מבדק פתיחה 3

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מבדק פתיחה 3 — תחילת י״א. המבדק שבית הספר עורך בשבועיים הראשונים של השנה, ברוח עבודת הקיץ: חזרה על החומר של כיתה י. 5 שאלות עם סעיפים, 20 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. שאלה אחת לכל נושא של עבודת הקיץ: הסתברות, סטטיסטיקה, גאומטריה אנליטית משולבת, חקירת פונקציה עם שורש ובעיית קיצון.

כמו בבגרות, כל סעיף מזכיר את התוצאות שלפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. אחרי העלאה בריבוע בודקים כל פתרון במשוואה המקורית, ובבעיית קיצון מוודאים בטבלת סימנים שהנקודה היא באמת מקסימום או מינימום.

Exercises

שאלה 1 — הסתברות: טבלה דו-ממדית

Exercise 1

	5 ק״מ	10 ק״מ	סה״כ
בפעם הראשונה	80	?	130
ותיקים	?	?	?
סה״כ	200	?	400

במרוץ עירוני השתתפו $400$ רצים. כל רץ רץ באחד משני המסלולים, $5$ ק״מ או $10$ ק״מ, וכל רץ משתתף במרוץ בפעם הראשונה או שהוא ותיק. הטבלה מתארת את מספרי הרצים, וחלק מהמשבצות חסרות. א. השלימו את המשבצות החסרות.

בפעם הראשונה, $10$ ק״מ: ____ ; ותיקים, $5$ ק״מ: ____ ; ותיקים, $10$ ק״מ: ____

Show the answer and the solution

Answer: בפעם הראשונה, $10$ ק״מ: 50 ; ותיקים, $5$ ק״מ: 120 ; ותיקים, $10$ ק״מ: 150

Worked solution:

130 - 80 = 50

שורת «בפעם הראשונה»

200 - 80 = 120

עמודת $5$ ק״מ

\begin{aligned}400 - 130 &= 270 \\ \quad 270 - 120 &= 150\end{aligned}

שורת הוותיקים, ואחר כך המשבצת האחרונה

\begin{aligned}50 + 150 &= 200 \\ &= 400 - 200 \ ✓\end{aligned}

בדיקה בעמודת $10$ ק״מ

$50$ , $120$ , $150$ . בכל שורה ובכל עמודה, סכום המשבצות שווה ל-«סה״כ» — זו הבדיקה.

Check the answer on elev

Exercise 2

	5 ק״מ	10 ק״מ	סה״כ
בפעם הראשונה	80	?	130
ותיקים	?	?	?
סה״כ	200	?	400

במרוץ עירוני השתתפו $400$ רצים. כל רץ רץ באחד משני המסלולים, $5$ ק״מ או $10$ ק״מ, וכל רץ משתתף במרוץ בפעם הראשונה או שהוא ותיק. הטבלה מתארת את מספרי הרצים, וחלק מהמשבצות חסרות. לאחר ההשלמה: $150$ ותיקים רצו $10$ ק״מ. ב. בוחרים באקראי רץ. מהי ההסתברות שהוא ותיק שרץ $10$ ק״מ?

Show the answer and the solution

Answer: 0.375

Worked solution:

\begin{aligned}P &= \frac{150}{400} \\ &= 0.375\end{aligned}

חיתוך: משבצת אחת מתוך כל הרצים

$0.375$ . המלכודת: לחלק ב- $0.375$ או ב- $200$ — אין כאן תנאי, ולכן המכנה הוא כל $400$ הרצים.

Check the answer on elev

Exercise 3

	5 ק״מ	10 ק״מ	סה״כ
בפעם הראשונה	80	?	130
ותיקים	?	?	?
סה״כ	200	?	400

במרוץ עירוני השתתפו $400$ רצים. כל רץ רץ באחד משני המסלולים, $5$ ק״מ או $10$ ק״מ, וכל רץ משתתף במרוץ בפעם הראשונה או שהוא ותיק. הטבלה מתארת את מספרי הרצים, וחלק מהמשבצות חסרות. ג. בוחרים באקראי רץ, וידוע שהוא רץ $5$ ק״מ. מהי ההסתברות שהוא משתתף בפעם הראשונה?

Show the answer and the solution

Answer: 0.4

Worked solution:

\begin{aligned}P(\text{F} \mid 5) &= \frac{80}{200} \\ &= 0.4\end{aligned}

המכנה: עמודת $5$ ק״מ, מה שידוע

$0.4$ . המלכודת: $0.4$ — זו ההסתברות ההפוכה, שרץ בפעם הראשונה בחר $5$ ק״מ.

Check the answer on elev

Exercise 4

	5 ק״מ	10 ק״מ	סה״כ
בפעם הראשונה	80	?	130
ותיקים	?	?	?
סה״כ	200	?	400

במרוץ עירוני השתתפו $400$ רצים. כל רץ רץ באחד משני המסלולים, $5$ ק״מ או $10$ ק״מ, וכל רץ משתתף במרוץ בפעם הראשונה או שהוא ותיק. הטבלה מתארת את מספרי הרצים, וחלק מהמשבצות חסרות. לאחר ההשלמה: $130$ רצים בפעם הראשונה, מהם $80$ ב- $5$ ק״מ, ו- $200$ רצים ב- $5$ ק״מ. ד. הוכיחו או הפריכו: המאורעות «הרץ משתתף בפעם הראשונה» ו«הרץ בחר $5$ ק״מ» בלתי תלויים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}P(\text{F}) &= \frac{130}{400} \\ &= 0.325\end{aligned}

ההסתברות בלי תנאי

\begin{aligned}P(\text{F} \mid 5) &= \frac{80}{200} \\ &= 0.4 \ne 0.325\end{aligned}

הידיעה ש« $5$ ק״מ» משנה את ההסתברות

הטענה שגויה: המאורעות תלויים. בקרב רצי $5$ ק״מ החלק של הרצים בפעם הראשונה גדול יותר מבכלל הרצים.

Check the answer on elev

שאלה 2 — סטטיסטיקה: הזמנות בפיצרייה

Exercise 5

מספר ההזמנות בערב	20	25	30	35	40
מספר הערבים	3	5	10	7	5

פיצרייה רשמה במשך $30$ ערבים כמה הזמנות למשלוח התקבלו בכל ערב. הטבלה מתארת את התוצאות. א. חשבו את הממוצע של מספר ההזמנות בערב.

Show the answer and the solution

Answer: 31

Worked solution:

20 \cdot 3 + 25 \cdot 5 + 30 \cdot 10 + 35 \cdot 7 + 40 \cdot 5 = 930

סכום כל ההזמנות בחודש

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{930}{30} \\ &= 31\end{aligned}

מחלקים במספר הערבים

$\bar{x} = 31$ הזמנות בערב. המלכודת: לחשב את ממוצע הערכים $20, 25, \dots, 40$ בלי השכיחויות ולקבל $30$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

מספר ההזמנות בערב	20	25	30	35	40
מספר הערבים	3	5	10	7	5

פיצרייה רשמה במשך $30$ ערבים כמה הזמנות למשלוח התקבלו בכל ערב. הטבלה מתארת את התוצאות. ב. מהו השכיח, ומהו החציון של מספר ההזמנות בערב?

השכיח: ____ ; החציון: ____

Show the answer and the solution

Answer: השכיח: 30 ; החציון: 30

Worked solution:

f(30) = 10

השכיחות הגדולה ביותר: השכיח $30$

3 ,\ 8 ,\ 18

שכיחות מצטברת של $20$ , $25$ , $30$ : המקומות $30$ עד $18$ הם $30$

\begin{aligned}\text{Me} &= \frac{x_{15} + x_{16}}{2} \\ &= \frac{30 + 30}{2} \\ &= 30\end{aligned}

החציון

השכיח $30$ והחציון $30$ , והממוצע $30$ גדול מהם: הערבים העמוסים ( $35$ ו- $35$ ) מושכים את הממוצע למעלה.

Check the answer on elev

Exercise 7

מספר ההזמנות בערב	20	25	30	35	40
מספר הערבים	3	5	10	7	5

פיצרייה רשמה במשך $30$ ערבים כמה הזמנות למשלוח התקבלו בכל ערב. הטבלה מתארת את התוצאות. ג. באיזה אחוז מהערבים התקבלו לפחות $35$ הזמנות?

Show the answer and the solution

Answer: 40

Worked solution:

7 + 5 = 12

ערבים עם $35$ או $40$ הזמנות

\frac{12}{30} \cdot 100 = 40\%

אחוז מתוך כל הערבים

$40\%$ . «לפחות $35$ » כולל את $35$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

מספר ההזמנות בערב	20	25	30	35	40
מספר הערבים	3	5	10	7	5

פיצרייה רשמה במשך $30$ ערבים כמה הזמנות למשלוח התקבלו בכל ערב. הטבלה מתארת את התוצאות. הממוצע $31$ והחציון $31$ . בחודש הבא, בכל ערב התקבלו בדיוק $30$ הזמנות יותר מבערב המקביל בחודש הזה. ד. מהם הממוצע והחציון בחודש הבא?

הממוצע: ____ ; החציון: ____

Show the answer and the solution

Answer: הממוצע: 33 ; החציון: 32

Worked solution:

\begin{aligned}\bar{x}_{\text{new}} &= \frac{930 + 30 \cdot 2}{30} \\ &= 31 + 2 \\ &= 33\end{aligned}

כל נתון גדל ב- $2$ , ולכן הסכום גדל ב- $2$

\begin{aligned}\text{Me}_{\text{new}} &= 30 + 2 \\ &= 32\end{aligned}

הסדר לא השתנה: הנתונים האמצעיים גדלו גם הם ב- $2$

הממוצע $33$ והחציון $33$ . הוספת קבוע לכל הנתונים מזיזה את הממוצע, את החציון ואת השכיח באותו קבוע.

Check the answer on elev

שאלה 3 — גאומטריה משולבת: טרפז ואלכסוניו

Exercise 9

נתון המרובע $ABCD$ : $A(-3, -3)$ , $B(5, -1)$ , $C(3, 3)$ , $D(-1, 2)$ . א. מהו סוג המרובע $ABCD$ ?

דלתון — $AC \perp BD$
מרובע שאין לו צלעות מקבילות
מקבילית — $AB \parallel DC$
טרפז — $AB \parallel DC$ , ו- $AD$ אינה מקבילה ל- $BC$

Show the answer and the solution

Answer: D טרפז — $AB \parallel DC$ , ו- $AD$ אינה מקבילה ל- $BC$

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{-1 + 3}{5 + 3} \\ &= \frac{1}{4} \\ \quad m_{DC} &= \frac{3 - 2}{3 + 1} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

שיפועים שווים: $AB \parallel DC$

\begin{aligned}m_{AD} &= \frac{2 + 3}{-1 + 3} \\ &= \frac{5}{2} \\ \quad m_{BC} &= \frac{3 + 1}{3 - 5} \\ &= -2\end{aligned}

הזוג השני אינו מקביל

טרפז: זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות. המלכודת: לעצור אחרי $AB \parallel DC$ ולקבוע «מקבילית» — במקבילית גם $AD \parallel BC$ . והאלכסונים אינם מאונכים: $m_{AC} \cdot m_{BD} = 1 \cdot (-\frac{1}{2}) \ne -1$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

נתון המרובע $ABCD$ : $A(-3, -3)$ , $B(5, -1)$ , $C(3, 3)$ , $D(-1, 2)$ . המרובע הוא טרפז, $AB \parallel DC$ . ב. האלכסונים $AC$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $M$ . מצאו את שיעורי $M$ .

$M$ ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: $M =$ ( 1 , 1 )

Worked solution:

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{3 + 3}{3 + 3} \\ &= 1 \Rightarrow AC:\ y \\ &= x\end{aligned}

האלכסון $AC$ עובר בראשית

\begin{aligned}m_{BD} &= \frac{2 + 1}{-1 - 5} \\ &= -\frac{1}{2} \Rightarrow BD:\ y \\ &= -0.5x + 1.5\end{aligned}

ישר דרך $B$ : $B$

\begin{aligned}x &= -0.5x + 1.5 \Rightarrow x \\ &= 1 \\ \ y &= 1\end{aligned}

משווים את המשוואות

$M(1, 1)$ . המלכודת: לקחת את אמצע $AC$ , $(0, 0)$ — בטרפז האלכסונים אינם חוצים זה את זה.

Check the answer on elev

Exercise 11

נתון המרובע $ABCD$ : $A(-3, -3)$ , $B(5, -1)$ , $C(3, 3)$ , $D(-1, 2)$ . $AB \parallel DC$ , והאלכסונים נחתכים ב- $M(1, 1)$ . ג. הסבירו מדוע $\triangle ABM \sim \triangle CDM$ , ומצאו את יחס השטחים $\frac{S_{ABM}}{S_{CDM}}$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}\angle BAM &= \angle DCM \\ \ \angle AMB &= \angle CMD\end{aligned}

זוויות מתחלפות בין המקבילים $AB$ ו- $DC$ , וזוויות קודקודיות: ז.ז

\begin{aligned}AB &= \sqrt{8^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{68} \\ \quad DC &= \sqrt{4^2 + 1^2} \\ &= \sqrt{17}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}k &= \frac{AB}{CD} \\ &= \sqrt{\frac{68}{17}} \\ &= 2\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}\frac{S_{ABM}}{S_{CDM}} &= k^2 \\ &= 4\end{aligned}

יחס השטחים: ריבוע יחס הדמיון

יחס השטחים $4$ . בדיקה: $4$ ו- $MC = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ — שוב יחס $2$ ✓.

Check the answer on elev

Exercise 12

נתון המרובע $ABCD$ : $A(-3, -3)$ , $B(5, -1)$ , $C(3, 3)$ , $D(-1, 2)$ . האלכסונים: $AC:\ y = x$ ו- $BD:\ y = -0.5x + 1.5$ . ד. חשבו את הזווית החדה שבין האלכסונים (במעלות). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 71.57

Worked solution:

\begin{aligned}\tan\alpha &= 1 \Rightarrow \alpha \\ &= 45^\circ\end{aligned}

זווית השיפוע של $AC$

\begin{aligned}\tan\beta &= -0.5 \Rightarrow \beta \approx 180^\circ - 26.57^\circ \\ &= 153.43^\circ\end{aligned}

זווית השיפוע של $BD$ קהה, כי השיפוע שלילי

\beta - \alpha \approx 108.43^\circ \Rightarrow 180^\circ - 108.43^\circ = 71.57^\circ

הזווית החדה בין הישרים היא המשלימה

$\approx 71.57^\circ$ . המלכודת: $45^\circ - 26.57^\circ = 18.43^\circ$ — זה מתעלם מכך ש- $BD$ יורד; זוויות השיפוע נמדדות מהכיוון החיובי של ציר ה- $x$ .

Check the answer on elev

שאלה 4 — חקירת פונקציה עם שורש

Exercise 13

נתונה הפונקציה $f(x) = 2\sqrt{x + 3} - x$ . א. מצאו את תחום ההגדרה של $f$ ואת נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- $f$ .

תחום ההגדרה: $x \ge$ ____ ; חיתוך עם ציר ה- $x$ : $x$ ____

Show the answer and the solution

Answer: תחום ההגדרה: $x \ge$ -3 ; חיתוך עם ציר ה- $x$ : $x$ 6

Worked solution:

x + 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3

ביטוי בתוך שורש אי-שלילי

\begin{aligned}2\sqrt{x + 3} &= x \Rightarrow 4(x + 3) \\ &= x^2\end{aligned}

משווים לאפס, מבודדים את השורש ומעלים בריבוע

\begin{aligned}x^2 - 4x - 12 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 6 \\ \quad x &= -2\end{aligned}

פותרים

\begin{aligned}f(-2) &= 2 + 2 \\ &= 4 \ne 0 \\ \quad f(6) &= 6 - 6 \\ &= 0\end{aligned}

בודקים: $x = -2$ נפסל

$x \ge -3$ , וחיתוך אחד עם ציר ה- $x$ : $(6, 0)$ . המלכודת: להשאיר את $x = -2$ — שם $x < 0$ , ושורש אינו שווה למספר שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 14

נתונה הפונקציה $f(x) = 2\sqrt{x + 3} - x$ . ב. מהי הנגזרת $f'(x)$ , בתחום $x > -3$ ?

$\dfrac{1}{2\sqrt{x + 3}} - 1$
$\dfrac{1}{\sqrt{x + 3}} - 1$
$\dfrac{2}{\sqrt{x + 3}} - 1$
$\dfrac{1}{\sqrt{x + 3}} - x$

Show the answer and the solution

Answer: B $\dfrac{1}{\sqrt{x + 3}} - 1$

Worked solution:

(\sqrt{x + 3})' = \frac{1}{2\sqrt{x + 3}}

נגזרת השורש; נגזרת הפנים $1$

\begin{aligned}f'(x) &= 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 3}} - 1 \\ &= \frac{1}{\sqrt{x + 3}} - 1\end{aligned}

המקדם $2$ מצטמצם עם ה- $2$ שבמכנה

$\frac{1}{\sqrt{x + 3}} - 1$ . המלכודת: לשכוח לצמצם, או לשכוח את ה- $2$ של נגזרת השורש ולקבל $2$ .

Check the answer on elev

Exercise 15

נתונה הפונקציה $f(x) = 2\sqrt{x + 3} - x$ . הנגזרת: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 3}} - 1$ . ג. מהם תחומי העלייה והירידה של $f$ , ומהי נקודת הקיצון הפנימית שלה?

עולה ב- $-3 < x < -2$ , יורדת ב- $x > -2$ ; מקסימום $(-2, 2)$
עולה ב- $x < -2$ , יורדת ב- $x > -2$ ; מקסימום $(-2, 4)$
עולה ב- $-3 < x < -2$ , יורדת ב- $x > -2$ ; מקסימום $(-2, 4)$
יורדת ב- $-3 < x < -2$ , עולה ב- $x > -2$ ; מינימום $(-2, 4)$

Show the answer and the solution

Answer: C עולה ב- $-3 < x < -2$ , יורדת ב- $x > -2$ ; מקסימום $(-2, 4)$

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{x + 3}} &= 1 \Rightarrow x + 3 \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

משווים את הנגזרת לאפס

\begin{aligned}f'(-2.75) &= 2 - 1 > 0 \\ \quad f'(1) &= 0.5 - 1 < 0\end{aligned}

טבלת סימנים: עלייה ואחריה ירידה

\begin{aligned}f(-2) &= 2\sqrt{1} + 2 \\ &= 4\end{aligned}

ערך הפונקציה

עולה ב- $-3 < x < -2$ , יורדת ב- $x > -2$ , ומקסימום $(-2, 4)$ ; בקצה $(-3, 3)$ מינימום קצה. המלכודת: «עולה ב- $x < -2$ » — משמאל ל- $-3$ הפונקציה לא מוגדרת. ו- $(-2, 2)$ שוכח את $-x = +2$ .

Check the answer on elev

Exercise 16

נתונה הפונקציה $f(x) = 2\sqrt{x + 3} - x$ . הנגזרת: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 3}} - 1$ . ד. המשיק לגרף $f$ בנקודה $A$ מקביל לישר $A$ . מצאו את שיעורי $A$ ואת משוואת המשיק.

$A =$ ( ____ , ____ ) ; המשיק: $y =$ ____ $x +$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $A =$ ( 13 , -5 ) ; המשיק: $y =$ -0.75 $x +$ 4.75

Worked solution:

\begin{aligned}4y &= -3x + 8 \Rightarrow m \\ &= -\frac{3}{4}\end{aligned}

שיפוע הישר הנתון: מבודדים את $y$

\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{x + 3}} - 1 &= -\frac{3}{4} \Rightarrow \sqrt{x + 3} \\ &= 4 \Rightarrow x \\ &= 13\end{aligned}

ישרים מקבילים: השיפוע של המשיק שווה

\begin{aligned}f(13) &= 2 \cdot 4 - 13 \\ &= -5\end{aligned}

נקודת ההשקה $A(13, -5)$

\begin{aligned}y + 5 &= -0.75(x - 13) \Rightarrow y \\ &= -0.75x + 4.75\end{aligned}

משוואת המשיק

$A(13, -5)$ והמשיק $y = -0.75x + 4.75$ (או $3x + 4y = 19$ ). המלכודת: לקחת את השיפוע $3$ או $-3$ ישר מהמשוואה — קודם מבודדים את $y$ .

Check the answer on elev

שאלה 5 — בעיית קיצון: הנקודה הקרובה ביותר

Exercise 17

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = \sqrt{2x}$ והנקודה $P(5, 0)$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה, ושיעור ה- $x$ שלה הוא $x$ ( $x$ ). א. הביעו בעזרת $x$ את ריבוע המרחק $x$ .

$AP^2 = (x - 5)^2 + \sqrt{2x}$
$AP^2 = x^2 - 8x + 5$
$AP^2 = x^2 - 8x + 25$
$AP^2 = x^2 - 10x + 25$

Show the answer and the solution

Answer: C $AP^2 = x^2 - 8x + 25$

Worked solution:

A(x, \sqrt{2x}) ,\quad P(5, 0)

שיעורי הנקודות

AP^2 = (x - 5)^2 + (\sqrt{2x} - 0)^2

נוסחת המרחק בריבוע

= x^2 - 10x + 25 + 2x = x^2 - 8x + 25

השורש בריבוע נותן $2x$

$AP^2 = x^2 - 8x + 25$ . המלכודת: לשכוח להעלות את $\sqrt{2x}$ בריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 18

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = \sqrt{2x}$ והנקודה $P(5, 0)$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה, ושיעור ה- $x$ שלה הוא $x$ ( $x$ ). ריבוע המרחק הוא $AP^2 = x^2 - 8x + 25$ . ב. לאיזה ערך של $x$ המרחק $AP$ מינימלי?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}d(x) &= \sqrt{x^2 - 8x + 25} \\ \quad d'(x) &= \frac{2x - 8}{2\sqrt{x^2 - 8x + 25}}\end{aligned}

נגזרת של שורש של פונקציה

\begin{aligned}2x - 8 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

המכנה חיובי: הנגזרת מתאפסת כשהמונה מתאפס

d'(3) < 0 ,\quad d'(5) > 0

ירידה ואחריה עלייה: מינימום

$x = 4$ , כלומר $A(4, \sqrt{8})$ . אפשר גם בקיצור: המרחק מינימלי בדיוק כשריבועו מינימלי, והפרבולה $x^2 - 8x + 25$ מינימלית בקודקוד $x = 4$ .

Check the answer on elev

Exercise 19

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = \sqrt{2x}$ והנקודה $P(5, 0)$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה, ושיעור ה- $x$ שלה הוא $x$ ( $x$ ). ריבוע המרחק הוא $AP^2 = x^2 - 8x + 25$ , והמרחק מינימלי כאשר $x = 4$ . ג. מהו המרחק המינימלי $AP$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\begin{aligned}AP^2 &= 16 - 32 + 25 \\ &= 9\end{aligned}

מציבים $x = 4$

\begin{aligned}AP &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

מוציאים שורש

$AP = 3$ . המלכודת: לעצור ב- $9$ — זה ריבוע המרחק.

Check the answer on elev

Exercise 20

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = \sqrt{2x}$ והנקודה $P(5, 0)$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה, ושיעור ה- $x$ שלה הוא $x$ ( $x$ ). המרחק $AP$ מינימלי כאשר $A(4, \sqrt{8})$ . ד. הוכיחו או הפריכו: בנקודה זו הקטע $AP$ מאונך למשיק לגרף $f$ בנקודה $f$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2}{2\sqrt{2x}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2x}} \Rightarrow f'(4) \\ &= \frac{1}{\sqrt{8}}\end{aligned}

שיפוע המשיק ב- $A$

\begin{aligned}m_{AP} &= \frac{\sqrt{8} - 0}{4 - 5} \\ &= -\sqrt{8}\end{aligned}

שיפוע הקטע $AP$

\frac{1}{\sqrt{8}} \cdot (-\sqrt{8}) = -1

מכפלת השיפועים $-1$ : מאונכים

הטענה נכונה. זה לא מקרה: הקטע הקצר ביותר מנקודה לעקומה מאונך למשיק בנקודה הקרובה ביותר.

Check the answer on elev

Words in this lesson

שנה: shana year
סעיף: se’if part (of a question)
סך הכול: sakh ha-kol in total, altogether
דקה: daka minute
הסתברות: histabrut probability
חקירת פונקציה: ḥakirat funktsia curve sketching, function analysis
שורש: shoresh square root
בעיית קיצון: ba’ayat kitson optimization problem
פתרון: pitaron solution
משוואה: mishva’a equation
טבלת סימנים: tavlat simanim sign chart
נקודה: nekuda point
מקסימום: maksimum maximum
מינימום: minimum minimum
ק״מ (קילומטר): kilometer kilometer (km)
טבלה: tavla table
השלימו: hashlimu complete, fill in
עמודה: amuda column; bar (of a chart)
סכום: skhum sum
אקראי: akra’i random, at random
מתוך: mitokh out of
מלכודת: malkodet trap
תנאי: tnai condition
מכנה: mekhane denominator
הוכיחו: hokhiḥu prove
הפריכו: hafrikhu disprove
מאורע: me’ora event
בלתי תלויים: bilti tluyim independent
טענה: ta’ana claim
שגוי: shagui wrong, incorrect
מאורעות תלויים: me’orot tluyim dependent events
משך: meshekh duration, length of time
חשבו: ḥishvu calculate
ממוצע: memutsa average
חודש: ḥodesh month
שכיחות: shkhiḥut frequency
שכיח: shakhiaḥ mode
חציון: ḥetsyon median
שכיחות מצטברת: shkhiḥut mitstaberet cumulative frequency
אחוז: aḥuz percent
לפחות: lefaḥot at least
מקבילים: makbilim parallel
נתון: natun given
נתונים: netunim data
קבוע: kavua constant
מרובע: meruba quadrilateral
שיפוע: shipua slope
טרפז: trapez trapezoid (UK: trapezium)
צלע: tsela side
מקבילית: makbilit parallelogram
אלכסון: alakhson diagonal
מאונכים: me’unakhim perpendicular
נחתכים: neḥtakhim intersect
מצאו: mits’u find
שיעורים (של נקודה): shiurim coordinates
ראשית הצירים: reshit ha-tsirim origin
ישר: yashar line
חוצה: ḥotse bisects
הסבירו: hasbiru explain
יחס השטחים: yaḥas ha-shetaḥim ratio of areas
זוויות מתחלפות: zaviyot mitḥalfot alternate angles
זוויות קודקודיות: zaviyot kodkodiyot vertical angles
נוסחת המרחק: nusḥat ha-merḥak distance formula
יחס הדמיון: yaḥas ha-dimyon similarity ratio
ריבוע: ribua square
יחס: yaḥas ratio
זווית חדה: zavit ḥada acute angle
מעלה: ma’ala degree
עגלו: agelu round
ספרות אחרי הנקודה: sfarot aḥarei ha-nekuda decimal places
זווית: zavit angle
שלילי: shlili negative
חיובי: ḥiyuvi positive
ציר: tsir axis
פונקציה: funktsia function
תחום ההגדרה: tḥum ha-hagdara domain of definition
נקודת חיתוך: nekudat khitukh intersection point
גרף: graf graph
ביטוי אלגברי: bitui algebri algebraic expression
נפסל: nifsal rejected
נגזרת: nigzeret derivative
מקדם: mekadem coefficient
תחום עלייה: tḥum aliya interval of increase
נקודת קיצון: nekudat kitson extremum
פונקציה יורדת: funktsia yoredet decreasing function
מוגדרת: mugderet defined
משיק: mashik tangent
משוואת המשיק: mishva’at ha-mashik equation of the tangent
נקודת השקה: nekudat hashaka point of tangency
הביעו: habi’u express
מרחק: merḥak distance
מתאפס: mitapes equals zero, vanishes
מונה: moneh numerator
פרבולה: parabola parabola
קודקוד: kodkod vertex
להציב: lehatsiv to substitute
קטע: keta line segment
שיפוע המשיק: shipua ha-mashik slope of the tangent
מכפלה: makhpela product
נכון: nakhon true, correct

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elev Discover elev for this grade