סימולציית בגרות 1

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

סימולציית בגרות 1 — שאלון 35471 (4 יחידות לימוד). 8 שאלות בשלושה פרקים, 35 סעיפים בסך הכול. עליכם לענות על 5 שאלות, לפחות אחת מכל פרק. לכל שאלה 20 נקודות. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי (210 דקות). מותר להשתמש בנוסחאון, בטבלת ההתפלגות הנורמלית ובמחשבון לא גרפי. כל השאלות כתובות כאן, ואתם בוחרים. פרק ראשון — סטטיסטיקה והסתברות: שאלה 1 (התפלגות נורמלית: חיי הסוללה), שאלה 2 (מתאם ורגרסיה: דוכן מיצים), שאלה 3 (הסתברות מותנית: איחורים לבית הספר). פרק שני — גאומטריה: שאלה 4 (מעוין במערכת צירים), שאלה 5 (מעגל ומשיק במערכת צירים). פרק שלישי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: שאלה 6 (חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר), שאלה 7 (פונקציית שורש), שאלה 8 (בעיית ערך קיצון: מלבן מתחת לפרבולה).

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בכל שאלת חקירה, תחום ההגדרה קודם לכול; בשאלות ההתפלגות הנורמלית, הטבלה נותנת את השטח משמאל; ובכל סעיף שטח עם f′f', השטח הוא f(b)−f(a)f(b)-f(a).

Exercises

שאלה 1 — התפלגות נורמלית: חיי הסוללה

Exercise 1

חיי הסוללה של דגם טלפון מסוים (בשעות שימוש) מתפלגים נורמלית עם ממוצע 1818 שעות. ל-15.87%15.87\% מהטלפונים הסוללה מחזיקה יותר מ-2121 שעות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28)=0.8997, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. א. מצאו את סטיית התקן של חיי הסוללה.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

P(X>21)=0.1587⇒Φ(z)=1−0.1587=0.8413\begin{aligned}P(X>21) &= 0.1587 \Rightarrow \Phi(z) \\ &= 1-0.1587 \\ &= 0.8413\end{aligned}

השטח משמאל ל-2121

z=1⇒21−18σ=1\begin{aligned}z &= 1 \Rightarrow \frac{21-18}{\sigma} \\ &= 1\end{aligned}

ציון התקן מהטבלה

σ=3\sigma=3

סטיית התקן 33 שעות. המלכודת: לחפש בטבלה את 0.15870.1587 — הטבלה נותנת את השטח משמאל, ולכן מחפשים את 0.84130.8413.

Check the answer on elev

Exercise 2

חיי הסוללה של דגם טלפון מסוים (בשעות שימוש) מתפלגים נורמלית עם ממוצע 1818 שעות. ל-15.87%15.87\% מהטלפונים הסוללה מחזיקה יותר מ-2121 שעות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28)=0.8997, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. נמצא: סטיית התקן 33 שעות. ב. איזה אחוז מהטלפונים מחזיקים בין 1515 ל-22.522.5 שעות? ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 77.45

Worked solution:

z1=15−183=−1z2=22.5−183=1.5\begin{aligned}z_1 &= \frac{15-18}{3} \\ &= -1 \qquad z_2 \\ &= \frac{22.5-18}{3} \\ &= 1.5\end{aligned}

ציוני התקן של שני הגבולות

Φ(−1)=1−0.8413=0.1587\begin{aligned}\Phi(-1) &= 1-0.8413 \\ &= 0.1587\end{aligned}

סימטריה של העקומה

Φ(1.5)−Φ(−1)=0.9332−0.1587=0.7745\begin{aligned}\Phi(1.5)-\Phi(-1) &= 0.9332-0.1587 \\ &= 0.7745\end{aligned}

השטח בין שני הגבולות

77.45%77.45\%. המלכודת: לקחת Φ(−1)=0.8413\Phi(-1)=0.8413 — ציון תקן שלילי נותן שטח קטן מחצי.

Check the answer on elev

Exercise 3

חיי הסוללה של דגם טלפון מסוים (בשעות שימוש) מתפלגים נורמלית עם ממוצע 1818 שעות. ל-15.87%15.87\% מהטלפונים הסוללה מחזיקה יותר מ-2121 שעות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28)=0.8997, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. נמצא: סטיית התקן 33 שעות. ג. היצרן מחליף את הסוללה ל-10%10\% מהטלפונים, אלה שהסוללה שלהם מחזיקה הכי מעט. מצאו את מספר השעות tt שמתחתיו מחליפים את הסוללה. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 14.16

Worked solution:

P(X<t)=0.10⇒Φ(−z)=0.90\begin{aligned}P(X<t) &= 0.10 \Rightarrow \Phi(-z) \\ &= 0.90\end{aligned}

זנב שמאלי: ציון התקן שלילי

Φ(1.28)=0.8997≈0.90⇒z=−1.28\begin{aligned}\Phi(1.28) &= 0.8997 \approx 0.90 \Rightarrow z \\ &= -1.28\end{aligned}

קריאה הפוכה של הטבלה

t=18−1.28⋅3=14.16\begin{aligned}t &= 18-1.28 \cdot 3 \\ &= 14.16\end{aligned}

x=μ+zσx=\mu+z\sigma

t≈14.16t \approx 14.16 שעות. המלכודת: 21.8421.84 — זה הסף של 10%10\% הטלפונים הטובים ביותר, מימין לממוצע.

Check the answer on elev

Exercise 4

חיי הסוללה של דגם טלפון מסוים (בשעות שימוש) מתפלגים נורמלית עם ממוצע 1818 שעות. ל-15.87%15.87\% מהטלפונים הסוללה מחזיקה יותר מ-2121 שעות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28)=0.8997, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. ד. בדגם חדש סטיית התקן נשארה 33 שעות, אבל רק ל-6.68%6.68\% מהטלפונים הסוללה מחזיקה פחות מ-1616 שעות. מצאו את הממוצע של חיי הסוללה בדגם החדש.

Show the answer and the solution

Answer: 20.5

Worked solution:

Φ(z)=0.0668⇒Φ(−z)=0.9332⇒z=−1.5\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.0668 \Rightarrow \Phi(-z) \\ &= 0.9332 \Rightarrow z \\ &= -1.5\end{aligned}

השטח משמאל ל-1616 קטן מחצי

16−μ3=−1.5\frac{16-\mu}{3}=-1.5

ציון התקן של 1616

μ=16+4.5=20.5\begin{aligned}\mu &= 16+4.5 \\ &= 20.5\end{aligned}

הממוצע 20.520.5 שעות. המלכודת: לקחת z=+1.5z=+1.5 ולקבל 11.511.5 — הממוצע חייב להיות מעל 1616, כי פחות מחצי מהטלפונים מתחת ל-1616.

Check the answer on elev

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה: דוכן מיצים

Exercise 5

מחיר כוס (x, ש"ח)24568
כוסות שנמכרו (y, עשרות)2620221814

בדוכן מיצים בשוק שינו את מחיר כוס המיץ (xx, בשקלים) בחמישה ימים שונים, ורשמו כמה כוסות נמכרו באותו יום (yy, בעשרות כוסות). הנתונים בטבלה. ידוע: xˉ=5\bar{x}=5 ו-Sx=2S_x=2. א. חשבו את הממוצע yˉ\bar{y} ואת סטיית התקן SyS_y.

yˉ=\bar{y}= ____ , Sy=S_y= ____

Show the answer and the solution

Answer: yˉ=\bar{y}= 20 , Sy=S_y= 4

Worked solution:

yˉ=26+20+22+18+145=1005=20\begin{aligned}\bar{y} &= \frac{26+20+22+18+14}{5} \\ &= \frac{100}{5} \\ &= 20\end{aligned}

ממוצע

y−yˉ: 6, 0, 2, −2, −6y-\bar{y}:\ 6,\ 0,\ 2,\ -2,\ -6

הסטיות מהממוצע

Sy=36+0+4+4+365=16=4\begin{aligned}S_y &= \sqrt{\frac{36+0+4+4+36}{5}} \\ &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

מחלקים במספר הנתונים, 55

yˉ=20\bar{y}=20 ו-Sy=4S_y=4. המלכודת: לחלק ב-44 במקום ב-55 ולקבל 20\sqrt{20} — בנוסחאון מחלקים במספר הנתונים.

Check the answer on elev

Exercise 6

מחיר כוס (x, ש"ח)24568
כוסות שנמכרו (y, עשרות)2620221814

בדוכן מיצים בשוק שינו את מחיר כוס המיץ (xx, בשקלים) בחמישה ימים שונים, ורשמו כמה כוסות נמכרו באותו יום (yy, בעשרות כוסות). הנתונים בטבלה. ידוע: xˉ=5\bar{x}=5 ו-Sx=2S_x=2. נמצא: yˉ=20\bar{y}=20, Sy=4S_y=4. ב. חשבו את מקדם המתאם של פירסון rr. ענו עד שתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: -0.95

Worked solution:

x−xˉ: −3, −1, 0, 1, 3x-\bar{x}:\ -3,\ -1,\ 0,\ 1,\ 3

הסטיות של xx

∑(x−xˉ)(y−yˉ)=−18+0+0−2−18=−38\begin{aligned}\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y}) &= -18+0+0-2-18 \\ &= -38\end{aligned}

סכום המכפלות

r=−385⋅2⋅4=−0.95\begin{aligned}r &= \frac{-38}{5 \cdot 2 \cdot 4} \\ &= -0.95\end{aligned}

הנוסחה מהנוסחאון

r=−0.95r=-0.95: מתאם שלילי חזק — כשהמחיר עולה, נמכרות פחות כוסות. המלכודת: לשכוח את הסימן. מתאם «חזק» יכול להיות שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 7

מחיר כוס (x, ש"ח)24568
כוסות שנמכרו (y, עשרות)2620221814

בדוכן מיצים בשוק שינו את מחיר כוס המיץ (xx, בשקלים) בחמישה ימים שונים, ורשמו כמה כוסות נמכרו באותו יום (yy, בעשרות כוסות). הנתונים בטבלה. ידוע: xˉ=5\bar{x}=5 ו-Sx=2S_x=2. נמצא: yˉ=20\bar{y}=20, Sy=4S_y=4, r=−0.95r=-0.95. ג. מצאו את משוואת קו הרגרסיה של yy על xx.

y=y= ____ x+x+ ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y= -1.9 x+x+ 29.5

Worked solution:

m=r⋅SySx=−0.95⋅42=−1.9\begin{aligned}m &= r \cdot \frac{S_y}{S_x} \\ &= -0.95 \cdot \frac{4}{2} \\ &= -1.9\end{aligned}

שיפוע קו הרגרסיה

y−20=−1.9(x−5)y-20=-1.9(x-5)

הקו עובר דרך (xˉ,yˉ)(\bar{x},\bar{y})

y=−1.9x+29.5y=-1.9x+29.5

הקו: y=−1.9x+29.5y=-1.9x+29.5. המלכודת: להפוך את היחס, SxSy\frac{S_x}{S_y}, ולקבל שיפוע −0.475-0.475.

Check the answer on elev

Exercise 8

מחיר כוס (x, ש"ח)24568
כוסות שנמכרו (y, עשרות)2620221814

בדוכן מיצים בשוק שינו את מחיר כוס המיץ (xx, בשקלים) בחמישה ימים שונים, ורשמו כמה כוסות נמכרו באותו יום (yy, בעשרות כוסות). הנתונים בטבלה. ידוע: xˉ=5\bar{x}=5 ו-Sx=2S_x=2. קו הרגרסיה: y=−1.9x+29.5y=-1.9x+29.5. ד. לפי קו הרגרסיה, כמה כוסות צפויות להימכר ביום שבו המחיר 77 ש"ח? ענו בעשרות כוסות.

Show the answer and the solution

Answer: 16.2

Worked solution:

y=−1.9⋅7+29.5=16.2\begin{aligned}y &= -1.9 \cdot 7+29.5 \\ &= 16.2\end{aligned}

מציבים x=7x=7

2≤7≤82 \le 7 \le 8

המחיר בתוך תחום הנתונים, ולכן הניבוי סביר

בערך 16.216.2 עשרות, כלומר כ-162162 כוסות. המלכודת: להציב את 77 במקום yy. הניבוי תקף רק בתוך תחום המחירים שנמדדו.

Check the answer on elev

Exercise 9

מחיר כוס (x, ש"ח)24568
כוסות שנמכרו (y, עשרות)2620221814

בדוכן מיצים בשוק שינו את מחיר כוס המיץ (xx, בשקלים) בחמישה ימים שונים, ורשמו כמה כוסות נמכרו באותו יום (yy, בעשרות כוסות). הנתונים בטבלה. ידוע: xˉ=5\bar{x}=5 ו-Sx=2S_x=2. קו הרגרסיה: y=−1.9x+29.5y=-1.9x+29.5, ו-r=−0.95r=-0.95. ה. בקיץ הבא נמכרו בכל אחד מהימים האלה בדיוק 33 עשרות כוסות פחות (המחירים לא השתנו). איזו טענה נכונה לגבי הנתונים החדשים?

  1. rr משתנה ל-−0.8-0.8, והשיפוע לא משתנה
  2. השיפוע משתנה ל-−4.9-4.9, ו-rr לא משתנה
  3. SyS_y קטנה ל-11, והשיפוע משתנה
  4. rr ושיפוע הקו לא משתנים, והקו החדש y=−1.9x+26.5y=-1.9x+26.5
Show the answer and the solution

Answer: D rr ושיפוע הקו לא משתנים, והקו החדש y=−1.9x+26.5y=-1.9x+26.5

Worked solution:

y→y−3: yˉ=17 Sy=4\begin{aligned}y \to y-3: \ \bar{y} &= 17 \\ \ S_y &= 4\end{aligned}

הזזה משנה את הממוצע, לא את הפיזור

r=−0.95 m=−1.9\begin{aligned}r &= -0.95 \\ \ m &= -1.9\end{aligned}

המתאם והשיפוע תלויים רק בסטיות

y−17=−1.9(x−5)⇒y=−1.9x+26.5\begin{aligned}y-17 &= -1.9(x-5) \Rightarrow y \\ &= -1.9x+26.5\end{aligned}

רק החותך יורד ב-33

הנכונה: rr והשיפוע לא משתנים, והקו יורד ב-33. המלכודת: לחסר 33 גם מסטיית התקן או מהשיפוע — הזזה של כל הנתונים לא משנה את הפיזור.

Check the answer on elev

שאלה 3 — הסתברות מותנית: איחורים לבית הספר

Exercise 10

בבית ספר גדול 40%40\% מהתלמידים מגיעים באופניים, והשאר באוטובוס. 15%15\% מהמגיעים באופניים מאחרים, ו-25%25\% מהמגיעים באוטובוס מאחרים. בוחרים תלמיד באקראי. נסמן ב-BB את המאורע «התלמיד מגיע באופניים», וב-LL את המאורע «התלמיד מאחר». א. מה ההסתברות שהתלמיד מאחר?

Show the answer and the solution

Answer: 0.21

Worked solution:

P(L)=0.4⋅0.15+0.6⋅0.25P(L)=0.4 \cdot 0.15+0.6 \cdot 0.25

נוסחת ההסתברות השלמה: שני ענפים בעץ

=0.06+0.15=0.21=0.06+0.15=0.21

P=0.21P=0.21. המלכודת: לחבר 0.15+0.250.15+0.25 או לחשב את הממוצע שלהם, 0.20.2 — כל אחוז צריך לכפול במשקל של הקבוצה שלו.

Check the answer on elev

Exercise 11

בבית ספר גדול 40%40\% מהתלמידים מגיעים באופניים, והשאר באוטובוס. 15%15\% מהמגיעים באופניים מאחרים, ו-25%25\% מהמגיעים באוטובוס מאחרים. בוחרים תלמיד באקראי. נסמן ב-BB את המאורע «התלמיד מגיע באופניים», וב-LL את המאורע «התלמיד מאחר». נמצא: P(L)=0.21P(L)=0.21. ב. ידוע שהתלמיד שנבחר איחר. מה ההסתברות שהוא הגיע באופניים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.29

Worked solution:

P(B∣L)=P(B∩L)P(L)P(B \mid L)=\frac{P(B \cap L)}{P(L)}

הסתברות מותנית

=0.060.21=27≈0.29=\frac{0.06}{0.21}=\frac{2}{7} \approx 0.29

P≈0.29P \approx 0.29. המלכודת: לענות 0.150.15 — זו P(L∣B)P(L \mid B), ההסתברות לאחר בהינתן אופניים, והשאלה הפוכה.

Check the answer on elev

Exercise 12

בבית ספר גדול 40%40\% מהתלמידים מגיעים באופניים, והשאר באוטובוס. 15%15\% מהמגיעים באופניים מאחרים, ו-25%25\% מהמגיעים באוטובוס מאחרים. בוחרים תלמיד באקראי. נסמן ב-BB את המאורע «התלמיד מגיע באופניים», וב-LL את המאורע «התלמיד מאחר». ג. אחרי שנסללו שבילי אופניים, חלק גדול יותר מהתלמידים מגיעים באופניים. אחוזי האיחור בכל קבוצה לא השתנו, ועכשיו ההסתברות שתלמיד מאחר היא 0.190.19. איזה אחוז מהתלמידים מגיעים עכשיו באופניים?

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

0.15p+0.25(1−p)=0.190.15p+0.25(1-p)=0.19

pp — החלק של המגיעים באופניים

0.25−0.1p=0.19⇒p=0.6\begin{aligned}0.25-0.1p &= 0.19 \Rightarrow p \\ &= 0.6\end{aligned}
p=60%p=60\%

60%60\%. המלכודת: לכתוב 0.15p+0.25p=0.190.15p+0.25p=0.19 — מי שלא מגיע באופניים מגיע באוטובוס, ולכן המשקל השני הוא 1−p1-p.

Check the answer on elev

Exercise 13

בבית ספר גדול 40%40\% מהתלמידים מגיעים באופניים, והשאר באוטובוס. 15%15\% מהמגיעים באופניים מאחרים, ו-25%25\% מהמגיעים באוטובוס מאחרים. בוחרים תלמיד באקראי. נסמן ב-BB את המאורע «התלמיד מגיע באופניים», וב-LL את המאורע «התלמיד מאחר». במצב ההתחלתי נמצא: P(L)=0.21P(L)=0.21. ד. עיתון מקומי כתב (על המצב ההתחלתי): «רוב התלמידים שמאחרים מגיעים באוטובוס». הוכיחו או הפריכו.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

P(Bˉ∣L)=0.6⋅0.250.21=0.150.21=57\begin{aligned}P(\bar{B} \mid L) &= \frac{0.6 \cdot 0.25}{0.21} \\ &= \frac{0.15}{0.21} \\ &= \frac{5}{7}\end{aligned}

הסתברות מותנית

57≈0.71>0.5\frac{5}{7} \approx 0.71>0.5

יותר ממחצית המאחרים

נכון: כ-71%71\% מהמאחרים מגיעים באוטובוס. המלכודת: להשוות רק את 25%25\% ל-15%15\% — צריך לחשב את ההסתברות בהינתן איחור.

Check the answer on elev

שאלה 4 — מעוין במערכת צירים

Exercise 14

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-3-1135791113-2246810xy

במרובע ABCDABCD נתונים הקודקודים A(−1,1)A(-1,1) ו-C(11,7)C(11,7). האלכסון BDBD מאונך לאלכסון ACAC ועובר דרך MM, אמצע ACAC. הקודקוד BB נמצא על ציר ה-xx. א. מצאו את MM ואת משוואת הישר שעליו מונח האלכסון BDBD.

M(M( ____ ,, ____ )) ; y=y= ____ x+x+ ____

Show the answer and the solution

Answer: M(M( 5 ,, 4 )) ; y=y= -2 x+x+ 14

Worked solution:

M=(−1+112,1+72)=(5,4)\begin{aligned}M &= \left(\frac{-1+11}{2},\frac{1+7}{2}\right) \\ &= (5,4)\end{aligned}

נוסחת אמצע קטע

mAC=7−111+1=12⇒mBD=−2\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{7-1}{11+1} \\ &= \frac{1}{2} \Rightarrow m_{BD} \\ &= -2\end{aligned}

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים −1-1

y−4=−2(x−5)⇒y=−2x+14\begin{aligned}y-4 &= -2(x-5) \Rightarrow y \\ &= -2x+14\end{aligned}

משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע

הישר y=−2x+14y=-2x+14. המלכודת: לקחת את השיפוע ההפוך בלי להחליף סימן, 22 — הישר המאונך צריך את ההופכי הנגדי.

Check the answer on elev

Exercise 15

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-3-1135791113-2246810xy

במרובע ABCDABCD נתונים הקודקודים A(−1,1)A(-1,1) ו-C(11,7)C(11,7). האלכסון BDBD מאונך לאלכסון ACAC ועובר דרך MM, אמצע ACAC. הקודקוד BB נמצא על ציר ה-xx. נמצא: M(5,4)M(5,4), והאלכסון BDBD על הישר y=−2x+14y=-2x+14. ב. מצאו את BB ואת DD, כאשר MM הוא גם אמצע BDBD.

B(B( ____ ,0),0) ; D(D( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: B(B( 7 ,0),0) ; D(D( 3 ,, 8 ))

Worked solution:

0=−2x+14⇒B(7,0)0=-2x+14 \Rightarrow B(7,0)

BB על ציר ה-xx: מציבים y=0y=0

D=2M−B=(10−7, 8−0)=(3,8)\begin{aligned}D &= 2M-B \\ &= (10-7,\ 8-0) \\ &= (3,8)\end{aligned}

נוסחת אמצע קטע, הפוכה

8=−2⋅3+148=-2 \cdot 3+14

בדיקה: DD על הישר

B(7,0)B(7,0) ו-D(3,8)D(3,8). המלכודת: לחשב DD כממוצע של MM ו-BB — MM הוא האמצע, ולכן D=2M−BD=2M-B.

Check the answer on elev

Exercise 16

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-3-1135791113-2246810xy

במרובע ABCDABCD נתונים הקודקודים A(−1,1)A(-1,1) ו-C(11,7)C(11,7). האלכסון BDBD מאונך לאלכסון ACAC ועובר דרך MM, אמצע ACAC. הקודקוד BB נמצא על ציר ה-xx. נמצא: B(7,0)B(7,0), D(3,8)D(3,8), ו-M(5,4)M(5,4) הוא אמצע ACAC וגם אמצע BDBD. ג. הוכיחו כי המרובע ABCDABCD הוא מעוין.

  • A(−1,1)A(-1,1), B(7,0)B(7,0), C(11,7)C(11,7), D(3,8)D(3,8)
  • M(5,4)M(5,4) אמצע ACAC ואמצע BDBD
  • mAC=12m_{AC}=\frac{1}{2}, mBD=−2m_{BD}=-2

ABCDABCD מעוין

Show the answer and the solution
  1. ABCDABCD מקבילית — מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית
  2. AC⊥BDAC \perp BD — מכפלת השיפועים 12⋅(−2)=−1\frac{1}{2} \cdot (-2)=-1
  3. ABCDABCD מעוין — מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין

Worked solution:

ABCDמקביליתABCD מקבילית

מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית

AC⊥BDAC \perp BD

מכפלת השיפועים 12⋅(−2)=−1\frac{1}{2} \cdot (-2)=-1

ABCDמעויןABCD מעוין

מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין

המעוין מוכח בשני שלבים: מקבילית (האלכסונים חוצים זה את זה), ואז אלכסונים מאונכים. המלכודת: לומר «אלכסונים מאונכים — לכן מעוין» בלי המקבילית; גם בדלתון האלכסונים מאונכים.

Check the answer on elev

Exercise 17

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-3-1135791113-2246810xy

במרובע ABCDABCD נתונים הקודקודים A(−1,1)A(-1,1) ו-C(11,7)C(11,7). האלכסון BDBD מאונך לאלכסון ACAC ועובר דרך MM, אמצע ACAC. הקודקוד BB נמצא על ציר ה-xx. ABCDABCD מעוין, B(7,0)B(7,0), D(3,8)D(3,8). ד. חשבו את שטח המעוין ABCDABCD.

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

AC=122+62=180=65\begin{aligned}AC &= \sqrt{12^2+6^2} \\ &= \sqrt{180} \\ &= 6\sqrt{5}\end{aligned}

נוסחת המרחק

BD=42+82=80=45\begin{aligned}BD &= \sqrt{4^2+8^2} \\ &= \sqrt{80} \\ &= 4\sqrt{5}\end{aligned}

נוסחת המרחק

S=AC⋅BD2=65⋅452=60\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot BD}{2} \\ &= \frac{6\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5}}{2} \\ &= 60\end{aligned}

שטח מעוין: מחצית מכפלת האלכסונים

השטח 6060. המלכודת: לשכוח לחלק ב-22 ולקבל 120120 — מכפלת האלכסונים היא שטח של מלבן שחוסם את המעוין.

Check the answer on elev

Exercise 18

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-3-1135791113-2246810xy

במרובע ABCDABCD נתונים הקודקודים A(−1,1)A(-1,1) ו-C(11,7)C(11,7). האלכסון BDBD מאונך לאלכסון ACAC ועובר דרך MM, אמצע ACAC. הקודקוד BB נמצא על ציר ה-xx. ABCDABCD מעוין, M(5,4)M(5,4), B(7,0)B(7,0), D(3,8)D(3,8). ה. חשבו את הזווית ∠DAB\angle DAB של המעוין. ענו במעלות, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 67.38

Worked solution:

MA=45MB=20\begin{aligned}MA &= \sqrt{45} \\ \quad MB &= \sqrt{20}\end{aligned}

חצאי האלכסונים

tan⁡∠MAB=MBMA=2045=23\begin{aligned}\tan \angle MAB &= \frac{MB}{MA} \\ &= \sqrt{\frac{20}{45}} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

במשולש ישר הזווית AMBAMB: AC⊥BDAC \perp BD

∠MAB≈33.69∘⇒∠DAB≈67.38∘\angle MAB \approx 33.69^\circ \Rightarrow \angle DAB \approx 67.38^\circ

במעוין האלכסון חוצה את הזווית

∠DAB≈67.38∘\angle DAB \approx 67.38^\circ. המלכודת: לעצור ב-33.69∘33.69^\circ — זו רק מחצית הזווית, כי האלכסון ACAC חוצה אותה.

Check the answer on elev

שאלה 5 — מעגל ומשיק במערכת צירים

Exercise 19

שרטוט לשאלה 5
ABCMD-8-6-4-20246-22468101214xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-yy, והמעגל עובר דרך הנקודות A(−4,9)A(-4,9) ו-B(4,1)B(4,1). א. מצאו את MM ואת רדיוס המעגל. כתבו את R2R^2.

M(0,M(0, ____ )) ; R2=R^2= ____

Show the answer and the solution

Answer: M(0,M(0, 5 )) ; R2=R^2= 32

Worked solution:

(−4−0)2+(9−b)2=(4−0)2+(1−b)2(-4-0)^2+(9-b)^2=(4-0)^2+(1-b)^2

MA=MBMA=MB: שני רדיוסים

81−18b=1−2b⇒b=5\begin{aligned}81-18b &= 1-2b \Rightarrow b \\ &= 5\end{aligned}
R2=16+16=32\begin{aligned}R^2 &= 16+16 \\ &= 32\end{aligned}

נוסחת המרחק

x2+(y−5)2=32x^2+(y-5)^2=32

משוואת המעגל

M(0,5)M(0,5) ו-R2=32R^2=32. המלכודת: לכתוב R=32R=32 — במשוואת המעגל מופיע ריבוע הרדיוס, R=32R=\sqrt{32}.

Check the answer on elev

Exercise 20

שרטוט לשאלה 5
ABCMD-8-6-4-20246-22468101214xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-yy, והמעגל עובר דרך הנקודות A(−4,9)A(-4,9) ו-B(4,1)B(4,1). נמצא: M(0,5)M(0,5) ו-R2=32R^2=32. ב. הנקודה C(4,9)C(4,9) נמצאת על המעגל. מהו גודל הזווית ∠ACB\angle ACB?

  1. 60∘60^\circ
  2. 45∘45^\circ
  3. 90∘90^\circ
  4. 180∘180^\circ
Show the answer and the solution

Answer: C 90∘90^\circ

Worked solution:

(−4+42,9+12)=(0,5)=M\begin{aligned}\left(\frac{-4+4}{2},\frac{9+1}{2}\right) &= (0,5) \\ &= M\end{aligned}

אמצע ABAB הוא המרכז

AB=128=232=2R\begin{aligned}AB &= \sqrt{128} \\ &= 2\sqrt{32} \\ &= 2R\end{aligned}

מיתר שעובר דרך המרכז הוא קוטר

∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה

הנכונה: 90∘90^\circ. המלכודת: 180∘180^\circ — זו הזווית המרכזית ∠AMB\angle AMB; ההיקפית שווה למחציתה.

Check the answer on elev

Exercise 21

שרטוט לשאלה 5
ABCMD-8-6-4-20246-22468101214xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-yy, והמעגל עובר דרך הנקודות A(−4,9)A(-4,9) ו-B(4,1)B(4,1). נמצא: M(0,5)M(0,5) ו-R2=32R^2=32. ג. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה AA.

y=y= ____ x+x+ ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y= 1 x+x+ 13

Worked solution:

mMA=9−5−4−0=−1\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{9-5}{-4-0} \\ &= -1\end{aligned}

שיפוע הרדיוס לנקודת ההשקה

m=1m=1

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

y−9=1(x+4)⇒y=x+13\begin{aligned}y-9 &= 1(x+4) \Rightarrow y \\ &= x+13\end{aligned}

המשיק y=x+13y=x+13. המלכודת: להעביר ישר בשיפוע −1-1 — זה הישר MAMA עצמו, שעובר דרך המרכז.

Check the answer on elev

Exercise 22

שרטוט לשאלה 5
ABCMD-8-6-4-20246-22468101214xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-yy, והמעגל עובר דרך הנקודות A(−4,9)A(-4,9) ו-B(4,1)B(4,1). המשיק ב-AA הוא y=x+13y=x+13, ו-M(0,5)M(0,5). ד. המשיק מסעיף ג חותך את ציר ה-yy בנקודה DD. חשבו את שטח המשולש ADMADM.

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

D(0,13)D(0,13)

מציבים x=0x=0 במשוואת המשיק

∠MAD=90∘\angle MAD=90^\circ

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

AD=16+16=32AM=32\begin{aligned}AD &= \sqrt{16+16} \\ &= \sqrt{32} \\ \quad AM &= \sqrt{32}\end{aligned}

נוסחת המרחק

S=32⋅322=16\begin{aligned}S &= \frac{\sqrt{32} \cdot \sqrt{32}}{2} \\ &= 16\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: מחצית מכפלת הניצבים

השטח 1616. המלכודת: לקחת את MD=8MD=8 כניצב — MDMD הוא היתר, כי הזווית הישרה ב-AA. בדיקה: 8⋅42=16\frac{8 \cdot 4}{2}=16 עם הגובה מ-AA לציר ה-yy.

Check the answer on elev

שאלה 6 — חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר

Exercise 23

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax−1f(x)=\dfrac{x^2+a}{x-1}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (2,7)(2,7). א. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

4+a2−1=7\frac{4+a}{2-1}=7

מציבים את הנקודה

a=3a=3

a=3a=3. המלכודת: להציב x=7x=7, y=2y=2 — בנקודה (2,7)(2,7) השיעור הראשון הוא xx.

Check the answer on elev

Exercise 24

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax−1f(x)=\dfrac{x^2+a}{x-1}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (2,7)(2,7). הציבו a=3a=3: f(x)=x2+3x−1f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}. ב. מצאו את נקודות הקיצון של ff וקבעו את סוגן.

מקסימום: (( ____ ,, ____ )) ; מינימום: (( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: מקסימום: (( -1 ,, -2 )) ; מינימום: (( 3 ,, 6 ))

Worked solution:

f′(x)=2x(x−1)−(x2+3)(x−1)2=x2−2x−3(x−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-1)-(x^2+3)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

x2−2x−3=0⇒x=−1 x=3\begin{aligned}x^2-2x-3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

המונה מתאפס; x=1x=1 מחוץ לתחום

f′(−2)>0, f′(0)<0, f′(2)<0, f′(4)>0f'(-2)>0, \ f'(0)<0, \ f'(2)<0, \ f'(4)>0

טבלת סימנים

f(−1)=4−2=−2f(3)=122=6\begin{aligned}f(-1) &= \frac{4}{-2} \\ &= -2 \\ \quad f(3) &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

מקסימום (−1,−2)(-1,-2) ומינימום (3,6)(3,6). המלכודת: «המקסימום גבוה מהמינימום» — כאן ערך המקסימום נמוך מערך המינימום, כי הם בשני ענפים משני צדי האסימפטוטה x=1x=1.

Check the answer on elev

Exercise 25

שלושה גרפים — איזה מהם של f'?
-5-4-3-2-101234567-4-3-2-1123xy
  • גרף I
  • גרף II
  • גרף III

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax−1f(x)=\dfrac{x^2+a}{x-1}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (2,7)(2,7). f(x)=x2+3x−1f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}; מקסימום (−1,−2)(-1,-2), מינימום (3,6)(3,6). ג. בשרטוט שלושה גרפים. איזה מהם הוא הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)?

  1. גרף III
  2. גרף I
  3. גרף II
Show the answer and the solution

Answer: B גרף I

Worked solution:

f′(x)=0⇔x=−1 x=3\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Leftrightarrow x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

אפסי הנגזרת הם שיעורי ה-xx של נקודות הקיצון

x→±∞: f′(x)→1x \to \pm\infty: \ f'(x) \to 1

f′(x)=1−4(x−1)2f'(x)=1-\frac{4}{(x-1)^2}: אסימפטוטה אופקית y=1y=1

x=1: f′→−∞x=1: \ f' \to -\infty

אסימפטוטה אנכית באותו מקום כמו של ff

הנכונה: גרף I — מתאפס ב-−1-1 וב-33, שלילי בין הקיצונים, וחיובי מחוצה להם. המלכודות: גרף II הוא −f′-f' (הסימנים הפוכים), וגרף III מוזז — האסימפטוטה שלו ב-x=−1x=-1.

Check the answer on elev

Exercise 26

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax−1f(x)=\dfrac{x^2+a}{x-1}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (2,7)(2,7). f(x)=x2+3x−1f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}; מקסימום (−1,−2)(-1,-2), מינימום (3,6)(3,6). ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′(x)f'(x), ציר ה-xx והישרים x=3x=3 ו-x=5x=5.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

x≥3: f′(x)≥0x \ge 3: \ f'(x) \ge 0

הגרף של f′f' מעל ציר ה-xx בקטע

∫35f′(x) dx=f(5)−f(3)\int_3^5 f'(x)\,dx=f(5)-f(3)

ff היא פונקציה קדומה של f′f'

284−6=7−6=1\begin{aligned}\frac{28}{4}-6 &= 7-6 \\ &= 1\end{aligned}

השטח 11. המלכודת: לחשב f′(5)−f′(3)f'(5)-f'(3) — הפונקציה הקדומה של f′f' היא ff, ולכן מציבים ב-ff.

Check the answer on elev

Exercise 27

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax−1f(x)=\dfrac{x^2+a}{x-1}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (2,7)(2,7). f(x)=x2+3x−1f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}; מקסימום (−1,−2)(-1,-2), מינימום (3,6)(3,6), אסימפטוטה אנכית x=1x=1. ה. לאילו ערכים של kk אין למשוואה f(x)=kf(x)=k אף פתרון?

  1. k<−2k<-2 או k>6k>6
  2. −2<k<6-2<k<6
  3. k=1k=1 בלבד
  4. −1<k<3-1<k<3
Show the answer and the solution

Answer: B −2<k<6-2<k<6

Worked solution:

x<1: f(x)≤−2x<1: \ f(x) \le -2

בענף השמאלי המקסימום −2-2

x>1: f(x)≥6x>1: \ f(x) \ge 6

בענף הימני המינימום 66

−2<k<6-2<k<6

ערכים שאף ענף לא מגיע אליהם

הנכונה: −2<k<6-2<k<6. המלכודות: −1<k<3-1<k<3 — אלה שיעורי xx של הקיצונים; ו-k=1k=1 — המקום של האסימפטוטה האנכית, שהיא על ציר ה-xx, לא על ציר ה-yy.

Check the answer on elev

שאלה 7 — פונקציית שורש

Exercise 28

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)xf(x)=(x-a)\sqrt{x}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (9,9)(9,9). א. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

(9−a)9=9(9-a)\sqrt{9}=9

מציבים את הנקודה

3(9−a)=9⇒a=6\begin{aligned}3(9-a) &= 9 \Rightarrow a \\ &= 6\end{aligned}

a=6a=6. המלכודת: לכתוב 9=9\sqrt{9}=9 ולקבל a=8a=8.

Check the answer on elev

Exercise 29

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)xf(x)=(x-a)\sqrt{x}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (9,9)(9,9). הציבו a=6a=6: f(x)=(x−6)xf(x)=(x-6)\sqrt{x}. ב. מהן נקודות הקיצון של ff (כולל נקודות קצה)?

  1. מקסימום (2,42)(2,4\sqrt{2}), ומינימום קצה (0,0)(0,0)
  2. מינימום (4,−4)(4,-4), ומקסימום קצה (0,0)(0,0)
  3. מינימום (2,−42)(2,-4\sqrt{2}) בלבד
  4. מינימום (2,−42)(2,-4\sqrt{2}), ומקסימום קצה (0,0)(0,0)
Show the answer and the solution

Answer: D מינימום (2,−42)(2,-4\sqrt{2}), ומקסימום קצה (0,0)(0,0)

Worked solution:

x≥0x \ge 0

תחום ההגדרה: מתחת לשורש אי-שלילי

f′(x)=x+x−62x=3x−62x\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x}+\frac{x-6}{2\sqrt{x}} \\ &= \frac{3x-6}{2\sqrt{x}}\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

f′(x)=0⇒x=2;f′(1)<0 f′(4)>0\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2; \quad f'(1)<0 \\ \ f'(4)>0\end{aligned}

ירידה ואז עלייה: מינימום

f(2)=−42f(0)=0\begin{aligned}f(2) &= -4\sqrt{2} \\ \quad f(0) &= 0\end{aligned}

בקצה x=0x=0 הפונקציה יורדת מיד: מקסימום קצה

הנכונה: מינימום (2,−42)(2,-4\sqrt{2}) ומקסימום קצה (0,0)(0,0). המלכודות: לשכוח את נקודת הקצה; ו-(4,−4)(4,-4) — שכחה של המכנה 22 בנגזרת של x\sqrt{x}.

Check the answer on elev

Exercise 30

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)xf(x)=(x-a)\sqrt{x}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (9,9)(9,9). f(x)=(x−6)xf(x)=(x-6)\sqrt{x}; מינימום (2,−42)(2,-4\sqrt{2}), והתחום x≥0x \ge 0. ג. נגדיר g(x)=f(x+3)g(x)=f(x+3). מצאו את תחום ההגדרה של gg ואת נקודת המינימום הפנימית שלה (את שיעור ה-yy עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

תחום: x≥x \ge ____ ; מינימום: (( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: תחום: x≥x \ge -3 ; מינימום: (( -1 ,, -5.66 ))

Worked solution:

x+3≥0⇒x≥−3x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3

ההזזה f(x+3)f(x+3) מזיזה את הגרף 33 יחידות שמאלה

x+3=2⇒x=−1\begin{aligned}x+3 &= 2 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

המינימום זז שמאלה

g(−1)=f(2)=−42≈−5.66\begin{aligned}g(-1) &= f(2) \\ &= -4\sqrt{2} \approx -5.66\end{aligned}

הגובה לא משתנה

תחום x≥−3x \ge -3, מינימום (−1,−5.66)(-1,-5.66). המלכודת: להזיז ימינה, ל-(5,−5.66)(5,-5.66) — פלוס בתוך הסוגריים מזיז שמאלה.

Check the answer on elev

Exercise 31

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)xf(x)=(x-a)\sqrt{x}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (9,9)(9,9). f(x)=(x−6)xf(x)=(x-6)\sqrt{x}; f′(x)=3x−62xf'(x)=\dfrac{3x-6}{2\sqrt{x}}. ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′(x)f'(x), ציר ה-xx והישר x=9x=9. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 14.66

Worked solution:

f′(x)=0⇔x=2;x>2: f′>0\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Leftrightarrow x \\ &= 2; \quad x>2: \ f'>0\end{aligned}

השטח בין x=2x=2 ל-x=9x=9, מעל הציר

∫29f′(x) dx=f(9)−f(2)\int_2^9 f'(x)\,dx=f(9)-f(2)

ff פונקציה קדומה של f′f'

=9−(−42)=9+42≈14.66=9-(-4\sqrt{2})=9+4\sqrt{2} \approx 14.66

השטח 9+42≈14.669+4\sqrt{2} \approx 14.66. המלכודת: להתחיל ב-x=0x=0 — בקטע 0<x<20<x<2 הגרף של f′f' מתחת לציר, והתחום נסגר בנקודת החיתוך x=2x=2.

Check the answer on elev

שאלה 8 — בעיית ערך קיצון: מלבן מתחת לפרבולה

Exercise 32

שרטוט לשאלה 8
ABCD-4-3-2-10123424681012xy
הקודקודים C ו-D על הפרבולה, A ו-B על ציר ה-x.

המלבן ABCDABCD חסום בין הפרבולה y=12−x2y=12-x^2 לבין ציר ה-xx: הקודקודים AA ו-BB על ציר ה-xx, הקודקודים CC ו-DD על הפרבולה, והמלבן סימטרי ביחס לציר ה-yy. שיעור ה-xx של BB הוא tt, כאשר 0<t<120<t<\sqrt{12}. א. איזה ביטוי מתאר את שטח המלבן כפונקציה של tt?

  1. S(t)=t(12−t2)S(t)=t(12-t^2)
  2. S(t)=2t(12−t2)S(t)=2t(12-t^2)
  3. S(t)=2t+2(12−t2)S(t)=2t+2(12-t^2)
  4. S(t)=2t⋅12S(t)=2t \cdot 12
Show the answer and the solution

Answer: B S(t)=2t(12−t2)S(t)=2t(12-t^2)

Worked solution:

AB=2tAB=2t

המלבן סימטרי: A(−t,0)A(-t,0), B(t,0)B(t,0)

BC=12−t2BC=12-t^2

הגובה: שיעור ה-yy של C(t,12−t2)C(t,12-t^2)

S(t)=2t(12−t2)=24t−2t3\begin{aligned}S(t) &= 2t(12-t^2) \\ &= 24t-2t^3\end{aligned}

שטח מלבן

הנכונה: 2t(12−t2)2t(12-t^2). המלכודת: t(12−t2)t(12-t^2) — שיעור ה-xx של BB הוא רק חצי מהצלע ABAB.

Check the answer on elev

Exercise 33

שרטוט לשאלה 8
ABCD-4-3-2-10123424681012xy
הקודקודים C ו-D על הפרבולה, A ו-B על ציר ה-x.

המלבן ABCDABCD חסום בין הפרבולה y=12−x2y=12-x^2 לבין ציר ה-xx: הקודקודים AA ו-BB על ציר ה-xx, הקודקודים CC ו-DD על הפרבולה, והמלבן סימטרי ביחס לציר ה-yy. שיעור ה-xx של BB הוא tt, כאשר 0<t<120<t<\sqrt{12}. S(t)=2t(12−t2)S(t)=2t(12-t^2). ב. מצאו את tt שעבורו שטח המלבן הוא הגדול ביותר.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

S′(t)=24−6t2S'(t)=24-6t^2

גוזרים את S(t)=24t−2t3S(t)=24t-2t^3

24−6t2=0⇒t2=4⇒t=2\begin{aligned}24-6t^2 &= 0 \Rightarrow t^2 \\ &= 4 \Rightarrow t \\ &= 2\end{aligned}

רק t>0t>0 בתחום

S′(1)=18>0 S′(3)=−30<0\begin{aligned}S'(1) &= 18>0 \\ \ S'(3) &= -30<0\end{aligned}

עלייה ואז ירידה: מקסימום

t=2t=2. המלכודת: לעצור ב-S′(t)=0S'(t)=0 בלי לבדוק שזה מקסימום ולא מינימום — טבלת סימנים או ערכי קצה.

Check the answer on elev

Exercise 34

שרטוט לשאלה 8
ABCD-4-3-2-10123424681012xy
הקודקודים C ו-D על הפרבולה, A ו-B על ציר ה-x.

המלבן ABCDABCD חסום בין הפרבולה y=12−x2y=12-x^2 לבין ציר ה-xx: הקודקודים AA ו-BB על ציר ה-xx, הקודקודים CC ו-DD על הפרבולה, והמלבן סימטרי ביחס לציר ה-yy. שיעור ה-xx של BB הוא tt, כאשר 0<t<120<t<\sqrt{12}. S(t)=2t(12−t2)S(t)=2t(12-t^2), והמקסימום ב-t=2t=2. ג. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

Show the answer and the solution

Answer: 32

Worked solution:

S(2)=2⋅2⋅(12−4)=32\begin{aligned}S(2) &= 2 \cdot 2 \cdot (12-4) \\ &= 32\end{aligned}

מציבים t=2t=2

השטח הגדול ביותר 3232: הצלעות 44 ו-88. המלכודת: להציב בגובה בלבד, 12−4=812-4=8, ולשכוח את הרוחב 2t=42t=4.

Check the answer on elev

Exercise 35

שרטוט לשאלה 8
ABCD-4-3-2-10123424681012xy
הקודקודים C ו-D על הפרבולה, A ו-B על ציר ה-x.

המלבן ABCDABCD חסום בין הפרבולה y=12−x2y=12-x^2 לבין ציר ה-xx: הקודקודים AA ו-BB על ציר ה-xx, הקודקודים CC ו-DD על הפרבולה, והמלבן סימטרי ביחס לציר ה-yy. שיעור ה-xx של BB הוא tt, כאשר 0<t<120<t<\sqrt{12}. השטח הגדול ביותר של המלבן הוא 3232. ד. הוכיחו או הפריכו: אפשר לבנות מלבן כזה ששטחו 3535.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

Smax⁡=32S_{\max}=32

המקסימום בתחום

35>3235>32

אין tt שנותן שטח כזה

לא נכון: כל שטח גדול מ-3232 אינו אפשרי. המלכודת: לפתור 24t−2t3=3524t-2t^3=35 «באוטומט» — קודם משווים לערך הקיצון.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade