סימולציית בגרות 3

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

סימולציית בגרות 3 — שאלון 35471 (4 יחידות לימוד). 8 שאלות בשלושה פרקים, 35 סעיפים בסך הכול. עליכם לענות על 5 שאלות, לפחות אחת מכל פרק. לכל שאלה 20 נקודות. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי (210 דקות). מותר להשתמש בנוסחאון, בטבלת ההתפלגות הנורמלית ובמחשבון לא גרפי. כל השאלות כתובות כאן, ואתם בוחרים. פרק ראשון — סטטיסטיקה והסתברות: שאלה 1 (התפלגות נורמלית: זמני משלוח), שאלה 2 (מתאם ורגרסיה עם נתון חסר: עצים בפארק), שאלה 3 (הסתברות מותנית: מכונת מיון). פרק שני — גאומטריה: שאלה 4 (דלתון במערכת צירים), שאלה 5 (מעגל, זווית היקפית ומשפט הסינוסים). פרק שלישי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: שאלה 6 (פונקציה רציונלית זוגית והזזה), שאלה 7 (פונקציית שורש וגרף הנגזרת), שאלה 8 (קריאת הגרף של הנגזרת).

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. כשנתון הגרף של f′f', קראו ממנו את סימן הנגזרת ולא את הגובה של ff; שטח מתחת לציר נותן אינטגרל שלילי; ובמשפט הסינוסים היחס שווה לקוטר, 2R2R.

Exercises

שאלה 1 — התפלגות נורמלית: זמני משלוח

Exercise 1

זמן המשלוח של הזמנות מחנות מקוונת (בדקות) מתפלג נורמלית. 15.87%15.87\% מהמשלוחים מגיעים תוך פחות מ-3030 דקות, ו-6.68%6.68\% מהמשלוחים נמשכים יותר מ-4545 דקות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. א. מצאו את הממוצע μ\mu ואת סטיית התקן σ\sigma של זמן המשלוח.

μ=\mu= ____ , σ=\sigma= ____

Show the answer and the solution

Answer: μ=\mu= 36 , σ=\sigma= 6

Worked solution:

Φ(z1)=0.1587⇒z1=−1⇒μ−σ=30\begin{aligned}\Phi(z_1) &= 0.1587 \Rightarrow z_1 \\ &= -1 \Rightarrow \mu-\sigma \\ &= 30\end{aligned}

השטח משמאל ל-3030

Φ(z2)=1−0.0668=0.9332⇒z2=1.5⇒μ+1.5σ=45\begin{aligned}\Phi(z_2) &= 1-0.0668 \\ &= 0.9332 \Rightarrow z_2 \\ &= 1.5 \Rightarrow \mu+1.5\sigma \\ &= 45\end{aligned}

השטח משמאל ל-4545

2.5σ=15⇒σ=6 μ=36\begin{aligned}2.5\sigma &= 15 \Rightarrow \sigma \\ &= 6 \\ \ \mu &= 36\end{aligned}

מערכת של שתי משוואות

μ=36\mu=36, σ=6\sigma=6. המלכודת: לחפש בטבלה את 0.06680.0668 עבור 4545 — הטבלה נותנת את השטח משמאל, 0.93320.9332.

Check the answer on elev

Exercise 2

זמן המשלוח של הזמנות מחנות מקוונת (בדקות) מתפלג נורמלית. 15.87%15.87\% מהמשלוחים מגיעים תוך פחות מ-3030 דקות, ו-6.68%6.68\% מהמשלוחים נמשכים יותר מ-4545 דקות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. נמצא: μ=36\mu=36, σ=6\sigma=6. ב. איזה אחוז מהמשלוחים נמשכים בין 3333 ל-4545 דקות? ענו באחוזים, עד שתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 62.47

Worked solution:

z1=33−366=−0.5z2=45−366=1.5\begin{aligned}z_1 &= \frac{33-36}{6} \\ &= -0.5 \\ \quad z_2 &= \frac{45-36}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

ציוני התקן

Φ(−0.5)=1−0.6915=0.3085\begin{aligned}\Phi(-0.5) &= 1-0.6915 \\ &= 0.3085\end{aligned}

סימטריה

0.9332−0.3085=0.62470.9332-0.3085=0.6247

השטח בין הגבולות

62.47%62.47\%. המלכודת: לחבר את שני ערכי הטבלה במקום לחסר — השטח בין שני ערכים הוא הפרש של שטחים משמאל.

Check the answer on elev

Exercise 3

זמן המשלוח של הזמנות מחנות מקוונת (בדקות) מתפלג נורמלית. 15.87%15.87\% מהמשלוחים מגיעים תוך פחות מ-3030 דקות, ו-6.68%6.68\% מהמשלוחים נמשכים יותר מ-4545 דקות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. נמצא: μ=36\mu=36, σ=6\sigma=6. ג. החנות נותנת שובר פיצוי ל-2.28%2.28\% מהמשלוחים, אלה שנמשכים הכי הרבה זמן. מצאו את הזמן TT (בדקות) שמעליו מקבלים שובר.

Show the answer and the solution

Answer: 48

Worked solution:

P(X>T)=0.0228⇒Φ(z)=0.9772⇒z=2\begin{aligned}P(X>T) &= 0.0228 \Rightarrow \Phi(z) \\ &= 0.9772 \Rightarrow z \\ &= 2\end{aligned}

זנב ימני: קריאה הפוכה של הטבלה

T=36+2⋅6=48\begin{aligned}T &= 36+2 \cdot 6 \\ &= 48\end{aligned}

x=μ+zσx=\mu+z\sigma

T=48T=48 דקות. המלכודת: z=−2z=-2 ו-T=24T=24 — זה הסף של 2.28%2.28\% המשלוחים המהירים ביותר.

Check the answer on elev

Exercise 4

זמן המשלוח של הזמנות מחנות מקוונת (בדקות) מתפלג נורמלית. 15.87%15.87\% מהמשלוחים מגיעים תוך פחות מ-3030 דקות, ו-6.68%6.68\% מהמשלוחים נמשכים יותר מ-4545 דקות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. נמצא: μ=36\mu=36, σ=6\sigma=6. ד. בזכות מסלולי נסיעה חדשים, כל זמן משלוח התקצר ב-10%10\% (כל זמן כפול 0.90.9). מצאו את הממוצע ואת סטיית התקן החדשים.

μ=\mu= ____ , σ=\sigma= ____

Show the answer and the solution

Answer: μ=\mu= 32.4 , σ=\sigma= 5.4

Worked solution:

X→0.9X: μ=0.9⋅36=32.4\begin{aligned}X \to 0.9X: \ \mu &= 0.9 \cdot 36 \\ &= 32.4\end{aligned}

כפל כופל את הממוצע

σ=0.9⋅6=5.4\begin{aligned}\sigma &= 0.9 \cdot 6 \\ &= 5.4\end{aligned}

כפל כופל גם את סטיית התקן

μ=32.4\mu=32.4, σ=5.4\sigma=5.4. המלכודת: להשאיר את סטיית התקן 66 — רק הזזה משאירה את הפיזור; כפל מכווץ אותו.

Check the answer on elev

Exercise 5

זמן המשלוח של הזמנות מחנות מקוונת (בדקות) מתפלג נורמלית. 15.87%15.87\% מהמשלוחים מגיעים תוך פחות מ-3030 דקות, ו-6.68%6.68\% מהמשלוחים נמשכים יותר מ-4545 דקות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. אחרי השינוי: μ=32.4\mu=32.4, σ=5.4\sigma=5.4. ה. הוכיחו או הפריכו: אחרי השינוי, 2.28%2.28\% מהמשלוחים נמשכים יותר מ-43.243.2 דקות.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

z=43.2−32.45.4=2\begin{aligned}z &= \frac{43.2-32.4}{5.4} \\ &= 2\end{aligned}

ציון התקן החדש

1−Φ(2)=0.02281-\Phi(2)=0.0228

זנב ימני

43.2=0.9⋅4843.2=0.9 \cdot 48

הסף הישן עבר את אותו כפל

נכון: ציון התקן לא משתנה כשכל הנתונים וגם הסף מוכפלים באותו מספר. המלכודת: להציב את הממוצע הישן, 3636.

Check the answer on elev

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה עם נתון חסר: עצים בפארק

Exercise 6

גיל העץ (x, שנים)39111215
גובה העץ (y, מטרים)7111310?

בפארק עירוני מדדו את הגיל (xx, בשנים) ואת הגובה (yy, במטרים) של חמישה עצים. הגובה של העץ החמישי נמחק מהטבלה. ידוע: xˉ=10\bar{x}=10, Sx=4S_x=4, והגובה הממוצע של חמשת העצים yˉ=12\bar{y}=12 מטרים. א. מצאו את הגובה של העץ החמישי.

Show the answer and the solution

Answer: 19

Worked solution:

∑y=5⋅12=60\begin{aligned}\sum y &= 5 \cdot 12 \\ &= 60\end{aligned}

סכום = ממוצע כפול מספר הנתונים

7+11+13+10+y5=60⇒y5=19\begin{aligned}7+11+13+10+y_5 &= 60 \Rightarrow y_5 \\ &= 19\end{aligned}

העץ החמישי בגובה 1919 מטרים. המלכודת: לחלק ב-44, מספר הערכים הידועים — הממוצע 1212 הוא של חמשת העצים.

Check the answer on elev

Exercise 7

גיל העץ (x, שנים)39111215
גובה העץ (y, מטרים)7111310?

בפארק עירוני מדדו את הגיל (xx, בשנים) ואת הגובה (yy, במטרים) של חמישה עצים. הגובה של העץ החמישי נמחק מהטבלה. ידוע: xˉ=10\bar{x}=10, Sx=4S_x=4, והגובה הממוצע של חמשת העצים yˉ=12\bar{y}=12 מטרים. נמצא: הגובה של העץ החמישי 1919 מטרים. ב. חשבו את SyS_y.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

y−yˉ: −5, −1, 1, −2, 7y-\bar{y}:\ -5,\ -1,\ 1,\ -2,\ 7

הסטיות מהממוצע

Sy=25+1+1+4+495=16=4\begin{aligned}S_y &= \sqrt{\frac{25+1+1+4+49}{5}} \\ &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

מחלקים במספר הנתונים

Sy=4S_y=4. המלכודת: לחשב בלי העץ החמישי, שהגובה שלו נמצא בסעיף א.

Check the answer on elev

Exercise 8

גיל העץ (x, שנים)39111215
גובה העץ (y, מטרים)7111310?

בפארק עירוני מדדו את הגיל (xx, בשנים) ואת הגובה (yy, במטרים) של חמישה עצים. הגובה של העץ החמישי נמחק מהטבלה. ידוע: xˉ=10\bar{x}=10, Sx=4S_x=4, והגובה הממוצע של חמשת העצים yˉ=12\bar{y}=12 מטרים. נמצא: הגובה של העץ החמישי 1919 מטרים, ו-Sy=4S_y=4. ג. איזה מהערכים הבאים הוא מקדם המתאם rr? בדקו בחישוב.

  1. 0.990.99
  2. −0.85-0.85
  3. 0.850.85
  4. 0.350.35
Show the answer and the solution

Answer: C 0.850.85

Worked solution:

x−xˉ: −7, −1, 1, 2, 5x-\bar{x}:\ -7,\ -1,\ 1,\ 2,\ 5

הסטיות של xx

∑(x−xˉ)(y−yˉ)=35+1+1−4+35=68\begin{aligned}\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y}) &= 35+1+1-4+35 \\ &= 68\end{aligned}

סכום המכפלות

r=685⋅4⋅4=0.85\begin{aligned}r &= \frac{68}{5 \cdot 4 \cdot 4} \\ &= 0.85\end{aligned}

הנוסחה מהנוסחאון

הנכונה: 0.850.85 — מתאם חיובי חזק: עצים מבוגרים גבוהים יותר. המלכודות: −0.85-0.85 הוא סימן שגוי; 0.990.99 מתאים לנקודות כמעט על קו ישר, וכאן העץ בן 1212 נמוך מהעץ בן 1111.

Check the answer on elev

Exercise 9

גיל העץ (x, שנים)39111215
גובה העץ (y, מטרים)7111310?

בפארק עירוני מדדו את הגיל (xx, בשנים) ואת הגובה (yy, במטרים) של חמישה עצים. הגובה של העץ החמישי נמחק מהטבלה. ידוע: xˉ=10\bar{x}=10, Sx=4S_x=4, והגובה הממוצע של חמשת העצים yˉ=12\bar{y}=12 מטרים. נמצא: yˉ=12\bar{y}=12, Sy=4S_y=4, r=0.85r=0.85. ד. מצאו את משוואת קו הרגרסיה של yy על xx.

y=y= ____ x+x+ ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y= 0.85 x+x+ 3.5

Worked solution:

m=r⋅SySx=0.85⋅44=0.85\begin{aligned}m &= r \cdot \frac{S_y}{S_x} \\ &= 0.85 \cdot \frac{4}{4} \\ &= 0.85\end{aligned}

שיפוע קו הרגרסיה

y−12=0.85(x−10)⇒y=0.85x+3.5\begin{aligned}y-12 &= 0.85(x-10) \Rightarrow y \\ &= 0.85x+3.5\end{aligned}

דרך (xˉ,yˉ)(\bar{x},\bar{y})

הקו y=0.85x+3.5y=0.85x+3.5. כאן השיפוע שווה ל-rr רק כי Sx=SyS_x=S_y. המלכודת: להסיק שתמיד m=rm=r.

Check the answer on elev

Exercise 10

גיל העץ (x, שנים)39111215
גובה העץ (y, מטרים)7111310?

בפארק עירוני מדדו את הגיל (xx, בשנים) ואת הגובה (yy, במטרים) של חמישה עצים. הגובה של העץ החמישי נמחק מהטבלה. ידוע: xˉ=10\bar{x}=10, Sx=4S_x=4, והגובה הממוצע של חמשת העצים yˉ=12\bar{y}=12 מטרים. קו הרגרסיה: y=0.85x+3.5y=0.85x+3.5, ו-r=0.85r=0.85. ה. חוקרת אחרת רשמה את הגיל של אותם עצים בחודשים במקום בשנים (כל xx כפול 1212). מה משתנה?

  1. השיפוע הופך ל-0.85⋅120.85 \cdot 12, ו-rr לא משתנה
  2. השיפוע הופך ל-0.8512\frac{0.85}{12}, ו-rr לא משתנה
  3. rr הופך ל-0.8512\frac{0.85}{12}, והשיפוע לא משתנה
  4. גם השיפוע וגם rr לא משתנים
Show the answer and the solution

Answer: B השיפוע הופך ל-0.8512\frac{0.85}{12}, ו-rr לא משתנה

Worked solution:

x→12x: Sx=48x \to 12x: \ S_x=48

כפל מגדיל את הפיזור של xx

r=0.85r=0.85

המתאם לא תלוי ביחידות

m=0.85⋅448=0.8512≈0.071\begin{aligned}m &= 0.85 \cdot \frac{4}{48} \\ &= \frac{0.85}{12} \approx 0.071\end{aligned}

גידול בחודש אחד קטן פי 1212

הנכונה: השיפוע מתחלק ב-1212, ו-rr לא משתנה. המלכודת: לכפול את השיפוע ב-1212 — השיפוע הוא גידול לכל יחידת xx, ויחידה של חודש קטנה פי 1212 משנה.

Check the answer on elev

שאלה 3 — הסתברות מותנית: מכונת מיון

Exercise 11

במפעל לאריזת פירות 10%10\% מהתפוחים פגומים. מכונת מיון פוסלת 90%90\% מהתפוחים הפגומים, אבל פוסלת בטעות גם 5%5\% מהתפוחים התקינים. בוחרים תפוח באקראי. נסמן ב-DD את המאורע «התפוח פגום», וב-RR את המאורע «המכונה פסלה את התפוח». א. מה ההסתברות שהמכונה תפסול את התפוח? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.135

Worked solution:

P(R)=0.1⋅0.9+0.9⋅0.05P(R)=0.1 \cdot 0.9+0.9 \cdot 0.05

נוסחת ההסתברות השלמה

=0.09+0.045=0.135=0.09+0.045=0.135

P(R)=0.135P(R)=0.135. המלכודת: לשכוח את הענף של התקינים שנפסלו בטעות, ולענות 0.090.09.

Check the answer on elev

Exercise 12

במפעל לאריזת פירות 10%10\% מהתפוחים פגומים. מכונת מיון פוסלת 90%90\% מהתפוחים הפגומים, אבל פוסלת בטעות גם 5%5\% מהתפוחים התקינים. בוחרים תפוח באקראי. נסמן ב-DD את המאורע «התפוח פגום», וב-RR את המאורע «המכונה פסלה את התפוח». נמצא: P(R)=0.135P(R)=0.135. ב. ידוע שהמכונה פסלה את התפוח. מה ההסתברות שהוא באמת פגום? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.67

Worked solution:

P(D∣R)=P(D∩R)P(R)P(D \mid R)=\frac{P(D \cap R)}{P(R)}

הסתברות מותנית

=0.090.135=23≈0.67=\frac{0.09}{0.135}=\frac{2}{3} \approx 0.67

23≈0.67\frac{2}{3} \approx 0.67: שליש מהתפוחים הנפסלים תקינים! המלכודת: לענות 0.90.9 — זו P(R∣D)P(R \mid D), בכיוון ההפוך.

Check the answer on elev

Exercise 13

במפעל לאריזת פירות 10%10\% מהתפוחים פגומים. מכונת מיון פוסלת 90%90\% מהתפוחים הפגומים, אבל פוסלת בטעות גם 5%5\% מהתפוחים התקינים. בוחרים תפוח באקראי. נסמן ב-DD את המאורע «התפוח פגום», וב-RR את המאורע «המכונה פסלה את התפוח». נמצא: P(R)=0.135P(R)=0.135. ג. ביום אחד עברו במכונה 20002000 תפוחים. בכמה תפוחים תקינים, בקירוב, צפוי שהמכונה תפסול?

Show the answer and the solution

Answer: 90

Worked solution:

P(Dˉ∩R)=0.9⋅0.05=0.045\begin{aligned}P(\bar{D} \cap R) &= 0.9 \cdot 0.05 \\ &= 0.045\end{aligned}

ענף אחד: תקין ונפסל

2000⋅0.045=902000 \cdot 0.045=90

מהסתברות למספר תפוחים

כ-9090 תפוחים. המלכודת: 2000⋅0.05=1002000 \cdot 0.05=100 — ה-5%5\% הם מתוך התקינים בלבד, שהם 90%90\% מהתפוחים.

Check the answer on elev

Exercise 14

במפעל לאריזת פירות 10%10\% מהתפוחים פגומים. מכונת מיון פוסלת 90%90\% מהתפוחים הפגומים, אבל פוסלת בטעות גם 5%5\% מהתפוחים התקינים. בוחרים תפוח באקראי. נסמן ב-DD את המאורע «התפוח פגום», וב-RR את המאורע «המכונה פסלה את התפוח». במכונה הראשונה: P(D∣R)=23P(D \mid R)=\frac{2}{3}. ד. מכונה משופרת פוסלת גם היא 90%90\% מהתפוחים הפגומים, ובה P(D∣R)=0.8P(D \mid R)=0.8. איזה אחוז מהתפוחים התקינים המכונה המשופרת פוסלת בטעות?

Show the answer and the solution

Answer: 2.5

Worked solution:

0.090.09+0.9q=0.8\frac{0.09}{0.09+0.9q}=0.8

qq — ההסתברות לפסול תפוח תקין

0.09=0.072+0.72q⇒q=0.025\begin{aligned}0.09 &= 0.072+0.72q \Rightarrow q \\ &= 0.025\end{aligned}
q=2.5%q=2.5\%

2.5%2.5\%. המלכודת: לכתוב 0.1q0.1q במכנה במקום 0.9q0.9q — הטעות נעשית על התפוחים התקינים, 90%90\% מהכלל.

Check the answer on elev

שאלה 4 — דלתון במערכת צירים

Exercise 15

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-2-10123456789-112345678910xy

נתונות הנקודות B(1,1)B(1,1) ו-D(7,5)D(7,5). הקודקודים AA ו-CC של המרובע ABCDABCD נמצאים על האנך האמצעי לקטע BDBD: AA על ציר ה-yy ו-CC על ציר ה-xx. א. מצאו את משוואת האנך האמצעי לקטע BDBD.

y=y= ____ x+x+ ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y= -1.5 x+x+ 9

Worked solution:

M=(1+72,1+52)=(4,3)\begin{aligned}M &= \left(\frac{1+7}{2},\frac{1+5}{2}\right) \\ &= (4,3)\end{aligned}

נוסחת אמצע קטע

mBD=5−17−1=23⇒m=−32\begin{aligned}m_{BD} &= \frac{5-1}{7-1} \\ &= \frac{2}{3} \Rightarrow m \\ &= -\frac{3}{2}\end{aligned}

אנך: מכפלת השיפועים −1-1

y−3=−32(x−4)⇒y=−1.5x+9\begin{aligned}y-3 &= -\frac{3}{2}(x-4) \Rightarrow y \\ &= -1.5x+9\end{aligned}

משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע

האנך האמצעי y=−1.5x+9y=-1.5x+9. המלכודת: להעביר את האנך דרך BB או דרך DD — אנך אמצעי עובר דרך אמצע הקטע.

Check the answer on elev

Exercise 16

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-2-10123456789-112345678910xy

נתונות הנקודות B(1,1)B(1,1) ו-D(7,5)D(7,5). הקודקודים AA ו-CC של המרובע ABCDABCD נמצאים על האנך האמצעי לקטע BDBD: AA על ציר ה-yy ו-CC על ציר ה-xx. נמצא: האנך האמצעי לקטע BDBD הוא y=−1.5x+9y=-1.5x+9. ב. מצאו את AA ואת CC.

A(0,A(0, ____ )) ; C(C( ____ ,0),0)

Show the answer and the solution

Answer: A(0,A(0, 9 )) ; C(C( 6 ,0),0)

Worked solution:

x=0⇒A(0,9)x=0 \Rightarrow A(0,9)

AA על ציר ה-yy

0=−1.5x+9⇒C(6,0)0=-1.5x+9 \Rightarrow C(6,0)

CC על ציר ה-xx

A(0,9)A(0,9) ו-C(6,0)C(6,0). המלכודת: להחליף בין הצירים — על ציר ה-yy מציבים x=0x=0.

Check the answer on elev

Exercise 17

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-2-10123456789-112345678910xy

נתונות הנקודות B(1,1)B(1,1) ו-D(7,5)D(7,5). הקודקודים AA ו-CC של המרובע ABCDABCD נמצאים על האנך האמצעי לקטע BDBD: AA על ציר ה-yy ו-CC על ציר ה-xx. נמצא: A(0,9)A(0,9) ו-C(6,0)C(6,0). ג. הוכיחו כי המרובע ABCDABCD הוא דלתון.

  • A(0,9)A(0,9), B(1,1)B(1,1), C(6,0)C(6,0), D(7,5)D(7,5)
  • AA ו-CC על האנך האמצעי לקטע BDBD

ABCDABCD דלתון

Show the answer and the solution
  1. AB=ADAB=AD — כל נקודה על האנך האמצעי לקטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו (בדיקה: 65=65\sqrt{65}=\sqrt{65})
  2. CB=CDCB=CD — כל נקודה על האנך האמצעי לקטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו (בדיקה: 26=26\sqrt{26}=\sqrt{26})
  3. ABCDABCD דלתון — מרובע שיש בו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות הוא דלתון

Worked solution:

AB=ADAB=AD

כל נקודה על האנך האמצעי לקטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו (בדיקה: 65=65\sqrt{65}=\sqrt{65})

CB=CDCB=CD

כל נקודה על האנך האמצעי לקטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו (בדיקה: 26=26\sqrt{26}=\sqrt{26})

ABCDדלתוןABCD דלתון

מרובע שיש בו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות הוא דלתון

דלתון: שני זוגות של צלעות סמוכות שוות, AB=ADAB=AD ו-CB=CDCB=CD. המלכודת: לחפש צלעות נגדיות שוות — זו תכונה של מקבילית.

Check the answer on elev

Exercise 18

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-2-10123456789-112345678910xy

נתונות הנקודות B(1,1)B(1,1) ו-D(7,5)D(7,5). הקודקודים AA ו-CC של המרובע ABCDABCD נמצאים על האנך האמצעי לקטע BDBD: AA על ציר ה-yy ו-CC על ציר ה-xx. ABCDABCD דלתון: A(0,9)A(0,9), B(1,1)B(1,1), C(6,0)C(6,0), D(7,5)D(7,5). ד. חשבו את שטח הדלתון ABCDABCD.

Show the answer and the solution

Answer: 39

Worked solution:

AC=62+92=117BD=62+42=52\begin{aligned}AC &= \sqrt{6^2+9^2} \\ &= \sqrt{117} \\ \quad BD &= \sqrt{6^2+4^2} \\ &= \sqrt{52}\end{aligned}

נוסחת המרחק

S=AC⋅BD2=60842=782=39\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot BD}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6084}}{2} \\ &= \frac{78}{2} \\ &= 39\end{aligned}

שטח דלתון: מחצית מכפלת האלכסונים המאונכים

השטח 3939. המלכודת: לכפול את שתי הצלעות השונות, 65⋅26\sqrt{65} \cdot \sqrt{26} — זה נכון רק אם הזווית ביניהן ישרה, וכאן היא לא.

Check the answer on elev

Exercise 19

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-2-10123456789-112345678910xy

נתונות הנקודות B(1,1)B(1,1) ו-D(7,5)D(7,5). הקודקודים AA ו-CC של המרובע ABCDABCD נמצאים על האנך האמצעי לקטע BDBD: AA על ציר ה-yy ו-CC על ציר ה-xx. ABCDABCD דלתון: A(0,9)A(0,9), B(1,1)B(1,1), C(6,0)C(6,0), D(7,5)D(7,5). ה. הוכיחו או הפריכו: אפשר לחסום את הדלתון ABCDABCD במעגל.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

∠ABC=∠ADC\angle ABC=\angle ADC

בדלתון הזוויות שבין הצלעות השונות שוות

∠ABC+∠ADC=180∘⇒∠ABC=90∘\begin{aligned}\angle ABC+\angle ADC &= 180^\circ \Rightarrow \angle ABC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

מרובע חסום: סכום זוויות נגדיות 180∘180^\circ, ולכן כל אחת מהן ישרה

mBA=9−10−1=−8mBC=0−16−1=−15\begin{aligned}m_{BA} &= \frac{9-1}{0-1} \\ &= -8 \\ \quad m_{BC} &= \frac{0-1}{6-1} \\ &= -\frac{1}{5}\end{aligned}

שיפועי הצלעות ב-BB

(−8)⋅(−15)=85≠−1(-8) \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{8}{5} \neq -1

הזווית ב-BB אינה ישרה

לא נכון: ∠ABC\angle ABC אינה ישרה, ולכן סכום הזוויות הנגדיות BB ו-DD אינו 180∘180^\circ. המלכודת: «כל דלתון חסום במעגל» — רק דלתון שהזוויות שבין הצלעות השונות בו ישרות.

Check the answer on elev

שאלה 5 — מעגל, זווית היקפית ומשפט הסינוסים

Exercise 20

שרטוט לשאלה 5
ABCM-9-7-5-3-113579111315-12-10-8-6-4-224681012xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-xx, והמעגל עובר דרך הנקודות A(9,8)A(9,8) ו-B(−5,6)B(-5,6). א. מצאו את MM ואת רדיוס המעגל.

M(M( ____ ,0),0) ; R=R= ____

Show the answer and the solution

Answer: M(M( 3 ,0),0) ; R=R= 10

Worked solution:

(9−a)2+82=(−5−a)2+62(9-a)^2+8^2=(-5-a)^2+6^2

MA=MBMA=MB: שני רדיוסים

145−18a=61+10a⇒a=3\begin{aligned}145-18a &= 61+10a \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}
R2=62+82=100⇒R=10\begin{aligned}R^2 &= 6^2+8^2 \\ &= 100 \Rightarrow R \\ &= 10\end{aligned}

נוסחת המרחק

M(3,0)M(3,0), R=10R=10: המעגל (x−3)2+y2=100(x-3)^2+y^2=100. המלכודת: לקחת את אמצע ABAB, (2,7)(2,7), כמרכז — הוא לא על ציר ה-xx, ו-ABAB אינו קוטר.

Check the answer on elev

Exercise 21

שרטוט לשאלה 5
ABCM-9-7-5-3-113579111315-12-10-8-6-4-224681012xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-xx, והמעגל עובר דרך הנקודות A(9,8)A(9,8) ו-B(−5,6)B(-5,6). נמצא: M(3,0)M(3,0), R=10R=10. ב. הנקודה C(3,−10)C(3,-10) נמצאת על המעגל. מהו גודל הזווית ∠ACB\angle ACB?

  1. 90∘90^\circ
  2. 135∘135^\circ
  3. 22.5∘22.5^\circ
  4. 45∘45^\circ
Show the answer and the solution

Answer: D 45∘45^\circ

Worked solution:

mMA=86=43mMB=6−8=−34\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{8}{6} \\ &= \frac{4}{3} \\ \quad m_{MB} &= \frac{6}{-8} \\ &= -\frac{3}{4}\end{aligned}

שיפועי הרדיוסים

43⋅(−34)=−1⇒∠AMB=90∘\begin{aligned}\frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) &= -1 \Rightarrow \angle AMB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

הזווית המרכזית ישרה

∠ACB=90∘2=45∘\begin{aligned}\angle ACB &= \frac{90^\circ}{2} \\ &= 45^\circ\end{aligned}

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

הנכונה: 45∘45^\circ. המלכודות: 90∘90^\circ — זו הזווית המרכזית; 135∘135^\circ — זווית היקפית שנשענת על הקשת הגדולה, כש-CC על הקשת הקטנה.

Check the answer on elev

Exercise 22

שרטוט לשאלה 5
ABCM-9-7-5-3-113579111315-12-10-8-6-4-224681012xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-xx, והמעגל עובר דרך הנקודות A(9,8)A(9,8) ו-B(−5,6)B(-5,6). נמצא: M(3,0)M(3,0), R=10R=10, ו-∠ACB=45∘\angle ACB=45^\circ. ג. חשבו את אורך BCBC, ובעזרת משפט הסינוסים מצאו את הזווית החדה ∠BAC\angle BAC. ענו במעלות, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 63.43

Worked solution:

BC=82+162=320\begin{aligned}BC &= \sqrt{8^2+16^2} \\ &= \sqrt{320}\end{aligned}

נוסחת המרחק

BCsin⁡∠BAC=2R=20\begin{aligned}\frac{BC}{\sin \angle BAC} &= 2R \\ &= 20\end{aligned}

משפט הסינוסים: המשולש ABCABC חסום במעגל

sin⁡∠BAC=32020≈0.8944⇒∠BAC≈63.43∘\sin \angle BAC=\frac{\sqrt{320}}{20} \approx 0.8944 \Rightarrow \angle BAC \approx 63.43^\circ

∠BAC≈63.43∘\angle BAC \approx 63.43^\circ. המלכודת: לכתוב BCsin⁡A=R\frac{BC}{\sin A}=R ולקבל סינוס גדול מ-11 — היחס שווה לקוטר, 2R=202R=20.

Check the answer on elev

Exercise 23

שרטוט לשאלה 5
ABCM-9-7-5-3-113579111315-12-10-8-6-4-224681012xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-xx, והמעגל עובר דרך הנקודות A(9,8)A(9,8) ו-B(−5,6)B(-5,6). נמצא: M(3,0)M(3,0), R=10R=10. ד. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה AA.

y=y= ____ x+x+ ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y= -0.75 x+x+ 14.75

Worked solution:

mMA=43m_{MA}=\frac{4}{3}

שיפוע הרדיוס לנקודת ההשקה

m=−34m=-\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

y−8=−34(x−9)⇒y=−0.75x+14.75\begin{aligned}y-8 &= -\frac{3}{4}(x-9) \Rightarrow y \\ &= -0.75x+14.75\end{aligned}

המשיק y=−0.75x+14.75y=-0.75x+14.75. המלכודת: להשתמש בשיפוע של ABAB — המשיק מאונך לרדיוס MAMA, לא למיתר.

Check the answer on elev

שאלה 6 — פונקציה רציונלית זוגית והזזה

Exercise 24

נתונה הפונקציה f(x)=2x2+ax2−1f(x)=\dfrac{2x^2+a}{x^2-1}, ו-aa פרמטר. x=2x=2 הוא אפס של הפונקציה. א. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: -8

Worked solution:

f(2)=8+a3=0\begin{aligned}f(2) &= \frac{8+a}{3} \\ &= 0\end{aligned}

אפס של מנה: המונה מתאפס

a=−8a=-8

a=−8a=-8. המלכודת: לאפס את המכנה — שם הפונקציה לא מוגדרת, ואין לה אפס.

Check the answer on elev

Exercise 25

נתונה הפונקציה f(x)=2x2+ax2−1f(x)=\dfrac{2x^2+a}{x^2-1}, ו-aa פרמטר. x=2x=2 הוא אפס של הפונקציה. הציבו a=−8a=-8: f(x)=2x2−8x2−1f(x)=\dfrac{2x^2-8}{x^2-1}. ב. הוכיחו או הפריכו: ff היא פונקציה זוגית.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f(−x)=2(−x)2−8(−x)2−1=2x2−8x2−1=f(x)\begin{aligned}f(-x) &= \frac{2(-x)^2-8}{(-x)^2-1} \\ &= \frac{2x^2-8}{x^2-1} \\ &= f(x)\end{aligned}

בודקים את f(−x)f(-x)

x≠±1x \neq \pm 1

גם התחום סימטרי

נכון: f(−x)=f(x)f(-x)=f(x), והגרף סימטרי ביחס לציר ה-yy. המלכודת: לבדוק נקודה אחת, כמו f(2)=f(−2)f(2)=f(-2) — הוכחה דורשת את כל ה-xx.

Check the answer on elev

Exercise 26

נתונה הפונקציה f(x)=2x2+ax2−1f(x)=\dfrac{2x^2+a}{x^2-1}, ו-aa פרמטר. x=2x=2 הוא אפס של הפונקציה. f(x)=2x2−8x2−1f(x)=\dfrac{2x^2-8}{x^2-1}, והיא זוגית. ג. מהי נקודת הקיצון של ff, ומה סוגה?

  1. (0,8)(0,8) — מינימום
  2. (0,−8)(0,-8) — מינימום
  3. (2,0)(2,0) — מינימום
  4. (0,8)(0,8) — מקסימום
Show the answer and the solution

Answer: A (0,8)(0,8) — מינימום

Worked solution:

f′(x)=4x(x2−1)−2x(2x2−8)(x2−1)2=12x(x2−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4x(x^2-1)-2x(2x^2-8)}{(x^2-1)^2} \\ &= \frac{12x}{(x^2-1)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

f′(x)=0⇒x=0\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

המכנה חיובי בכל התחום

f′(−0.5)<0, f′(0.5)>0f'(-0.5)<0, \ f'(0.5)>0

ירידה ואז עלייה: מינימום

f(0)=−8−1=8\begin{aligned}f(0) &= \frac{-8}{-1} \\ &= 8\end{aligned}

הנכונה: (0,8)(0,8) — מינימום. המלכודות: «ערך 88 גבוה, אז זה מקסימום» — סוג הקיצון נקבע לפי סימן הנגזרת; (0,−8)(0,-8) — לשכוח שגם המכנה שלילי ב-x=0x=0; (2,0)(2,0) — אפס של ff, לא קיצון.

Check the answer on elev

Exercise 27

נתונה הפונקציה f(x)=2x2+ax2−1f(x)=\dfrac{2x^2+a}{x^2-1}, ו-aa פרמטר. x=2x=2 הוא אפס של הפונקציה. f(x)=2x2−8x2−1f(x)=\dfrac{2x^2-8}{x^2-1}; מינימום (0,8)(0,8). ד. נגדיר g(x)=f(x−3)g(x)=f(x-3). מצאו את האסימפטוטות של gg המקבילות לצירים.

אנכיות: x=x= ____ ו-x=x= ____ (מהקטנה לגדולה) ; אופקית: y=y= ____

Show the answer and the solution

Answer: אנכיות: x=x= 2 ו-x=x= 4 (מהקטנה לגדולה) ; אופקית: y=y= 2

Worked solution:

f: x=±1 y=2\begin{aligned}f: \ x &= \pm 1 \\ \ y &= 2\end{aligned}

המכנה מתאפס ב-±1\pm 1; יחס המקדמים המובילים 21\frac{2}{1}

g(x)=f(x−3): x=−1+3=2 x=1+3=4\begin{aligned}g(x) &= f(x-3): \ x \\ &= -1+3 \\ &= 2 \\ \ x &= 1+3 \\ &= 4\end{aligned}

ההזזה מזיזה ימינה ב-33

y=2y=2

הזזה אופקית לא משנה אסימפטוטה אופקית

אנכיות x=2x=2 ו-x=4x=4, אופקית y=2y=2. המלכודת: להזיז שמאלה, ל-x=−4x=-4 ו-x=−2x=-2 — מינוס בתוך הסוגריים מזיז ימינה. ו-gg אינה זוגית: ציר הסימטריה שלה x=3x=3.

Check the answer on elev

שאלה 7 — פונקציית שורש וגרף הנגזרת

Exercise 28

נתונה הפונקציה f(x)=(6−x)x+af(x)=(6-x)\sqrt{x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (1,10)(1,10). א. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

(6−1)1+a=10(6-1)\sqrt{1+a}=10

מציבים את הנקודה

1+a=2⇒1+a=4⇒a=3\begin{aligned}\sqrt{1+a} &= 2 \Rightarrow 1+a \\ &= 4 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

מעלים בריבוע

a=3a=3. המלכודת: 1+a=2⇒1+a=2\sqrt{1+a}=2 \Rightarrow 1+a=2 — שוכחים להעלות בריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 29

נתונה הפונקציה f(x)=(6−x)x+af(x)=(6-x)\sqrt{x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (1,10)(1,10). הציבו a=3a=3: f(x)=(6−x)x+3f(x)=(6-x)\sqrt{x+3}. ב. מצאו את נקודת המקסימום של ff (את שיעור ה-yy עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

(( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: (( 0 ,, 10.39 ))

Worked solution:

x≥−3x \ge -3

תחום ההגדרה

f′(x)=−x+3+6−x2x+3=−3x2x+3\begin{aligned}f'(x) &= -\sqrt{x+3}+\frac{6-x}{2\sqrt{x+3}} \\ &= \frac{-3x}{2\sqrt{x+3}}\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

f′(−1)>0, f′(1)<0f'(-1)>0, \ f'(1)<0

עלייה ואז ירידה: מקסימום ב-x=0x=0

f(0)=63≈10.39f(0)=6\sqrt{3} \approx 10.39

מקסימום (0,63)≈(0,10.39)(0,6\sqrt{3}) \approx (0,10.39). המלכודת: לשכוח את המינוס בנגזרת של 6−x6-x ולקבל f′(x)=x+122x+3f'(x)=\frac{x+12}{2\sqrt{x+3}}, בלי קיצון פנימי.

Check the answer on elev

Exercise 30

שלושה גרפים — איזה מהם של f'?
-3-2-10123456-5-4-3-2-112345xy
  • גרף I
  • גרף II
  • גרף III

נתונה הפונקציה f(x)=(6−x)x+af(x)=(6-x)\sqrt{x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (1,10)(1,10). f(x)=(6−x)x+3f(x)=(6-x)\sqrt{x+3}; מקסימום (0,63)(0,6\sqrt{3}). ג. בשרטוט שלושה גרפים. איזה מהם הוא הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)?

  1. גרף II
  2. גרף I
  3. גרף III
Show the answer and the solution

Answer: B גרף I

Worked solution:

f′(0)=0f'(0)=0

הנגזרת מתאפסת בשיעור ה-xx של המקסימום

−3<x<0: f′>0;x>0: f′<0-3<x<0: \ f'>0; \quad x>0: \ f'<0

עלייה לפני המקסימום, ירידה אחריו

x→−3+: f′→+∞x \to -3^+: \ f' \to +\infty

המכנה 2x+32\sqrt{x+3} שואף ל-00

הנכונה: גרף I. המלכודות: גרף II הוא −f′-f' — חיובי אחרי המקסימום, כאילו ff עולה שם; גרף III מתאפס ב-x=1x=1, לא בנקודת המקסימום.

Check the answer on elev

Exercise 31

נתונה הפונקציה f(x)=(6−x)x+af(x)=(6-x)\sqrt{x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (1,10)(1,10). f(x)=(6−x)x+3f(x)=(6-x)\sqrt{x+3}; מקסימום (0,63)(0,6\sqrt{3}), ו-f(6)=0f(6)=0. ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′(x)f'(x), ציר ה-xx והישר x=6x=6, בקטע 0≤x≤60 \le x \le 6. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 10.39

Worked solution:

0<x≤6: f′(x)<00<x \le 6: \ f'(x)<0

הגרף של f′f' מתחת לציר ה-xx

∫06f′(x) dx=f(6)−f(0)=0−63\begin{aligned}\int_0^6 f'(x)\,dx &= f(6)-f(0) \\ &= 0-6\sqrt{3}\end{aligned}

ff פונקציה קדומה של f′f'

S=∣−63∣=63≈10.39\begin{aligned}S &= \left|-6\sqrt{3}\right| \\ &= 6\sqrt{3} \approx 10.39\end{aligned}

שטח הוא תמיד חיובי

השטח 63≈10.396\sqrt{3} \approx 10.39. המלכודת: לענות −10.39-10.39 — האינטגרל שלילי כי הגרף מתחת לציר, והשטח הוא הערך המוחלט שלו.

Check the answer on elev

שאלה 8 — קריאת הגרף של הנגזרת

Exercise 32

הגרף של f'(x)
-13-3-2-1012345-14-12-10-8-6-4-2246810121416xy
הגרף של פונקציית הנגזרת, לא של f.

בשרטוט הגרף של f′(x)=3x2−6x−9f'(x)=3x^2-6x-9, הנגזרת של פולינום f(x)f(x). הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx ב-x=−1x=-1 וב-x=3x=3. א. מה אפשר ללמוד מהגרף על נקודות הקיצון של ff?

  1. ב-x=−1x=-1 מינימום, וב-x=3x=3 מקסימום
  2. שתיהן נקודות מינימום
  3. ב-x=1x=1 מינימום בלבד
  4. ב-x=−1x=-1 מקסימום, וב-x=3x=3 מינימום
Show the answer and the solution

Answer: D ב-x=−1x=-1 מקסימום, וב-x=3x=3 מינימום

Worked solution:

x<−1: f′>0;−1<x<3: f′<0x<-1: \ f'>0; \quad -1<x<3: \ f'<0

בנקודה −1-1 הנגזרת עוברת מחיובי לשלילי: מקסימום

x>3: f′>0x>3: \ f'>0

בנקודה 33 הנגזרת עוברת משלילי לחיובי: מינימום

הנכונה: מקסימום ב-−1-1, מינימום ב-33. המלכודת: x=1x=1 — זה המינימום של f′f', הקודקוד של הפרבולה, ולא נקודת קיצון של ff.

Check the answer on elev

Exercise 33

הגרף של f'(x)
-13-3-2-1012345-14-12-10-8-6-4-2246810121416xy
הגרף של פונקציית הנגזרת, לא של f.

בשרטוט הגרף של f′(x)=3x2−6x−9f'(x)=3x^2-6x-9, הנגזרת של פולינום f(x)f(x). הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx ב-x=−1x=-1 וב-x=3x=3. נמצא: מקסימום ב-x=−1x=-1, מינימום ב-x=3x=3. ב. ערך המקסימום של ff הוא 1212. השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f' וציר ה-xx הוא 3232. מצאו את ערך המינימום של ff.

Show the answer and the solution

Answer: -20

Worked solution:

∫−13f′(x) dx=f(3)−f(−1)\int_{-1}^{3} f'(x)\,dx=f(3)-f(-1)

ff פונקציה קדומה של f′f'

−1<x<3: f′<0⇒∫−13f′(x) dx=−32-1<x<3: \ f'<0 \Rightarrow \int_{-1}^{3} f'(x)\,dx=-32

השטח מתחת לציר: האינטגרל שלילי

f(3)=12−32=−20\begin{aligned}f(3) &= 12-32 \\ &= -20\end{aligned}

f(−1)=12f(-1)=12

המינימום f(3)=−20f(3)=-20. המלכודת: 12+32=4412+32=44 — הפונקציה יורדת בין המקסימום למינימום, ולכן מחסרים את השטח.

Check the answer on elev

Exercise 34

הגרף של f'(x)
-13-3-2-1012345-14-12-10-8-6-4-2246810121416xy
הגרף של פונקציית הנגזרת, לא של f.

בשרטוט הגרף של f′(x)=3x2−6x−9f'(x)=3x^2-6x-9, הנגזרת של פולינום f(x)f(x). הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx ב-x=−1x=-1 וב-x=3x=3. מקסימום (−1,12)(-1,12), מינימום (3,−20)(3,-20). ג. לאילו ערכים של kk הישר y=ky=k חותך את הגרף של ff בשלוש נקודות בדיוק?

  1. k<−20k<-20 או k>12k>12
  2. −20<k<12-20<k<12
  3. −9<k<0-9<k<0
  4. −1<k<3-1<k<3
Show the answer and the solution

Answer: B −20<k<12-20<k<12

Worked solution:

f→−∞ (x→−∞),f→+∞ (x→+∞)f \to -\infty \ (x \to -\infty), \quad f \to +\infty \ (x \to +\infty)

פולינום ממעלה שלישית עם מקדם מוביל חיובי

f(−1)=12 f(3)=−20\begin{aligned}f(-1) &= 12 \\ \ f(3) &= -20\end{aligned}

ערכי הקיצון

−20<k<12-20<k<12

בין ערכי הקיצון הישר פוגש את שלושת הקטעים של הגרף

הנכונה: −20<k<12-20<k<12. המלכודות: −1<k<3-1<k<3 — שיעורי ה-xx של הקיצונים; מחוץ לתחום [−20,12][-20,12] יש נקודת חיתוך אחת בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 35

הגרף של f'(x)
-13-3-2-1012345-14-12-10-8-6-4-2246810121416xy
הגרף של פונקציית הנגזרת, לא של f.

בשרטוט הגרף של f′(x)=3x2−6x−9f'(x)=3x^2-6x-9, הנגזרת של פולינום f(x)f(x). הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx ב-x=−1x=-1 וב-x=3x=3. מקסימום של ff: (−1,12)(-1,12); מינימום: (3,−20)(3,-20). ד. נגדיר g(x)=f(x−2)g(x)=f(x-2). מצאו את נקודת המקסימום של gg.

(( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: (( 1 ,, 12 ))

Worked solution:

x−2=−1⇒x=1\begin{aligned}x-2 &= -1 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

ההזזה מזיזה את הגרף 22 יחידות ימינה

g(1)=f(−1)=12\begin{aligned}g(1) &= f(-1) \\ &= 12\end{aligned}

הגובה לא משתנה

המקסימום של gg: (1,12)(1,12). המלכודת: (−3,12)(-3,12) — מינוס בתוך הסוגריים מזיז ימינה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade