n$ מתקבל האיבר $0$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 26

Worked solution:

100 - 4(n-1) = 0

\begin{aligned}n - 1 &= 25 \Rightarrow n \\ &= 26\end{aligned}

הפרש שלילי — סדרה יורדת. הנוסחה לא משתנה.

Check the answer on elev

Exercise 5

האיברים $4$ , $b$ , $10$ עוקבים בסדרה חשבונית. מהו $b$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

2b = 4 + 10

האמצעי הוא הממוצע

b = 7

וההפרש יוצא $3$ : $4, 7, 10$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו סכום 50 המספרים האי-זוגיים הראשונים ( $1, 3, 5, \ldots$ )?

Show the answer and the solution

Answer: 2500

Worked solution:

\begin{aligned}a_1 &= 1 \ \\ \ d &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}a_{50} &= 1 + 49 \cdot 2 \\ &= 99\end{aligned}

\frac{50(1+99)}{2} = 2500

$2500 = 50^2$ — סכום $n$ האי-זוגיים הראשונים הוא תמיד $n^2$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

בסדרה חשבונית, כמה קפיצות יש מ- $a_1$ ל- $a_{12}$ ?

Show the answer and the solution

Answer: C 11

Worked solution:

12 - 1 = 11

בדיוק ה- $(n-1)$ של הנוסחה. ספרו קפיצות, לא איברים.

Check the answer on elev

Exercise 8

בסדרה חשבונית $a_3 = 11$ ו- $a_7 = 27$ . מהו ההפרש $d$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

a_7 - a_3 = 4d

ארבע קפיצות ביניהם

\begin{aligned}27 - 11 &= 16 \Rightarrow d \\ &= 4\end{aligned}

לא צריך את $a_1$ . ההפרש בין שני איברים מגלה את $d$ ישירות.

Check the answer on elev

Exercise 9

בסדרה חשבונית $a_3 = 11$ ו- $d = 4$ . מהו $a_1$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

a_3 = a_1 + 2d

שתי קפיצות

\begin{aligned}11 &= a_1 + 8 \Rightarrow a_1 \\ &= 3\end{aligned}

הדרך אחורה: מחסרים את הקפיצות במקום להוסיף.

Check the answer on elev

Exercise 10

סדרה שבה כל איבר גדול מקודמו ב- $7$ . מה נכון?

היא חשבונית עם $d = 7$
תלוי ב- $a_1$
היא הנדסית עם $q = 7$
היא לא סדרה מוכרת

Show the answer and the solution

Answer: A היא חשבונית עם $d = 7$

Worked solution:

a_{n+1} - a_n = 7

הפרש קבוע

חיבור קבוע ⇐ חשבונית. כפל קבוע ⇐ הנדסית. זו ההבחנה היחידה.

Check the answer on elev

Exercise 11

נתונה סדרה חשבונית עם איבר ראשון $a_1$ והפרש $d$ . הוכיחו: $a_n = a_1 + (n-1)d$ .

בסדרה חשבונית: $a_{k+1} = a_k + d$ לכל $k$
האיבר הראשון הוא $a_1$

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Show the answer and the solution

$a_2 = a_1 + d$ — הגדרת הסדרה, צעד אחד
$a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$ — עוד צעד, בהצבת השורה הקודמת
מ- $a_1$ אל $a_n$ יש $n-1$ צעדים — ספירת המעברים בין $n$ איברים
כל צעד מוסיף $d$ בדיוק — ההפרש קבוע בכל הסדרה
$a_n = a_1 + (n-1)d$ — $n-1$ צעדים, כל אחד מוסיף $d$

Check the answer on elev

הסכום

שלושה איברים עוקבים

Exercises

Keep practising on elev