Practice · Applied trigonometry · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשרה תרגילים על כל הפרק: סינוס, קוסינוס וטנגנס במשולש ישר זווית, זוויות גובה ועומק, צורות שמתפרקות למשולשים, ושטח בעזרת סינוס. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercises

סדרה א — קל

Exercise 1

במשולש $KLM$ הזווית $M$ ישרה. איזה יחס שווה ל- $\cos K$ ?

$\frac{KL}{KM}$
$\frac{LM}{KM}$
$\frac{KM}{KL}$
$\frac{LM}{KL}$

Show the answer and the solution

Answer: C $\frac{KM}{KL}$

Worked solution:

\cos K = \frac{KM}{KL}

$KM$ יוצא מ- $K$ : הניצב שליד. $KL$ מול הזווית הישרה: היתר

הנכונה: $\frac{KM}{KL}$ . $\frac{LM}{KL}$ הוא $\sin K$ , ו- $\frac{KL}{KM}$ גדול מ- $1$ , ולכן אינו יכול להיות קוסינוס.

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AB = 30$ ו- $\angle A = 22^\circ$ . חשבו את $AC$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 27.82

Worked solution:

AC = 30\cos 22^\circ \approx 27.82

ליד ויתר

$AC \approx 27.82$ . $30\sin 22^\circ$ נותן את $BC$ , הניצב שמול.

Check the answer on elev

Exercise 3

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AB = 11$ ו- $BC = 6$ . חשבו את $\angle A$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 33.06

Worked solution:

\sin A = \frac{6}{11}

$BC$ מול $A$ , $AB$ היתר

A = \sin^{-1}\left(\frac{6}{11}\right) \approx 33.06^\circ

במחשבון

$\angle A \approx 33.06^\circ$ . עם $\cos^{-1}$ מקבלים את $\angle B$ , $56.94^\circ$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

מראש מגדל בגובה $50$ מטר, זווית העומק אל שער החניון היא $30^\circ$ . מה המרחק בין בסיס המגדל לשער? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 86.6

Worked solution:

\angle TSB = 30^\circ

זוויות מתחלפות

BS = \frac{50}{\tan 30^\circ} \approx 86.60

המגדל מול הזווית, המרחק לידה

$\approx 86.60$ מטר. $50\tan 30^\circ \approx 28.87$ משאיר את הזווית למעלה.

Check the answer on elev

סדרה ב — בינוני

Exercise 5

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיסים $AB = 32$ ו- $DC = 18$ , וזווית הבסיס $\angle A = 58^\circ$ . חשבו את שטח הטרפז. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 280.06

Worked solution:

\begin{aligned}AE &= \frac{32 - 18}{2} \\ &= 7\end{aligned}

גובה $DE$ , שני קטעים שווים

DE = 7\tan 58^\circ \approx 11.20

טנגנס במשולש $AED$

S = 25 \cdot 11.20 \approx 280.06

ממוצע הבסיסים כפול הגובה

השטח $\approx 280.06$ . $AE = 7$ ולא $14$ : ההפרש מתחלק לשני הצדדים.

Check the answer on elev

Exercise 6

שירה עומדת $18$ מטר מעץ דקל. עיניה בגובה $1.55$ מטר, וזווית הגובה מעיניה אל צמרת הדקל היא $47^\circ$ . מהו גובה הדקל? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 20.85

Worked solution:

KT = 18\tan 47^\circ \approx 19.30

החלק שמעל העיניים

BT \approx 19.30 + 1.55 = 20.85

מוסיפים את גובה העיניים

הדקל $\approx 20.85$ מטר. $19.30$ הוא רק החלק שמעל העיניים.

Check the answer on elev

Exercise 7

במשולש שווה שוקיים $ABC$ השוקיים $AB = AC = 13$ וזווית הבסיס $\angle B = 54^\circ$ . חשבו את שטח המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 80.36

Worked solution:

\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 2 \cdot 54^\circ \\ &= 72^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $180^\circ$ , וזוויות הבסיס שוות

S = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 13 \cdot \sin 72^\circ \approx 80.36

שתי השוקיים והזווית שביניהן

השטח $\approx 80.36$ . הזווית שבין השוקיים היא זווית הראש, $72^\circ$ . מי שהציב $54^\circ$ קיבל $68.36$ .

Check the answer on elev

סדרה ג — מאתגר

Exercise 8

מהנקודה $A$ זווית הגובה אל ראש מגדל שעון היא $32^\circ$ . מתקרבים $40$ מטר לעבר המגדל, אל הנקודה $P$ , ומשם זווית הגובה $50^\circ$ . $A$ , $P$ ובסיס המגדל $B$ על קו ישר אחד. מהו גובה המגדל? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 52.55

Worked solution:

h = PB \cdot \tan 50^\circ

במשולש $PBT$

h = (PB + 40) \cdot \tan 32^\circ

במשולש $ABT$

PB(\tan 50^\circ - \tan 32^\circ) = 40\tan 32^\circ \ \Rightarrow \ PB \approx 44.09

משווים את שני הביטויים לגובה

h \approx 44.09 \cdot \tan 50^\circ \approx 52.55

מציבים

המגדל $\approx 52.55$ מטר. הגובה הוא אותו גובה בשני המשולשים, וזה מה שמחבר ביניהם. מי שחישב $40\tan 50^\circ$ לקח את $40$ כאילו הוא המרחק מהמגדל.

Check the answer on elev

Exercise 9

שטח מעוין שצלעו $10$ הוא $70$ . חשבו את הזווית החדה של המעוין. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 44.43

Worked solution:

70 = 10^2 \sin\alpha

שטח מעוין: $a^2\sin\alpha$

\sin\alpha = 0.7 \ \Rightarrow \ \alpha \approx 44.43^\circ

$\sin^{-1}$ , זווית חדה

$\alpha \approx 44.43^\circ$ . מי שכתב $70 = \frac{1}{2} \cdot 10^2 \sin\alpha$ קיבל $\sin\alpha = 1.4$ : אין זווית כזאת, כי למעוין אין חצי בנוסחה.

Check the answer on elev

Exercise 10

חזית של מחסן בנויה ממלבן $ABCD$ ברוחב $AB = 8$ מטר ובגובה $BC = 3$ מטר, ומעליו גג בצורת משולש שווה שוקיים $DCE$ ( $ED = EC$ ). השוקיים יוצרות עם $DC$ זווית של $30^\circ$ . חשבו את שטח החזית כולה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 33.24

Worked solution:

\begin{aligned}S_{ABCD} &= 8 \cdot 3 \\ &= 24\end{aligned}

המלבן

EF = 4\tan 30^\circ \approx 2.31

הגובה $EF$ של הגג חוצה את $DC$ : חצי רוחב $4$

S_{DCE} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2.31 \approx 9.24

שטח המשולש

S \approx 24 + 9.24 \approx 33.24

סכום השטחים

החזית $\approx 33.24$ מ״ר. הגובה של הגג נבנה על חצי הרוחב, $4$ , ושטח המשולש על כל הרוחב, $8$ .

Check the answer on elev

Exercises

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

Keep practising on elev