Shapes cut into right triangles · Applied trigonometry · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שער חניה מלבני ברוחב $3.6$ מטר. כדי שלא יתעקם, מרתכים בו קורה באלכסון, מהפינה התחתונה אל הפינה העליונה שממול. הקורה יוצרת עם הצלע התחתונה זווית של $30^\circ$ . מה גובה השער, ומה אורך הקורה? אין כאן משולש, עד שמסתכלים על חצי מהשער.

AC

היא הקורה. היא חוצה את המלבן לשני משולשים ישרי זווית,

ABC

ו-

ADC

במשולש $ABC$ : מה ידוע, ומה אפשר לחשב? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

$AB = 3.6$ ליד הזווית $30^\circ$ , והזווית $B$ ישרה. הגובה: $BC = 3.6\tan 30^\circ \approx 2.08$ מטר. הקורה, היתר: $AC = \frac{3.6}{\cos 30^\circ} \approx 4.16$ מטר.

איפה מסתתר המשולש ישר הזווית?

\angle B = 90^\circ

מלבן: האלכסון חוצה אותו לשני משולשים ישרי זווית. הצלעות הן הניצבים, והאלכסון הוא היתר.

\begin{aligned}BD &= DC \\ &= \frac{BC}{2}\end{aligned}

משולש שווה שוקיים: הגובה לבסיס חוצה את הבסיס ואת זווית הראש. עובדים עם חצי בסיס.

\begin{aligned}AE &= FB \\ &= \frac{AB - DC}{2}\end{aligned}

טרפז שווה שוקיים: שני גבהים מהבסיס הקצר חותכים מהבסיס הארוך, משני הצדדים, שני קטעים שווים.

\begin{aligned}AO &= \frac{AC}{2} \ \\ \ \angle AOB &= 90^\circ\end{aligned}

מעוין: האלכסונים מאונכים זה לזה, חוצים זה את זה וחוצים את הזוויות. עובדים עם חצי אלכסון וחצי זווית.

הדרך תמיד אותה דרך: מורידים גובה או מעבירים אלכסון, מסמנים את המשולש ישר הזווית, וכותבים ליד כל צלע שלו את אורכה במשולש. לפעמים זה חצי מהצלע של הצורה. רק אז בוחרים יחס.

טרפז שווה שוקיים

גובה, שוק, היקף ושטח

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיסים $AB = 22$ ו- $DC = 12$ , וזווית הבסיס $\angle A = 48^\circ$ . $DE$ ו- $CF$ הם גבהים. מצאו את הגובה, את השוק, את ההיקף ואת השטח. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

\begin{aligned}AE &= \frac{22 - 12}{2} \\ &= 5\end{aligned}

$EF = DC = 12$ , והשארית מתחלקת שווה בשווה בין שני הצדדים

DE = 5\tan 48^\circ \approx 5.55

במשולש $AED$ : $AE$ ליד הזווית, $DE$ מולה

AD = \frac{5}{\cos 48^\circ} \approx 7.47

השוק היא היתר של המשולש $AED$

P = 22 + 12 + 2 \cdot 7.47 \approx 48.94

שתי שוקיים שוות

S = \frac{22 + 12}{2} \cdot 5.55 \approx 94.40

שטח טרפז: ממוצע הבסיסים כפול הגובה

למה $AE = FB$ ? נמקו.

Show the answer and the solution

המשולשים $AED$ ו- $BFC$ ישרי זווית. היתרים שלהם שווים, $AD = BC$ (שוקי הטרפז), וגם ניצב אחד, $DE = CF$ (גבהים בין אותם ישרים מקבילים). לכן הם חופפים, ו- $AE = FB$ . ומכיוון ש- $EF = DC$ , כל אחד מהם הוא $\frac{AB - DC}{2}$ .

מעוין

במעוין $ABCD$ שצלעו $10$ וזוויתו $\angle DAB = 64^\circ$ , המשולש $AOB$ ישר זווית ב- $O$ . הזווית $\angle OAB = 32^\circ$ , חצי מזווית המעוין, והיתר הוא הצלע $AB = 10$ .

מהו אורך האלכסון $AC$ ? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

$AO = 10\cos 32^\circ \approx 8.48$ , והאלכסונים חוצים זה את זה: $AC = 2 \cdot AO \approx 16.96$ .

היקף: מחברים את כל הצלעות של הצורה, לא של המשולש. שטח: נוסחת השטח של הצורה, או סכום השטחים של המשולשים שבתוכה.

שלוש טעויות של «חצי».

\tan 52^\circ = \frac{AD}{16}

\tan 52^\circ = \frac{AD}{8}

במשולש שווה שוקיים שבסיסו $16$ , הניצב במשולש ישר הזווית הוא חצי הבסיס.

\begin{aligned}AE &= 22 - 12 \\ &= 10\end{aligned}

\begin{aligned}AE &= \frac{22 - 12}{2} \\ &= 5\end{aligned}

בטרפז שווה שוקיים ההפרש בין הבסיסים מתחלק בין שני הצדדים.

AO = 10\cos 64^\circ

AO = 10\cos 32^\circ

האלכסון חוצה את זווית המעוין: במשולש $AOB$ עובדים עם החצי.

Exercises

Exercise 1

במלבן $ABCD$ הצלע $AB = 10$ , והאלכסון $AC$ יוצר עם $AB$ זווית של $28^\circ$ . חשבו את הצלע $BC$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 5.32

Worked solution:

\angle B = 90^\circ

כל זוויות המלבן ישרות, ולכן $ABC$ ישר זווית

BC = 10\tan 28^\circ \approx 5.32

$AB$ ליד הזווית, $BC$ מולה: טנגנס

$BC \approx 5.32$ . מי שחישב $10\sin 28^\circ$ התייחס ל- $AB$ כאל יתר, אבל היתר הוא האלכסון $AC$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

במלבן $ABCD$ האלכסון $AC = 13$ , והוא יוצר עם הצלע $AB$ זווית של $40^\circ$ . חשבו את שטח המלבן. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 83.22

Worked solution:

AB = 13\cos 40^\circ \approx 9.96

ליד ויתר

BC = 13\sin 40^\circ \approx 8.36

מול ויתר

S = AB \cdot BC \approx 83.22

שטח מלבן: אורך כפול רוחב

השטח $\approx 83.22$ . מי שחישב $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC$ מצא את שטח המשולש $ABC$ , חצי מהמלבן.

Check the answer on elev

Exercise 3

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC$ ) הבסיס $BC = 16$ וזווית הבסיס $\angle B = 52^\circ$ . $AD$ הוא הגובה לבסיס. חשבו את $AD$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 10.24

Worked solution:

\begin{aligned}BD &= \frac{16}{2} \\ &= 8\end{aligned}

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון

AD = 8\tan 52^\circ \approx 10.24

במשולש $ABD$ : $BD$ ליד $B$ , $AD$ מולה

$AD \approx 10.24$ . מי שכתב $16\tan 52^\circ \approx 20.48$ שכח שהגובה חוצה את הבסיס.

Check the answer on elev

Exercise 4

במשולש שווה שוקיים $ABC$ השוקיים $AB = AC = 9$ וזווית הראש $\angle BAC = 70^\circ$ . $AD$ הוא הגובה לבסיס. חשבו את הבסיס $BC$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 10.32

Worked solution:

\angle BAD = 35^\circ

הגובה לבסיס חוצה את זווית הראש

BD = 9\sin 35^\circ \approx 5.16

במשולש $ABD$ : $BD$ מול $35^\circ$ , $AB$ היתר

BC = 2 \cdot BD \approx 10.32

הגובה הוא גם תיכון

$BC \approx 10.32$ . שתי טעויות של חצי: לעבוד עם $70^\circ$ במקום $35^\circ$ , או לעצור ב- $BD$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיסים $AB = 18$ ו- $DC = 10$ . $DE$ הוא גובה. מהו אורך $AE$ ?

$14$
$9$
$8$
$4$

Show the answer and the solution

Answer: D $4$

Worked solution:

\begin{aligned}EF &= DC \\ &= 10\end{aligned}

$DCFE$ הוא מלבן

\begin{aligned}AE &= \frac{18 - 10}{2} \\ &= 4\end{aligned}

שני הקטעים בצדדים שווים

הנכונה: $4$ . $8$ הוא ההפרש כולו, בלי לחלק לשני הצדדים. $14$ הוא ממוצע הבסיסים, ששייך לנוסחת השטח.

Check the answer on elev

Exercise 6

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיסים $AB = 20$ ו- $DC = 12$ , וזווית הבסיס $\angle A = 50^\circ$ . $DE$ הוא גובה. חשבו את $DE$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 4.77

Worked solution:

\begin{aligned}AE &= \frac{20 - 12}{2} \\ &= 4\end{aligned}

הטרפז שווה שוקיים

DE = 4\tan 50^\circ \approx 4.77

במשולש $AED$ : $AE$ ליד $A$ , $DE$ מולה

$DE \approx 4.77$ . מי שקיבל $9.53$ לקח $AE = 8$ , את ההפרש כולו.

Check the answer on elev

Exercise 7

בטרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) הבסיסים $AB = 26$ ו- $DC = 14$ , וזווית הבסיס $\angle A = 40^\circ$ . חשבו את שטח הטרפז. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 100.69

Worked solution:

\begin{aligned}AE &= \frac{26 - 14}{2} \\ &= 6\end{aligned}

הגובה $DE$ חותך קטע שווה בכל צד

DE = 6\tan 40^\circ \approx 5.03

טנגנס במשולש $AED$

S = \frac{26 + 14}{2} \cdot 5.03 \approx 100.69

ממוצע הבסיסים כפול הגובה

השטח $\approx 100.69$ . בנוסחת הטרפז מחברים את הבסיסים ( $\frac{26 + 14}{2}$ ), ובחישוב $AE$ מחסרים אותם ( $\frac{26 - 14}{2}$ ). לא להחליף.

Check the answer on elev

Exercise 8

במעוין $ABCD$ הצלע $10$ והזווית $\angle DAB = 70^\circ$ . האלכסונים נפגשים ב- $O$ . חשבו את האלכסון $BD$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 11.47

Worked solution:

\begin{aligned}\angle OAB &= 35^\circ \\ \ \angle AOB &= 90^\circ\end{aligned}

במעוין האלכסונים מאונכים וחוצים את הזוויות

BO = 10\sin 35^\circ \approx 5.74

$BO$ מול $35^\circ$ , $AB$ היתר

BD = 2 \cdot BO \approx 11.47

האלכסונים חוצים זה את זה

$BD \approx 11.47$ . $BD$ נמצא מול הזווית $A$ , ולכן סינוס. $2 \cdot 10\cos 35^\circ$ נותן את האלכסון השני, $AC$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

במעוין $ABCD$ האלכסונים $AC = 16$ ו- $BD = 12$ נפגשים ב- $O$ . חשבו את הזווית $\angle DAB$ של המעוין. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 73.74

Worked solution:

\begin{aligned}AO &= 8 \\ \ BO &= 6\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

\tan\angle OAB = \frac{6}{8} \ \Rightarrow \ \angle OAB \approx 36.87^\circ

במשולש $AOB$ , ישר זווית ב- $O$

\angle DAB = 2 \cdot \angle OAB \approx 73.74^\circ

האלכסון חוצה את זווית המעוין

$\angle DAB \approx 73.74^\circ$ . מי שעצר ב- $36.87^\circ$ מצא רק את חצי הזווית.

Check the answer on elev

Exercise 10

במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AB = AC$ ) הבסיס $BC = 16$ וזווית הבסיס $\angle B = 52^\circ$ . $AD$ הוא הגובה לבסיס. חשבו את היקף המשולש. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 41.99

Worked solution:

BD = 8

הגובה לבסיס הוא גם תיכון

AB = \frac{8}{\cos 52^\circ} \approx 12.99

במשולש $ABD$ : $BD$ ליד $B$ , $AB$ היתר

P = 16 + 2 \cdot 12.99 \approx 41.99

שתי שוקיים ובסיס

ההיקף $\approx 41.99$ . ההיקף הוא של המשולש $ABC$ : מי שחיבר $8 + AB + AD$ חישב את היקף המשולש הקטן $ABD$ .

Check the answer on elev

איפה מסתתר המשולש ישר הזווית?

טרפז שווה שוקיים

מעוין

Exercises

Keep practising on elev