מבחן לדוגמא 4

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מבחן לדוגמא 4 — סוף המחצית. 3 שאלות עם סעיפים, 16 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. החומר: פונקציה קדומה ואינטגרל מסוים, שטחים עם פרמטר, משוואת המעגל ומשיק, ומתאם ורגרסיה ליניארית.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו. בשטח: קודם בודקים איפה הפונקציה מעל הציר ואיפה מתחתיו, ורק אחר כך מחשבים. ברגרסיה: הקו עובר תמיד דרך $(\bar{x}, \bar{y})$ , ובנוסחאון מחלקים במספר הנתונים.

Exercises

שאלה 1 — פונקציה קדומה ושטחים

Exercise 1

הנגזרת של הפונקציה $f$ היא $f$ , והגרף של $f$ עובר בנקודה $f$ . א. מצאו את $f(x)$ .

$f(x) =$ ____ $x^3 +$ ( ____ ) $x^2 +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $f(x) =$ 1 $x^3 +$ ( -3 ) $x^2 +$ 4

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= \int (3x^2 - 6x)\,dx \\ &= x^3 - 3x^2 + c\end{aligned}

פונקציה קדומה: מעלים את החזקה ומחלקים בחזקה החדשה

\begin{aligned}f(1) &= 1 - 3 + c \\ &= 2\end{aligned}

מציבים את הנקודה $(1, 2)$

c = 4

פותרים

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ . המלכודת: לשכוח את הקבוע $c$ — יש אינסוף פונקציות קדומות, והנקודה בוחרת אחת מהן.

Check the answer on elev

Exercise 2

הנגזרת של הפונקציה $f$ היא $f$ , והגרף של $f$ עובר בנקודה $f$ . נמצא ש- $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ . ב. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של $f$ עם ציר ה- $f$ . (רמז: $x$ היא אחת מהן.)

$x =$ ____ ו- $x =$ ____ (מהקטנה לגדולה)

Show the answer and the solution

Answer: $x =$ -1 ו- $x =$ 2 (מהקטנה לגדולה)

Worked solution:

\begin{aligned}f(-1) &= -1 - 3 + 4 \\ &= 0\end{aligned}

בדיקת הרמז

x^3 - 3x^2 + 4 = (x + 1)(x^2 - 4x + 4)

מוציאים את הגורם $(x + 1)$

\begin{aligned}(x + 1)(x - 2)^2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

הגורם השני ריבוע שלם

$x = -1$ ו- $x = 2$ . ב- $x = 2$ הגרף רק נוגע בציר (שורש כפול), ולכן בין $-1$ ל- $2$ הפונקציה אינה מחליפה סימן.

Check the answer on elev

Exercise 3

הנגזרת של הפונקציה $f$ היא $f$ , והגרף של $f$ עובר בנקודה $f$ . נמצא ש- $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ . הגרף חותך את ציר ה- $x$ ב- $x = -1$ ונוגע בו ב- $x = 2$ . ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ וציר ה- $f$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6.75

Worked solution:

-1 \le x \le 2:\ f(x) = (x+1)(x-2)^2 \ge 0

הפונקציה מעל הציר בכל התחום

\int_{-1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 4)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - x^3 + 4x\right]_{-1}^{2}

אינטגרל מסוים

\begin{aligned}(4 - 8 + 8) - \left(\frac{1}{4} + 1 - 4\right) &= 4 + 2.75 \\ &= 6.75\end{aligned}

מציבים את הגבולות

השטח $6.75$ . המלכודת: טעות סימן בהצבת $x = -1$ : $(-1)^3 = -1$ , ולכן $-x^3$ נותן $+1$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

(המשך לשאלה 1.) נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{a}{(x+1)^2}$ , ו- $a$ פרמטר חיובי. השטח המוגבל על ידי הגרף של $a$ , הצירים והישר $g$ שווה ל- $6$ . ד. מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

\int \frac{a}{(x+1)^2}\,dx = -\frac{a}{x+1} + c

אינטגרל של $\frac{a}{(mx+b)^2}$ מהנוסחאון

\begin{aligned}\left[-\frac{a}{x+1}\right]_0^3 &= -\frac{a}{4} + a \\ &= \frac{3a}{4}\end{aligned}

גבולות: ציר ה- $y$ ( $y$ ) והישר $x = 3$

\begin{aligned}\frac{3a}{4} &= 6 \Rightarrow a \\ &= 8\end{aligned}

משווים לשטח הנתון

$a = 8$ . המלכודת: לכתוב פונקציה קדומה $\frac{a}{x+1}$ בלי המינוס — אז השטח יוצא שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 5

(המשך לשאלה 1.) נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{a}{(x+1)^2}$ , ו- $a$ פרמטר חיובי. השטח המוגבל על ידי הגרף של $a$ , הצירים והישר $g$ שווה ל- $6$ . נמצא ש- $a = 8$ , כלומר $g(x) = \frac{8}{(x+1)^2}$ . ה. מצאו את $k > 0$ שבעבורו השטח המוגבל על ידי הגרף של $g$ , הצירים והישר $g$ שווה ל- $4$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\left[-\frac{8}{x+1}\right]_0^k = 8 - \frac{8}{k+1}

אותה פונקציה קדומה, עם גבול עליון $k$

\begin{aligned}8 - \frac{8}{k+1} &= 4 \Rightarrow \frac{8}{k+1} \\ &= 4\end{aligned}

משווים ל- $4$

\begin{aligned}k + 1 &= 2 \Rightarrow k \\ &= 1\end{aligned}

$k = 1$ . המלכודת: לחשוב ששטח חצי מ- $6$ דורש חצי מהרוחב, $k = 1.5$ — הגרף גבוה ליד ציר ה- $y$ , ושם מצטבר רוב השטח.

Check the answer on elev

שאלה 2 — משוואת המעגל ומשיק

Exercise 6

המעגל שמרכזו $M$ עובר בנקודות $A(5, 5)$ ו- $B(-1, 5)$ . המרכז $M$ נמצא על הישר $M$ . א. מצאו את שיעורי המרכז $M$ .

$M$ ____ , $y_M =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x_M =$ 2 , $y_M =$ 1

Worked solution:

MA = MB

מרכז המעגל נמצא על האנך האמצעי של המיתר $AB$

\begin{aligned}y_A &= y_B \\ &= 5 \Rightarrow x \\ &= \frac{5 + (-1)}{2} \\ &= 2\end{aligned}

המיתר אופקי, ולכן האנך האמצעי הוא הישר $x = 2$

\begin{aligned}y &= 2 - 1 \\ &= 1\end{aligned}

מציבים בישר $y = x - 1$

$M(2, 1)$ . המלכודת: לקחת את אמצע $AB$ , $(2, 5)$ , כמרכז — $AB$ מיתר, לא קוטר.

Check the answer on elev

Exercise 7

המעגל שמרכזו $M$ עובר בנקודות $A(5, 5)$ ו- $B(-1, 5)$ . המרכז $M$ נמצא על הישר $M$ . נמצא ש- $M(2, 1)$ . ב. כתבו את משוואת המעגל.

$(x -$ ____ $)^2 + (y -$ ____ $)^2 =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $(x -$ 2 $)^2 + (y -$ 1 $)^2 =$ 25

Worked solution:

\begin{aligned}R^2 &= MA^2 \\ &= (5-2)^2 + (5-1)^2 \\ &= 25\end{aligned}

הרדיוס הוא המרחק מהמרכז לנקודה על המעגל

(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25

משוואת מעגל שמרכזו $(a, b)$ : $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$

$(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25$ . המלכודת: לכתוב $5$ באגף ימין — שם $5$ , לא $R$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

המעגל שמרכזו $M$ עובר בנקודות $A(5, 5)$ ו- $B(-1, 5)$ . המרכז $M$ נמצא על הישר $M$ . נמצא ש- $M(2, 1)$ והמשוואה היא $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25$ . ג. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה $A$ .

$A$ ____ $x +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $y =$ -0.75 $x +$ 8.75

Worked solution:

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{5 - 1}{5 - 2} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס לנקודת ההשקה

m = -\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\begin{aligned}y - 5 &= -\frac{3}{4}(x - 5) \Rightarrow y \\ &= -0.75x + 8.75\end{aligned}

ישר דרך $A$

$y = -0.75x + 8.75$ . המלכודת: לקחת את שיפוע הרדיוס, $\frac{4}{3}$ , כשיפוע המשיק.

Check the answer on elev

Exercise 9

המעגל שמרכזו $M$ עובר בנקודות $A(5, 5)$ ו- $B(-1, 5)$ . המרכז $M$ נמצא על הישר $M$ . נמצא ש- $M(2, 1)$ והמשוואה היא $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25$ . ד. היכן נמצאת הנקודה $P(7, 3)$ ביחס למעגל?

בתוך המעגל
מחוץ למעגל
על המעגל

Show the answer and the solution

Answer: B מחוץ למעגל

Worked solution:

\begin{aligned}MP^2 &= (7-2)^2 + (3-1)^2 \\ &= 29\end{aligned}

מציבים את $P$ באגף שמאל של המשוואה

29 > 25 = R^2

המרחק מהמרכז גדול מהרדיוס

מחוץ למעגל. המלכודת: להשוות $29$ ל- $R = 5$ — משווים ריבוע לריבוע: $MP^2$ ל- $R^2$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

המעגל שמרכזו $M$ עובר בנקודות $A(5, 5)$ ו- $B(-1, 5)$ . המרכז $M$ נמצא על הישר $M$ . נמצא ש- $M(2, 1)$ והמשוואה היא $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25$ . $AC$ הוא קוטר של המעגל. ה. מצאו את שיעורי $C$ .

$C$ ____ , $y_C =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x_C =$ -1 , $y_C =$ -3

Worked solution:

M = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right)

המרכז הוא אמצע כל קוטר

\begin{aligned}C &= (2 \cdot 2 - 5,\ 2 \cdot 1 - 5) \\ &= (-1, -3)\end{aligned}

נוסחת אמצע קטע, הפוכה

$C(-1, -3)$ . בדיקה: $(-3)^2 + (-4)^2 = 25$ ✓. המלכודת: לחסר בכיוון ההפוך ולקבל את $A$ שוב.

Check the answer on elev

Exercise 11

המעגל שמרכזו $M$ עובר בנקודות $A(5, 5)$ ו- $B(-1, 5)$ . המרכז $M$ נמצא על הישר $M$ . נמצא ש- $M(2, 1)$ והמשוואה היא $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25$ . $AC$ קוטר, ו- $C(-1, -3)$ . ו. חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

\angle ABC = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה

\begin{aligned}AB &= 5 - (-1) \\ &= 6 \\ \quad BC &= 5 - (-3) \\ &= 8\end{aligned}

$AB$ אופקי ו- $BC$ אנכי: המרחק הוא הפרש שיעורים

\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: חצי מכפלת הניצבים

השטח $24$ . המלכודת: לחשב עם הקוטר $24$ כאילו היה ניצב — הוא היתר.

Check the answer on elev

שאלה 3 — מתאם ורגרסיה ליניארית

Exercise 12

טמפרטורה במעלות (x)	23	25	26	27	29
ארטיקים, בעשרות (y)	14	18	22	20	26

בקיוסק בחוף בתל אביב רשמו בחמישה ימים את הטמפרטורה בצהריים ( $x$ , במעלות) ואת מספר הארטיקים שנמכרו ( $y$ , בעשרות). הנתונים בטבלה. א. חשבו את הממוצע $\bar{x}$ ואת סטיית התקן $S_x$ .

$\bar{x} =$ ____ , $S_x =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $\bar{x} =$ 26 , $S_x =$ 2

Worked solution:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{23 + 25 + 26 + 27 + 29}{5} \\ &= \frac{130}{5} \\ &= 26\end{aligned}

ממוצע

x - \bar{x}:\ -3,\ -1,\ 0,\ 1,\ 3

הסטיות מהממוצע

\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{9 + 1 + 0 + 1 + 9}{5}} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

סטיית תקן: מחלקים במספר הנתונים

$\bar{x} = 26$ , $S_x = 2$ . המלכודת: לשכוח את השורש ולענות $4$ — זו השונות.

Check the answer on elev

Exercise 13

טמפרטורה במעלות (x)	23	25	26	27	29
ארטיקים, בעשרות (y)	14	18	22	20	26

בקיוסק בחוף בתל אביב רשמו בחמישה ימים את הטמפרטורה בצהריים ( $x$ , במעלות) ואת מספר הארטיקים שנמכרו ( $y$ , בעשרות). הנתונים בטבלה. $y$ ו- $S_x = 2$ ; ידוע גם $\bar{y} = 20$ ו- $S_y = 4$ . ב. איזה מהערכים הוא מקדם המתאם $r$ ? בדקו בחישוב.

$0.95$
$0.75$
$-0.95$
$0.5$

Show the answer and the solution

Answer: A $0.95$

Worked solution:

y - \bar{y}:\ -6,\ -2,\ 2,\ 0,\ 6

הסטיות של $y$

\begin{aligned}\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) &= 18 + 2 + 0 + 0 + 18 \\ &= 38\end{aligned}

סכום המכפלות

\begin{aligned}r &= \frac{38}{5 \cdot 2 \cdot 4} \\ &= 0.95\end{aligned}

נוסחת מקדם המתאם מהנוסחאון

$r = 0.95$ : מתאם חיובי חזק. המלכודת: לחלק ב- $S_x S_y$ בלי $n = 5$ ולקבל $4.75$ — ערך מחוץ לתחום $-1 \le r \le 1$ הוא סימן לטעות.

Check the answer on elev

Exercise 14

טמפרטורה במעלות (x)	23	25	26	27	29
ארטיקים, בעשרות (y)	14	18	22	20	26

בקיוסק בחוף בתל אביב רשמו בחמישה ימים את הטמפרטורה בצהריים ( $x$ , במעלות) ואת מספר הארטיקים שנמכרו ( $y$ , בעשרות). הנתונים בטבלה. $\bar{x} = 26$ , $S_x = 2$ , $\bar{y} = 20$ , $S_y = 4$ . מקדם המתאם $r = 0.95$ . ג. מצאו את קו הרגרסיה של $y$ לפי $y$ .

$x$ ____ $x +$ ( ____ )

Show the answer and the solution

Answer: $y =$ 1.9 $x +$ ( -29.4 )

Worked solution:

\begin{aligned}m &= r \cdot \frac{S_y}{S_x} \\ &= 0.95 \cdot \frac{4}{2} \\ &= 1.9\end{aligned}

שיפוע קו הרגרסיה

y - 20 = 1.9(x - 26)

הקו עובר דרך $(\bar{x}, \bar{y})$

y = 1.9x - 29.4

$y = 1.9x - 29.4$ . המלכודת: להפוך את השבר ( $\frac{S_x}{S_y}$ ) ולקבל שיפוע $0.475$ .

Check the answer on elev

Exercise 15

טמפרטורה במעלות (x)	23	25	26	27	29
ארטיקים, בעשרות (y)	14	18	22	20	26

בקיוסק בחוף בתל אביב רשמו בחמישה ימים את הטמפרטורה בצהריים ( $x$ , במעלות) ואת מספר הארטיקים שנמכרו ( $y$ , בעשרות). הנתונים בטבלה. $\bar{x} = 26$ , $S_x = 2$ , $\bar{y} = 20$ , $S_y = 4$ . קו הרגרסיה: $y = 1.9x - 29.4$ . ד. לפי קו הרגרסיה, כמה ארטיקים (בעשרות) צפויים להימכר ביום של $28$ מעלות?

Show the answer and the solution

Answer: 23.8

Worked solution:

\begin{aligned}y &= 1.9 \cdot 28 - 29.4 \\ &= 53.2 - 29.4 \\ &= 23.8\end{aligned}

מציבים $x = 28$ בקו הרגרסיה

$23.8$ עשרות, כלומר כ- $238$ ארטיקים. $28$ בתוך תחום הנתונים ( $23$ עד $23$ ), ולכן החיזוי סביר. המלכודת: לחזות ליום של $29$ מעלות — אקסטרפולציה רחוק מהנתונים.

Check the answer on elev

Exercise 16

טמפרטורה במעלות (x)	23	25	26	27	29
ארטיקים, בעשרות (y)	14	18	22	20	26

בקיוסק בחוף בתל אביב רשמו בחמישה ימים את הטמפרטורה בצהריים ( $x$ , במעלות) ואת מספר הארטיקים שנמכרו ( $y$ , בעשרות). הנתונים בטבלה. $\bar{x} = 26$ , $S_x = 2$ , $\bar{y} = 20$ , $S_y = 4$ . קו הרגרסיה: $y = 1.9x - 29.4$ , ו- $r = 0.95$ . בכל אחד מחמשת הימים נמכרו גם $3$ עשרות ארטיקים בהזמנה קבועה של מחנה קיץ, ולכן כל ערך של $y$ גדל ב- $y$ . ה. מה משתנה?

השיפוע גדל ב- $3$
$S_y$ גדלה ב- $3$
$r$ גדל, והשיפוע לא משתנה
$r$ והשיפוע לא משתנים; המספר החופשי גדל ב- $3$

Show the answer and the solution

Answer: D $r$ והשיפוע לא משתנים; המספר החופשי גדל ב- $3$

Worked solution:

\begin{aligned}\bar{y}' &= 23 \\ \quad S_y' &= 4\end{aligned}

הזזה מזיזה את הממוצע ולא את הפיזור

\begin{aligned}r' &= 0.95 \\ \quad m' &= 1.9\end{aligned}

הסטיות מהממוצע לא השתנו

y = 1.9x - 26.4

הקו כולו עולה ב- $3$

רק המספר החופשי משתנה: $-29.4 + 3 = -26.4$ . המלכודת: לחשוב שתוספת «משפרת» את המתאם — $r$ מודד את הצורה של הענן, והזזה לא משנה אותה.

Check the answer on elev

Words in this lesson

סעיף: se’if part (of a question)
סך הכול: sakh ha-kol in total, altogether
דקה: daka minute
פונקציה קדומה: funktsia kduma antiderivative
אינטגרל: integral integral
שטח: shetaḥ area
פרמטר: parameter parameter
משוואת מעגל: mishva’at ma’agal equation of a circle
משיק: mashik tangent
מתאם: mit’am correlation
קו הרגרסיה: kav ha-regresya regression line
פונקציה: funktsia function
ציר: tsir axis
נוסחאון: nusḥon formula sheet
נתונים: netunim data
נגזרת: nigzeret derivative
גרף: graf graph
נקודה: nekuda point
מצאו: mits’u find
חזקה: ḥezka power
להציב: lehatsiv to substitute
מלכודת: malkodet trap
קבוע: kavua constant
אינסוף: einsof infinity
נקודת חיתוך: nekudat khitukh intersection point
גורם: gorem factor
ריבוע שלם: ribua shalem perfect square
שורש כפול: shoresh kaful double root
חותך: khotekh cuts, intersects; transversal
חשבו: ḥishvu calculate
נתון: natun given
חיובי: ḥiyuvi positive
ישר: yashar line
שלילי: shlili negative
חצי: ḥetsi half
רוחב: roḥav width
מעגל: ma’agal circle
מרכז: merkaz centre
שיעורים (של נקודה): shiurim coordinates
אנך אמצעי: anakh emtsa’i perpendicular bisector
מיתר: meitar chord
אופקי: ofki horizontal
קוטר: koter diameter
כתבו: kitvu write
רדיוס: radius radius
מרחק: merḥak distance
אגף: agaf side (of an equation)
משוואה: mishva’a equation
משוואת המשיק: mishva’at ha-mashik equation of the tangent
שיפוע: shipua slope
נקודת השקה: nekudat hashaka point of tangency
מאונכים: me’unakhim perpendicular
שיפוע המשיק: shipua ha-mashik slope of the tangent
יחס: yaḥas ratio
ריבוע: ribua square
אמצע קטע: emtsa keta midpoint
קטע: keta line segment
משולש: meshulash triangle
זווית היקפית: zavit hekefit inscribed angle
נשענת על: nish’enet al subtends (stands on)
זווית ישרה: zavit yeshara right angle
אנכי: anakhi vertical
הפרש: hefresh difference
משולש ישר זווית: meshulash yeshar zavit right triangle
מכפלה: makhpela product
ניצב: nitsav leg
יתר: yeter hypotenuse
רשמו: rishmu write down
יום: yom day
טמפרטורה: temperatura temperature
צהריים: tsohorayim noon, midday
מעלה: ma’ala degree
עשרות: asarot tens
טבלה: tavla table
ממוצע: memutsa average
סטיית תקן: stiyat teken standard deviation
סטייה: stiya deviation
שורש: shoresh square root
מקדם המתאם: mekadem ha-mit’am correlation coefficient
בדקו: bidku check
סכום: skhum sum
נוסחה: nusḥa formula
שבר: shever fraction
אקסטרפולציה: ekstrapolatsya extrapolation
הזזה: hazaza translation
פיזור: pizur spread, dispersion

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elev Discover elev for this grade