Shadow, mirror and tree · Similar triangles · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

קבוצת צופים ביער בן שמן רוצה לדעת מה גובהו של אורן גבוה. אף אחד לא מטפס, ואין סרגל באורך כזה. יש להם מקל, סרט מדידה, ובאחד התיקים גם מראה קטנה. הנה שלוש דרכים, וכולן נשענות על אותו רעיון: משפט ז.ז.

AB

העץ ו-

BC

הצל שלו.

DE

המקל ו-

EF

הצל שלו. קרני השמש

AC

ו-

DF

מקבילות.

למה $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ ?

Show the answer and the solution

$\angle B = \angle E = 90^\circ$ : העץ והמקל מאונכים לקרקע. $\angle C = \angle F$ : קרני השמש באותו רגע מקבילות, ולכן הן פוגעות בקרקע באותה זווית. שתי זוויות, משפט ז.ז.

דרך 1: הצל

באותו רגע, היחס בין גובה לצל שווה אצל כל העצמים שעומדים זקוף. מודדים את המקל ואת הצל שלו, מודדים את הצל של העץ, ומשלימים.

\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}

גובה העץ מהצל

מקל שגובהו $1.5$ מטר מטיל צל של $2$ מטר. באותו רגע העץ מטיל צל של $12$ מטר. מה גובה העץ?

\triangle ABC \sim \triangle DEF

זוויות ישרות וזווית השמש: משפט ז.ז

\begin{aligned}k &= \frac{BC}{EF} \\ &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

הצל של העץ מול הצל של המקל

\begin{aligned}AB &= 6 \cdot 1.5 \\ &= 9\end{aligned}

הגובה של העץ מול הגובה של המקל

דרך 2: צל משותף

מעמידים את המקל בתוך הצל של העץ, במקום שבו קצה הצל של המקל נוגע בקצה הצל של העץ. העץ והמקל מקבילים (שניהם מאונכים לקרקע), ולכן זו התצורה של ישר מקביל לצלע.

TB

העץ ו-

SK

המקל. קרן השמש

TP

עוברת בראש המקל, והצלים נגמרים באותה נקודה

P

בשרטוט של הצל המשותף, איזו צלע במשולש הגדול מתאימה ל- $KP$ ?

Show the answer and the solution

$BP$ כולה, מבסיס העץ ועד קצה הצל. $\triangle SKP \sim \triangle TBP$ לפי ז.ז: $\angle P$ משותפת, ו- $\angle SKP = \angle TBP = 90^\circ$ . לכן $\frac{TB}{SK} = \frac{BP}{KP}$ , ולא $\frac{BK}{KP}$ .

דרך 3: המראה

מניחים מראה על הקרקע ב- $M$ ומתרחקים עד שרואים בה את ראש העץ. זווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה, ולכן $\angle EMF = \angle TMB$ . עם שתי הזוויות הישרות, שוב משפט ז.ז.

EF

הגובה של העיניים.

M

המראה.

TB

העץ.

גובה העץ במראה

העיניים של נועה בגובה $1.6$ מטר. היא עומדת $2$ מטר מהמראה, והמראה נמצאת $15$ מטר מהעץ. מה גובה העץ?

\triangle EFM \sim \triangle TBM

$\angle F = \angle B = 90^\circ$ , ו- $\angle EMF = \angle TMB$ (זווית פגיעה וזווית החזרה): משפט ז.ז

\begin{aligned}\frac{TB}{EF} &= \frac{BM}{FM} \\ &= \frac{15}{2}\end{aligned}

צלעות מתאימות

\begin{aligned}TB &= 1.6 \cdot 7.5 \\ &= 12\end{aligned}

העץ בגובה $12$ מטר

הטעויות של המדידה.

\frac{AB}{DE} = \frac{EF}{BC}

\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}

שני היחסים באותו כיוון: עץ מול מקל בשניהם. יחס הפוך באחד מהם נותן עץ נמוך מהמקל.

\frac{TB}{EF} = \frac{FB}{FM}

\frac{TB}{EF} = \frac{BM}{FM}

במראה, המרחק שמשתמשים בו הוא מהעץ עד המראה, לא מהעץ עד האדם.

בכל שאלה כזאת כתבו את שלושת השלבים: אילו שתי זוויות שוות ולמה, איזה זוג צלעות ידוע, ואיזו צלע מתאימה לנעלם.

Exercises

Exercise 1

מקל שגובהו $1.5$ מטר מטיל צל של $2$ מטר. באותו רגע בניין מטיל צל של $16$ מטר. מה גובה הבניין, במטרים?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

\triangle ABC \sim \triangle DEF

זוויות ישרות וזווית השמש: משפט ז.ז

\begin{aligned}k &= \frac{16}{2} \\ &= 8\end{aligned}

צל מול צל

\begin{aligned}AB &= 1.5 \cdot 8 \\ &= 12\end{aligned}

גובה מול גובה

$12$ מטר. הצל של הבניין ארוך פי $8$ , ולכן גם הגובה.

Check the answer on elev

Exercise 2

עץ שגובהו $6$ מטר מטיל צל של $4.5$ מטר. באותו רגע ילד שגובהו $1.6$ מטר עומד לידו. מה אורך הצל של הילד, במטרים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 1.2

Worked solution:

\frac{EF}{BC} = \frac{DE}{AB}

משפט ז.ז: צל מול צל, גובה מול גובה

\begin{aligned}EF &= 4.5 \cdot \frac{1.6}{6} \\ &= 1.2\end{aligned}

$1.2$ מטר. בדיקה: אצל העץ הצל קצר מהגובה ( $4.5 < 6$ ), ולכן גם אצל הילד ( $1.2 < 1.6$ ).

Check the answer on elev

Exercise 3

העיניים של דני בגובה $1.5$ מטר. הוא רואה במראה שעל הקרקע את ראש העץ. דני עומד $2$ מטר מהמראה, והמראה נמצאת $12$ מטר מהעץ. מה גובה העץ, במטרים?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

\triangle EFM \sim \triangle TBM

זוויות ישרות, וזווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה: משפט ז.ז

\begin{aligned}\frac{TB}{EF} &= \frac{BM}{FM} \\ &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

\begin{aligned}TB &= 1.5 \cdot 6 \\ &= 9\end{aligned}

$9$ מטר. המרחק הנכון הוא מהעץ עד המראה, $12$ , ולא עד דני, $14$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

TB

העץ,

SK

המקל,

P

קצה שני הצלים.

מקל שגובהו $2$ מטר עומד $6$ מטר מבסיס העץ, בתוך הצל של העץ. קצה הצל של המקל נוגע בקצה הצל של העץ, והצל של המקל ארוך $3$ מטר. מה גובה העץ, במטרים?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\triangle SKP \sim \triangle TBP

$\angle P$ משותפת ו- $\angle K = \angle B = 90^\circ$ : משפט ז.ז

\begin{aligned}BP &= 6 + 3 \\ &= 9\end{aligned}

מבסיס העץ עד קצה הצל

\begin{aligned}TB &= 2 \cdot \frac{9}{3} \\ &= 6\end{aligned}

$\frac{TB}{SK} = \frac{BP}{KP}$

$6$ מטר. מי שהשווה ל- $BK = 6$ במקום ל- $BP = 9$ קיבל $4$ : זה מקל מול חלק, לא מול שלם.

Check the answer on elev

Exercise 5

במדידה עם מראה, $EF$ גובה העיניים, $M$ המראה ו- $TB$ העץ. איזה שוויון נכון?

$\frac{TB}{EF} = \frac{FB}{FM}$
$\frac{TB}{FM} = \frac{EF}{BM}$
$\frac{TB}{EF} = \frac{FM}{BM}$
$\frac{TB}{EF} = \frac{BM}{FM}$

Show the answer and the solution

Answer: D $\frac{TB}{EF} = \frac{BM}{FM}$

Worked solution:

\triangle TBM \sim \triangle EFM

$T \leftrightarrow E$ , $B \leftrightarrow F$ , $M \leftrightarrow M$

\frac{TB}{EF} = \frac{BM}{FM}

צלע במשולש של העץ חלקי הצלע המתאימה במשולש של האדם

בשני היחסים המשולש של העץ במונה. $\frac{FM}{BM}$ הופך את הכיוון, ו- $FB$ אינה צלע של אף משולש.

Check the answer on elev

Exercise 6

רמפה לכיסא גלגלים עולה לגובה $BC = 1.2$ מטר, לאורך מרחק אופקי $AB = 4$ מטר. במרחק $AD = 2.5$ מטר מתחילת הרמפה מעמידים מוט אנכי $DE$ שתומך ברמפה. מה אורך המוט, במטרים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.75

Worked solution:

\triangle ADE \sim \triangle ABC

$\angle A$ משותפת ו- $\angle D = \angle B = 90^\circ$ : משפט ז.ז

\begin{aligned}\frac{DE}{BC} &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{2.5}{4}\end{aligned}

\begin{aligned}DE &= 1.2 \cdot \frac{2.5}{4} \\ &= 0.75\end{aligned}

$0.75$ מטר. המוט קצר מ- $BC$ , כמו שצריך: הוא קרוב יותר לתחילת הרמפה.

Check the answer on elev

Exercise 7

TB

הפנס,

SK

האדם,

P

קצה הצל של האדם.

פנס רחוב בגובה $4.5$ מטר. אדם שגובהו $1.5$ מטר עומד $6$ מטר מבסיס הפנס, והאור של הפנס מטיל את הצל שלו הלאה. מה אורך הצל של האדם, במטרים?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\triangle SKP \sim \triangle TBP

$\angle P$ משותפת ושתי זוויות ישרות: משפט ז.ז

\frac{1.5}{4.5} = \frac{x}{6 + x}

$x$ הצל; $BP = 6 + x$

\begin{aligned}4.5x &= 1.5(6 + x) \ \Rightarrow \ 3x \\ &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

$3$ מטר. הצלע של המשולש הגדול היא $6 + x$ , לא $6$ : מי שכתב $\frac{1.5}{4.5} = \frac{x}{6}$ קיבל $2$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

באותו רגע, מקל של $1$ מטר מטיל צל של $1.5$ מטר. לכן כל עמוד שעומד זקוף באותו מקום מטיל צל ארוך פי $1.5$ מהגובה שלו.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{BC}{AB} &= \frac{EF}{DE} \\ &= 1.5\end{aligned}

משפט ז.ז: כל המשולשים של עמוד וצל דומים באותו רגע

נכון. באותו רגע כל המשולשים דומים, ולכן היחס צל חלקי גובה קבוע. ברגע אחר, כשהשמש גבוהה יותר, היחס משתנה.

Check the answer on elev

Exercise 9

גג של סוכה בצורת משולש: הקורות $AB$ ו- $AC$ נפגשות בראש $A$ , ובסיס הגג $BC = 8$ מטר. קורה אופקית $DE$ מקבילה ל- $BC$ , כאשר $AD = 1.2$ מטר ו- $AB = 3$ מטר. מה אורך הקורה $DE$ , במטרים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 3.2

Worked solution:

\triangle ADE \sim \triangle ABC

זווית $A$ משותפת וזוויות מתאימות בין ישרים מקבילים: משפט ז.ז

\begin{aligned}\frac{DE}{BC} &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{1.2}{3} \\ &= 0.4\end{aligned}

\begin{aligned}DE &= 8 \cdot 0.4 \\ &= 3.2\end{aligned}

$3.2$ מטר. $AB$ נתונה כולה: אין לחבר או לחסר.

Check the answer on elev

דרך 1: הצל

דרך 2: צל משותף

דרך 3: המראה

Exercises

Keep practising on elev