סימולציית בגרות 1

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

סימולציית בגרות 1 — שאלון 35571, 5 יח״ל. המבנה של תשפ״ז: ארבעה פרקים, 8 שאלות, 3 שעות ו-45 דקות. עליכם לענות על 5 שאלות: לפחות שאלה אחת מהפרק הראשון או מהפרק השני, ולפחות שאלה אחת מכל אחד מהפרקים השלישי והרביעי. לכל שאלה 20 נקודות. פרק ראשון — שאלות קצרות: שאלה 1, ובה ארבעה סעיפים; מי שבוחר בה עונה על 2 סעיפים מתוך 4. פרק שני — אינדוקציה, סדרות והסתברות: שאלות 2 ו-3. פרק שלישי — גאומטריה וטריגונומטריה במישור: שאלות 4 ו-5. פרק רביעי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: שאלות 6, 7 ו-8. מותר להשתמש בנוסחאון ל-5 יח״ל ובמחשבון שאינו גרפי. שאלה 1: אינדוקציה, פונקציית צבירה, משיקים ומרובע חסום, אסימפטוטות. שאלה 2: סדרה הנדסית אינסופית. שאלה 3: הסתברות מותנית, ברנולי ו«עד ההצלחה הראשונה». שאלה 4: משיק וחותך. שאלה 5: משפט הסינוסים ומעגל חסום. שאלה 6: פונקציה רציונלית עם פרמטר. שאלה 7: פונקציה טריגונומטרית. שאלה 8: בעיית קיצון בחצי מעגל.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, כדי שתוכלו להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש. כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. לפני שמתחילים לכתוב, הקדישו חמש דקות לבחירה: עברו על כל השאלות וסמנו את חמש השאלות שאתם בטוחים בהן. בגאומטריה כתבו משפט לכל שורה; בחקירה בנו טבלת סימנים לפני שקובעים סוג קיצון; והציבו את הזוויות במחשבון במצב הנכון — מעלות או רדיאנים.

Exercises

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף א: אינדוקציה)

Exercise 1

נתונה הטענה: 1⋅3+2⋅4+3⋅5+⋯+n(n+2)=n(n+1)(2n+a)61 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + n(n+2) = \frac{n(n+1)(2n+a)}{6} לכל nn טבעי, ו-aa מספר קבוע. סעיף א (1). מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

n=1: 1⋅3=1⋅2⋅(2+a)6\begin{aligned}n &= 1: \ 1 \cdot 3 \\ &= \frac{1 \cdot 2 \cdot (2 + a)}{6}\end{aligned}

מציבים n=1n = 1: באגף שמאל יש מחובר אחד בלבד

3=2+a3⇒a=7\begin{aligned}3 &= \frac{2 + a}{3} \Rightarrow a \\ &= 7\end{aligned}

פותרים

n=2: 3+8=11=2⋅3⋅116\begin{aligned}n &= 2: \ 3 + 8 \\ &= 11 \\ &= \frac{2 \cdot 3 \cdot 11}{6}\end{aligned}

בדיקה עם n=2n = 2

a=7a = 7. המלכודת: לכתוב באגף שמאל 1+3=41 + 3 = 4 — המחובר הראשון הוא מכפלה, 1⋅31 \cdot 3, ולא שני מחוברים.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הטענה: 1⋅3+2⋅4+3⋅5+⋯+n(n+2)=n(n+1)(2n+a)61 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + n(n+2) = \frac{n(n+1)(2n+a)}{6} לכל nn טבעי, ו-aa מספר קבוע. נמצא a=7a = 7. סעיף א (2). בשלב המעבר מניחים שהטענה נכונה עבור n=kn = k, ומוסיפים לשני האגפים את המחובר (k+1)(k+3)(k+1)(k+3). אחרי הוצאת הגורם המשותף k+16\frac{k+1}{6} נשאר בסוגריים הביטוי k(2k+7)+6(k+3)k(2k+7) + 6(k+3). השלימו:

k(2k+7)+6(k+3)=2k2+k(2k+7) + 6(k+3) = 2k^2 + ____ k+18=(k+2)(2k+k + 18 = (k+2)(2k + ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: k(2k+7)+6(k+3)=2k2+k(2k+7) + 6(k+3) = 2k^2 + 13 k+18=(k+2)(2k+k + 18 = (k+2)(2k + 9 ))

Worked solution:

k(2k+7)+6(k+3)=2k2+7k+6k+18=2k2+13k+18\begin{aligned}k(2k+7) + 6(k+3) &= 2k^2 + 7k + 6k + 18 \\ &= 2k^2 + 13k + 18\end{aligned}

פותחים סוגריים

2k2+13k+18=(k+2)(2k+9)2k^2 + 13k + 18 = (k+2)(2k+9)

פירוק הטרינום

(k+1)(k+2)(2k+9)6=(k+1)(k+2)(2(k+1)+7)6\frac{(k+1)(k+2)(2k+9)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+7)}{6}

זו בדיוק הטענה עבור n=k+1n = k+1

המטרה היא (k+1)(k+2)(2k+9)6\frac{(k+1)(k+2)(2k+9)}{6}: כל nn מוחלף ב-k+1k+1, ולכן 2n+72n + 7 הופך ל-2k+92k + 9. המלכודת: להוסיף את המחובר k(k+2)k(k+2) — המחובר החדש הוא ה-(k+1)(k+1), (k+1)(k+3)(k+1)(k+3).

Check the answer on elev

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף ב: פונקציית צבירה)

Exercise 3

הגרף של f
01234-2-11234xy

בשרטוט הגרף של הפונקציה ff בתחום 0≤x≤40 \le x \le 4. הגרף חותך את ציר ה-xx בנקודות x=1x = 1 ו-x=3x = 3. השטח הכלוא בין גרף ff לציר ה-xx בתחום 0≤x≤10 \le x \le 1 הוא 43\frac{4}{3}, וגם בתחום 1≤x≤31 \le x \le 3 השטח הוא 43\frac{4}{3}. מגדירים g(x)=∫0xf(t) dtg(x) = \int_0^x f(t)\,dt. סעיף ב (1). באיזה xx יש לפונקציה gg נקודת מקסימום מקומי, בתחום 0<x<40 < x < 4?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

g′(x)=f(x)g'(x) = f(x)

המשפט היסודי: הנגזרת של פונקציית הצבירה היא הפונקציה שמתחת לאינטגרל

0<x<1: g′>0,1<x<3: g′<00<x<1: \ g'>0, \quad 1<x<3: \ g'<0

לפי הגרף: ff חיובית ואחר כך שלילית

x=1x = 1

gg עולה ואז יורדת — מקסימום

המקסימום של gg ב-x=1x = 1, שם ff עוברת מחיובית לשלילית. המלכודת: לענות x=2x = 2, המינימום של ff — שם הנגזרת של gg מינימלית, וזו נקודת פיתול של gg, לא קיצון.

Check the answer on elev

Exercise 4

הגרף של f
01234-2-11234xy

בשרטוט הגרף של הפונקציה ff בתחום 0≤x≤40 \le x \le 4. הגרף חותך את ציר ה-xx בנקודות x=1x = 1 ו-x=3x = 3. השטח הכלוא בין גרף ff לציר ה-xx בתחום 0≤x≤10 \le x \le 1 הוא 43\frac{4}{3}, וגם בתחום 1≤x≤31 \le x \le 3 השטח הוא 43\frac{4}{3}. מגדירים g(x)=∫0xf(t) dtg(x) = \int_0^x f(t)\,dt. סעיף ב (2). חשבו את g(3)g(3).

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

∫01f(t) dt=43\int_0^1 f(t)\,dt = \frac{4}{3}

בתחום הזה הגרף מעל הציר: האינטגרל שווה לשטח

∫13f(t) dt=−43\int_1^3 f(t)\,dt = -\frac{4}{3}

כאן הגרף מתחת לציר: האינטגרל שווה למינוס השטח

g(3)=43−43=0\begin{aligned}g(3) &= \frac{4}{3} - \frac{4}{3} \\ &= 0\end{aligned}

אדיטיביות האינטגרל

g(3)=0g(3) = 0. המלכודת: לחבר את שני השטחים ולקבל 83\frac{8}{3} — אינטגרל של קטע שבו הגרף מתחת לציר ה-xx הוא שלילי.

Check the answer on elev

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף ג: גאומטריה)

Exercise 5

50°OABPC

מנקודה PP שמחוץ למעגל שמרכזו OO יוצאים שני משיקים למעגל, PAPA ו-PBPB (AA ו-BB נקודות ההשקה). הנקודה CC נמצאת על הקשת הגדולה ABAB. נתון ∠APB=50∘\angle APB = 50^\circ. סעיף ג (1). איזה משפט מבטיח שאפשר לחסום את המרובע PAOBPAOB במעגל?

  1. זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
  2. שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה
  3. מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ — אפשר לחסום אותו במעגל
  4. במקבילית כל זוג זוויות נגדיות שוות
Show the answer and the solution

Answer: C מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ — אפשר לחסום אותו במעגל

Worked solution:

∠OAP=∠OBP=90∘\begin{aligned}\angle OAP &= \angle OBP \\ &= 90^\circ\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

∠OAP+∠OBP=180∘\angle OAP + \angle OBP = 180^\circ

שתי הזוויות נגדיות במרובע PAOBPAOB

⇒\Rightarrow

מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות 180∘180^\circ — חסום במעגל

הנכונה: סכום זוג זוויות נגדיות 180∘180^\circ. המלכודת: «שני משיקים שווים» — זה נכון, אבל שוויון צלעות לא אומר דבר על חסימה במעגל; ובזוויות היקפיות משתמשים אחרי שיודעים שיש מעגל.

Check the answer on elev

Exercise 6

50°OABPC

מנקודה PP שמחוץ למעגל שמרכזו OO יוצאים שני משיקים למעגל, PAPA ו-PBPB (AA ו-BB נקודות ההשקה). הנקודה CC נמצאת על הקשת הגדולה ABAB. נתון ∠APB=50∘\angle APB = 50^\circ. סעיף ג (2). חשבו את ∠ACB\angle ACB (במעלות).

Show the answer and the solution

Answer: 65

Worked solution:

∠AOB=360∘−90∘−90∘−50∘=130∘\begin{aligned}\angle AOB &= 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ \\ &= 130^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במרובע PAOBPAOB הוא 360∘360^\circ

∠ACB=130∘2=65∘\begin{aligned}\angle ACB &= \frac{130^\circ}{2} \\ &= 65^\circ\end{aligned}

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

∠ACB=65∘\angle ACB = 65^\circ. המלכודת: לענות 130∘130^\circ ולשכוח לחלק ב-22; או 50∘50^\circ — להעתיק את הזווית שב-PP, שאינה זווית היקפית.

Check the answer on elev

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף ד: אסימפטוטות)

Exercise 7

נתונה הפונקציה f(x)=2x+1x−3f(x) = \frac{2x+1}{x-3}. סעיף ד (1). חשבו את השטח של התחום הסגור שבין שתי האסימפטוטות של ff לבין הצירים.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

x=3x = 3

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס והמונה לא

y=21=2\begin{aligned}y &= \frac{2}{1} \\ &= 2\end{aligned}

אסימפטוטה אופקית: מעלת המונה שווה למעלת המכנה, היחס בין המקדמים המובילים

S=3⋅2=6\begin{aligned}S &= 3 \cdot 2 \\ &= 6\end{aligned}

צלעות המלבן: המרחק של כל אסימפטוטה מהציר המקביל לה

השטח 66. המלכודת: לקחת את y=0y = 0 כאסימפטוטה אופקית «כי זה שבר» — כשהמעלות שוות, האסימפטוטה היא יחס המקדמים.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הפונקציה f(x)=2x+1x−3f(x) = \frac{2x+1}{x-3}. מגדירים g(x)=f(x)+mg(x) = f(x) + m, ו-m>0m > 0. סעיף ד (2). השטח של התחום הסגור שבין שתי האסימפטוטות של gg לבין הצירים הוא 1515. מצאו את mm.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x=3y=2+m\begin{aligned}x &= 3 \\ \quad y &= 2 + m\end{aligned}

הזזה אנכית מזיזה רק את האסימפטוטה האופקית

3(2+m)=15⇒m=3\begin{aligned}3(2 + m) &= 15 \Rightarrow m \\ &= 3\end{aligned}

שטח המלבן

m=3m = 3. המלכודת: להזיז גם את האסימפטוטה האנכית — הוספת קבוע לפונקציה מזיזה את הגרף למעלה, והישר x=3x = 3 נשאר במקומו.

Check the answer on elev

שאלה 2 — סדרה הנדסית אינסופית

Exercise 9

נתונה סדרה הנדסית אינסופית ana_n שכל איבריה חיוביים, ומנתה qq מקיימת 0<q<10 < q < 1. מגדירים סדרה חדשה: bn=an+an+1b_n = a_n + a_{n+1}. א. הסדרה bnb_n הנדסית. מהי המנה שלה?

  1. q2q^2
  2. qq
  3. 2q2q
  4. 1+q1 + q
Show the answer and the solution

Answer: B qq

Worked solution:

bn+1bn=an+1+an+2an+an+1\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{a_{n+1} + a_{n+2}}{a_n + a_{n+1}}

מנת שני איברים עוקבים

=qan+qan+1an+an+1=q= \frac{q a_n + q a_{n+1}}{a_n + a_{n+1}} = q

כל איבר ב-ana_n הוא הקודם כפול qq

המנה היא qq: המנה קבועה, ולכן bnb_n הנדסית. המלכודת: 1+q1 + q — זה היחס b1a1\frac{b_1}{a_1}, לא היחס בין שני איברים עוקבים של bnb_n.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה סדרה הנדסית אינסופית ana_n שכל איבריה חיוביים, ומנתה qq מקיימת 0<q<10 < q < 1. מגדירים סדרה חדשה: bn=an+an+1b_n = a_n + a_{n+1}. נתון: סכום כל איברי ana_n הוא 3636, וסכום כל איברי bnb_n הוא 6060. ב. מצאו את a1a_1 ואת qq (את qq עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

a1=a_1 = ____ , q=q = ____

Show the answer and the solution

Answer: a1=a_1 = 12 , q=q = 0.67

Worked solution:

b1=a1+a2=a1(1+q)\begin{aligned}b_1 &= a_1 + a_2 \\ &= a_1(1 + q)\end{aligned}

האיבר הראשון של bnb_n, ומנתה qq

a1(1+q)1−q=(1+q)⋅36=60\begin{aligned}\frac{a_1(1+q)}{1-q} &= (1+q) \cdot 36 \\ &= 60\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת, a11−q\frac{a_1}{1-q}

1+q=53⇒q=23\begin{aligned}1 + q &= \frac{5}{3} \Rightarrow q \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}
a1=36(1−23)=12\begin{aligned}a_1 &= 36 \left(1 - \frac{2}{3}\right) \\ &= 12\end{aligned}

a1=12a_1 = 12 ו-q=23q = \frac{2}{3}. המלכודת: לחשב את סכום bnb_n עם a1a_1 במקום b1=a1(1+q)b_1 = a_1(1+q).

Check the answer on elev

Exercise 11

נתונה סדרה הנדסית אינסופית ana_n שכל איבריה חיוביים, ומנתה qq מקיימת 0<q<10 < q < 1. מגדירים סדרה חדשה: bn=an+an+1b_n = a_n + a_{n+1}. נמצא a1=12a_1 = 12 ו-q=23q = \frac{2}{3}. ג. חשבו את סכום האיברים של ana_n שעומדים במקומות הזוגיים: a2+a4+a6+…a_2 + a_4 + a_6 + \dots

Show the answer and the solution

Answer: 14.4

Worked solution:

a2=12⋅23=8\begin{aligned}a_2 &= 12 \cdot \frac{2}{3} \\ &= 8\end{aligned}

האיבר הראשון של הסדרה החלקית

a4a2=q2=49\begin{aligned}\frac{a_4}{a_2} &= q^2 \\ &= \frac{4}{9}\end{aligned}

מדלגים על איבר: המנה של הסדרה החלקית היא q2q^2

S=81−49=725=14.4\begin{aligned}S &= \frac{8}{1 - \frac{4}{9}} \\ &= \frac{72}{5} \\ &= 14.4\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית אינסופית

הסכום 14.414.4. המלכודת: להשאיר את המנה qq ולקבל 2424 — בין a2a_2 ל-a4a_4 יש שתי «קפיצות».

Check the answer on elev

Exercise 12

נתונה סדרה הנדסית אינסופית ana_n שכל איבריה חיוביים, ומנתה qq מקיימת 0<q<10 < q < 1. מגדירים סדרה חדשה: bn=an+an+1b_n = a_n + a_{n+1}. נמצא a1=12a_1 = 12 ו-q=23q = \frac{2}{3}. ד. מהו המקום של האיבר הראשון בסדרה ana_n שקטן מ-11?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

an=12⋅(23)n−1<1a_n = 12 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} < 1

האיבר הכללי

a7=12⋅64729≈1.05a8=12⋅1282187≈0.70\begin{aligned}a_7 &= 12 \cdot \frac{64}{729} \approx 1.05 \\ \quad a_8 &= 12 \cdot \frac{128}{2187} \approx 0.70\end{aligned}

הסדרה יורדת: בודקים איברים עוקבים

n=8n = 8

האיבר השמיני. המלכודת: לעצור ב-a7≈1.05a_7 \approx 1.05, שנראה «כמעט 11» — הוא עדיין גדול מ-11.

Check the answer on elev

שאלה 3 — הסתברות מותנית ובינומית

Exercise 13

בעיר מסוימת, בחלק pp מהימים יורד גשם. ביום גשום ההסתברות שרכבת הבוקר תאחר היא 0.40.4, וביום בלי גשם ההסתברות היא 0.10.1. א. מהי ההסתברות שרכבת הבוקר תאחר ביום אקראי, כפונקציה של pp?

  1. 0.4p+0.10.4p + 0.1
  2. 0.5p0.5p
  3. 0.1+0.3p0.1 + 0.3p
  4. 0.4p0.4p
Show the answer and the solution

Answer: C 0.1+0.3p0.1 + 0.3p

Worked solution:

P=p⋅0.4+(1−p)⋅0.1P = p \cdot 0.4 + (1 - p) \cdot 0.1

נוסחת ההסתברות השלמה: שני ענפים בעץ

=0.1+0.3p= 0.1 + 0.3p

מכנסים איברים

הנכונה: 0.1+0.3p0.1 + 0.3p. המלכודת: 0.4p+0.10.4p + 0.1 — לשכוח שהענף של יום בלי גשם הוא (1−p)⋅0.1(1 - p) \cdot 0.1, ולא 0.10.1.

Check the answer on elev

Exercise 14

בעיר מסוימת, בחלק pp מהימים יורד גשם. ביום גשום ההסתברות שרכבת הבוקר תאחר היא 0.40.4, וביום בלי גשם ההסתברות היא 0.10.1. ההסתברות שהרכבת תאחר ביום אקראי היא 0.1+0.3p0.1 + 0.3p. ידוע שביום מסוים הרכבת איחרה, וההסתברות שבאותו יום ירד גשם היא 0.50.5. ב. מצאו את pp.

Show the answer and the solution

Answer: 0.2

Worked solution:

P(גשם∣איחור)=0.4p0.1+0.3pP(\text{גשם} \mid \text{איחור}) = \frac{0.4p}{0.1 + 0.3p}

הסתברות מותנית: החיתוך חלקי התנאי

0.4p0.1+0.3p=0.5⇒0.4p=0.05+0.15p\begin{aligned}\frac{0.4p}{0.1 + 0.3p} &= 0.5 \Rightarrow 0.4p \\ &= 0.05 + 0.15p\end{aligned}

כופלים במכנה

0.25p=0.05⇒p=0.2\begin{aligned}0.25p &= 0.05 \Rightarrow p \\ &= 0.2\end{aligned}

p=0.2p = 0.2. המלכודת: לכתוב במכנה pp במקום P(איחור)P(\text{איחור}) — התנאי הוא האיחור, והוא במכנה.

Check the answer on elev

Exercise 15

בעיר מסוימת, בחלק pp מהימים יורד גשם. ביום גשום ההסתברות שרכבת הבוקר תאחר היא 0.40.4, וביום בלי גשם ההסתברות היא 0.10.1. נמצא p=0.2p = 0.2, ולכן ההסתברות שהרכבת תאחר ביום אקראי היא 0.160.16. בוחרים באקראי 5 ימים; מה שקורה ביום אחד אינו תלוי במה שקורה ביום אחר. ג. מה ההסתברות שהרכבת תאחר בדיוק ביומיים מתוך החמישה? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 0.152

Worked solution:

P=(52)⋅0.162⋅0.843P = \binom{5}{2} \cdot 0.16^2 \cdot 0.84^3

נוסחת ברנולי: n=5n = 5, k=2k = 2

=10⋅0.0256⋅0.5927≈0.152= 10 \cdot 0.0256 \cdot 0.5927 \approx 0.152

ההסתברות ≈0.152\approx 0.152. המלכודת: לשכוח את (52)=10\binom{5}{2} = 10 — יש עשרה סדרים שונים של שני ימי איחור.

Check the answer on elev

Exercise 16

בעיר מסוימת, בחלק pp מהימים יורד גשם. ביום גשום ההסתברות שרכבת הבוקר תאחר היא 0.40.4, וביום בלי גשם ההסתברות היא 0.10.1. נמצא שההסתברות שהרכבת תאחר ביום אקראי היא 0.160.16, והימים בלתי תלויים. נוסע חדש מתחיל לנסוע ברכבת הבוקר כל יום. ד. מה ההסתברות שהאיחור הראשון שהוא יפגוש יהיה ביום הנסיעה הרביעי שלו? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 0.095

Worked solution:

P=0.84⋅0.84⋅0.84⋅0.16P = 0.84 \cdot 0.84 \cdot 0.84 \cdot 0.16

שלושה ימים בלי איחור, ואז איחור: סדר אחד בלבד

=0.843⋅0.16≈0.095= 0.84^3 \cdot 0.16 \approx 0.095

ההסתברות ≈0.095\approx 0.095. המלכודת: להכפיל ב-(41)=4\binom{4}{1} = 4 — כאן הסדר קבוע: האיחור חייב להיות ביום הרביעי, ולא «באחד מארבעת הימים».

Check the answer on elev

שאלה 4 — משיק וחותך

Exercise 17

ABCP

מנקודה PP שמחוץ למעגל יוצאים משיק PAPA (AA נקודת ההשקה) וחותך שפוגש את המעגל בנקודות BB ו-CC (BB בין PP ל-CC). א. הוכיחו: △PAB∼△PCA\triangle PAB \sim \triangle PCA.

  • PAPA משיק למעגל בנקודה AA
  • PP, BB, CC על ישר אחד

△PAB∼△PCA\triangle PAB \sim \triangle PCA

Show the answer and the solution
  1. ∠APB=∠CPA\angle APB = \angle CPA — זווית משותפת לשני המשולשים
  2. ∠PAB=∠PCA\angle PAB = \angle PCA — הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני
  3. △PAB∼△PCA\triangle PAB \sim \triangle PCA — משפט דמיון ז.ז

Worked solution:

∠APB=∠CPA\angle APB = \angle CPA

זווית משותפת

∠PAB=∠PCA\angle PAB = \angle PCA

זווית בין משיק למיתר ABAB שווה לזווית ההיקפית שמולה

△PAB∼△PCA\triangle PAB \sim \triangle PCA

ז.ז

ההתאמה: P→PP \to P, A→CA \to C, B→AB \to A. המלכודת: להתאים BB ל-CC «כי שתיהן על החותך» — הזוויות השוות הן ליד AA במשולש הקטן וליד CC בגדול.

Check the answer on elev

Exercise 18

ABCP

מנקודה PP שמחוץ למעגל יוצאים משיק PAPA (AA נקודת ההשקה) וחותך שפוגש את המעגל בנקודות BB ו-CC (BB בין PP ל-CC). הוכח: △PAB∼△PCA\triangle PAB \sim \triangle PCA. נתון PB=4PB = 4 ו-BC=5BC = 5. ב. חשבו את PAPA.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

PAPC=PBPA\frac{PA}{PC} = \frac{PB}{PA}

יחס צלעות מתאימות במשולשים דומים

PA2=PB⋅PC=4⋅9=36\begin{aligned}PA^2 &= PB \cdot PC \\ &= 4 \cdot 9 \\ &= 36\end{aligned}

PC=PB+BC=9PC = PB + BC = 9

PA=6PA = 6

PA=6PA = 6. המלכודת: לכפול PB⋅BC=20PB \cdot BC = 20 — במכפלה משתתף כל החותך, PC=9PC = 9, ולא רק החלק שבתוך המעגל.

Check the answer on elev

Exercise 19

ABCP

מנקודה PP שמחוץ למעגל יוצאים משיק PAPA (AA נקודת ההשקה) וחותך שפוגש את המעגל בנקודות BB ו-CC (BB בין PP ל-CC). הוכח: △PAB∼△PCA\triangle PAB \sim \triangle PCA, ונמצא PA=6PA = 6, PB=4PB = 4, PC=9PC = 9. נתון גם AB=5AB = 5. ג. חשבו את ACAC.

Show the answer and the solution

Answer: 7.5

Worked solution:

ABCA=PAPC\frac{AB}{CA} = \frac{PA}{PC}

יחס צלעות מתאימות: AB↔CAAB \leftrightarrow CA, PA↔PCPA \leftrightarrow PC

5AC=69⇒AC=7.5\begin{aligned}\frac{5}{AC} &= \frac{6}{9} \Rightarrow AC \\ &= 7.5\end{aligned}

AC=7.5AC = 7.5. המלכודת: להפוך את היחס ולקבל AC=103AC = \frac{10}{3} — ACAC במשולש הגדול, ולכן היא הארוכה מבין השתיים.

Check the answer on elev

Exercise 20

ABCP

מנקודה PP שמחוץ למעגל יוצאים משיק PAPA (AA נקודת ההשקה) וחותך שפוגש את המעגל בנקודות BB ו-CC (BB בין PP ל-CC). הוכח: △PAB∼△PCA\triangle PAB \sim \triangle PCA, ונמצא PA=6PA = 6, PB=4PB = 4, PC=9PC = 9. ד. מהו היחס S△ABCS△PAB\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle PAB}}?

  1. 54\frac{5}{4}
  2. 59\frac{5}{9}
  3. 49\frac{4}{9}
  4. 94\frac{9}{4}
Show the answer and the solution

Answer: A 54\frac{5}{4}

Worked solution:

SPCASPAB=(PCPA)2=(96)2=94\begin{aligned}\frac{S_{PCA}}{S_{PAB}} &= \left(\frac{PC}{PA}\right)^2 \\ &= \left(\frac{9}{6}\right)^2 \\ &= \frac{9}{4}\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

SABC=SPCA−SPAB=54SPAB\begin{aligned}S_{ABC} &= S_{PCA} - S_{PAB} \\ &= \frac{5}{4} S_{PAB}\end{aligned}

המשולש PCAPCA מורכב מ-PABPAB ומ-ABCABC

BCPB=54\frac{BC}{PB} = \frac{5}{4}

בדיקה: לשני המשולשים אותו גובה מ-AA

הנכונה: 54\frac{5}{4}. המלכודת: 94\frac{9}{4} — זה היחס בין המשולשים הדומים, ו-ABCABC אינו אחד מהם.

Check the answer on elev

שאלה 5 — טריגונומטריה במעגל החוסם

Exercise 21

ααABCO

המשולש ABCABC שווה-שוקיים (AB=ACAB = AC) חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו RR. זוויות הבסיס: ∠ABC=∠ACB=α\angle ABC = \angle ACB = \alpha. א. הביעו את BCBC באמצעות RR ו-α\alpha.

  1. 2Rsin⁡α2R\sin\alpha
  2. 2Rcos⁡α2R\cos\alpha
  3. Rsin⁡2αR\sin 2\alpha
  4. 2Rsin⁡2α2R\sin 2\alpha
Show the answer and the solution

Answer: D 2Rsin⁡2α2R\sin 2\alpha

Worked solution:

∠BAC=180∘−2α\angle BAC = 180^\circ - 2\alpha

סכום הזוויות במשולש

BCsin⁡∠BAC=2R\frac{BC}{\sin \angle BAC} = 2R

משפט הסינוסים

BC=2Rsin⁡(180∘−2α)=2Rsin⁡2α\begin{aligned}BC &= 2R\sin(180^\circ - 2\alpha) \\ &= 2R\sin 2\alpha\end{aligned}

sin⁡(180∘−θ)=sin⁡θ\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta

הנכונה: 2Rsin⁡2α2R\sin 2\alpha. המלכודת: 2Rsin⁡α2R\sin\alpha — זו השוק ABAB, שמולה זווית הבסיס; מול BCBC עומדת זווית הראש.

Check the answer on elev

Exercise 22

ααABCO

המשולש ABCABC שווה-שוקיים (AB=ACAB = AC) חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו RR. זוויות הבסיס: ∠ABC=∠ACB=α\angle ABC = \angle ACB = \alpha. נמצא BC=2Rsin⁡2αBC = 2R\sin 2\alpha. נתון BCAB=1.6\frac{BC}{AB} = 1.6. ב. מצאו את α\alpha (במעלות, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 36.87

Worked solution:

AB=2Rsin⁡αAB = 2R\sin\alpha

משפט הסינוסים: מול ABAB הזווית CC

2Rsin⁡2α2Rsin⁡α=2sin⁡αcos⁡αsin⁡α=2cos⁡α\begin{aligned}\frac{2R\sin 2\alpha}{2R\sin\alpha} &= \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} \\ &= 2\cos\alpha\end{aligned}

סינוס של זווית כפולה

2cos⁡α=1.6⇒cos⁡α=0.8⇒α≈36.87∘\begin{aligned}2\cos\alpha &= 1.6 \Rightarrow \cos\alpha \\ &= 0.8 \Rightarrow \alpha \approx 36.87^\circ\end{aligned}

α≈36.87∘\alpha \approx 36.87^\circ. המלכודת: לכתוב sin⁡2αsin⁡α=2\frac{\sin 2\alpha}{\sin\alpha} = 2 — מצמצמים את הסינוס, לא את הזווית.

Check the answer on elev

Exercise 23

ααABCO

המשולש ABCABC שווה-שוקיים (AB=ACAB = AC) חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו RR. זוויות הבסיס: ∠ABC=∠ACB=α\angle ABC = \angle ACB = \alpha. נמצא cos⁡α=0.8\cos\alpha = 0.8, ולכן sin⁡α=0.6\sin\alpha = 0.6. נתון ששטח המשולש ABCABC הוא 17.2817.28. ג. מצאו את RR.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

AB=AC=2R⋅0.6=1.2R\begin{aligned}AB &= AC \\ &= 2R \cdot 0.6 \\ &= 1.2R\end{aligned}

משפט הסינוסים

sin⁡∠A=sin⁡2α=2⋅0.6⋅0.8=0.96\begin{aligned}\sin\angle A &= \sin 2\alpha \\ &= 2 \cdot 0.6 \cdot 0.8 \\ &= 0.96\end{aligned}

זווית הראש 180∘−2α180^\circ - 2\alpha

S=12⋅(1.2R)2⋅0.96=0.6912R2\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot (1.2R)^2 \cdot 0.96 \\ &= 0.6912R^2\end{aligned}

שטח משולש: חצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן

0.6912R2=17.28⇒R2=25⇒R=5\begin{aligned}0.6912R^2 &= 17.28 \Rightarrow R^2 \\ &= 25 \Rightarrow R \\ &= 5\end{aligned}

R=5R = 5. המלכודת: לקחת בנוסחת השטח את sin⁡α\sin\alpha — הזווית שבין שתי השוקיים היא זווית הראש.

Check the answer on elev

Exercise 24

ααABCO

המשולש ABCABC שווה-שוקיים (AB=ACAB = AC) חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו RR. זוויות הבסיס: ∠ABC=∠ACB=α\angle ABC = \angle ACB = \alpha. נמצא R=5R = 5, cos⁡α=0.8\cos\alpha = 0.8, ושטח המשולש 17.2817.28. ד. חשבו את רדיוס המעגל החסום במשולש ABCABC.

Show the answer and the solution

Answer: 1.6

Worked solution:

AB=AC=6BC=2⋅5⋅0.96=9.6\begin{aligned}AB &= AC \\ &= 6 \\ \quad BC &= 2 \cdot 5 \cdot 0.96 \\ &= 9.6\end{aligned}

משפט הסינוסים

p=6+6+9.62=10.8\begin{aligned}p &= \frac{6 + 6 + 9.6}{2} \\ &= 10.8\end{aligned}

חצי ההיקף

r=Sp=17.2810.8=1.6\begin{aligned}r &= \frac{S}{p} \\ &= \frac{17.28}{10.8} \\ &= 1.6\end{aligned}

שטח משולש שווה למכפלת רדיוס המעגל החסום בחצי ההיקף

r=1.6r = 1.6. המלכודת: לחלק בהיקף כולו, 21.621.6, ולקבל 0.80.8 — בנוסחה S=r⋅pS = r \cdot p משתתף חצי ההיקף.

Check the answer on elev

שאלה 6 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

Exercise 25

נתונה הפונקציה f(x)=x2+3x−af(x) = \frac{x^2 + 3}{x - a}, ו-aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=3x = 3. א. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f′(x)=2x(x−a)−(x2+3)(x−a)2=x2−2ax−3(x−a)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x - a) - (x^2 + 3)}{(x - a)^2} \\ &= \frac{x^2 - 2ax - 3}{(x - a)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

f′(3)=0⇒9−6a−3=0⇒a=1\begin{aligned}f'(3) &= 0 \Rightarrow 9 - 6a - 3 \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 1\end{aligned}

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת

f′(x)=(x−3)(x+1)(x−1)2f'(x) = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}

בדיקה: הנגזרת מחליפה סימן ב-x=3x = 3

a=1a = 1. המלכודת: להפוך את הסדר במונה של נגזרת המנה — «נגזרת המונה כפול המכנה פחות המונה כפול נגזרת המכנה».

Check the answer on elev

Exercise 26

נתונה הפונקציה f(x)=x2+3x−af(x) = \frac{x^2 + 3}{x - a}, ו-aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=3x = 3. נמצא a=1a = 1, כלומר f(x)=x2+3x−1f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1} ו-f′(x)=(x−3)(x+1)(x−1)2f'(x) = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}. ב. מצאו את נקודות הקיצון של ff וקבעו את סוגן.

מקסימום: ( ____ , ____ ) מינימום: ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: מקסימום: ( -1 , -2 ) מינימום: ( 3 , 6 )

Worked solution:

x<−1:f′>0;−1<x<1:f′<0x < -1: f' > 0; \quad -1 < x < 1: f' < 0

טבלת סימנים, עם x=1x = 1 שאינו בתחום

1<x<3:f′<0;x>3:f′>01 < x < 3: f' < 0; \quad x > 3: f' > 0
f(−1)=4−2=−2f(3)=122=6\begin{aligned}f(-1) &= \frac{4}{-2} \\ &= -2 \\ \quad f(3) &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

מקסימום (−1,−2)(-1, -2) ומינימום (3,6)(3, 6). המלכודת: להחליף ביניהם כי −2<6-2 < 6 — ערך המקסימום המקומי קטן מערך המינימום, וזה אפשרי כי אסימפטוטה x=1x = 1 מפרידה ביניהם.

Check the answer on elev

Exercise 27

נתונה הפונקציה f(x)=x2+3x−af(x) = \frac{x^2 + 3}{x - a}, ו-aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=3x = 3. נמצא f(x)=x2+3x−1f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}, עם מקסימום (−1,−2)(-1, -2) ומינימום (3,6)(3, 6). ג. הוכיחו או הפריכו: למשוואה f(x)=4f(x) = 4 אין פתרון.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

x2+3=4(x−1)⇒x2−4x+7=0\begin{aligned}x^2 + 3 &= 4(x - 1) \Rightarrow x^2 - 4x + 7 \\ &= 0\end{aligned}

כופלים במכנה

Δ=16−28<0\Delta = 16 - 28 < 0

אין פתרון ממשי

x<1:f≤−2;x>1:f≥6x < 1: f \le -2; \quad x > 1: f \ge 6

ובגרף: הערכים שבין −2-2 ל-66 אינם מתקבלים

נכון: אין פתרון. המלכודת: לחשוב שכל ערך בין המקסימום למינימום מתקבל — כאן המקסימום מתחת למינימום, והפונקציה «מדלגת» על הרצועה −2<y<6-2 < y < 6.

Check the answer on elev

Exercise 28

נתונה הפונקציה f(x)=x2+3x−af(x) = \frac{x^2 + 3}{x - a}, ו-aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=3x = 3. נמצא f(x)=x2+3x−1f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}, ו-f′(x)≥0f'(x) \ge 0 לכל x≥3x \ge 3. ד. חשבו את השטח הכלוא בין גרף הנגזרת f′f', ציר ה-xx והישרים x=3x = 3 ו-x=5x = 5.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

S=∫35f′(x) dxS = \int_3^5 f'(x)\,dx

הגרף של f′f' מעל הציר בתחום

=f(5)−f(3)= f(5) - f(3)

ff היא פונקציה קדומה של f′f'

=284−6=1= \frac{28}{4} - 6 = 1

השטח 11. המלכודת: לחפש פונקציה קדומה ל-ff עצמה — השטח הוא מתחת ל-f′f', והקדומה שלה היא ff, שכבר ידועה.

Check the answer on elev

שאלה 7 — פונקציה טריגונומטרית

Exercise 29

נתונה הפונקציה f(x)=2sin⁡x+sin⁡2xf(x) = 2\sin x + \sin 2x בתחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi. א. הוכיחו או הפריכו: ff פונקציה אי-זוגית.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f(−x)=2sin⁡(−x)+sin⁡(−2x)=−2sin⁡x−sin⁡2x\begin{aligned}f(-x) &= 2\sin(-x) + \sin(-2x) \\ &= -2\sin x - \sin 2x\end{aligned}

sin⁡\sin אי-זוגית

f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

והתחום סימטרי סביב 00

נכון: ff אי-זוגית, והגרף סימטרי סביב ראשית הצירים. המלכודת: לבדוק רק f(−x)=f(x)f(-x) = f(x), לראות שלא מתקיים, ולהסיק «לא זוגית ולכן כלום».

Check the answer on elev

Exercise 30

נתונה הפונקציה f(x)=2sin⁡x+sin⁡2xf(x) = 2\sin x + \sin 2x בתחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi. ב. מהי נקודת המקסימום של ff בתחום?

  1. (2π3,32)\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
  2. (π3,3)\left(\frac{\pi}{3}, \sqrt{3}\right)
  3. (π3,332)\left(\frac{\pi}{3}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)
  4. (π2,2)\left(\frac{\pi}{2}, 2\right)
Show the answer and the solution

Answer: C (π3,332)\left(\frac{\pi}{3}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)

Worked solution:

f′(x)=2cos⁡x+2cos⁡2x=2(2cos⁡2x+cos⁡x−1)\begin{aligned}f'(x) &= 2\cos x + 2\cos 2x \\ &= 2(2\cos^2 x + \cos x - 1)\end{aligned}

cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x = 2\cos^2 x - 1

f′(x)=2(2cos⁡x−1)(cos⁡x+1)f'(x) = 2(2\cos x - 1)(\cos x + 1)

פירוק

cos⁡x=12⇒x=±π3\begin{aligned}\cos x &= \frac{1}{2} \Rightarrow x \\ &= \pm\frac{\pi}{3}\end{aligned}

cos⁡x=−1\cos x = -1 רק בקצוות, x=±πx = \pm\pi

f(π3)=2⋅32+32=332\begin{aligned}f\left(\frac{\pi}{3}\right) &= 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

לפני π3\frac{\pi}{3} הנגזרת חיובית ואחריה שלילית

הנכונה: (π3,332)\left(\frac{\pi}{3}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right). המלכודת: (π2,2)\left(\frac{\pi}{2}, 2\right) — לחשוב שהמקסימום של 2sin⁡x2\sin x הוא גם המקסימום של הסכום; ב-π2\frac{\pi}{2} המחובר sin⁡2x\sin 2x מתאפס.

Check the answer on elev

Exercise 31

נתונה הפונקציה f(x)=2sin⁡x+sin⁡2xf(x) = 2\sin x + \sin 2x בתחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi. נמצא: ff אי-זוגית, f(0)=f(π)=0f(0) = f(\pi) = 0, ונקודת המקסימום היא (π3,332)\left(\frac{\pi}{3}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right). ג. כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=2f(x) = 2 בתחום?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

332≈2.6>2\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.6 > 2

המקסימום מעל הישר y=2y = 2

0<x<π3: 0↗2.6;π3<x<π: 2.6↘00 < x < \frac{\pi}{3}: \ 0 \nearrow 2.6; \quad \frac{\pi}{3} < x < \pi: \ 2.6 \searrow 0

בכל קטע מונוטוני — פתרון אחד

−π≤x≤0: f(x)=2sin⁡x(1+cos⁡x)≤0-\pi \le x \le 0: \ f(x) = 2\sin x(1 + \cos x) \le 0

בחצי השלילי אין פתרון

שני פתרונות. המלכודת: לענות 44 «בגלל הסימטריה» — פונקציה אי-זוגית משקפת את הגרף סביב הראשית, ובחצי השלילי הוא מתחת לציר.

Check the answer on elev

Exercise 32

נתונה הפונקציה f(x)=2sin⁡x+sin⁡2xf(x) = 2\sin x + \sin 2x בתחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi. נמצא: f(x)≥0f(x) \ge 0 בתחום 0≤x≤π0 \le x \le \pi. ד. חשבו את השטח הכלוא בין גרף ff לציר ה-xx בתחום 0≤x≤π0 \le x \le \pi.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

∫(2sin⁡x+sin⁡2x) dx=−2cos⁡x−cos⁡2x2+C\int (2\sin x + \sin 2x)\,dx = -2\cos x - \frac{\cos 2x}{2} + C

אינטגרל של f(mx+b)f(mx + b): מחלקים ב-mm

(2−12)−(−2−12)=4\left(2 - \frac{1}{2}\right) - \left(-2 - \frac{1}{2}\right) = 4

מציבים π\pi ו-00

השטח 44. המלכודת: לטעות בסימן ולכתוב ∫sin⁡x dx=cos⁡x\int \sin x\,dx = \cos x — יוצא −4-4, ושטח אינו שלילי. הקדומה של sin⁡x\sin x היא −cos⁡x-\cos x.

Check the answer on elev

שאלה 8 — בעיית קיצון בחצי מעגל

Exercise 33

xABOCD

הטרפז ABCDABCD חסום בחצי מעגל שמרכזו OO וקוטרו AB=12AB = 12: הקודקודים CC ו-DD על חצי המעגל, ו-CD∥ABCD \parallel AB. מסמנים ∠BOC=x\angle BOC = x, כאשר 0∘<x<90∘0^\circ < x < 90^\circ. א. מהו שטח הטרפז S(x)S(x)?

  1. S(x)=72(1+cos⁡x)sin⁡xS(x) = 72(1 + \cos x)\sin x
  2. S(x)=36sin⁡xcos⁡xS(x) = 36\sin x\cos x
  3. S(x)=18(1+cos⁡x)sin⁡xS(x) = 18(1 + \cos x)\sin x
  4. S(x)=36(1+cos⁡x)sin⁡xS(x) = 36(1 + \cos x)\sin x
Show the answer and the solution

Answer: D S(x)=36(1+cos⁡x)sin⁡xS(x) = 36(1 + \cos x)\sin x

Worked solution:

h=6sin⁡xh = 6\sin x

הגובה: המרחק של CC מהקוטר, במשולש ישר-זווית עם יתר OC=6OC = 6

CD=2⋅6cos⁡x=12cos⁡x\begin{aligned}CD &= 2 \cdot 6\cos x \\ &= 12\cos x\end{aligned}

הטרפז שווה-שוקיים: CC ו-DD סימטריות ביחס לאנך מ-OO

S=12+12cos⁡x2⋅6sin⁡x=36(1+cos⁡x)sin⁡x\begin{aligned}S &= \frac{12 + 12\cos x}{2} \cdot 6\sin x \\ &= 36(1 + \cos x)\sin x\end{aligned}

שטח טרפז: חצי סכום הבסיסים כפול הגובה

הנכונה: 36(1+cos⁡x)sin⁡x36(1 + \cos x)\sin x. המלכודת: 72(1+cos⁡x)sin⁡x72(1 + \cos x)\sin x — לשכוח לחלק את סכום הבסיסים ב-22.

Check the answer on elev

Exercise 34

xABOCD

הטרפז ABCDABCD חסום בחצי מעגל שמרכזו OO וקוטרו AB=12AB = 12: הקודקודים CC ו-DD על חצי המעגל, ו-CD∥ABCD \parallel AB. מסמנים ∠BOC=x\angle BOC = x, כאשר 0∘<x<90∘0^\circ < x < 90^\circ. שטח הטרפז הוא S(x)=36(1+cos⁡x)sin⁡xS(x) = 36(1 + \cos x)\sin x. ב. עבור איזה xx (במעלות) שטח הטרפז מקסימלי?

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

S′(x)=36[−sin⁡2x+(1+cos⁡x)cos⁡x]=36(2cos⁡2x+cos⁡x−1)\begin{aligned}S'(x) &= 36\left[-\sin^2 x + (1 + \cos x)\cos x\right] \\ &= 36(2\cos^2 x + \cos x - 1)\end{aligned}

נגזרת של מכפלה, ו-sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2 x = 1 - \cos^2 x

S′(x)=36(2cos⁡x−1)(cos⁡x+1)=0⇒cos⁡x=12\begin{aligned}S'(x) &= 36(2\cos x - 1)(\cos x + 1) \\ &= 0 \Rightarrow \cos x \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

cos⁡x+1>0\cos x + 1 > 0 בתחום

x=60∘x = 60^\circ

לפני 60∘60^\circ הנגזרת חיובית ואחריה שלילית — מקסימום

x=60∘x = 60^\circ. המלכודת: לגזור רק את sin⁡x\sin x ולהשאיר את (1+cos⁡x)(1 + \cos x) קבוע — זו מכפלה של שתי פונקציות של xx.

Check the answer on elev

Exercise 35

xABOCD

הטרפז ABCDABCD חסום בחצי מעגל שמרכזו OO וקוטרו AB=12AB = 12: הקודקודים CC ו-DD על חצי המעגל, ו-CD∥ABCD \parallel AB. מסמנים ∠BOC=x\angle BOC = x, כאשר 0∘<x<90∘0^\circ < x < 90^\circ. שטח הטרפז S(x)=36(1+cos⁡x)sin⁡xS(x) = 36(1 + \cos x)\sin x מקסימלי כאשר x=60∘x = 60^\circ. ג. חשבו את השטח המקסימלי (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 46.77

Worked solution:

S(60∘)=36⋅32⋅32=273≈46.77\begin{aligned}S(60^\circ) &= 36 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 27\sqrt{3} \approx 46.77\end{aligned}

השטח המקסימלי 273≈46.7727\sqrt{3} \approx 46.77. המלכודת: לחשב במחשבון במצב רדיאנים עם 6060 — הזווית במעלות.

Check the answer on elev

Exercise 36

xABOCD

הטרפז ABCDABCD חסום בחצי מעגל שמרכזו OO וקוטרו AB=12AB = 12: הקודקודים CC ו-DD על חצי המעגל, ו-CD∥ABCD \parallel AB. מסמנים ∠BOC=x\angle BOC = x, כאשר 0∘<x<90∘0^\circ < x < 90^\circ. שטח הטרפז מקסימלי כאשר x=60∘x = 60^\circ. ד. הוכיחו או הפריכו: בטרפז בעל השטח המקסימלי שלוש הצלעות BCBC, CDCD ו-DADA שוות זו לזו.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

CD=12cos⁡60∘=6\begin{aligned}CD &= 12\cos 60^\circ \\ &= 6\end{aligned}
OB=OC=6 ∠BOC=60∘⇒BC=6\begin{aligned}OB &= OC \\ &= 6 \\ \ \angle BOC &= 60^\circ \Rightarrow BC \\ &= 6\end{aligned}

משולש שווה-שוקיים עם זווית ראש 60∘60^\circ הוא שווה-צלעות

DA=BC=6\begin{aligned}DA &= BC \\ &= 6\end{aligned}

טרפז חסום במעגל שווה-שוקיים

נכון: BC=CD=DA=6BC = CD = DA = 6 — חצי משושה משוכלל. המלכודת: להניח ש-CDCD שווה לרדיוס רק «כי זה נראה כך» בשרטוט — הוכיחו בחישוב.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade