סימולציית בגרות 5

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

סימולציית בגרות 5 — שאלון 35471 (4 יח״ל). שמונה שאלות בשלושה פרקים: פרק ראשון — סטטיסטיקה והסתברות (שאלות 1–3); פרק שני — גאומטריה (שאלות 4–5); פרק שלישי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (שאלות 6–8). עליכם לענות על 5 שאלות, לפחות אחת מכל פרק. כל שאלה 20 נקודות. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי (210 דקות). מותר להשתמש בנוסחאון, כולל טבלת ההתפלגות הנורמלית, ובמחשבון שאינו גרפי. כאן כתובות כל שמונה השאלות: בחרו חמש כמו בבחינה, או פתרו את כולן כתרגול.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. שלושה הרגלים שחוסכים נקודות: בהסתברות בלי החזרה — המכנה קטן בשלב השני; בגאומטריה — משפט לכל שורה; ובבעיית קיצון — בדקו את התחום לפני שמקבלים פתרון של S′=0S'=0.

Exercises

שאלה 1 — התפלגות נורמלית

Exercise 1

במרפאה בדקו את רמת ויטמין D בדם של המטופלים. הרמה מתפלגת נורמלית, והממוצע הוא 3030 יחידות. ל-10.56%10.56\% מהמטופלים רמה גבוהה מ-4040 יחידות. א. מצאו את סטיית התקן. נתון: Φ(1.25)=0.8944\Phi(1.25)=0.8944.

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

P(X>40)=0.1056 ⇒ P(X<40)=0.8944\begin{aligned}P(X>40) &= 0.1056 \ \Rightarrow \ P(X<40) \\ &= 0.8944\end{aligned}

הטבלה נותנת את השטח משמאל

Φ(z)=0.8944 ⇒ z=1.25\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.8944 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1.25\end{aligned}
1.25=40−30σ ⇒ σ=8\begin{aligned}1.25 &= \frac{40-30}{\sigma} \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 8\end{aligned}

ציון התקן: z=x−μσz=\frac{x-\mu}{\sigma}

σ=8\sigma=8. המלכודת: לחפש בטבלה את 0.10560.1056 — זה השטח מימין ל-4040. הטבלה נותנת תמיד את השטח משמאל, ולכן מחפשים 1−0.1056=0.89441-0.1056=0.8944.

Check the answer on elev

Exercise 2

במרפאה בדקו את רמת ויטמין D בדם של המטופלים. הרמה מתפלגת נורמלית, והממוצע הוא 3030 יחידות. סטיית התקן היא 88 יחידות. ב. בוחרים באקראי מטופל שהרמה שלו נמוכה מהממוצע. מה ההסתברות שהרמה שלו נמוכה מ-1818 יחידות? נתון: Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332. ענו באחוזים.

Show the answer and the solution

Answer: 13.36

Worked solution:

z=18−308=−1.5 ⇒ P(X<18)=1−0.9332=0.0668\begin{aligned}z &= \frac{18-30}{8} \\ &= -1.5 \ \Rightarrow \ P(X<18) \\ &= 1-0.9332 \\ &= 0.0668\end{aligned}

ציון התקן והסימטריה של העקומה

P(X<30)=0.5P(X<30)=0.5

חצי מהשטח משמאל לממוצע

P(X<18∣X<30)=0.06680.5=0.1336\begin{aligned}P(X<18 \mid X<30) &= \frac{0.0668}{0.5} \\ &= 0.1336\end{aligned}

הסתברות מותנית: מי שמתחת ל-1818 נמצא בוודאי גם מתחת ל-3030

13.36%13.36\%. המלכודת: לענות 6.68%6.68\% — זה אחוז מכל המטופלים. השאלה בוחרת רק מבין מי שמתחת לממוצע, ולכן מחלקים בחצי.

Check the answer on elev

Exercise 3

במרפאה בדקו את רמת ויטמין D בדם של המטופלים. הרמה מתפלגת נורמלית, והממוצע הוא 3030 יחידות. סטיית התקן היא 88 יחידות. המרפאה נותנת תוסף ל-20%20\% מהמטופלים, אלה שהרמה שלהם הנמוכה ביותר. ג. מתחת לאיזו רמה מקבלים תוסף? נתון: Φ(0.84)=0.7995\Phi(0.84)=0.7995. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 23.28

Worked solution:

Φ(z)=0.2 ⇒ Φ(−z)=0.8≈0.7995\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.2 \ \Rightarrow \ \Phi(-z) \\ &= 0.8 \approx 0.7995\end{aligned}

הערך הקרוב ביותר בטבלה: 0.840.84

z=−0.84z=-0.84

הסף מתחת לממוצע

x=30−0.84⋅8=23.28\begin{aligned}x &= 30-0.84 \cdot 8 \\ &= 23.28\end{aligned}

x=μ+zσx=\mu+z\sigma

הסף 23.2823.28 יחידות. המלכודת: 36.7236.72 — לקחת z=+0.84z=+0.84. 20%20\% התחתונים נמצאים משמאל לממוצע, ולכן zz שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 4

במרפאה בדקו את רמת ויטמין D בדם של המטופלים. הרמה מתפלגת נורמלית, והממוצע הוא 3030 יחידות. סטיית התקן היא 88 יחידות. במרפאה שנייה הרמה מתפלגת נורמלית עם ממוצע 2424 וסטיית תקן 66. לדנה, מהמרפאה הראשונה, רמה 4040; ליוסי, מהמרפאה השנייה, רמה 3333. ד. למי מהם רמה גבוהה יותר יחסית למרפאה שלו?

  1. ליוסי, כי ציון התקן שלו גבוה יותר
  2. לשניהם אותו מקום יחסי
  3. לדנה, כי 40>3340>33
  4. אי אפשר להשוות בין שתי מרפאות שונות
Show the answer and the solution

Answer: A ליוסי, כי ציון התקן שלו גבוה יותר

Worked solution:

zD=40−308=1.25\begin{aligned}z_D &= \frac{40-30}{8} \\ &= 1.25\end{aligned}

ציון התקן של דנה, במרפאה הראשונה

zY=33−246=1.5\begin{aligned}z_Y &= \frac{33-24}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

ציון התקן של יוסי, במרפאה השנייה

1.5>1.251.5>1.25

ציון תקן גבוה יותר — מקום יחסי גבוה יותר

הנכונה: יוסי. המלכודת: לבחור בדנה כי 40>3340>33. משווים בין שתי קבוצות שונות רק דרך ציוני התקן.

Check the answer on elev

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה ליניארית

Exercise 5

במפעל בדקו 2020 מכונות אריזה בגילים 22 עד 1010 שנים. xx — גיל המכונה (בשנים), yy — עלות התיקונים החודשית שלה (במאות ₪). נמצא: xˉ=6\bar{x}=6, Sx=2S_x=2, r=0.75r=0.75, וקו הרגרסיה של yy על xx הוא y=3x+10y=3x+10. א. מהו הממוצע yˉ\bar{y} של עלות התיקונים (במאות ₪)?

Show the answer and the solution

Answer: 28

Worked solution:

(xˉ, yˉ)=(6, yˉ)(\bar{x},\,\bar{y})=(6,\,\bar{y})

קו הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים

yˉ=3⋅6+10=28\begin{aligned}\bar{y} &= 3 \cdot 6+10 \\ &= 28\end{aligned}

מציבים xˉ=6\bar{x}=6

yˉ=28\bar{y}=28, כלומר 28002800 ₪. המלכודת: לחפש נוסחה עם rr — הממוצע נקבע מהקו לבד, בהצבת xˉ\bar{x}.

Check the answer on elev

Exercise 6

במפעל בדקו 2020 מכונות אריזה בגילים 22 עד 1010 שנים. xx — גיל המכונה (בשנים), yy — עלות התיקונים החודשית שלה (במאות ₪). נמצא: xˉ=6\bar{x}=6, Sx=2S_x=2, r=0.75r=0.75, וקו הרגרסיה של yy על xx הוא y=3x+10y=3x+10. נמצא yˉ=28\bar{y}=28. ב. מהי סטיית התקן SyS_y של עלות התיקונים (במאות ₪)?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

m=r⋅SySxm=r \cdot \frac{S_y}{S_x}

שיפוע קו הרגרסיה, מהנוסחאון

3=0.75⋅Sy23=0.75 \cdot \frac{S_y}{2}

מציבים m=3m=3, r=0.75r=0.75, Sx=2S_x=2

Sy=3⋅20.75=8\begin{aligned}S_y &= \frac{3 \cdot 2}{0.75} \\ &= 8\end{aligned}

Sy=8S_y=8. המלכודת: Sy=0.5S_y=0.5 — להפוך את השבר ולכתוב m=r⋅SxSym=r \cdot \frac{S_x}{S_y}. בשיפוע, סטיית התקן של yy במונה.

Check the answer on elev

Exercise 7

במפעל בדקו 2020 מכונות אריזה בגילים 22 עד 1010 שנים. xx — גיל המכונה (בשנים), yy — עלות התיקונים החודשית שלה (במאות ₪). נמצא: xˉ=6\bar{x}=6, Sx=2S_x=2, r=0.75r=0.75, וקו הרגרסיה של yy על xx הוא y=3x+10y=3x+10. ג. העריכו את עלות התיקונים החודשית (במאות ₪) של מכונה בת 99 שנים.

Show the answer and the solution

Answer: 37

Worked solution:

y=3⋅9+10=37\begin{aligned}y &= 3 \cdot 9+10 \\ &= 37\end{aligned}

מציבים בקו הרגרסיה

2≤9≤102 \le 9 \le 10

הגיל בתוך תחום הנתונים — הניבוי סביר

בערך 3737 מאות ₪, כלומר 37003700 ₪. זו הערכה, לא ודאות: r=0.75r=0.75, ולכן הנקודות מפוזרות סביב הקו. המלכודת: לענות 37003700 — השאלה מבקשת במאות ₪.

Check the answer on elev

Exercise 8

במפעל בדקו 2020 מכונות אריזה בגילים 22 עד 1010 שנים. xx — גיל המכונה (בשנים), yy — עלות התיקונים החודשית שלה (במאות ₪). נמצא: xˉ=6\bar{x}=6, Sx=2S_x=2, r=0.75r=0.75, וקו הרגרסיה של yy על xx הוא y=3x+10y=3x+10. עלות כל התיקונים עלתה ב-20%20\%: כל ערך של yy הוכפל ב-1.21.2. ד. מה נכון לגבי הנתונים החדשים?

  1. y=3.6x+12y=3.6x+12, ו-r=0.9r=0.9
  2. y=3.6x+10y=3.6x+10, ו-r=0.9r=0.9
  3. y=3x+12y=3x+12, ו-r=0.75r=0.75
  4. y=3.6x+12y=3.6x+12, ו-r=0.75r=0.75
Show the answer and the solution

Answer: D y=3.6x+12y=3.6x+12, ו-r=0.75r=0.75

Worked solution:

y↦1.2y: yˉ↦33.6, Sy↦9.6y \mapsto 1.2y: \ \bar{y} \mapsto 33.6, \ S_y \mapsto 9.6

הממוצע וסטיית התקן מוכפלים ב-1.21.2

r=0.75r=0.75

כפל בקבוע חיובי לא משנה את המתאם

m=0.75⋅9.62=3.6y=3.6x+12\begin{aligned}m &= 0.75 \cdot \frac{9.6}{2} \\ &= 3.6 \\ \quad y &= 3.6x+12\end{aligned}

כל הקו מוכפל ב-1.21.2

הנכונה: y=3.6x+12y=3.6x+12, ו-r=0.75r=0.75. המלכודת: לחשוב ש-rr גדל כי כל הערכים גדלו. rr מודד כמה הנקודות קרובות לקו ישר — וכפל בקבוע חיובי לא משנה את זה.

Check the answer on elev

שאלה 3 — הסתברות — נעלם בבעיה

Exercise 9

בצידנית 33 בקבוקי מיץ לימון ו-xx בקבוקי מיץ תפוזים, ו-x>3x>3. מוציאים באקראי שני בקבוקים, זה אחר זה, בלי החזרה. ההסתברות ששני הבקבוקים מסוגים שונים היא 12\frac{1}{2}. א. מצאו את xx.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

P=3x+3⋅xx+2+xx+3⋅3x+2=6x(x+3)(x+2)\begin{aligned}P &= \frac{3}{x+3} \cdot \frac{x}{x+2}+\frac{x}{x+3} \cdot \frac{3}{x+2} \\ &= \frac{6x}{(x+3)(x+2)}\end{aligned}

שני סדרים: לימון ואז תפוזים, או תפוזים ואז לימון

6x(x+3)(x+2)=12 ⇒ x2−7x+6=0\begin{aligned}\frac{6x}{(x+3)(x+2)} &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ x^2-7x+6 \\ &= 0\end{aligned}

כופלים במכנים

(x−1)(x−6)=0 ⇒ x=6\begin{aligned}(x-1)(x-6) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

הפתרון x=1x=1 נפסל, כי x>3x>3

x=6x=6. המלכודת: לכתוב רק סדר אחד, 3x(x+3)(x+2)\frac{3x}{(x+3)(x+2)} — אז יוצאת משוואה אחרת. גם לא לשכוח לפסול את x=1x=1 לפי התנאי.

Check the answer on elev

Exercise 10

בצידנית 33 בקבוקי מיץ לימון ו-xx בקבוקי מיץ תפוזים, ו-x>3x>3. מוציאים באקראי שני בקבוקים, זה אחר זה, בלי החזרה. נמצא x=6x=6: בצידנית 99 בקבוקים. ב. מה ההסתברות ששני הבקבוקים שהוצאו הם מיץ תפוזים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.42

Worked solution:

69⋅58=3072=512≈0.42\begin{aligned}\frac{6}{9} \cdot \frac{5}{8} &= \frac{30}{72} \\ &= \frac{5}{12} \approx 0.42\end{aligned}

בלי החזרה: בשלב השני נשארו 88 בקבוקים, 55 מהם תפוזים

512≈0.42\frac{5}{12} \approx 0.42. המלכודת: (69)2≈0.44\left(\frac{6}{9}\right)^2 \approx 0.44 — חישוב עם החזרה.

Check the answer on elev

Exercise 11

בצידנית 33 בקבוקי מיץ לימון ו-xx בקבוקי מיץ תפוזים, ו-x>3x>3. מוציאים באקראי שני בקבוקים, זה אחר זה, בלי החזרה. נמצא x=6x=6: בצידנית 99 בקבוקים. ג. הבקבוק השני שהוצא הוא מיץ תפוזים. מה ההסתברות שהבקבוק הראשון היה מיץ לימון? ענו בשבר עשרוני.

Show the answer and the solution

Answer: 0.375

Worked solution:

P(L1∩T2)=39⋅68=14\begin{aligned}P(L_1 \cap T_2) &= \frac{3}{9} \cdot \frac{6}{8} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

L1L_1 — הראשון לימון, T1T_1 — הראשון תפוזים, T2T_2 — השני תפוזים

P(T1∩T2)=69⋅58=512\begin{aligned}P(T_1 \cap T_2) &= \frac{6}{9} \cdot \frac{5}{8} \\ &= \frac{5}{12}\end{aligned}
P(T2)=14+512=23\begin{aligned}P(T_2) &= \frac{1}{4}+\frac{5}{12} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

שני הענפים שבהם השני תפוזים

P(L1∣T2)=1/42/3=38=0.375\begin{aligned}P(L_1 \mid T_2) &= \frac{1/4}{2/3} \\ &= \frac{3}{8} \\ &= 0.375\end{aligned}

הסתברות מותנית

0.3750.375. המלכודת: לענות 39\frac{3}{9} — להתעלם מהמידע על הבקבוק השני. וגם 14\frac{1}{4} היא החיתוך, עוד לפני החלוקה בהסתברות התנאי.

Check the answer on elev

Exercise 12

בצידנית 33 בקבוקי מיץ לימון ו-xx בקבוקי מיץ תפוזים, ו-x>3x>3. מוציאים באקראי שני בקבוקים, זה אחר זה, בלי החזרה. נמצא x=6x=6. ד. הוכיחו או הפריכו: המאורע «הבקבוק הראשון לימון» והמאורע «הבקבוק השני תפוזים» הם מאורעות בלתי תלויים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

P(L1)=39=13P(T2)=23\begin{aligned}P(L_1) &= \frac{3}{9} \\ &= \frac{1}{3} \\ \quad P(T_2) &= \frac{2}{3}\end{aligned}

L1L_1 — הראשון לימון, T2T_2 — השני תפוזים

13⋅23=29≠14=P(L1∩T2)\begin{aligned}\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} &= \frac{2}{9} \neq \frac{1}{4} \\ &= P(L_1 \cap T_2)\end{aligned}

אי-תלות: המכפלה שווה לחיתוך — כאן היא לא

לא נכון: המאורעות תלויים. בלי החזרה, מה שיצא ראשון משנה את מה שנשאר בצידנית. המלכודת: לחשוב ש-P(T2)=23P(T_2)=\frac{2}{3}, כמו בראשון, מוכיח אי-תלות.

Check the answer on elev

שאלה 4 — משולש במערכת צירים

Exercise 13

השרטוט להמחשה בלבד.

נתון המשולש ABCABC: A(2, 8)A(2,\,8), B(−2, 0)B(-2,\,0), C(10, 4)C(10,\,4). הנקודה DD היא אמצע הצלע ABAB, והנקודה EE היא אמצע הצלע ACAC. א. מצאו את שיעורי הנקודות DD ו-EE.

D(D( ____ ,, ____ )) E(E( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: D(D( 0 ,, 4 )) E(E( 6 ,, 6 ))

Worked solution:

D=(2−22, 8+02)=(0, 4)\begin{aligned}D &= \left(\frac{2-2}{2},\ \frac{8+0}{2}\right) \\ &= (0,\,4)\end{aligned}

נוסחת אמצע קטע

E=(2+102, 8+42)=(6, 6)\begin{aligned}E &= \left(\frac{2+10}{2},\ \frac{8+4}{2}\right) \\ &= (6,\,6)\end{aligned}

D(0, 4)D(0,\,4), E(6, 6)E(6,\,6). המלכודת: לחסר במקום לחבר — אמצע קטע הוא ממוצע השיעורים.

Check the answer on elev

Exercise 14

השרטוט להמחשה בלבד.

נתון המשולש ABCABC: A(2, 8)A(2,\,8), B(−2, 0)B(-2,\,0), C(10, 4)C(10,\,4). הנקודה DD היא אמצע הצלע ABAB, והנקודה EE היא אמצע הצלע ACAC. נמצא D(0, 4)D(0,\,4) ו-E(6, 6)E(6,\,6). ב. הוכיחו בעזרת שיפועים: DE∥BCDE \parallel BC.

  • A(2, 8)A(2,\,8), B(−2, 0)B(-2,\,0), C(10, 4)C(10,\,4)
  • D(0, 4)D(0,\,4) אמצע ABAB, E(6, 6)E(6,\,6) אמצע ACAC

DE∥BCDE \parallel BC

Show the answer and the solution
  1. mDE=6−46−0=13m_{DE}=\frac{6-4}{6-0}=\frac{1}{3} — חישוב שיפוע: m=y2−y1x2−x1m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
  2. mBC=4−010+2=13m_{BC}=\frac{4-0}{10+2}=\frac{1}{3} — חישוב שיפוע: m=y2−y1x2−x1m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
  3. DE∥BCDE \parallel BC — ישרים שיש להם אותו שיפוע מקבילים

Worked solution:

mDE=13mBC=13\begin{aligned}m_{DE} &= \frac{1}{3} \\ \quad m_{BC} &= \frac{1}{3}\end{aligned}

חישוב שיפוע

DE∥BCDE \parallel BC

ישרים שיש להם אותו שיפוע מקבילים

שני השיפועים 13\frac{1}{3}, ולכן הקטעים מקבילים — כמו שקובע משפט קטע האמצעים במשולש. המלכודת: לבדוק רק ש-DE=12BCDE=\frac{1}{2}BC; אורכים שווים לא מוכיחים הקבלה.

Check the answer on elev

Exercise 15

השרטוט להמחשה בלבד.

נתון המשולש ABCABC: A(2, 8)A(2,\,8), B(−2, 0)B(-2,\,0), C(10, 4)C(10,\,4). הנקודה DD היא אמצע הצלע ABAB, והנקודה EE היא אמצע הצלע ACAC. ג. הוכיחו או הפריכו: ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

mAB=8−02+2=2mAC=4−810−2=−12\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{8-0}{2+2} \\ &= 2 \\ \quad m_{AC} &= \frac{4-8}{10-2} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

חישוב שיפוע

2⋅(−12)=−12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1

מכפלת שיפועים −1-1: הישרים מאונכים

נכון: AB⊥ACAB \perp AC. המלכודת: לשפוט לפי השרטוט, או לבדוק שהשיפועים הפוכים בלבד (22 ו-12\frac{1}{2}). צריך גם סימן הפוך: המכפלה −1-1.

Check the answer on elev

Exercise 16

השרטוט להמחשה בלבד.

נתון המשולש ABCABC: A(2, 8)A(2,\,8), B(−2, 0)B(-2,\,0), C(10, 4)C(10,\,4). הנקודה DD היא אמצע הצלע ABAB, והנקודה EE היא אמצע הצלע ACAC. נמצא ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ. ד. חשבו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABCABC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 6.32

Worked solution:

BC=122+42=160=410\begin{aligned}BC &= \sqrt{12^2+4^2} \\ &= \sqrt{160} \\ &= 4\sqrt{10}\end{aligned}

נוסחת המרחק

BCsin⁡90∘=2R\frac{BC}{\sin 90^\circ}=2R

משפט הסינוסים; וגם: זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר

R=210≈6.32R=2\sqrt{10} \approx 6.32

R≈6.32R \approx 6.32, ומרכז המעגל הוא אמצע BCBC, הנקודה (4, 2)(4,\,2). המלכודת: לענות 12.6512.65 — זה BCBC, הקוטר, ולא הרדיוס.

Check the answer on elev

שאלה 5 — מעגל, מיתר ומשפט הסינוסים

Exercise 17

השרטוט להמחשה בלבד.

נתון המעגל x2+y2+4x−2y−20=0x^2+y^2+4x-2y-20=0, שמרכזו MM. א. מהם מרכז המעגל ורדיוסו?

  1. M(−2, 1)M(-2,\,1), R=20R=\sqrt{20}
  2. M(−2, 1)M(-2,\,1), R=5R=5
  3. M(2, −1)M(2,\,-1), R=5R=5
  4. M(−4, 2)M(-4,\,2), R=5R=5
Show the answer and the solution

Answer: B M(−2, 1)M(-2,\,1), R=5R=5

Worked solution:

(x2+4x+4)+(y2−2y+1)=20+4+1(x^2+4x+4)+(y^2-2y+1)=20+4+1

השלמה לריבוע בכל משתנה

(x+2)2+(y−1)2=25 ⇒ M(−2, 1) R=5\begin{aligned}(x+2)^2+(y-1)^2 &= 25 \ \Rightarrow \ M(-2,\,1) \\ \ R &= 5\end{aligned}

הנכונה: M(−2, 1)M(-2,\,1), R=5R=5. המלכודות: R=20R=\sqrt{20} — לשכוח את 4+14+1 שנוספו בהשלמה לריבוע; M(2, −1)M(2,\,-1) — סימנים הפוכים.

Check the answer on elev

Exercise 18

השרטוט להמחשה בלבד.

נתון המעגל x2+y2+4x−2y−20=0x^2+y^2+4x-2y-20=0, שמרכזו MM. המרכז M(−2, 1)M(-2,\,1) והרדיוס 55. הישר y=x+4y=x+4 חותך את המעגל בנקודות AA ו-BB (xA>xBx_A>x_B). ב. מצאו את שיעורי AA ו-BB.

A(A( ____ ,, ____ )) B(B( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: A(A( 1 ,, 5 )) B(B( -6 ,, -2 ))

Worked solution:

x2+(x+4)2+4x−2(x+4)−20=0x^2+(x+4)^2+4x-2(x+4)-20=0

מציבים y=x+4y=x+4 במשוואת המעגל

2x2+10x−12=0 ⇒ x2+5x−6=0\begin{aligned}2x^2+10x-12 &= 0 \ \Rightarrow \ x^2+5x-6 \\ &= 0\end{aligned}
(x−1)(x+6)=0 ⇒ x=1 או x=−6\begin{aligned}(x-1)(x+6) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= -6\end{aligned}
A(1, 5),B(−6, −2)A(1,\,5), \quad B(-6,\,-2)

שיעורי yy מהישר

A(1, 5)A(1,\,5), B(−6, −2)B(-6,\,-2). המלכודת: למצוא את שיעורי ה-xx ולעצור — את yy מחשבים מהישר, שהוא פשוט יותר מהמעגל.

Check the answer on elev

Exercise 19

השרטוט להמחשה בלבד.

נתון המעגל x2+y2+4x−2y−20=0x^2+y^2+4x-2y-20=0, שמרכזו MM. רדיוס המעגל 55, והמיתר ABAB מחבר את A(1, 5)A(1,\,5) ו-B(−6, −2)B(-6,\,-2). הנקודה C(2, −2)C(2,\,-2) נמצאת על המעגל. ג. חשבו את sin⁡∠ACB\sin\angle ACB. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.99

Worked solution:

AB=72+72=72\begin{aligned}AB &= \sqrt{7^2+7^2} \\ &= 7\sqrt{2}\end{aligned}

נוסחת המרחק

ABsin⁡∠ACB=2R=10\begin{aligned}\frac{AB}{\sin\angle ACB} &= 2R \\ &= 10\end{aligned}

משפט הסינוסים במשולש ABCABC, החסום במעגל

sin⁡∠ACB=7210≈0.99\sin\angle ACB=\frac{7\sqrt{2}}{10} \approx 0.99

sin⁡∠ACB≈0.99\sin\angle ACB \approx 0.99 (הזווית ≈81.9∘\approx 81.9^\circ). המלכודת: לשכוח את ה-22 ב-2R2R ולקבל 1.981.98 — סינוס אינו גדול מ-11, וזה סימן לטעות.

Check the answer on elev

Exercise 20

השרטוט להמחשה בלבד.

נתון המעגל x2+y2+4x−2y−20=0x^2+y^2+4x-2y-20=0, שמרכזו MM. המרכז M(−2, 1)M(-2,\,1), והמיתר ABAB מחבר את A(1, 5)A(1,\,5) ו-B(−6, −2)B(-6,\,-2), על הישר y=x+4y=x+4. ד. חשבו את שטח המשולש AMBAMB.

Show the answer and the solution

Answer: 3.5

Worked solution:

d=∣−2−1+4∣12+12=12\begin{aligned}d &= \frac{|-2-1+4|}{\sqrt{1^2+1^2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned}

המרחק מ-MM לישר x−y+4=0x-y+4=0: זה הגובה לצלע ABAB

S=12⋅72⋅12=3.5\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot 7\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &= 3.5\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה

cos⁡∠AMB=3⋅(−4)+4⋅(−3)25=−2425 sin⁡∠AMB=725\begin{aligned}\cos\angle AMB &= \frac{3 \cdot (-4)+4 \cdot (-3)}{25} \\ &= -\frac{24}{25} \\ \ \sin\angle AMB &= \frac{7}{25}\end{aligned}

בדיקה: S=12⋅5⋅5⋅725=3.5S=\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{7}{25}=3.5

השטח 3.53.5. המשולש צר: הזווית AMBAMB כמעט שטוחה, והמיתר עובר קרוב למרכז. המלכודת: לקחת את R=5R=5 כגובה — הגובה הוא המרחק מהמרכז אל המיתר, לא הרדיוס.

Check the answer on elev

שאלה 6 — חקירת פונקציה רציונלית

Exercise 21

נתונה הפונקציה f(x)=x2x−kf(x)=\dfrac{x^2}{x-k}, ו-k>0k>0 פרמטר. הנגזרת היא f′(x)=x2−2kx(x−k)2f'(x)=\dfrac{x^2-2kx}{(x-k)^2}. הישר y=16y=16 משיק לגרף הפונקציה בנקודת המינימום שלה. א. מצאו את kk.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x2−2kx=0 ⇒ x=0 או x=2k\begin{aligned}x^2-2kx &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 2k\end{aligned}

הנגזרת מתאפסת

0<x<2k, x≠k:f′<0;x>2k:f′>00<x<2k, \ x \neq k: f'<0; \quad x>2k: f'>0

לכן ב-x=2kx=2k מינימום

f(2k)=4k2k=4k=16 ⇒ k=4\begin{aligned}f(2k) &= \frac{4k^2}{k} \\ &= 4k \\ &= 16 \ \Rightarrow \ k \\ &= 4\end{aligned}

גובה המינימום שווה לגובה המשיק

k=4k=4. המלכודת: להשוות את f(0)f(0) ל-1616 — ב-x=0x=0 יש מקסימום, וגובהו 00 לכל kk.

Check the answer on elev

Exercise 22

נתונה הפונקציה f(x)=x2x−4f(x)=\dfrac{x^2}{x-4}. ב. מהן האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים?

  1. x=−4x=-4, ואין אסימפטוטה אופקית
  2. x=4x=4, ואין אסימפטוטה אופקית
  3. x=4x=4 ו-y=1y=1
  4. x=4x=4 ו-y=0y=0
Show the answer and the solution

Answer: B x=4x=4, ואין אסימפטוטה אופקית

Worked solution:

x−4=0 ⇒ x=4\begin{aligned}x-4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

המכנה מתאפס והמונה לא: אסימפטוטה אנכית

x2x−4≈x כש-x→∞\frac{x^2}{x-4} \approx x \ \text{כש-} x \to \infty

מעלת המונה גדולה ממעלת המכנה: אין אסימפטוטה אופקית

הנכונה: x=4x=4, ואין אסימפטוטה אופקית. המלכודת: y=0y=0 «כי זה שבר». כשמעלת המונה גדולה ממעלת המכנה, הפונקציה אינה מתקרבת לקו אופקי.

Check the answer on elev

Exercise 23

נתונה הפונקציה f(x)=x2x−4f(x)=\dfrac{x^2}{x-4}. הנגזרת: f′(x)=x(x−8)(x−4)2f'(x)=\dfrac{x(x-8)}{(x-4)^2}. ג. מהן נקודות הקיצון של הפונקציה, ומה סוגן?

  1. מינימום (0, 0)(0,\,0), מקסימום (8, 16)(8,\,16)
  2. מקסימום (0, 0)(0,\,0), מינימום (8, 16)(8,\,16)
  3. מקסימום (4, 0)(4,\,0), מינימום (8, 16)(8,\,16)
  4. מינימום (8, 16)(8,\,16) בלבד
Show the answer and the solution

Answer: B מקסימום (0, 0)(0,\,0), מינימום (8, 16)(8,\,16)

Worked solution:

f′(x)=0 ⇒ x=0 או x=8\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 8\end{aligned}
x<0:f′>0;0<x<8, x≠4:f′<0;x>8:f′>0x<0: f'>0; \quad 0<x<8, \ x \neq 4: f'<0; \quad x>8: f'>0

טבלת סימנים

f(0)=0f(8)=644=16\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(8) &= \frac{64}{4} \\ &= 16\end{aligned}

הנכונה: מקסימום (0, 0)(0,\,0), מינימום (8, 16)(8,\,16). המלכודת: להחליף ביניהם כי 16>016>0. המקסימום על הענף השמאלי והמינימום על הענף הימני, משני צדי האסימפטוטה.

Check the answer on elev

Exercise 24

נתונה הפונקציה f(x)=x2x−4f(x)=\dfrac{x^2}{x-4}. האסימפטוטה האנכית x=4x=4; מקסימום (0, 0)(0,\,0), מינימום (8, 16)(8,\,16); ב-x<4x<4 הפונקציה אינה חיובית. נתונה הפונקציה g(x)=∣f(x)∣g(x)=|f(x)|. ד. כמה פתרונות יש למשוואה g(x)=20g(x)=20?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x<4: g=−f מינימום (0, 0)\begin{aligned}x<4: \ g &= -f \\ \ \text{מינימום} \ (0,\,0)\end{aligned}

הענף השמאלי מתהפך מעל הציר

x→−∞ ו- x→4−: g→∞x \to -\infty \ \text{ו-} \ x \to 4^-: \ g \to \infty

לכן y=20y=20 חותך את הענף השמאלי פעמיים

x>4: g=f≥16x>4: \ g=f \ge 16

גם הענף הימני יורד אל 1616 ועולה שוב: שני פתרונות

2+2=42+2=4

44 פתרונות. המלכודת: לספור רק את הענף הימני, 22 פתרונות. ב-∣f∣|f| הענף השלילי מתהפך למעלה, והוא חותך את y=20y=20 פעמיים גם הוא.

Check the answer on elev

Exercise 25

נתונה הפונקציה f(x)=x2x−4f(x)=\dfrac{x^2}{x-4}. ב-x<4x<4 מתקיים f(x)≤0f(x) \le 0, ו-f(x)=0f(x)=0 רק ב-x=0x=0. הפונקציה gg מקיימת g′(x)=f(x)g'(x)=f(x). ה. הוכיחו או הפריכו: ל-gg יש נקודת קיצון ב-x=0x=0.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

g′(0)=f(0)=0\begin{aligned}g'(0) &= f(0) \\ &= 0\end{aligned}

הנגזרת של gg מתאפסת ב-00

x<0:g′<0,0<x<4:g′<0x<0: g'<0, \quad 0<x<4: g'<0

הנגזרת לא מחליפה סימן

g↘g \searrow

gg יורדת משני הצדדים של 00: אין קיצון

לא נכון: g′g' מתאפסת ב-x=0x=0 אבל לא מחליפה סימן, ולכן אין שם קיצון. המלכודת: «g′=0g'=0 ולכן קיצון» — אפס של הנגזרת הוא רק מועמד; את הסוג קובעת טבלת הסימנים.

Check the answer on elev

שאלה 7 — פונקציית שורש

Exercise 26

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)xf(x)=(x-a)\sqrt{x}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר דרך הנקודה (9, −9)(9,\,-9). א. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

(9−a)9=−9(9-a)\sqrt{9}=-9

מציבים את הנקודה

3(9−a)=−9 ⇒ 9−a=−3 ⇒ a=12\begin{aligned}3(9-a) &= -9 \ \Rightarrow \ 9-a \\ &= -3 \ \Rightarrow \ a \\ &= 12\end{aligned}

a=12a=12. המלכודת: a=6a=6 — לשכוח את הסימן ולפתור 3(9−a)=93(9-a)=9.

Check the answer on elev

Exercise 27

נתונה הפונקציה f(x)=(x−12)xf(x)=(x-12)\sqrt{x}, המוגדרת ב-x≥0x \ge 0. הנגזרת: f′(x)=3x−122xf'(x)=\dfrac{3x-12}{2\sqrt{x}} בתחום x>0x>0. ב. מצאו את נקודת המינימום של הפונקציה.

(( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: (( 4 ,, -16 ))

Worked solution:

3x−12=0 ⇒ x=4\begin{aligned}3x-12 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

המונה מתאפס

0<x<4:f′<0,x>4:f′>00<x<4: f'<0, \quad x>4: f'>0

ירידה ואז עלייה — מינימום

f(4)=(4−12)⋅2=−16\begin{aligned}f(4) &= (4-12) \cdot 2 \\ &= -16\end{aligned}

המינימום (4, −16)(4,\,-16). הנקודה (0, 0)(0,\,0) היא מקסימום בקצה התחום. המלכודת: f(4)=−8⋅4f(4)=-8 \cdot 4 — לשכוח את השורש: 4=2\sqrt{4}=2.

Check the answer on elev

Exercise 28

שלושה גרפים
0246810121416-6-4-2246xy
  • גרף I
  • גרף II
  • גרף III

נתונה הפונקציה f(x)=(x−12)xf(x)=(x-12)\sqrt{x}, המוגדרת ב-x≥0x \ge 0. נקודת המינימום (4, −16)(4,\,-16), והפונקציה חותכת את ציר ה-xx ב-x=0x=0 וב-x=12x=12. ג. בשרטוט שלושה גרפים. איזה מהם הוא הגרף של f′f'?

  1. אף אחד מהם
  2. גרף III
  3. גרף I
  4. גרף II
Show the answer and the solution

Answer: B גרף III

Worked solution:

f′(4)=0f'(4)=0

הנגזרת מתאפסת בנקודת הקיצון, לא באפס של ff

0<x<4:f′<00<x<4: f'<0

הפונקציה יורדת לפני המינימום

x→0+: f′→−∞x \to 0^+: \ f' \to -\infty

המכנה 2x2\sqrt{x} שואף ל-00

הנכונה: גרף III. גרף II מתאפס ב-x=4x=4 אבל חיובי לפני כן — זה −f′-f'. גרף I מתאפס ב-x=12x=12, האפס של ff עצמה. המלכודת: לחפש בגרף הנגזרת את האפסים של ff; הנגזרת מתאפסת בקיצון.

Check the answer on elev

Exercise 29

נתונה הפונקציה f(x)=(x−12)xf(x)=(x-12)\sqrt{x}, המוגדרת ב-x≥0x \ge 0. נקודת המינימום (4, −16)(4,\,-16), ו-f′>0f'>0 בכל התחום x>4x>4. ד. חשבו את השטח הכלוא בין גרף f′f', ציר ה-xx והישרים x=4x=4 ו-x=16x=16.

Show the answer and the solution

Answer: 32

Worked solution:

f′>0 ב- 4<x<16f'>0 \ \text{ב-} \ 4<x<16

השטח כולו מעל הציר

∫416f′(x) dx=f(16)−f(4)\int_4^{16} f'(x)\,dx=f(16)-f(4)

ff היא פונקציה קדומה של f′f'

f(16)=4⋅4=1616−(−16)=32\begin{aligned}f(16) &= 4 \cdot 4 \\ &= 16 \\ \quad 16-(-16) &= 32\end{aligned}

השטח 3232. המלכודת: 16−16=016-16=0 — לשכוח ש-f(4)f(4) שלילי. חיסור של מספר שלילי הוא חיבור.

Check the answer on elev

Exercise 30

נתונה הפונקציה f(x)=(x−12)xf(x)=(x-12)\sqrt{x}, המוגדרת ב-x≥0x \ge 0. תחום ההגדרה x≥0x \ge 0, ונקודת המינימום (4, −16)(4,\,-16). נתונה הפונקציה g(x)=f(x−2)g(x)=f(x-2). ה. מצאו את תחום ההגדרה של gg ואת נקודת המינימום שלה.

תחום: x≥x \ge ____, מינימום: (( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: תחום: x≥x \ge 2, מינימום: (( 6 ,, -16 ))

Worked solution:

x−2≥0 ⇒ x≥2x-2 \ge 0 \ \Rightarrow \ x \ge 2

מה שבתוך ff חייב להיות בתחום של ff

(4, −16)↦(6, −16)(4,\,-16) \mapsto (6,\,-16)

f(x−2)f(x-2): הגרף זז 22 יחידות ימינה, הגובה לא משתנה

התחום x≥2x \ge 2, והמינימום (6, −16)(6,\,-16). המלכודת: להזיז שמאלה — ב-f(x−c)f(x-c) עם c>0c>0 הגרף זז ימינה.

Check the answer on elev

שאלה 8 — בעיית ערך קיצון

Exercise 31

הישר מסורטט עבור ערך אחד של t.

ישר עובר דרך הנקודה P(2, 4)P(2,\,4). הוא חותך את החלק החיובי של ציר ה-xx בנקודה A(t, 0)A(t,\,0), כאשר t>2t>2, ואת החלק החיובי של ציר ה-yy בנקודה BB. OO היא ראשית הצירים. א. מהו שיעור ה-yy של הנקודה BB, כפונקציה של tt?

  1. 4t−2\dfrac{4}{t-2}
  2. 4tt+2\dfrac{4t}{t+2}
  3. 2tt−2\dfrac{2t}{t-2}
  4. 4tt−2\dfrac{4t}{t-2}
Show the answer and the solution

Answer: D 4tt−2\dfrac{4t}{t-2}

Worked solution:

mAP=4−02−tm_{AP}=\frac{4-0}{2-t}

שיפוע הישר דרך AA ו-PP

y=42−t(x−t)y=\frac{4}{2-t}(x-t)

משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע

x=0: y=−4t2−t=4tt−2\begin{aligned}x &= 0: \ y \\ &= \frac{-4t}{2-t} \\ &= \frac{4t}{t-2}\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה-yy

הנכונה: 4tt−2\frac{4t}{t-2}. בדיקה: ב-t=3t=3 מקבלים 1212, כמו בשרטוט. המלכודת: 4tt+2\frac{4t}{t+2} — טעות סימן במכנה של השיפוע.

Check the answer on elev

Exercise 32

הישר מסורטט עבור ערך אחד של t.

ישר עובר דרך הנקודה P(2, 4)P(2,\,4). הוא חותך את החלק החיובי של ציר ה-xx בנקודה A(t, 0)A(t,\,0), כאשר t>2t>2, ואת החלק החיובי של ציר ה-yy בנקודה BB. OO היא ראשית הצירים. נמצא B(0, 4tt−2)B\left(0,\,\frac{4t}{t-2}\right). ב. מצאו את tt שבעבורו שטח המשולש AOBAOB מינימלי, ואת השטח המינימלי.

t=t= ____ Smin⁡=S_{\min}= ____

Show the answer and the solution

Answer: t=t= 4 Smin⁡=S_{\min}= 16

Worked solution:

S(t)=12⋅t⋅4tt−2=2t2t−2\begin{aligned}S(t) &= \frac{1}{2} \cdot t \cdot \frac{4t}{t-2} \\ &= \frac{2t^2}{t-2}\end{aligned}

משולש ישר-זווית: חצי מכפלת הניצבים OAOA ו-OBOB

S′(t)=4t(t−2)−2t2(t−2)2=2t(t−4)(t−2)2\begin{aligned}S'(t) &= \frac{4t(t-2)-2t^2}{(t-2)^2} \\ &= \frac{2t(t-4)}{(t-2)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

2<t<4:S′<0,t>4:S′>02<t<4: S'<0, \quad t>4: S'>0

ירידה ואז עלייה — מינימום

S(4)=322=16\begin{aligned}S(4) &= \frac{32}{2} \\ &= 16\end{aligned}

t=4t=4, והשטח המינימלי 1616. המלכודת: לפתור S′(t)=0S'(t)=0 ולקבל גם t=0t=0 — הוא מחוץ לתחום t>2t>2.

Check the answer on elev

Exercise 33

הישר מסורטט עבור ערך אחד של t.

ישר עובר דרך הנקודה P(2, 4)P(2,\,4). הוא חותך את החלק החיובי של ציר ה-xx בנקודה A(t, 0)A(t,\,0), כאשר t>2t>2, ואת החלק החיובי של ציר ה-yy בנקודה BB. OO היא ראשית הצירים. שטח המשולש S(t)=2t2t−2S(t)=\dfrac{2t^2}{t-2}, והשטח המינימלי 1616, ב-t=4t=4. ג. הוכיחו או הפריכו: יש ישר כזה שיוצר עם הצירים משולש ששטחו 1515.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

S(t)≥16 לכל t>2S(t) \ge 16 \ \text{לכל} \ t>2

1616 הוא הערך הקטן ביותר

2t2t−2=15 ⇒ 2t2−15t+30=0 Δ=225−240<0\begin{aligned}\frac{2t^2}{t-2} &= 15 \ \Rightarrow \ 2t^2-15t+30 \\ &= 0 \\ \ \Delta &= 225-240<0\end{aligned}

בדיקה אלגברית: אין פתרון

לא נכון: כל משולש כזה שטחו לפחות 1616. המלכודת: לחשוב שישר «תלול יותר» ייתן משולש קטן כרצוננו — אבל הישר חייב לעבור דרך P(2, 4)P(2,\,4).

Check the answer on elev

Exercise 34

הישר מסורטט עבור ערך אחד של t.

ישר עובר דרך הנקודה P(2, 4)P(2,\,4). הוא חותך את החלק החיובי של ציר ה-xx בנקודה A(t, 0)A(t,\,0), כאשר t>2t>2, ואת החלק החיובי של ציר ה-yy בנקודה BB. OO היא ראשית הצירים. השטח מינימלי כאשר t=4t=4. ד. מצאו את משוואת הישר ABAB במצב הזה.

y=y= ____ x+x+ ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y= -2 x+x+ 8

Worked solution:

A(4, 0)B(0, 162)=(0, 8)\begin{aligned}A(4,\,0) \\ \quad B\left(0,\,\frac{16}{2}\right) &= (0,\,8)\end{aligned}

מציבים t=4t=4

m=8−00−4=−2\begin{aligned}m &= \frac{8-0}{0-4} \\ &= -2\end{aligned}

חישוב שיפוע

y=−2x+8y=-2x+8

החיתוך עם ציר ה-yy הוא 88

−2⋅2+8=4 ✓-2 \cdot 2+8=4 \ \checkmark

בדיקה: הישר עובר דרך P(2, 4)P(2,\,4)

y=−2x+8y=-2x+8. ב-t=4t=4 הנקודה PP היא בדיוק אמצע הקטע ABAB. המלכודת: לכתוב y=−2x+4y=-2x+4 — לקחת את 44 של tt כחיתוך עם ציר ה-yy.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade