סימולציית בגרות 4

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

סימולציית בגרות 4 — שאלון 35471 (4 יח״ל). שמונה שאלות בשלושה פרקים: פרק ראשון — סטטיסטיקה והסתברות (שאלות 1–3); פרק שני — גאומטריה (שאלות 4–5); פרק שלישי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (שאלות 6–8). עליכם לענות על 5 שאלות, לפחות אחת מכל פרק. כל שאלה 20 נקודות. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי (210 דקות). מותר להשתמש בנוסחאון, כולל טבלת ההתפלגות הנורמלית, ובמחשבון שאינו גרפי. כאן כתובות כל שמונה השאלות: בחרו חמש כמו בבחינה, או פתרו את כולן כתרגול.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. שלושה הרגלים שחוסכים נקודות: בהתפלגות נורמלית — בדקו את הסימן של zz לפני שפותרים; בחקירה — טבלת סימנים לפני שקובעים סוג קיצון; ובשטח בעזרת f′f' — חלקו את הקטע בכל נקודה שבה הנגזרת מחליפה סימן.

Exercises

שאלה 1 — התפלגות נורמלית

Exercise 1

מכונה במפעל ממלאת בקבוקי שמן זית. נפח השמן בבקבוק (במ״ל) מתפלג נורמלית, והממוצע הוא 750750 מ״ל. 6.68%6.68\% מהבקבוקים מכילים פחות מ-735735 מ״ל. א. מצאו את סטיית התקן של הנפח. נתון: Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332.

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

P(X<735)=0.0668=1−0.9332\begin{aligned}P(X<735) &= 0.0668 \\ &= 1-0.9332\end{aligned}

השטח משמאל ל-735735 קטן מחצי: הנקודה מתחת לממוצע

Φ(z)=0.0668 ⇒ z=−1.5\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.0668 \ \Rightarrow \ z \\ &= -1.5\end{aligned}

סימטריה של העקומה: Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z)=1-\Phi(z)

−1.5=735−750σ ⇒ σ=10\begin{aligned}-1.5 &= \frac{735-750}{\sigma} \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 10\end{aligned}

ציון התקן: z=x−μσz=\frac{x-\mu}{\sigma}

σ=10\sigma=10 מ״ל. המלכודת: לקחת z=+1.5z=+1.5 — אז יוצאת סטיית תקן שלילית. ערך מתחת לממוצע מקבל תמיד zz שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 2

מכונה במפעל ממלאת בקבוקי שמן זית. נפח השמן בבקבוק (במ״ל) מתפלג נורמלית, והממוצע הוא 750750 מ״ל. סטיית התקן היא 1010 מ״ל. ב. איזה אחוז מהבקבוקים מכילים בין 740740 ל-770770 מ״ל? נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. ענו באחוזים.

Show the answer and the solution

Answer: 81.85

Worked solution:

z1=740−75010=−1z2=770−75010=2\begin{aligned}z_1 &= \frac{740-750}{10} \\ &= -1 \\ \quad z_2 &= \frac{770-750}{10} \\ &= 2\end{aligned}

ציוני התקן של שני הגבולות

Φ(−1)=1−0.8413=0.1587\begin{aligned}\Phi(-1) &= 1-0.8413 \\ &= 0.1587\end{aligned}

הגבול התחתון מתחת לממוצע

Φ(2)−Φ(−1)=0.9772−0.1587=0.8185\begin{aligned}\Phi(2)-\Phi(-1) &= 0.9772-0.1587 \\ &= 0.8185\end{aligned}

השטח בין שני הגבולות

81.85%81.85\%. המלכודת: לחסר 0.9772−0.84130.9772-0.8413 ולקבל 13.59%13.59\% — זה השטח בין 760760 ל-770770. הגבול 740740 נמצא מתחת לממוצע, ולכן צריך Φ(−1)\Phi(-1).

Check the answer on elev

Exercise 3

מכונה במפעל ממלאת בקבוקי שמן זית. נפח השמן בבקבוק (במ״ל) מתפלג נורמלית, והממוצע הוא 750750 מ״ל. סטיית התקן היא 1010 מ״ל. בקבוק נפסל אם הוא מכיל פחות מ-735735 מ״ל או יותר מ-770770 מ״ל. ביום אחד מילאה המכונה 40004000 בקבוקים. ג. כמה בקבוקים צפויים להיפסל? נתון: Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. עגלו למספר שלם.

Show the answer and the solution

Answer: 358

Worked solution:

P(X<735)=1−0.9332=0.0668\begin{aligned}P(X<735) &= 1-0.9332 \\ &= 0.0668\end{aligned}

z=−1.5z=-1.5

P(X>770)=1−0.9772=0.0228\begin{aligned}P(X>770) &= 1-0.9772 \\ &= 0.0228\end{aligned}

z=2z=2: השטח מימין

0.0668+0.0228=0.08960.0668+0.0228=0.0896

שני הזנבות — מאורעות זרים, מחברים

4000⋅0.0896=358.4≈3584000 \cdot 0.0896=358.4 \approx 358

מספר הבקבוקים הצפוי

כ-358358 בקבוקים. המלכודת: לחשב רק זנב אחד (כ-267267 או כ-9191 בקבוקים). «פחות מ… או יותר מ…» הם שני שטחים נפרדים שמחברים.

Check the answer on elev

Exercise 4

מכונה במפעל ממלאת בקבוקי שמן זית. נפח השמן בבקבוק (במ״ל) מתפלג נורמלית, והממוצע הוא 750750 מ״ל. סטיית התקן היא 1010 מ״ל. טכנאי כייל מחדש את המכונה: סטיית התקן נשארה 1010 מ״ל, והממוצע השתנה. אחרי הכיול רק 2.28%2.28\% מהבקבוקים מכילים פחות מ-735735 מ״ל. ד. מהו הממוצע החדש (במ״ל)? נתון: Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772.

Show the answer and the solution

Answer: 755

Worked solution:

Φ(z)=0.0228=1−0.9772 ⇒ z=−2\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.0228 \\ &= 1-0.9772 \ \Rightarrow \ z \\ &= -2\end{aligned}

הערך 735735 מתחת לממוצע החדש

−2=735−μ10 ⇒ μ=755\begin{aligned}-2 &= \frac{735-\mu}{10} \ \Rightarrow \ \mu \\ &= 755\end{aligned}

ציון התקן, והנעלם הוא μ\mu

μ=755\mu=755 מ״ל. המלכודת: μ=715\mu=715 — לפתור עם z=+2z=+2. פחות בקבוקים מתחת ל-735735 פירושו שהממוצע עלה, ולכן הוא גדול מ-750750.

Check the answer on elev

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה ליניארית

Exercise 5

חמישה מטופלים
מטופלאבגדה
x — מפגשים35679
y — ציון תפקוד5359626561

במכון שיקום בדקו חמישה מטופלים אחרי ניתוח בברך. xx — מספר מפגשי הפיזיותרפיה בחודש, yy — ציון התפקוד של הברך בסוף החודש (הנתונים בטבלה). א. חשבו את הממוצע של xx ואת הממוצע של yy.

xˉ=\bar{x}= ____ yˉ=\bar{y}= ____

Show the answer and the solution

Answer: xˉ=\bar{x}= 6 yˉ=\bar{y}= 60

Worked solution:

xˉ=3+5+6+7+95=305=6\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{3+5+6+7+9}{5} \\ &= \frac{30}{5} \\ &= 6\end{aligned}

סכום חלקי מספר הנתונים

yˉ=53+59+62+65+615=3005=60\begin{aligned}\bar{y} &= \frac{53+59+62+65+61}{5} \\ &= \frac{300}{5} \\ &= 60\end{aligned}

xˉ=6\bar{x}=6, yˉ=60\bar{y}=60. נקודת הממוצעים (6, 60)(6,\,60) נמצאת תמיד על קו הרגרסיה. המלכודת: לחלק ב-44 במקום ב-55.

Check the answer on elev

Exercise 6

חמישה מטופלים
מטופלאבגדה
x — מפגשים35679
y — ציון תפקוד5359626561

במכון שיקום בדקו חמישה מטופלים אחרי ניתוח בברך. xx — מספר מפגשי הפיזיותרפיה בחודש, yy — ציון התפקוד של הברך בסוף החודש (הנתונים בטבלה). נמצא: xˉ=6\bar{x}=6, yˉ=60\bar{y}=60, וסטיות התקן הן Sx=2S_x=2, Sy=4S_y=4. ב. חשבו את מקדם המתאם rr בין xx ל-yy.

Show the answer and the solution

Answer: 0.75

Worked solution:

x−xˉ: −3, −1, 0, 1, 3x-\bar{x}: \ -3,\,-1,\,0,\,1,\,3

הסטיות מהממוצע של xx

y−yˉ: −7, −1, 2, 5, 1y-\bar{y}: \ -7,\,-1,\,2,\,5,\,1

הסטיות מהממוצע של yy

∑(x−xˉ)(y−yˉ)=21+1+0+5+3=30\begin{aligned}\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y}) &= 21+1+0+5+3 \\ &= 30\end{aligned}

סכום המכפלות

r=305⋅2⋅4=0.75\begin{aligned}r &= \frac{30}{5 \cdot 2 \cdot 4} \\ &= 0.75\end{aligned}

הנוסחה מהנוסחאון: n⋅Sx⋅Syn \cdot S_x \cdot S_y במכנה

r=0.75r=0.75: מתאם חיובי חזק למדי. המלכודת: לשכוח את n=5n=5 במכנה ולקבל 3.753.75 — ערך של rr תמיד בין −1-1 ל-11.

Check the answer on elev

Exercise 7

חמישה מטופלים
מטופלאבגדה
x — מפגשים35679
y — ציון תפקוד5359626561

במכון שיקום בדקו חמישה מטופלים אחרי ניתוח בברך. xx — מספר מפגשי הפיזיותרפיה בחודש, yy — ציון התפקוד של הברך בסוף החודש (הנתונים בטבלה). נמצא: xˉ=6\bar{x}=6, yˉ=60\bar{y}=60, Sx=2S_x=2, Sy=4S_y=4, r=0.75r=0.75. ג. מצאו את משוואת קו הרגרסיה של yy על xx.

y=y= ____ x+x+ ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y= 1.5 x+x+ 51

Worked solution:

m=r⋅SySx=0.75⋅42=1.5\begin{aligned}m &= r \cdot \frac{S_y}{S_x} \\ &= 0.75 \cdot \frac{4}{2} \\ &= 1.5\end{aligned}

שיפוע קו הרגרסיה

y−60=1.5(x−6) ⇒ y=1.5x+51\begin{aligned}y-60 &= 1.5(x-6) \ \Rightarrow \ y \\ &= 1.5x+51\end{aligned}

הקו עובר דרך נקודת הממוצעים

y=1.5x+51y=1.5x+51. המלכודת: להפוך את השבר, SxSy\frac{S_x}{S_y}, ולקבל שיפוע 0.3750.375.

Check the answer on elev

Exercise 8

חמישה מטופלים
מטופלאבגדה
x — מפגשים35679
y — ציון תפקוד5359626561

במכון שיקום בדקו חמישה מטופלים אחרי ניתוח בברך. xx — מספר מפגשי הפיזיותרפיה בחודש, yy — ציון התפקוד של הברך בסוף החודש (הנתונים בטבלה). קו הרגרסיה של yy על xx הוא y=1.5x+51y=1.5x+51. ד. מטופל חדש הגיע ל-88 מפגשים בחודש. מהו ציון התפקוד החזוי שלו?

Show the answer and the solution

Answer: 63

Worked solution:

y=1.5⋅8+51=63\begin{aligned}y &= 1.5 \cdot 8+51 \\ &= 63\end{aligned}

מציבים בקו הרגרסיה

3≤8≤93 \le 8 \le 9

x=8x=8 בתוך תחום הנתונים — הניבוי סביר

הציון החזוי 6363. המלכודת: לחפש בטבלה מטופל «קרוב», למשל 6565 של x=7x=7. הניבוי נלקח מהקו, לא מנקודה בודדת.

Check the answer on elev

Exercise 9

חמישה מטופלים
מטופלאבגדה
x — מפגשים35679
y — ציון תפקוד5359626561

במכון שיקום בדקו חמישה מטופלים אחרי ניתוח בברך. xx — מספר מפגשי הפיזיותרפיה בחודש, yy — ציון התפקוד של הברך בסוף החודש (הנתונים בטבלה). קו הרגרסיה הוא y=1.5x+51y=1.5x+51 ו-r=0.75r=0.75. אחרי בדיקה חוזרת הוסיפו לכל מטופל 55 נקודות לציון התפקוד. ה. מה נכון לגבי הנתונים החדשים?

  1. rr והשיפוע לא משתנים, והקבוע בקו גדל ב-55: y=1.5x+56y=1.5x+56
  2. rr, השיפוע והקבוע — שלושתם לא משתנים
  3. rr גדל, והשיפוע לא משתנה
  4. השיפוע גדל ב-55, ו-rr לא משתנה
Show the answer and the solution

Answer: A rr והשיפוע לא משתנים, והקבוע בקו גדל ב-55: y=1.5x+56y=1.5x+56

Worked solution:

y↦y+5: yˉ↦65y \mapsto y+5: \ \bar{y} \mapsto 65

הממוצע גדל ב-55, וסטיית התקן SyS_y לא משתנה: הזזה לא משנה את הפיזור

r=0.75m=0.75⋅42=1.5\begin{aligned}r &= 0.75 \\ \quad m &= 0.75 \cdot \frac{4}{2} \\ &= 1.5\end{aligned}

המתאם והשיפוע נשארים

y−65=1.5(x−6)⇒y=1.5x+56\begin{aligned}y-65 &= 1.5(x-6) \Rightarrow y \\ &= 1.5x+56\end{aligned}

רק הקבוע גדל ב-55

הנכונה: rr והשיפוע לא משתנים, והקבוע גדל ב-55. המלכודת: לחשוב שכל הוספה «מחזקת» את המתאם. הוספת קבוע מזיזה את כל הנקודות למעלה, והצורה של הענן לא משתנה.

Check the answer on elev

שאלה 3 — הסתברות מותנית

Exercise 10

משתלה קונה שתילים משני ספקים: 70%70\% מהשתילים מספק א ו-30%30\% מספק ב. 90%90\% מהשתילים של ספק א נקלטים באדמה, ו-80%80\% מהשתילים של ספק ב נקלטים. בוחרים באקראי שתיל מהמשתלה. א. מה ההסתברות שהשתיל ייקלט?

Show the answer and the solution

Answer: 0.87

Worked solution:

P(A∩N)=0.7⋅0.9=0.63\begin{aligned}P(A \cap N) &= 0.7 \cdot 0.9 \\ &= 0.63\end{aligned}

AA — ספק א, BB — ספק ב, NN — השתיל נקלט. ענף ספק א בעץ

P(B∩N)=0.3⋅0.8=0.24\begin{aligned}P(B \cap N) &= 0.3 \cdot 0.8 \\ &= 0.24\end{aligned}

ענף ספק ב

0.63+0.24=0.870.63+0.24=0.87

נוסחת ההסתברות השלמה: מחברים את שני הענפים

P=0.87P=0.87. המלכודת: לחשב ממוצע פשוט 0.9+0.82=0.85\frac{0.9+0.8}{2}=0.85 — שוכחים שספק א מספק יותר שתילים.

Check the answer on elev

Exercise 11

משתלה קונה שתילים משני ספקים: 70%70\% מהשתילים מספק א ו-30%30\% מספק ב. 90%90\% מהשתילים של ספק א נקלטים באדמה, ו-80%80\% מהשתילים של ספק ב נקלטים. ההסתברות שהשתיל ייקלט היא 0.870.87. ב. שתיל שנבחר באקראי לא נקלט. מה ההסתברות שהוא מספק ב? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.46

Worked solution:

P(Nˉ)=1−0.87=0.13\begin{aligned}P(\bar{N}) &= 1-0.87 \\ &= 0.13\end{aligned}

Nˉ\bar{N} — השתיל לא נקלט: המאורע המשלים

P(B∩Nˉ)=0.3⋅0.2=0.06\begin{aligned}P(B \cap \bar{N}) &= 0.3 \cdot 0.2 \\ &= 0.06\end{aligned}

ענף ב ואז «לא נקלט»

P(B∣Nˉ)=0.060.13≈0.46P(B \mid \bar{N})=\frac{0.06}{0.13} \approx 0.46

הסתברות מותנית: החיתוך חלקי התנאי

≈0.46\approx 0.46. המלכודת: לענות 0.20.2 — זו P(Nˉ∣B)P(\bar{N} \mid B), השאלה ההפוכה. כאן התנאי הוא «לא נקלט», והוא במכנה.

Check the answer on elev

Exercise 12

משתלה קונה שתילים משני ספקים: 70%70\% מהשתילים מספק א ו-30%30\% מספק ב. 90%90\% מהשתילים של ספק א נקלטים באדמה, ו-80%80\% מהשתילים של ספק ב נקלטים. ההסתברות שהשתיל ייקלט היא 0.870.87. בוחרים באקראי שני שתילים, וכל שתיל נקלט או לא נקלט בלי קשר לשני. ג. מה ההסתברות שבדיוק אחד משני השתילים לא ייקלט? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.23

Worked solution:

P(N)⋅P(Nˉ)=0.87⋅0.13=0.1131\begin{aligned}P(N)\cdot P(\bar{N}) &= 0.87 \cdot 0.13 \\ &= 0.1131\end{aligned}

הראשון נקלט והשני לא

P(Nˉ)⋅P(N)=0.13⋅0.87=0.1131\begin{aligned}P(\bar{N})\cdot P(N) &= 0.13 \cdot 0.87 \\ &= 0.1131\end{aligned}

הראשון לא והשני כן

0.1131+0.1131=0.2262≈0.230.1131+0.1131=0.2262 \approx 0.23

שני סדרים — שני ענפים

≈0.23\approx 0.23. המלכודת: לענות 0.110.11 — זה סדר אחד בלבד. «בדיוק אחד» מתקיים בשני סדרים: הראשון או השני.

Check the answer on elev

Exercise 13

משתלה קונה שתילים משני ספקים: 70%70\% מהשתילים מספק א ו-30%30\% מספק ב. 90%90\% מהשתילים של ספק א נקלטים באדמה, ו-80%80\% מהשתילים של ספק ב נקלטים. ההסתברות שהשתיל לא ייקלט היא 0.130.13. ד. הוכיחו או הפריכו: רוב השתילים שלא נקלטו הגיעו מספק א.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

P(A∩Nˉ)=0.7⋅0.1=0.07\begin{aligned}P(A \cap \bar{N}) &= 0.7 \cdot 0.1 \\ &= 0.07\end{aligned}

ענף א ואז «לא נקלט»

P(A∣Nˉ)=0.070.13≈0.54>0.5P(A \mid \bar{N})=\frac{0.07}{0.13} \approx 0.54>0.5

הסתברות מותנית

נכון: כ-54%54\% מהשתילים שלא נקלטו הם מספק א. המלכודת: לענות «לא נכון» כי אצל ספק ב שיעור הכישלון גבוה יותר (20%20\% לעומת 10%10\%). ספק א מספק פי יותר מפי שניים שתילים, ולכן יש ממנו יותר כישלונות.

Check the answer on elev

שאלה 4 — מרובע במערכת צירים

Exercise 14

השרטוט להמחשה בלבד.

נתונות הנקודות A(0, 2)A(0,\,2) ו-B(4, 4)B(4,\,4). הישר המאונך ל-ABAB בנקודה BB חותך את ציר ה-xx בנקודה CC. א. מצאו את שיעורי הנקודה CC.

C(C( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: C(C( 6 ,, 0 ))

Worked solution:

mAB=4−24−0=12\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4-2}{4-0} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שיפוע: m=y2−y1x2−x1m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

mBC=−2m_{BC}=-2

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים −1-1

y−4=−2(x−4) ⇒ y=−2x+12\begin{aligned}y-4 &= -2(x-4) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x+12\end{aligned}

משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע

0=−2x+12 ⇒ x=6\begin{aligned}0 &= -2x+12 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

על ציר ה-xx: y=0y=0

C(6, 0)C(6,\,0). המלכודת: לקחת שיפוע −12-\frac{1}{2} — משנים רק את הסימן ושוכחים להפוך את השבר.

Check the answer on elev

Exercise 15

השרטוט להמחשה בלבד.

נתונות הנקודות A(0, 2)A(0,\,2) ו-B(4, 4)B(4,\,4). הישר המאונך ל-ABAB בנקודה BB חותך את ציר ה-xx בנקודה CC. נמצא C(6, 0)C(6,\,0) ו-mBC=−2m_{BC}=-2. דרך AA העבירו ישר המקביל ל-BCBC, והוא חותך את ציר ה-xx בנקודה DD. ב. מצאו את שיעורי הנקודה DD.

D(D( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: D(D( 1 ,, 0 ))

Worked solution:

mAD=mBC=−2\begin{aligned}m_{AD} &= m_{BC} \\ &= -2\end{aligned}

ישרים מקבילים: שיפועים שווים

y=−2x+2y=-2x+2

הישר עובר דרך A(0, 2)A(0,\,2), ולכן הקבוע 22

0=−2x+2 ⇒ x=1\begin{aligned}0 &= -2x+2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

על ציר ה-xx

D(1, 0)D(1,\,0). המלכודת: להעביר דרך AA ישר בשיפוע 12\frac{1}{2} — זה הישר ABAB עצמו.

Check the answer on elev

Exercise 16

השרטוט להמחשה בלבד.

נתונות הנקודות A(0, 2)A(0,\,2) ו-B(4, 4)B(4,\,4). הישר המאונך ל-ABAB בנקודה BB חותך את ציר ה-xx בנקודה CC. נמצא C(6, 0)C(6,\,0), ודרך AA עובר ישר המקביל ל-BCBC וחותך את ציר ה-xx ב-D(1, 0)D(1,\,0). ג. הוכיחו: ABCDABCD טרפז ישר-זווית.

  • A(0, 2)A(0,\,2), B(4, 4)B(4,\,4), C(6, 0)C(6,\,0), D(1, 0)D(1,\,0)
  • BC⊥ABBC \perp AB
  • AD∥BCAD \parallel BC

ABCDABCD טרפז ישר-זווית

Show the answer and the solution
  1. mAD=mBC=−2m_{AD}=m_{BC}=-2 — חישוב שיפוע: m=y2−y1x2−x1m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
  2. AD∥BCAD \parallel BC — ישרים שיש להם אותו שיפוע מקבילים
  3. mAB=12m_{AB}=\frac{1}{2}, mDC=0m_{DC}=0 — חישוב שיפוע: m=y2−y1x2−x1m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
  4. AB∦DCAB \nparallel DC — ישרים עם שיפועים שונים אינם מקבילים
  5. ABCDABCD טרפז — מרובע שבו זוג אחד בלבד של צלעות נגדיות מקבילות הוא טרפז
  6. AB⊥BCAB \perp BC — מכפלת השיפועים 12⋅(−2)=−1\frac{1}{2} \cdot (-2)=-1, ולכן הישרים מאונכים
  7. ABCDABCD טרפז ישר-זווית — טרפז שבו שוק מאונכת לבסיסים הוא טרפז ישר-זווית

Worked solution:

mAD=0−21−0=−2=mBC\begin{aligned}m_{AD} &= \frac{0-2}{1-0} \\ &= -2 \\ &= m_{BC}\end{aligned}

ישרים עם שיפועים שווים מקבילים

mAB=12≠0=mDC\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{1}{2} \neq 0 \\ &= m_{DC}\end{aligned}

זוג הצלעות השני אינו מקביל

12⋅(−2)=−1\frac{1}{2} \cdot (-2)=-1

מכפלת שיפועים −1-1: AB⊥BCAB \perp BC

טרפז: זוג אחד בלבד של צלעות נגדיות מקבילות, ולכן צריך להראות גם ש-ABAB ו-DCDC אינם מקבילים. המלכודת: לעצור אחרי AD∥BCAD \parallel BC — גם מקבילית מקיימת את זה.

Check the answer on elev

Exercise 17

השרטוט להמחשה בלבד.

נתונות הנקודות A(0, 2)A(0,\,2) ו-B(4, 4)B(4,\,4). הישר המאונך ל-ABAB בנקודה BB חותך את ציר ה-xx בנקודה CC. נמצא: C(6, 0)C(6,\,0), D(1, 0)D(1,\,0), ו-ABCDABCD טרפז שבו AD∥BCAD \parallel BC. האלכסונים ACAC ו-BDBD נחתכים בנקודה EE. ד. מהו היחס בין שטח המשולש AEDAED לשטח המשולש CEBCEB?

  1. 52\frac{\sqrt{5}}{2}
  2. 14\frac{1}{4}
  3. 12\frac{1}{2}
  4. 13\frac{1}{3}
Show the answer and the solution

Answer: B 14\frac{1}{4}

Worked solution:

AD=12+22=5BC=22+42=25\begin{aligned}AD &= \sqrt{1^2+2^2} \\ &= \sqrt{5} \\ \quad BC &= \sqrt{2^2+4^2} \\ &= 2\sqrt{5}\end{aligned}

נוסחת המרחק

△AED∼△CEB\triangle AED \sim \triangle CEB

ז.ז: זוויות קודקודיות ליד EE, וזוויות מתחלפות בין המקבילים AD∥BCAD \parallel BC

k=ADCB=12 ⇒ SAEDSCEB=k2=14\begin{aligned}k &= \frac{AD}{CB} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ \frac{S_{AED}}{S_{CEB}} \\ &= k^2 \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

הנכונה: 14\frac{1}{4}. המלכודת: 12\frac{1}{2} — יחס הדמיון בלי ריבוע. יחס השטחים הוא הריבוע של יחס הצלעות.

Check the answer on elev

שאלה 5 — מעגל ומשיק במערכת צירים

Exercise 18

השרטוט להמחשה בלבד.

מעגל שמרכזו M(−4, 3)M(-4,\,3) עובר דרך ראשית הצירים O(0, 0)O(0,\,0) ודרך הנקודה A(−1, 7)A(-1,\,7). א. מהי משוואת המעגל?

  1. (x+1)2+(y−7)2=25(x+1)^2+(y-7)^2=25
  2. (x+4)2+(y−3)2=5(x+4)^2+(y-3)^2=5
  3. (x+4)2+(y−3)2=25(x+4)^2+(y-3)^2=25
  4. (x−4)2+(y+3)2=25(x-4)^2+(y+3)^2=25
Show the answer and the solution

Answer: C (x+4)2+(y−3)2=25(x+4)^2+(y-3)^2=25

Worked solution:

R2=MO2=(0+4)2+(0−3)2=25\begin{aligned}R^2 &= MO^2 \\ &= (0+4)^2+(0-3)^2 \\ &= 25\end{aligned}

הרדיוס: המרחק מהמרכז לנקודה על המעגל

(x+4)2+(y−3)2=25(x+4)^2+(y-3)^2=25

משוואת מעגל: (x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

הנכונה: (x+4)2+(y−3)2=25(x+4)^2+(y-3)^2=25. המלכודות: סימנים הפוכים בסוגריים — המרכז (−4, 3)(-4,\,3) נותן x+4x+4 ו-y−3y-3; ו-=5=5 — באגף ימין R2R^2, לא RR.

Check the answer on elev

Exercise 19

השרטוט להמחשה בלבד.

מעגל שמרכזו M(−4, 3)M(-4,\,3) עובר דרך ראשית הצירים O(0, 0)O(0,\,0) ודרך הנקודה A(−1, 7)A(-1,\,7). משוואת המעגל (x+4)2+(y−3)2=25(x+4)^2+(y-3)^2=25. ב. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה AA.

y=y= ____ x+x+ ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y= -0.75 x+x+ 6.25

Worked solution:

mMA=7−3−1+4=43\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{7-3}{-1+4} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס לנקודת ההשקה

m=−34m=-\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

y−7=−34(x+1) ⇒ y=−0.75x+6.25\begin{aligned}y-7 &= -\frac{3}{4}(x+1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -0.75x+6.25\end{aligned}

משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע

y=−0.75x+6.25y=-0.75x+6.25. המלכודת: לקחת את השיפוע 43\frac{4}{3} של הרדיוס — זה הישר MAMA, שעובר דרך המרכז ואינו משיק.

Check the answer on elev

Exercise 20

השרטוט להמחשה בלבד.

מעגל שמרכזו M(−4, 3)M(-4,\,3) עובר דרך ראשית הצירים O(0, 0)O(0,\,0) ודרך הנקודה A(−1, 7)A(-1,\,7). הישר AMAM חותך את המעגל פעם נוספת בנקודה DD. ג. מהו גודל הזווית AODAOD?

  1. 45∘45^\circ
  2. 120∘120^\circ
  3. 90∘90^\circ
  4. אי אפשר לדעת בלי השיעורים של DD
Show the answer and the solution

Answer: C 90∘90^\circ

Worked solution:

AD קוטרAD \ \text{קוטר}

הקטע ADAD עובר דרך המרכז MM

∠AOD=90∘\angle AOD=90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

הנכונה: 90∘90^\circ, בלי לחשב אף שיעור. המלכודת: «אי אפשר לדעת בלי שיעורי DD» — מספיק ש-ADAD קוטר ו-OO על המעגל.

Check the answer on elev

Exercise 21

השרטוט להמחשה בלבד.

מעגל שמרכזו M(−4, 3)M(-4,\,3) עובר דרך ראשית הצירים O(0, 0)O(0,\,0) ודרך הנקודה A(−1, 7)A(-1,\,7). הישר AMAM חותך את המעגל פעם נוספת בנקודה DD, ונמצא ∠AOD=90∘\angle AOD=90^\circ. ד. חשבו את שטח המשולש AODAOD.

Show the answer and the solution

Answer: 25

Worked solution:

D=2M−A=(−8+1, 6−7)=(−7, −1)\begin{aligned}D &= 2M-A \\ &= (-8+1,\ 6-7) \\ &= (-7,\,-1)\end{aligned}

MM אמצע הקוטר ADAD

OA=1+49=50OD=49+1=50\begin{aligned}OA &= \sqrt{1+49} \\ &= \sqrt{50} \\ \quad OD &= \sqrt{49+1} \\ &= \sqrt{50}\end{aligned}

נוסחת המרחק

S=OA⋅OD2=502=25\begin{aligned}S &= \frac{OA \cdot OD}{2} \\ &= \frac{50}{2} \\ &= 25\end{aligned}

במשולש ישר-זווית: חצי מכפלת הניצבים

השטח 2525. המלכודת: לקחת את AD=10AD=10 כאחד הניצבים — ADAD הוא היתר, מול הזווית הישרה.

Check the answer on elev

שאלה 6 — חקירת פונקציה רציונלית

Exercise 22

נתונה הפונקציה f(x)=ax−10x2−4f(x)=\dfrac{ax-10}{x^2-4}, ו-aa פרמטר. הישר y=2y=2 משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=1x=1. א. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

f(1)=2f(1)=2

נקודת ההשקה נמצאת גם על הגרף וגם על המשיק

a−101−4=2 ⇒ a−10=−6 ⇒ a=4\begin{aligned}\frac{a-10}{1-4} &= 2 \ \Rightarrow \ a-10 \\ &= -6 \ \Rightarrow \ a \\ &= 4\end{aligned}

מציבים x=1x=1

f′(1)=−4+20−169=0\begin{aligned}f'(1) &= \frac{-4+20-16}{9} \\ &= 0\end{aligned}

בדיקה: המשיק y=2y=2 אופקי, והנגזרת מתאפסת

a=4a=4. המלכודת: להציב f(2)f(2) או לשוות את f′(1)f'(1) ל-22 — המספר 22 הוא גובה נקודת ההשקה, והשיפוע של משיק אופקי הוא 00.

Check the answer on elev

Exercise 23

נתונה הפונקציה f(x)=4x−10x2−4f(x)=\dfrac{4x-10}{x^2-4}. הנגזרת: f′(x)=−4(x−1)(x−4)(x2−4)2f'(x)=\dfrac{-4(x-1)(x-4)}{(x^2-4)^2}. ב. מהן נקודות הקיצון של הפונקציה, ומה סוגן?

  1. מינימום (1, 2)(1,\,2), מקסימום (4, 12)\left(4,\,\frac{1}{2}\right)
  2. מינימום (−1, 143)\left(-1,\,\frac{14}{3}\right), מקסימום (4, 12)\left(4,\,\frac{1}{2}\right)
  3. מינימום (1, 2)(1,\,2) בלבד
  4. מקסימום (1, 2)(1,\,2), מינימום (4, 12)\left(4,\,\frac{1}{2}\right)
Show the answer and the solution

Answer: A מינימום (1, 2)(1,\,2), מקסימום (4, 12)\left(4,\,\frac{1}{2}\right)

Worked solution:

f′(x)=0 ⇒ x=1 או x=4\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= 4\end{aligned}

המונה מתאפס; המכנה חיובי בכל התחום

x<1:f′<0;1<x<4, x≠2:f′>0;x>4:f′<0x<1: f'<0; \quad 1<x<4, \ x \neq 2: f'>0; \quad x>4: f'<0

טבלת סימנים: הסימן נקבע לפי −4(x−1)(x−4)-4(x-1)(x-4)

f(1)=−6−3=2f(4)=612=12\begin{aligned}f(1) &= \frac{-6}{-3} \\ &= 2 \\ \quad f(4) &= \frac{6}{12} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הנכונה: מינימום (1, 2)(1,\,2), מקסימום (4, 12)(4,\,\frac{1}{2}). המלכודת: להחליף ביניהם «כי 2>122>\frac{1}{2}». המינימום והמקסימום נמצאים על ענפים שונים של הגרף, מפרידה ביניהם האסימפטוטה x=2x=2, ולכן המינימום יכול להיות גבוה מהמקסימום.

Check the answer on elev

Exercise 24

שלושה גרפים
-5-4-3-2-101234567-4-3-2-11234xy
  • גרף I
  • גרף II
  • גרף III

נתונה הפונקציה f(x)=4x−10x2−4f(x)=\dfrac{4x-10}{x^2-4}. האסימפטוטות: x=±2x=\pm 2 ו-y=0y=0. נקודות הקיצון: מינימום (1, 2)(1,\,2) ומקסימום (4, 12)(4,\,\frac{1}{2}). ג. בשרטוט שלושה גרפים. איזה מהם הוא הגרף של הנגזרת f′f'?

  1. גרף II
  2. גרף I
  3. גרף III
  4. אף אחד מהם
Show the answer and the solution

Answer: A גרף II

Worked solution:

x<1: f יורדת ⇒ f′<0x<1: \ f \ \text{יורדת} \ \Rightarrow \ f'<0

משמאל ל-x=1x=1 גרף הנגזרת מתחת לציר

f′(1)=f′(4)=0\begin{aligned}f'(1) &= f'(4) \\ &= 0\end{aligned}

גרף הנגזרת חותך את ציר ה-xx בשיעורי הקיצון

1<x<2: f′>01<x<2: \ f'>0

בין 11 לאסימפטוטה הנגזרת חיובית

הנכונה: גרף II. גרף I מתאפס באותן נקודות, אבל הוא −f′-f': חיובי שם ש-ff יורדת. גרף III הוא ff עצמה — הוא חותך את ציר ה-xx ב-x=2.5x=2.5, האפס של ff. המלכודת: לבחור לפי האפסים בלבד, בלי לבדוק את הסימן.

Check the answer on elev

Exercise 25

נתונה הפונקציה f(x)=4x−10x2−4f(x)=\dfrac{4x-10}{x^2-4}. הפונקציה יורדת בתחום x<1x<1 (x≠−2x \neq -2), ו-f′f' שלילית שם. ד. חשבו את השטח הכלוא בין גרף הנגזרת f′f', ציר ה-xx והישרים x=−1x=-1 ו-x=1x=1. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 2.67

Worked solution:

∫−11f′(x) dx=f(1)−f(−1)\int_{-1}^{1} f'(x)\,dx=f(1)-f(-1)

ff היא פונקציה קדומה של f′f'

f(1)=2f(−1)=−14−3=143\begin{aligned}f(1) &= 2 \\ \quad f(-1) &= \frac{-14}{-3} \\ &= \frac{14}{3}\end{aligned}
2−143=−832-\frac{14}{3}=-\frac{8}{3}

האינטגרל שלילי: השטח מתחת לציר

S=83≈2.67S=\frac{8}{3} \approx 2.67

שטח — ערך מוחלט

השטח 83≈2.67\frac{8}{3} \approx 2.67. אין צורך לבצע אינטגרציה של f′f' — הפונקציה הקדומה ידועה: זו ff. המלכודת: לענות −2.67-2.67; שטח הוא תמיד חיובי.

Check the answer on elev

שאלה 7 — פונקציית שורש

Exercise 26

נתונה הפונקציה f(x)=(x+4)a−xf(x)=(x+4)\sqrt{a-x}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר דרך הנקודה (−1, 9)(-1,\,9). א. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

(−1+4)a+1=9(-1+4)\sqrt{a+1}=9

מציבים את הנקודה בפונקציה

a+1=3 ⇒ a+1=9 ⇒ a=8\begin{aligned}\sqrt{a+1} &= 3 \ \Rightarrow \ a+1 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ a \\ &= 8\end{aligned}

מעלים בריבוע

39=9 ✓3\sqrt{9}=9 \ \checkmark

בדיקה במשוואה המקורית

a=8a=8. המלכודת: לכתוב a−1\sqrt{a-1} — מציבים x=−1x=-1, ולכן מתחת לשורש a−(−1)=a+1a-(-1)=a+1.

Check the answer on elev

Exercise 27

נתונה הפונקציה f(x)=(x+4)8−xf(x)=(x+4)\sqrt{8-x}. הנגזרת: f′(x)=12−3x28−xf'(x)=\dfrac{12-3x}{2\sqrt{8-x}} בתחום x<8x<8. ב. מצאו את נקודת המקסימום של הפונקציה.

(( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: (( 4 ,, 16 ))

Worked solution:

12−3x=0 ⇒ x=4\begin{aligned}12-3x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

המונה מתאפס

x<4:f′>0,4<x<8:f′<0x<4: f'>0, \quad 4<x<8: f'<0

עלייה ואז ירידה — מקסימום

f(4)=84=16\begin{aligned}f(4) &= 8\sqrt{4} \\ &= 16\end{aligned}

המקסימום (4, 16)(4,\,16). הנקודה (8, 0)(8,\,0) היא מינימום בקצה התחום. המלכודת: לשכוח את −1-1, הנגזרת הפנימית של 8−x8-x, ולקבל מונה שמתאפס מחוץ לתחום.

Check the answer on elev

Exercise 28

נתונה הפונקציה f(x)=(x+4)8−xf(x)=(x+4)\sqrt{8-x}. תחום ההגדרה x≤8x \le 8, ונקודת המקסימום (4, 16)(4,\,16). נתונה הפונקציה g(x)=f(x+4)g(x)=f(x+4). ג. מצאו את נקודת המקסימום של gg ואת תחום ההגדרה שלה.

מקסימום: (( ____ ,, ____ )), תחום: x≤x \le ____

Show the answer and the solution

Answer: מקסימום: (( 0 ,, 16 )), תחום: x≤x \le 4

Worked solution:

g(x)=f(x+4)g(x)=f(x+4)

הגרף של gg הוא הגרף של ff מוזז 44 יחידות שמאלה

(4, 16)↦(0, 16)(4,\,16) \mapsto (0,\,16)

שיעור ה-xx קטן ב-44, הגובה לא משתנה

x+4≤8 ⇒ x≤4x+4 \le 8 \ \Rightarrow \ x \le 4

תחום ההגדרה של gg

המקסימום של gg הוא (0, 16)(0,\,16) והתחום x≤4x \le 4. המלכודת: להזיז ימינה ולקבל (8, 16)(8,\,16) — ב-f(x+c)f(x+c) עם c>0c>0 הגרף זז שמאלה.

Check the answer on elev

Exercise 29

נתונה הפונקציה f(x)=(x+4)8−xf(x)=(x+4)\sqrt{8-x}. נקודת המקסימום (4, 16)(4,\,16), ו-f′f' מחליפה סימן רק ב-x=4x=4. ד. חשבו את השטח הכלוא בין גרף הנגזרת f′f', ציר ה-xx והישרים x=−1x=-1 ו-x=7x=7.

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

∫−14f′(x) dx=f(4)−f(−1)=16−9=7\begin{aligned}\int_{-1}^{4} f'(x)\,dx &= f(4)-f(-1) \\ &= 16-9 \\ &= 7\end{aligned}

ב-−1<x<4-1<x<4 הנגזרת חיובית: השטח מעל הציר

∫47f′(x) dx=f(7)−f(4)=11−16=−5\begin{aligned}\int_{4}^{7} f'(x)\,dx &= f(7)-f(4) \\ &= 11-16 \\ &= -5\end{aligned}

ב-4<x<74<x<7 הנגזרת שלילית: השטח מתחת לציר

S=7+5=12\begin{aligned}S &= 7+5 \\ &= 12\end{aligned}

מחברים את שני השטחים בערכם המוחלט

השטח 1212. המלכודת: לחשב f(7)−f(−1)=11−9=2f(7)-f(-1)=11-9=2 — האינטגרל מחסר את השטח שמתחת לציר במקום לחבר אותו. כשהנגזרת מחליפה סימן, מחלקים את הקטע בנקודת הקיצון.

Check the answer on elev

שאלה 8 — בעיית ערך קיצון

Exercise 30

מלבן מתחת לגרף
ABCD-5-4-3-2-10123451234xy
המלבן מסורטט עבור ערך אחד של t.

נתונה הפונקציה f(x)=16x2+4f(x)=\dfrac{16}{x^2+4}. המלבן ABCDABCD בנוי כך: הקודקודים A(−t, 0)A(-t,\,0) ו-B(t, 0)B(t,\,0) על ציר ה-xx (t>0t>0), והקודקודים CC ו-DD על גרף הפונקציה, מעל BB ומעל AA. א. איזה ביטוי נותן את שטח המלבן S(t)S(t)?

  1. S(t)=32t2t2+4S(t)=\dfrac{32t^2}{t^2+4}
  2. S(t)=32tt2+4S(t)=\dfrac{32t}{t^2+4}
  3. S(t)=32t2+4S(t)=\dfrac{32}{t^2+4}
  4. S(t)=16tt2+4S(t)=\dfrac{16t}{t^2+4}
Show the answer and the solution

Answer: B S(t)=32tt2+4S(t)=\dfrac{32t}{t^2+4}

Worked solution:

AB=2tAB=2t

הבסיס: מ-−t-t עד tt

BC=f(t)=16t2+4\begin{aligned}BC &= f(t) \\ &= \frac{16}{t^2+4}\end{aligned}

הגובה: שיעור ה-yy של CC

S(t)=2t⋅16t2+4=32tt2+4\begin{aligned}S(t) &= 2t \cdot \frac{16}{t^2+4} \\ &= \frac{32t}{t^2+4}\end{aligned}

שטח מלבן: בסיס כפול גובה

הנכונה: 32tt2+4\frac{32t}{t^2+4}. המלכודת: 16tt2+4\frac{16t}{t^2+4} — לקחת את הבסיס tt במקום 2t2t. tt הוא רק חצי מהבסיס.

Check the answer on elev

Exercise 31

מלבן מתחת לגרף
ABCD-5-4-3-2-10123451234xy
המלבן מסורטט עבור ערך אחד של t.

נתונה הפונקציה f(x)=16x2+4f(x)=\dfrac{16}{x^2+4}. המלבן ABCDABCD בנוי כך: הקודקודים A(−t, 0)A(-t,\,0) ו-B(t, 0)B(t,\,0) על ציר ה-xx (t>0t>0), והקודקודים CC ו-DD על גרף הפונקציה, מעל BB ומעל AA. שטח המלבן S(t)=32tt2+4S(t)=\dfrac{32t}{t^2+4}. ב. מצאו את tt שבעבורו שטח המלבן מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

t=t= ____ Smax⁡=S_{\max}= ____

Show the answer and the solution

Answer: t=t= 2 Smax⁡=S_{\max}= 8

Worked solution:

S′(t)=32(t2+4)−32t⋅2t(t2+4)2=32(4−t2)(t2+4)2\begin{aligned}S'(t) &= \frac{32(t^2+4)-32t \cdot 2t}{(t^2+4)^2} \\ &= \frac{32(4-t^2)}{(t^2+4)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

S′(t)=0 ⇒ t=2\begin{aligned}S'(t) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 2\end{aligned}

רק t>0t>0

0<t<2:S′>0,t>2:S′<00<t<2: S'>0, \quad t>2: S'<0

עלייה ואז ירידה — מקסימום

S(2)=648=8\begin{aligned}S(2) &= \frac{64}{8} \\ &= 8\end{aligned}

t=2t=2, והשטח המקסימלי 88. המלכודת: לקבוע «מקסימום» בלי טבלת סימנים. כאן SS עולה ואז יורדת, ולכן זה אכן מקסימום.

Check the answer on elev

Exercise 32

מלבן מתחת לגרף
ABCD-5-4-3-2-10123451234xy
המלבן מסורטט עבור ערך אחד של t.

נתונה הפונקציה f(x)=16x2+4f(x)=\dfrac{16}{x^2+4}. המלבן ABCDABCD בנוי כך: הקודקודים A(−t, 0)A(-t,\,0) ו-B(t, 0)B(t,\,0) על ציר ה-xx (t>0t>0), והקודקודים CC ו-DD על גרף הפונקציה, מעל BB ומעל AA. שטח המלבן S(t)=32tt2+4S(t)=\dfrac{32t}{t^2+4}, והשטח המקסימלי הוא 88, ב-t=2t=2. ג. הוכיחו או הפריכו: אפשר לבנות מלבן כזה ששטחו 99.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

S(t)≤8 לכל t>0S(t) \le 8 \ \text{לכל} \ t>0

88 הוא הערך הגדול ביותר של SS

32tt2+4=9 ⇒ 9t2−32t+36=0 Δ=1024−1296<0\begin{aligned}\frac{32t}{t^2+4} &= 9 \ \Rightarrow \ 9t^2-32t+36 \\ &= 0 \\ \ \Delta &= 1024-1296<0\end{aligned}

בדיקה אלגברית: אין פתרון

לא נכון: השטח לא עולה על 88. המלכודת: לחשוב שאם tt גדל מספיק גם השטח גדל. כש-tt גדל, הגובה 16t2+4\frac{16}{t^2+4} קטן מהר יותר.

Check the answer on elev

Exercise 33

מלבן מתחת לגרף
ABCD-5-4-3-2-10123451234xy
המלבן מסורטט עבור ערך אחד של t.

נתונה הפונקציה f(x)=16x2+4f(x)=\dfrac{16}{x^2+4}. המלבן ABCDABCD בנוי כך: הקודקודים A(−t, 0)A(-t,\,0) ו-B(t, 0)B(t,\,0) על ציר ה-xx (t>0t>0), והקודקודים CC ו-DD על גרף הפונקציה, מעל BB ומעל AA. שטח המלבן S(t)=32tt2+4S(t)=\dfrac{32t}{t^2+4}, והשטח המקסימלי 88. ד. מצאו את שני הערכים של tt שבעבורם שטח המלבן הוא 6.46.4 (כתבו קודם את הקטן).

t=t= ____ או t=t= ____

Show the answer and the solution

Answer: t=t= 1 או t=t= 4

Worked solution:

32tt2+4=6.4 ⇒ 6.4t2−32t+25.6=0\begin{aligned}\frac{32t}{t^2+4} &= 6.4 \ \Rightarrow \ 6.4t^2-32t+25.6 \\ &= 0\end{aligned}

כופלים במכנה

t2−5t+4=0 ⇒ (t−1)(t−4)=0\begin{aligned}t^2-5t+4 &= 0 \ \Rightarrow \ (t-1)(t-4) \\ &= 0\end{aligned}

מחלקים ב-6.46.4

t=1 או t=4\begin{aligned}t &= 1 \ \text{או} \ t \\ &= 4\end{aligned}

שניהם חיוביים

t=1t=1 או t=4t=4: מלבן צר וגבוה, ומלבן רחב ונמוך. המלכודת: לחפש פתרון אחד בלבד. כל שטח בין 00 ל-88 מתקבל פעמיים: פעם לפני המקסימום ופעם אחריו.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade