מבדק פתיחה 2

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מבדק פתיחה 2 — תחילת י״א. המבדק שבית הספר עורך בשבועיים הראשונים של השנה, ברוח עבודת הקיץ: חזרה על החומר של כיתה י. 5 שאלות עם סעיפים, 22 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. שאלה אחת לכל נושא של עבודת הקיץ: הסתברות, סטטיסטיקה, גאומטריה אנליטית משולבת, חקירת פונקציה עם שורש ובעיית קיצון.

כמו בבגרות, כל סעיף מזכיר את התוצאות שלפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בהסתברות מותנית כתבו קודם מה ידוע — הוא המכנה. בגאומטריה כתבו משפט לכל שורה: «ז.ז», «יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון».

Exercises

שאלה 1 — הסתברות: בית קפה

Exercise 1

בבית קפה נמצא שההסתברות שלקוח מזמין קפה גדולה פי 33 מההסתברות שהוא אינו מזמין קפה. 40%40\% מהלקוחות שמזמינים קפה מזמינים גם עוגה, ו-10%10\% מכלל הלקוחות מזמינים עוגה בלי קפה. בוחרים באקראי לקוח אחד. א. מהי ההסתברות שהלקוח מזמין קפה?

Show the answer and the solution

Answer: 0.75

Worked solution:

P(C)=pP(C‾)=1−p\begin{aligned}P(\text{C}) &= p \\ \quad P(\overline{\text{C}}) &= 1 - p\end{aligned}

מאורע ומשלימו

p=3(1−p)⇒4p=3⇒p=0.75\begin{aligned}p &= 3(1 - p) \Rightarrow 4p \\ &= 3 \Rightarrow p \\ &= 0.75\end{aligned}

«גדולה פי 33»: הגדולה שווה לשלוש פעמים הקטנה

0.750.75. המלכודת: p=13p = \frac{1}{3} — היחס 3:13 : 1 מחלק את השלם לארבעה חלקים, לא לשלושה.

Check the answer on elev

Exercise 2

בבית קפה נמצא שההסתברות שלקוח מזמין קפה גדולה פי 33 מההסתברות שהוא אינו מזמין קפה. 40%40\% מהלקוחות שמזמינים קפה מזמינים גם עוגה, ו-10%10\% מכלל הלקוחות מזמינים עוגה בלי קפה. בוחרים באקראי לקוח אחד. ההסתברות שלקוח מזמין קפה היא 0.750.75. ב. מהי ההסתברות שהלקוח מזמין עוגה?

Show the answer and the solution

Answer: 0.4

Worked solution:

P(C∩K)=0.75⋅0.4=0.3\begin{aligned}P(\text{C} \cap \text{K}) &= 0.75 \cdot 0.4 \\ &= 0.3\end{aligned}

קפה ועוגה: כלל הכפל

P(C‾∩K)=0.1P(\overline{\text{C}} \cap \text{K}) = 0.1

עוגה בלי קפה: נתון מתוך כלל הלקוחות

P(K)=0.3+0.1=0.4\begin{aligned}P(\text{K}) &= 0.3 + 0.1 \\ &= 0.4\end{aligned}

עמודת העוגה בטבלה הדו-ממדית

0.40.4. המלכודת: לכפול גם את ה-10%10\% ב-0.250.25 — הוא כבר חלק מכל הלקוחות, לא מבין מי שאינו מזמין קפה.

Check the answer on elev

Exercise 3

בבית קפה נמצא שההסתברות שלקוח מזמין קפה גדולה פי 33 מההסתברות שהוא אינו מזמין קפה. 40%40\% מהלקוחות שמזמינים קפה מזמינים גם עוגה, ו-10%10\% מכלל הלקוחות מזמינים עוגה בלי קפה. בוחרים באקראי לקוח אחד. נמצא: ההסתברות לקפה 0.750.75, לקפה ועוגה 0.30.3, ולעוגה 0.40.4. ג. ידוע שהלקוח הזמין עוגה. מהי ההסתברות שהזמין גם קפה?

Show the answer and the solution

Answer: 0.75

Worked solution:

P(C∣K)=P(C∩K)P(K)P(\text{C} \mid \text{K}) = \frac{P(\text{C} \cap \text{K})}{P(\text{K})}

הסתברות מותנית: מחלקים במה שידוע

=0.30.4=0.75= \frac{0.3}{0.4} = 0.75

מציבים

0.750.75. המלכודת: לענות 0.40.4 — זו P(K∣C)P(\text{K} \mid \text{C}), הכיוון ההפוך.

Check the answer on elev

Exercise 4

בבית קפה נמצא שההסתברות שלקוח מזמין קפה גדולה פי 33 מההסתברות שהוא אינו מזמין קפה. 40%40\% מהלקוחות שמזמינים קפה מזמינים גם עוגה, ו-10%10\% מכלל הלקוחות מזמינים עוגה בלי קפה. בוחרים באקראי לקוח אחד. נמצא: ההסתברות שלקוח מזמין קפה היא 0.750.75, וגם ההסתברות שלקוח שהזמין עוגה הזמין קפה היא 0.750.75. ד. הוכיחו או הפריכו: המאורעות «הלקוח מזמין קפה» ו«הלקוח מזמין עוגה» בלתי תלויים.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

P(C∣K)=0.75=P(C)\begin{aligned}P(\text{C} \mid \text{K}) &= 0.75 \\ &= P(\text{C})\end{aligned}

הידיעה שהוזמנה עוגה לא שינתה את ההסתברות לקפה

P(C)⋅P(K)=0.75⋅0.4=0.3=P(C∩K)\begin{aligned}P(\text{C}) \cdot P(\text{K}) &= 0.75 \cdot 0.4 \\ &= 0.3 \\ &= P(\text{C} \cap \text{K})\end{aligned}

בדיקה בכלל הכפל של מאורעות בלתי תלויים ✓

הטענה נכונה. המלכודת: להסיק «תלויים» כי «הרבה לקוחות מזמינים את שניהם» — אי-תלות נבדקת במספרים, לא בתחושה.

Check the answer on elev

שאלה 2 — סטטיסטיקה: דירות שנמכרו

Exercise 5

0123456723456מספר החדריםמספר הדירות
העמודה של הדירות בנות 4 חדרים נמחקה

הדיאגרמה מתארת את הדירות שנמכרו בשכונה בשנה האחרונה, לפי מספר החדרים בדירה. העמודה של הדירות בנות 44 חדרים נמחקה. ידוע שהממוצע של מספר החדרים בדירות שנמכרו הוא 4.14.1. א. כמה דירות בנות 44 חדרים נמכרו?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

2⋅3+3⋅6+5⋅7+6⋅4=833+6+7+4=20\begin{aligned}2 \cdot 3 + 3 \cdot 6 + 5 \cdot 7 + 6 \cdot 4 &= 83 \\ \quad 3 + 6 + 7 + 4 &= 20\end{aligned}

מה שידוע: סכום החדרים ומספר הדירות, בלי הדירות בנות 44

83+4f20+f=4.1\frac{83 + 4f}{20 + f} = 4.1

נוסחת הממוצע, עם ff דירות בנות 44 חדרים

83+4f=82+4.1f⇒0.1f=1⇒f=10\begin{aligned}83 + 4f &= 82 + 4.1f \Rightarrow 0.1f \\ &= 1 \Rightarrow f \\ &= 10\end{aligned}

פותרים

1010 דירות. המלכודת: לשכוח להוסיף את ff גם למכנה — הדירות החסרות משנות גם את מספר הנתונים.

Check the answer on elev

Exercise 6

01234567891023456מספר החדריםמספר הדירות
הדירות שנמכרו בשכונה, לפי מספר החדרים

הדיאגרמה מתארת את הדירות שנמכרו בשכונה בשנה האחרונה, לפי מספר החדרים בדירה. נמכרו 3030 דירות. ב. מהו השכיח, ומהו החציון של מספר החדרים?

השכיח: ____ ; החציון: ____

Show the answer and the solution

Answer: השכיח: 4 ; החציון: 4

Worked solution:

f(4)=10f(4) = 10

העמודה הגבוהה ביותר: השכיח 44

n=30⇒x15+x162n = 30 \Rightarrow \frac{x_{15} + x_{16}}{2}

מספר זוגי של נתונים

3, 9, 193 ,\ 9 ,\ 19

שכיחות מצטברת של 22, 33, 44 חדרים: המקומות 1010 עד 1919 הם 44 חדרים

Me=4+42=4\begin{aligned}\text{Me} &= \frac{4 + 4}{2} \\ &= 4\end{aligned}

החציון

השכיח 44 והחציון 44. שני מדדים שונים, שבמקרה יצאו שווים: השכיח נקבע לפי הגובה, החציון לפי המקום האמצעי.

Check the answer on elev

Exercise 7

01234567891023456מספר החדריםמספר הדירות
הדירות שנמכרו בשכונה, לפי מספר החדרים

הדיאגרמה מתארת את הדירות שנמכרו בשכונה בשנה האחרונה, לפי מספר החדרים בדירה. נמכרו 3030 דירות. ג. איזה אחוז מהדירות שנמכרו הן בנות פחות מ-44 חדרים?

Show the answer and the solution

Answer: 30

Worked solution:

3+6=93 + 6 = 9

דירות בנות 22 או 33 חדרים

930⋅100=30%\frac{9}{30} \cdot 100 = 30\%

אחוז מתוך כל הדירות

30%30\%. המלכודת: לכלול את הדירות בנות 44 חדרים — «פחות מ-44» לא כולל את 44.

Check the answer on elev

Exercise 8

01234567891023456מספר החדריםמספר הדירות
הדירות שנמכרו בשכונה, לפי מספר החדרים

הדיאגרמה מתארת את הדירות שנמכרו בשכונה בשנה האחרונה, לפי מספר החדרים בדירה. נמכרו 3030 דירות, הממוצע 4.14.1 חדרים, החציון 44 והשכיח 44. אחר כך נמכרה עוד דירה אחת, בת 44 חדרים. ד. מה נכון לגבי 3131 הדירות?

  1. הממוצע קטן, והחציון משתנה ל-4.54.5
  2. הממוצע קטן, והחציון והשכיח לא משתנים
  3. הממוצע גדל, והחציון והשכיח לא משתנים
  4. הממוצע לא משתנה, כי 44 קרוב לממוצע
Show the answer and the solution

Answer: B הממוצע קטן, והחציון והשכיח לא משתנים

Worked solution:

xˉ=123+431≈4.097<4.1\bar{x} = \frac{123 + 4}{31} \approx 4.097 < 4.1

נתון קטן מהממוצע מקטין אותו

n=31⇒x16=4\begin{aligned}n &= 31 \Rightarrow x_{16} \\ &= 4\end{aligned}

מספר אי-זוגי: החציון הוא הנתון במקום 1616, עדיין בין 1010 ל-2020

f(4)=11f(4) = 11

השכיח נשאר 44, ואף גדל בשכיחותו

הממוצע קטן מעט, והחציון והשכיח נשארים 44. המלכודת: «קרוב לממוצע» אינו «שווה לממוצע» — רק נתון השווה בדיוק ל-4.14.1 היה משאיר אותו.

Check the answer on elev

שאלה 3 — גאומטריה משולבת: הגובה ליתר

Exercise 9

נתונה הנקודה B(2,4)B(2, 4), ו-OO ראשית הצירים. הישר שעובר דרך BB ומאונך ל-OBOB חותך את ציר ה-xx בנקודה AA. HH היא עקב האנך מ-BB לציר ה-xx. א. מצאו את משוואת הישר ABAB.

y=y = ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y = -0.5 x+x + 5

Worked solution:

mOB=42=2\begin{aligned}m_{OB} &= \frac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע דרך הראשית ו-BB

mAB=−12m_{AB} = -\frac{1}{2}

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים −1-1

y−4=−12(x−2)⇒y=−0.5x+5\begin{aligned}y - 4 &= -\frac{1}{2}(x - 2) \Rightarrow y \\ &= -0.5x + 5\end{aligned}

ישר דרך BB

y=−0.5x+5y = -0.5x + 5. המלכודת: להפוך רק את הסימן (−2-2) או רק את השבר (12\frac{1}{2}) — השיפוע המאונך הוא ההופכי הנגדי.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה הנקודה B(2,4)B(2, 4), ו-OO ראשית הצירים. הישר שעובר דרך BB ומאונך ל-OBOB חותך את ציר ה-xx בנקודה AA. HH היא עקב האנך מ-BB לציר ה-xx. משוואת ABAB היא y=−0.5x+5y = -0.5x + 5. ב. מצאו את שיעורי הנקודה AA.

A=A = ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: A=A = ( 10 , 0 )

Worked solution:

0=−0.5x+50 = -0.5x + 5

AA על ציר ה-xx: מציבים y=0y = 0

x=10⇒A(10,0)x = 10 \Rightarrow A(10, 0)

פותרים

A(10,0)A(10, 0). בדיקה: mOB⋅mAB=2⋅(−0.5)=−1m_{OB} \cdot m_{AB} = 2 \cdot (-0.5) = -1 ✓.

Check the answer on elev

Exercise 11

נתונה הנקודה B(2,4)B(2, 4), ו-OO ראשית הצירים. הישר שעובר דרך BB ומאונך ל-OBOB חותך את ציר ה-xx בנקודה AA. HH היא עקב האנך מ-BB לציר ה-xx. נמצא: A(10,0)A(10, 0), H(2,0)H(2, 0), ו-∠OBA=90∘\angle OBA = 90^\circ. ג. מדוע △OHB∼△BHA\triangle OHB \sim \triangle BHA?

  1. ז.ז — ∠BHO=∠AHB=90∘\angle BHO = \angle AHB = 90^\circ, ו-∠BOH=∠ABH\angle BOH = \angle ABH, כי שתיהן משלימות את ∠BAO\angle BAO ל-90∘90^\circ
  2. המשולשים חופפים, כי BHBH משותפת והזוויות ב-HH ישרות
  3. ז.ז — ∠BOH=∠BAH\angle BOH = \angle BAH, כי OB=ABOB = AB
  4. צ.ז.צ — BHBH צלע משותפת, ו-∠BHO=∠BHA\angle BHO = \angle BHA
Show the answer and the solution

Answer: A ז.ז — ∠BHO=∠AHB=90∘\angle BHO = \angle AHB = 90^\circ, ו-∠BOH=∠ABH\angle BOH = \angle ABH, כי שתיהן משלימות את ∠BAO\angle BAO ל-90∘90^\circ

Worked solution:

∠BHO=∠AHB=90∘\begin{aligned}\angle BHO &= \angle AHB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

BHBH אנך לציר ה-xx

∠BOA+∠BAO=90∘\angle BOA + \angle BAO = 90^\circ

במשולש OBAOBA הזווית BB ישרה

∠ABH+∠BAH=90∘\angle ABH + \angle BAH = 90^\circ

במשולש BHABHA הזווית HH ישרה

∠BOH=∠ABH⇒△OHB∼△BHA\angle BOH = \angle ABH \Rightarrow \triangle OHB \sim \triangle BHA

שתי זוויות שוות: דמיון לפי ז.ז

ז.ז. המלכודת: OB=ABOB = AB אינו נכון (20≠80\sqrt{20} \ne \sqrt{80}), ו-BHBH משותפת לא מספיקה לחפיפה — OH=2OH = 2 ו-HA=8HA = 8.

Check the answer on elev

Exercise 12

נתונה הנקודה B(2,4)B(2, 4), ו-OO ראשית הצירים. הישר שעובר דרך BB ומאונך ל-OBOB חותך את ציר ה-xx בנקודה AA. HH היא עקב האנך מ-BB לציר ה-xx. נמצא: A(10,0)A(10, 0), H(2,0)H(2, 0), ו-△OHB∼△BHA\triangle OHB \sim \triangle BHA. ד. מהו יחס השטחים SOHBSBHA\frac{S_{OHB}}{S_{BHA}}? כתבו כמספר עשרוני.

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

OH=2 HB=4 HA=8\begin{aligned}OH &= 2 \\ \ HB &= 4 \\ \ HA &= 8\end{aligned}

קטעים על הצירים: הפרשי שיעורים

k=OHBH=HBHA=12\begin{aligned}k &= \frac{OH}{BH} \\ &= \frac{HB}{HA} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

יחס הדמיון: OHOH מתאימה ל-BHBH, ו-HBHB ל-HAHA

SOHBSBHA=k2=14=0.25\begin{aligned}\frac{S_{OHB}}{S_{BHA}} &= k^2 \\ &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון

0.250.25. בדיקה ישירה: SOHB=2⋅42=4S_{OHB} = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4 ו-SBHA=8⋅42=16S_{BHA} = \frac{8 \cdot 4}{2} = 16 ✓. המלכודת: לענות 12\frac{1}{2} — זה יחס הדמיון, לא יחס השטחים.

Check the answer on elev

Exercise 13

נתונה הנקודה B(2,4)B(2, 4), ו-OO ראשית הצירים. הישר שעובר דרך BB ומאונך ל-OBOB חותך את ציר ה-xx בנקודה AA. HH היא עקב האנך מ-BB לציר ה-xx. נמצא: A(10,0)A(10, 0) ו-H(2,0)H(2, 0). ה. חשבו את גודל הזווית ∠BAO\angle BAO (במעלות). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 26.57

Worked solution:

tan⁡∠BAH=BHHA=48=0.5\begin{aligned}\tan\angle BAH &= \frac{BH}{HA} \\ &= \frac{4}{8} \\ &= 0.5\end{aligned}

במשולש ישר הזווית BHABHA: ניצב מול חלקי ניצב ליד

∠BAO≈26.57∘\angle BAO \approx 26.57^\circ

פונקציה הפוכה במחשבון

∠BAO≈26.57∘\angle BAO \approx 26.57^\circ. בדיקה: ∠BOA=arctan⁡2≈63.43∘\angle BOA = \arctan 2 \approx 63.43^\circ, והשתיים משלימות ל-90∘90^\circ ✓.

Check the answer on elev

שאלה 4 — חקירת פונקציה עם שורש

Exercise 14

נתונה הפונקציה f(x)=3x−xf(x) = 3\sqrt{x} - x. א. מצאו את תחום ההגדרה של ff ואת נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

תחום ההגדרה: x≥x \ge ____ ; חיתוך עם ציר ה-xx: x=x = ____ ו-x=x = ____ (מהקטן לגדול)

Show the answer and the solution

Answer: תחום ההגדרה: x≥x \ge 0 ; חיתוך עם ציר ה-xx: x=x = 0 ו-x=x = 9 (מהקטן לגדול)

Worked solution:

x≥0x \ge 0

שורש ריבועי מוגדר למספר אי-שלילי

3x=x⇒9x=x2\begin{aligned}3\sqrt{x} &= x \Rightarrow 9x \\ &= x^2\end{aligned}

משווים לאפס ומעלים בריבוע

x(x−9)=0⇒x=0 x=9\begin{aligned}x(x - 9) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= 9\end{aligned}

פותרים

f(9)=3⋅3−9=0 ✓\begin{aligned}f(9) &= 3 \cdot 3 - 9 \\ &= 0 \ ✓\end{aligned}

בודקים במשוואה המקורית

x≥0x \ge 0, והגרף חותך את ציר ה-xx ב-(0,0)(0, 0) וב-(9,0)(9, 0). המלכודת: לחלק ב-xx ולאבד את הפתרון x=0x = 0.

Check the answer on elev

Exercise 15

נתונה הפונקציה f(x)=3x−xf(x) = 3\sqrt{x} - x. ב. מהי הנגזרת f′(x)f'(x), בתחום x>0x > 0?

  1. 32x−1\dfrac{3}{2\sqrt{x}} - 1
  2. 123x−1\dfrac{1}{2\sqrt{3x}} - 1
  3. 3x−1\dfrac{3}{\sqrt{x}} - 1
  4. 3x−13\sqrt{x} - 1
Show the answer and the solution

Answer: A 32x−1\dfrac{3}{2\sqrt{x}} - 1

Worked solution:

(x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

נגזרת השורש

f′(x)=3⋅12x−1=32x−1\begin{aligned}f'(x) &= 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 \\ &= \frac{3}{2\sqrt{x}} - 1\end{aligned}

מקדם נשאר, ונגזרת xx היא 11

32x−1\frac{3}{2\sqrt{x}} - 1. המלכודת: לשכוח את ה-22 במכנה של נגזרת השורש.

Check the answer on elev

Exercise 16

נתונה הפונקציה f(x)=3x−xf(x) = 3\sqrt{x} - x. הנגזרת: f′(x)=32x−1f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 1. ג. מצאו את נקודת הקיצון הפנימית של ff.

( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: ( 2.25 , 2.25 )

Worked solution:

32x=1⇒x=1.5⇒x=2.25\begin{aligned}\frac{3}{2\sqrt{x}} &= 1 \Rightarrow \sqrt{x} \\ &= 1.5 \Rightarrow x \\ &= 2.25\end{aligned}

משווים את הנגזרת לאפס

f′(1)=0.5>0f′(4)=−0.25<0\begin{aligned}f'(1) &= 0.5 > 0 \\ \quad f'(4) &= -0.25 < 0\end{aligned}

טבלת סימנים: עלייה ואחריה ירידה — מקסימום

f(2.25)=3⋅1.5−2.25=2.25\begin{aligned}f(2.25) &= 3 \cdot 1.5 - 2.25 \\ &= 2.25\end{aligned}

ערך הפונקציה

מקסימום (2.25,2.25)(2.25, 2.25): ff עולה ב-0<x<2.250 < x < 2.25 ויורדת ב-x>2.25x > 2.25. בקצה (0,0)(0, 0) מינימום קצה.

Check the answer on elev

Exercise 17

נתונה הפונקציה f(x)=3x−xf(x) = 3\sqrt{x} - x. הנגזרת: f′(x)=32x−1f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 1. ד. מצאו את משוואת המשיק לגרף ff בנקודה שבה x=4x = 4.

y=y = ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y = -0.25 x+x + 3

Worked solution:

f(4)=3⋅2−4=2\begin{aligned}f(4) &= 3 \cdot 2 - 4 \\ &= 2\end{aligned}

נקודת ההשקה (4,2)(4, 2)

f′(4)=34−1=−0.25\begin{aligned}f'(4) &= \frac{3}{4} - 1 \\ &= -0.25\end{aligned}

שיפוע המשיק

y−2=−0.25(x−4)⇒y=−0.25x+3\begin{aligned}y - 2 &= -0.25(x - 4) \Rightarrow y \\ &= -0.25x + 3\end{aligned}

ישר דרך נקודה בשיפוע נתון

y=−0.25x+3y = -0.25x + 3. השיפוע שלילי: מימין למקסימום x=2.25x = 2.25 הפונקציה יורדת ✓.

Check the answer on elev

Exercise 18

נתונה הפונקציה f(x)=3x−xf(x) = 3\sqrt{x} - x. ff מוגדרת ב-x≥0x \ge 0, f(0)=0f(0) = 0, יש לה מקסימום (2.25,2.25)(2.25, 2.25), והיא יורדת ב-x>2.25x > 2.25 בלי חסם. ה. לאילו ערכים של kk יש למשוואה f(x)=kf(x) = k שני פתרונות בדיוק?

  1. 0≤k<2.250 \le k < 2.25
  2. 0<k<2.250 < k < 2.25
  3. k>0k > 0
  4. k<2.25k < 2.25
Show the answer and the solution

Answer: A 0≤k<2.250 \le k < 2.25

Worked solution:

0≤x≤2.25: 0≤f≤2.250 \le x \le 2.25:\ 0 \le f \le 2.25

בענף העולה ff מקבלת כל ערך מ-00 עד 2.252.25 פעם אחת

x≥2.25: f≤2.25x \ge 2.25:\ f \le 2.25

בענף היורד ff מקבלת כל ערך עד 2.252.25 פעם אחת

0≤k<2.250 \le k < 2.25

שני פתרונות: הישר y=ky = k פוגש את שני הענפים. ב-k=2.25k = 2.25 פתרון אחד, וב-k<0k < 0 רק הענף היורד

0≤k<2.250 \le k < 2.25. המלכודת: לפסול את k=0k = 0 — דווקא שם יש שני פתרונות, x=0x = 0 ו-x=9x = 9.

Check the answer on elev

שאלה 5 — בעיית קיצון: משולש מתחת לגרף

Exercise 19

הגרף של ff
OAB03691215182124270123456xy

נתונה הפונקציה f(x)=27−xf(x) = \sqrt{27 - x}. הנקודה AA נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון, ושיעור ה-xx שלה הוא tt (0<t<270 < t < 27). מ-AA מורידים אנך לציר ה-xx, ועקבו הוא BB. OO ראשית הצירים. א. הביעו בעזרת tt את שטח המשולש OBAOBA.

  1. S(t)=t27−tS(t) = t\sqrt{27 - t}
  2. S(t)=t(27−t)2S(t) = \dfrac{t(27 - t)}{2}
  3. S(t)=27−t2S(t) = \dfrac{\sqrt{27 - t}}{2}
  4. S(t)=t27−t2S(t) = \dfrac{t\sqrt{27 - t}}{2}
Show the answer and the solution

Answer: D S(t)=t27−t2S(t) = \dfrac{t\sqrt{27 - t}}{2}

Worked solution:

OB=tAB=27−t\begin{aligned}OB &= t \\ \quad AB &= \sqrt{27 - t}\end{aligned}

הניצבים: שיעור ה-xx של AA ושיעור ה-yy שלה

S(t)=OB⋅AB2=t27−t2\begin{aligned}S(t) &= \frac{OB \cdot AB}{2} \\ &= \frac{t\sqrt{27 - t}}{2}\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: חצי מכפלת הניצבים

S(t)=t27−t2S(t) = \frac{t\sqrt{27 - t}}{2}. המלכודת: t(27−t)2\frac{t(27 - t)}{2} שוכח את השורש — הגובה הוא f(t)f(t), לא 27−t27 - t.

Check the answer on elev

Exercise 20

הגרף של ff
OAB03691215182124270123456xy

נתונה הפונקציה f(x)=27−xf(x) = \sqrt{27 - x}. הנקודה AA נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון, ושיעור ה-xx שלה הוא tt (0<t<270 < t < 27). מ-AA מורידים אנך לציר ה-xx, ועקבו הוא BB. OO ראשית הצירים. שטח המשולש הוא S(t)=t27−t2S(t) = \frac{t\sqrt{27 - t}}{2}. ב. מהי הנגזרת S′(t)S'(t)?

  1. 54−3t427−t\dfrac{54 - 3t}{4\sqrt{27 - t}}
  2. 54−t427−t\dfrac{54 - t}{4\sqrt{27 - t}}
  3. 27−3t227−t\dfrac{27 - 3t}{2\sqrt{27 - t}}
  4. 1427−t\dfrac{1}{4\sqrt{27 - t}}
Show the answer and the solution

Answer: A 54−3t427−t\dfrac{54 - 3t}{4\sqrt{27 - t}}

Worked solution:

S′(t)=12(27−t+t⋅−1227−t)S'(t) = \frac{1}{2}\left(\sqrt{27 - t} + t \cdot \frac{-1}{2\sqrt{27 - t}}\right)

נגזרת של מכפלה; נגזרת הפנים −1-1

=12⋅2(27−t)−t227−t=54−3t427−t= \frac{1}{2} \cdot \frac{2(27 - t) - t}{2\sqrt{27 - t}} = \frac{54 - 3t}{4\sqrt{27 - t}}

מכנה משותף

S′(t)=54−3t427−tS'(t) = \frac{54 - 3t}{4\sqrt{27 - t}}. המלכודת: לגזור את tt ואת השורש בנפרד ולכפול את הנגזרות — מכפלה נגזרת לפי הכלל u′v+uv′u'v + uv'.

Check the answer on elev

Exercise 21

הגרף של ff
OAB03691215182124270123456xy

נתונה הפונקציה f(x)=27−xf(x) = \sqrt{27 - x}. הנקודה AA נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון, ושיעור ה-xx שלה הוא tt (0<t<270 < t < 27). מ-AA מורידים אנך לציר ה-xx, ועקבו הוא BB. OO ראשית הצירים. הנגזרת: S′(t)=54−3t427−tS'(t) = \frac{54 - 3t}{4\sqrt{27 - t}}. ג. לאיזה ערך של tt שטח המשולש מקסימלי?

Show the answer and the solution

Answer: 18

Worked solution:

54−3t=0⇒t=18\begin{aligned}54 - 3t &= 0 \Rightarrow t \\ &= 18\end{aligned}

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס

S′(10)>0,S′(20)<0S'(10) > 0 ,\quad S'(20) < 0

המכנה חיובי, והמונה עובר מחיובי לשלילי: מקסימום

t=18t = 18, כלומר A(18,3)A(18, 3).

Check the answer on elev

Exercise 22

הגרף של ff
OAB03691215182124270123456xy

נתונה הפונקציה f(x)=27−xf(x) = \sqrt{27 - x}. הנקודה AA נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון, ושיעור ה-xx שלה הוא tt (0<t<270 < t < 27). מ-AA מורידים אנך לציר ה-xx, ועקבו הוא BB. OO ראשית הצירים. שטח המשולש S(t)=t27−t2S(t) = \frac{t\sqrt{27 - t}}{2} מקסימלי כאשר t=18t = 18. ד. מהו השטח המקסימלי?

Show the answer and the solution

Answer: 27

Worked solution:

f(18)=9=3\begin{aligned}f(18) &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

הגובה ABAB

S(18)=18⋅32=27\begin{aligned}S(18) &= \frac{18 \cdot 3}{2} \\ &= 27\end{aligned}

השטח המקסימלי

השטח המקסימלי 2727 יחידות שטח. בדיקה: ב-t=11t = 11 (השרטוט) השטח 11⋅42=22<27\frac{11 \cdot 4}{2} = 22 < 27 ✓.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade