סימולציית בגרות 2

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

סימולציית בגרות 2 — שאלון 35571, 5 יח״ל. המבנה של תשפ״ז: ארבעה פרקים, 8 שאלות, 3 שעות ו-45 דקות. עליכם לענות על 5 שאלות: לפחות שאלה אחת מהפרק הראשון או מהפרק השני, ולפחות שאלה אחת מכל אחד מהפרקים השלישי והרביעי. לכל שאלה 20 נקודות. פרק ראשון — שאלות קצרות: שאלה 1, ובה ארבעה סעיפים; מי שבוחר בה עונה על 2 סעיפים מתוך 4. פרק שני — אינדוקציה, סדרות והסתברות: שאלות 2 ו-3. פרק שלישי — גאומטריה וטריגונומטריה במישור: שאלות 4 ו-5. פרק רביעי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: שאלות 6, 7 ו-8. מותר להשתמש בנוסחאון ל-5 יח״ל ובמחשבון שאינו גרפי. שאלה 1: אינדוקציה (סכום טלסקופי), גרף הנגזרת, טרפז חסום, הסתברות ברנולי. שאלה 2: סדרה הנדסית אינסופית עם מנה שלילית. שאלה 3: שתי קופסאות — הסתברות שלמה, מותנית וברנולי. שאלה 4: חוצה זווית במשולש חסום. שאלה 5: משפט הסינוסים עם פרמטר. שאלה 6: פונקציית שורש עם פרמטר. שאלה 7: מנה טריגונומטרית. שאלה 8: בעיית קיצון על גרף שורש.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, כדי שתוכלו להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש. כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. לפני שמתחילים לכתוב, הקדישו חמש דקות לבחירה: עברו על כל השאלות וסמנו את חמש השאלות שאתם בטוחים בהן. במשוואה עם שורש מציבים כל פתרון במשוואה המקורית; בסדרה עם מנה שלילית בודקים את הסימן של כל איבר; ובגרף של f′f' קוראים סימן, לא עלייה וירידה.

Exercises

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף א: אינדוקציה)

Exercise 1

נתונה הטענה: 11⋅3+13⋅5+15⋅7+⋯+1(2n−1)(2n+1)=n2n+1\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n+1} לכל nn טבעי. סעיף א (1). בשלב המעבר מניחים שהטענה נכונה עבור n=kn = k ומוסיפים את המחובר 1(2k+1)(2k+3)\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}. אחרי כינוס למכנה משותף (2k+1)(2k+3)(2k+1)(2k+3) המונה הוא k(2k+3)+1k(2k+3) + 1. השלימו את הפירוק ואת התוצאה:

k(2k+3)+1=2k2+k(2k+3) + 1 = 2k^2 + ____ k+1=(k+1)(2k+k + 1 = (k+1)(2k + ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: k(2k+3)+1=2k2+k(2k+3) + 1 = 2k^2 + 3 k+1=(k+1)(2k+k + 1 = (k+1)(2k + 1 ))

Worked solution:

k2k+1+1(2k+1)(2k+3)=k(2k+3)+1(2k+1)(2k+3)\frac{k}{2k+1} + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k(2k+3) + 1}{(2k+1)(2k+3)}

מכנה משותף

2k2+3k+1=(k+1)(2k+1)2k^2 + 3k + 1 = (k+1)(2k+1)

פירוק הטרינום

(k+1)(2k+1)(2k+1)(2k+3)=k+12k+3=k+12(k+1)+1\begin{aligned}\frac{(k+1)(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)} &= \frac{k+1}{2k+3} \\ &= \frac{k+1}{2(k+1)+1}\end{aligned}

מצמצמים ב-2k+12k+1: זו הטענה עבור n=k+1n = k+1

אחרי הצמצום מתקבל k+12(k+1)+1\frac{k+1}{2(k+1)+1} — הטענה עבור n=k+1n = k+1. המלכודת: להוסיף את המחובר 1(2k−1)(2k+1)\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} — הוא כבר בתוך הסכום של n=kn = k; המחובר החדש מתחיל ב-2k+12k+1.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הטענה: 11⋅3+13⋅5+15⋅7+⋯+1(2n−1)(2n+1)=n2n+1\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n+1} לכל nn טבעי. סעיף א (2). כמה מחוברים יש בסכום שמתחיל ב-11⋅3\frac{1}{1 \cdot 3} ושווה ל-1225\frac{12}{25}?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

n2n+1=1225\frac{n}{2n+1} = \frac{12}{25}

לפי הטענה

25n=24n+12⇒n=12\begin{aligned}25n &= 24n + 12 \Rightarrow n \\ &= 12\end{aligned}

כופלים בהצלבה

123⋅25\frac{1}{23 \cdot 25}

המחובר האחרון: 2n−1=232n - 1 = 23

1212 מחוברים, והאחרון 123⋅25\frac{1}{23 \cdot 25}. המלכודת: לענות 2525 או 2323 — מספרים שמופיעים במחובר האחרון, ולא מספר המחוברים.

Check the answer on elev

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף ב: גרף הנגזרת)

Exercise 3

הגרף של f′
-2-101234-5-4-3-2-1123456xy

בשרטוט הגרף של הנגזרת f′f' של פונקציה ff המוגדרת לכל xx. הגרף של f′f' הוא פרבולה החותכת את ציר ה-xx בנקודות x=−1x = -1 ו-x=3x = 3. סעיף ב (1). באיזה xx יש ל-ff נקודת מקסימום מקומי?

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

x<−1:f′>0;−1<x<3:f′<0x < -1: f' > 0; \quad -1 < x < 3: f' < 0

קוראים את סימן f′f' מהגרף: מעל הציר או מתחתיו

x=−1x = -1

ff עולה ואחר כך יורדת — מקסימום

מקסימום ב-x=−1x = -1. המלכודת: לענות x=1x = 1, נקודת המינימום של הפרבולה — שם f′f' מינימלית, וזו נקודת פיתול של ff.

Check the answer on elev

Exercise 4

הגרף של f′
-2-101234-5-4-3-2-1123456xy

בשרטוט הגרף של הנגזרת f′f' של פונקציה ff המוגדרת לכל xx. הגרף של f′f' הוא פרבולה החותכת את ציר ה-xx בנקודות x=−1x = -1 ו-x=3x = 3. נתון f(−1)=4f(-1) = 4, והשטח הכלוא בין גרף f′f' לציר ה-xx בתחום −1≤x≤3-1 \le x \le 3 הוא 323\frac{32}{3}. סעיף ב (2). חשבו את f(3)f(3) (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: -6.67

Worked solution:

∫−13f′(x) dx=−323\int_{-1}^{3} f'(x)\,dx = -\frac{32}{3}

הגרף מתחת לציר: האינטגרל שווה למינוס השטח

∫−13f′(x) dx=f(3)−f(−1)\int_{-1}^{3} f'(x)\,dx = f(3) - f(-1)

המשפט היסודי

f(3)=4−323=−203≈−6.67\begin{aligned}f(3) &= 4 - \frac{32}{3} \\ &= -\frac{20}{3} \approx -6.67\end{aligned}

f(3)=−203≈−6.67f(3) = -\frac{20}{3} \approx -6.67. המלכודת: להוסיף את השטח ולקבל 14.6714.67 — בין −1-1 ל-33 הפונקציה יורדת, ולכן f(3)<f(−1)f(3) < f(-1).

Check the answer on elev

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף ג: גאומטריה)

Exercise 5

25°30°ADCB

הטרפז ABCDABCD (AB∥CDAB \parallel CD) חסום במעגל. BDBD אלכסון בטרפז. נתון ∠ABD=25∘\angle ABD = 25^\circ ו-∠DBC=30∘\angle DBC = 30^\circ. סעיף ג (1). חשבו את ∠ADC\angle ADC (במעלות).

Show the answer and the solution

Answer: 125

Worked solution:

∠ABC=25∘+30∘=55∘\begin{aligned}\angle ABC &= 25^\circ + 30^\circ \\ &= 55^\circ\end{aligned}

חיבור זוויות

∠ADC=180∘−55∘=125∘\begin{aligned}\angle ADC &= 180^\circ - 55^\circ \\ &= 125^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ

∠ADC=125∘\angle ADC = 125^\circ. המלכודת: לענות 55∘55^\circ — זוויות נגדיות במרובע חסום משלימות זו את זו ל-180∘180^\circ, הן לא שוות.

Check the answer on elev

Exercise 6

25°30°ADCB

הטרפז ABCDABCD (AB∥CDAB \parallel CD) חסום במעגל. BDBD אלכסון בטרפז. נתון ∠ABD=25∘\angle ABD = 25^\circ ו-∠DBC=30∘\angle DBC = 30^\circ. סעיף ג (2). הוכיחו או הפריכו: ∠BAC=∠ABD\angle BAC = \angle ABD.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

∠ACD=∠BAC\angle ACD = \angle BAC

זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים AB∥CDAB \parallel CD

∠ACD=∠ABD\angle ACD = \angle ABD

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת ADAD שוות

∠BAC=∠ABD=25∘\begin{aligned}\angle BAC &= \angle ABD \\ &= 25^\circ\end{aligned}

כלל המעבר

נכון: שתיהן 25∘25^\circ — ולכן גם AD=BCAD = BC, והטרפז שווה-שוקיים. המלכודת: לחפש קשר ישיר בין שתי הזוויות — הן לא נשענות על אותה קשת, והמעבר עובר דרך ∠ACD\angle ACD.

Check the answer on elev

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף ד: הסתברות)

Exercise 7

קלע יורה במטרה. בכל ירייה ההסתברות שיפגע היא pp, והיריות בלתי תלויות זו בזו. ההסתברות שיפגע לפחות פעם אחת בשתי יריות היא 0.640.64. סעיף ד (1). מצאו את pp.

Show the answer and the solution

Answer: 0.4

Worked solution:

P(לפחות)=1−(1−p)2P(\text{לפחות}) = 1 - (1 - p)^2

המאורע המשלים: שתי החטאות

(1−p)2=0.36⇒1−p=0.6\begin{aligned}(1 - p)^2 &= 0.36 \Rightarrow 1 - p \\ &= 0.6\end{aligned}

1−p=−0.61 - p = -0.6 נפסל: הסתברות אינה שלילית

p=0.4p = 0.4

p=0.4p = 0.4. המלכודת: לכתוב p2=0.64p^2 = 0.64 ולקבל p=0.8p = 0.8 — p2p^2 היא ההסתברות לשתי פגיעות, ולא «לפחות אחת».

Check the answer on elev

Exercise 8

קלע יורה במטרה. בכל ירייה ההסתברות שיפגע היא pp, והיריות בלתי תלויות זו בזו. ההסתברות שיפגע לפחות פעם אחת בשתי יריות היא 0.640.64. נמצא p=0.4p = 0.4. סעיף ד (2). הקלע יורה 4 יריות. מה ההסתברות שיפגע בדיוק פעמיים? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 0.346

Worked solution:

P=(42)⋅0.42⋅0.62P = \binom{4}{2} \cdot 0.4^2 \cdot 0.6^2

נוסחת ברנולי

=6⋅0.16⋅0.36≈0.346= 6 \cdot 0.16 \cdot 0.36 \approx 0.346

ההסתברות ≈0.346\approx 0.346. המלכודת: לשכוח את (42)=6\binom{4}{2} = 6 ולקבל 0.0580.058 — זו ההסתברות לסדר אחד מסוים, למשל שתי פגיעות ואחריהן שתי החטאות.

Check the answer on elev

שאלה 2 — סדרה הנדסית אינסופית עם מנה שלילית

Exercise 9

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שמנתה q≠0q \neq 0. סכום כל איבריה הוא 66, וסכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים (a1+a3+a5+…a_1 + a_3 + a_5 + \dots) הוא 99. א. מהי המנה qq?

  1. −13-\frac{1}{3}
  2. −12-\frac{1}{2}
  3. 12\frac{1}{2}
  4. 13\frac{1}{3}
Show the answer and the solution

Answer: A −13-\frac{1}{3}

Worked solution:

S=a11−qSodd=a11−q2\begin{aligned}S &= \frac{a_1}{1 - q} \\ \quad S_{odd} &= \frac{a_1}{1 - q^2}\end{aligned}

הסדרה החלקית במקומות האי-זוגיים: אותו a1a_1, מנה q2q^2

SoddS=1−q1−q2=11+q=96\begin{aligned}\frac{S_{odd}}{S} &= \frac{1 - q}{1 - q^2} \\ &= \frac{1}{1 + q} \\ &= \frac{9}{6}\end{aligned}

1−q2=(1−q)(1+q)1 - q^2 = (1-q)(1+q)

1+q=23⇒q=−13\begin{aligned}1 + q &= \frac{2}{3} \Rightarrow q \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

הנכונה: −13-\frac{1}{3}. הסכום החלקי גדול מהסכום כולו, ולכן איברי המקומות הזוגיים שליליים — המנה שלילית. המלכודת: 13\frac{1}{3} — לשכוח את הסימן.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שמנתה q≠0q \neq 0. סכום כל איבריה הוא 66, וסכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים (a1+a3+a5+…a_1 + a_3 + a_5 + \dots) הוא 99. נמצא q=−13q = -\frac{1}{3}. ב. מצאו את a1a_1.

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

a11+13=6\frac{a_1}{1 + \frac{1}{3}} = 6

סכום סדרה הנדסית אינסופית

a1=6⋅43=8\begin{aligned}a_1 &= 6 \cdot \frac{4}{3} \\ &= 8\end{aligned}
81−19=9\frac{8}{1 - \frac{1}{9}} = 9

בדיקה בסכום האי-זוגיים

a1=8a_1 = 8. המלכודת: לכתוב במכנה 1−131 - \frac{1}{3} ולקבל a1=4a_1 = 4 — כאן 1−q=1+131 - q = 1 + \frac{1}{3}.

Check the answer on elev

Exercise 11

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שמנתה q≠0q \neq 0. סכום כל איבריה הוא 66, וסכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים (a1+a3+a5+…a_1 + a_3 + a_5 + \dots) הוא 99. נמצא a1=8a_1 = 8 ו-q=−13q = -\frac{1}{3}. מגדירים bn=an⋅an+1b_n = a_n \cdot a_{n+1}. ג. הסדרה bnb_n הנדסית ומתכנסת. חשבו את סכום כל איבריה.

Show the answer and the solution

Answer: -24

Worked solution:

bn+1bn=an+1an+2anan+1=q2=19\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \frac{a_{n+1} a_{n+2}}{a_n a_{n+1}} \\ &= q^2 \\ &= \frac{1}{9}\end{aligned}

המנה של bnb_n

b1=a1a2=8⋅(−83)=−643\begin{aligned}b_1 &= a_1 a_2 \\ &= 8 \cdot \left(-\frac{8}{3}\right) \\ &= -\frac{64}{3}\end{aligned}
Sb=−6431−19=−24\begin{aligned}S_b &= \frac{-\frac{64}{3}}{1 - \frac{1}{9}} \\ &= -24\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית אינסופית

הסכום −24-24. המלכודת: לקחת את המנה q=−13q = -\frac{1}{3} גם ל-bnb_n — במכפלה של שני איברים עוקבים המנה מופיעה פעמיים, q2q^2.

Check the answer on elev

Exercise 12

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שמנתה q≠0q \neq 0. סכום כל איבריה הוא 66, וסכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים (a1+a3+a5+…a_1 + a_3 + a_5 + \dots) הוא 99. נמצא a1=8a_1 = 8 ו-q=−13q = -\frac{1}{3}. ד. מהו המקום של האיבר הראשון בסדרה ana_n שהערך המוחלט שלו קטן מ-0.0010.001?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

∣an∣=83n−1<0.001⇒3n−1>8000|a_n| = \frac{8}{3^{n-1}} < 0.001 \Rightarrow 3^{n-1} > 8000

הערך המוחלט מבטל את הסימן המתחלף

38=6561<800039=19683>8000\begin{aligned}3^8 &= 6561 < 8000 \\ \quad 3^9 &= 19683 > 8000\end{aligned}

מנסים חזקות של 33

n−1=9⇒n=10\begin{aligned}n - 1 &= 9 \Rightarrow n \\ &= 10\end{aligned}

האיבר העשירי. המלכודת: לחפש an<0.001a_n < 0.001 בלי ערך מוחלט — כבר a2=−83a_2 = -\frac{8}{3} קטן מ-0.0010.001, כי הוא שלילי.

Check the answer on elev

שאלה 3 — שתי קופסאות

Exercise 13

בקופסה I יש 3 כדורים אדומים ו-2 לבנים. בקופסה II יש 2 כדורים אדומים ו-nn כדורים לבנים. מטילים מטבע הוגן: אם מתקבל «עץ» מוציאים כדור אחד מקופסה I, ואם מתקבל «פלי» — כדור אחד מקופסה II. ההסתברות להוציא כדור אדום היא 0.40.4. א. מצאו את nn.

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

P(אדום)=12⋅35+12⋅2n+2P(\text{אדום}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n+2}

נוסחת ההסתברות השלמה

0.3+1n+2=0.4⇒n+2=10\begin{aligned}0.3 + \frac{1}{n+2} &= 0.4 \Rightarrow n + 2 \\ &= 10\end{aligned}
n=8n = 8

n=8n = 8. המלכודת: לכתוב 2n\frac{2}{n} — במכנה כל הכדורים שבקופסה, n+2n + 2.

Check the answer on elev

Exercise 14

בקופסה I יש 3 כדורים אדומים ו-2 לבנים. בקופסה II יש 2 כדורים אדומים ו-nn כדורים לבנים. מטילים מטבע הוגן: אם מתקבל «עץ» מוציאים כדור אחד מקופסה I, ואם מתקבל «פלי» — כדור אחד מקופסה II. נמצא n=8n = 8, וההסתברות להוציא כדור אדום היא 0.40.4. ב. הוצא כדור אדום. מה ההסתברות שהוא הוצא מקופסה I?

Show the answer and the solution

Answer: 0.75

Worked solution:

P(I∩אדום)=12⋅35=0.3\begin{aligned}P(\text{I} \cap \text{אדום}) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \\ &= 0.3\end{aligned}

ענף אחד בעץ

P(I∣אדום)=0.30.4=0.75\begin{aligned}P(\text{I} \mid \text{אדום}) &= \frac{0.3}{0.4} \\ &= 0.75\end{aligned}

הסתברות מותנית

ההסתברות 0.750.75. המלכודת: לענות 0.60.6, ההסתברות לאדום מתוך קופסה I — כאן התנאי הפוך: יודעים שהכדור אדום ושואלים על הקופסה.

Check the answer on elev

Exercise 15

בקופסה I יש 3 כדורים אדומים ו-2 לבנים. בקופסה II יש 2 כדורים אדומים ו-nn כדורים לבנים. מטילים מטבע הוגן: אם מתקבל «עץ» מוציאים כדור אחד מקופסה I, ואם מתקבל «פלי» — כדור אחד מקופסה II. נמצא n=8n = 8, וההסתברות להוציא כדור אדום היא 0.40.4. חוזרים על הניסוי כולו (הטלת מטבע והוצאת כדור) 6 פעמים, ובכל פעם מחזירים את הכדור לקופסה שממנה הוצא. ג. מה ההסתברות שיוצא כדור אדום בדיוק פעמיים? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 0.311

Worked solution:

P=(62)⋅0.42⋅0.64P = \binom{6}{2} \cdot 0.4^2 \cdot 0.6^4

נוסחת ברנולי: הניסויים בלתי תלויים כי מחזירים

=15⋅0.16⋅0.1296≈0.311= 15 \cdot 0.16 \cdot 0.1296 \approx 0.311

ההסתברות ≈0.311\approx 0.311. המלכודת: להשתמש ב-35\frac{3}{5} או ב-210\frac{2}{10} — בכל חזרה ההסתברות לאדום היא ההסתברות הכוללת, 0.40.4.

Check the answer on elev

Exercise 16

בקופסה I יש 3 כדורים אדומים ו-2 לבנים. בקופסה II יש 2 כדורים אדומים ו-nn כדורים לבנים. מטילים מטבע הוגן: אם מתקבל «עץ» מוציאים כדור אחד מקופסה I, ואם מתקבל «פלי» — כדור אחד מקופסה II. נמצא שההסתברות להוציא כדור אדום בכל חזרה היא 0.40.4, והחזרות בלתי תלויות. ד. מהו מספר החזרות הקטן ביותר שעבורו ההסתברות להוציא לפחות כדור אדום אחד גדולה מ-0.950.95?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

1−0.6m>0.95⇒0.6m<0.051 - 0.6^m > 0.95 \Rightarrow 0.6^m < 0.05

המאורע המשלים: אף כדור אדום

0.65≈0.078,0.66≈0.0470.6^5 \approx 0.078, \quad 0.6^6 \approx 0.047

מנסים ערכים

m=6m = 6

שש חזרות. המלכודת: לחשב 0.4m0.4^m במקום 0.6m0.6^m — המשלים של «לפחות אדום אחד» הוא «כולם לבנים».

Check the answer on elev

שאלה 4 — חוצה זווית במשולש חסום

Exercise 17

ABCDE

המשולש ABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית AA חותך את הצלע BCBC בנקודה DD ואת המעגל בנקודה EE. א. הוכיחו: △ABE∼△ADC\triangle ABE \sim \triangle ADC.

  • AEAE חוצה את ∠BAC\angle BAC
  • AA, BB, CC, EE על המעגל

△ABE∼△ADC\triangle ABE \sim \triangle ADC

Show the answer and the solution
  1. ∠BAE=∠DAC\angle BAE = \angle DAC — הגדרת חוצה זווית
  2. ∠AEB=∠ACB\angle AEB = \angle ACB — זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
  3. △ABE∼△ADC\triangle ABE \sim \triangle ADC — משפט דמיון ז.ז

Worked solution:

∠BAE=∠DAC\angle BAE = \angle DAC

חוצה זווית

∠AEB=∠ACB\angle AEB = \angle ACB

שתיהן נשענות על הקשת ABAB

△ABE∼△ADC\triangle ABE \sim \triangle ADC

ז.ז

ההתאמה: A→AA \to A, B→DB \to D, E→CE \to C. המלכודת: לכתוב ∠ABE=∠ACD\angle ABE = \angle ACD — אלה לא נשענות על אותה קשת; הזוג הנכון הוא הזוויות שליד EE וליד CC.

Check the answer on elev

Exercise 18

ABCDE

המשולש ABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית AA חותך את הצלע BCBC בנקודה DD ואת המעגל בנקודה EE. נתון AB=6AB = 6, AC=8AC = 8 ו-BC=7BC = 7. ב. חשבו את BDBD.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

BDDC=ABAC=68\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{6}{8}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית במשולש

BD=7⋅614=3\begin{aligned}BD &= 7 \cdot \frac{6}{14} \\ &= 3\end{aligned}

מחלקים את BC=7BC = 7 ביחס 6:86 : 8

BD=3BD = 3 ו-DC=4DC = 4. המלכודת: לחלק את BCBC לשניים — חוצה הזווית אינו תיכון; הוא מחלק את הצלע ביחס הצלעות הסמוכות.

Check the answer on elev

Exercise 19

ABCDE

המשולש ABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית AA חותך את הצלע BCBC בנקודה DD ואת המעגל בנקודה EE. נתון AB=6AB = 6, AC=8AC = 8, BC=7BC = 7, ונמצא BD=3BD = 3, DC=4DC = 4. ג. היעזרו בדמיון △ABE∼△ADC\triangle ABE \sim \triangle ADC ובמשפט המיתרים הנחתכים (AD⋅DE=BD⋅DCAD \cdot DE = BD \cdot DC), וחשבו את ADAD.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

ABAD=AEAC⇒AD⋅AE=AB⋅AC=48\begin{aligned}\frac{AB}{AD} &= \frac{AE}{AC} \Rightarrow AD \cdot AE \\ &= AB \cdot AC \\ &= 48\end{aligned}

יחס צלעות מתאימות במשולשים הדומים

AD⋅DE=BD⋅DC=12\begin{aligned}AD \cdot DE &= BD \cdot DC \\ &= 12\end{aligned}

מכפלת קטעי מיתרים נחתכים

AD⋅AE=AD(AD+DE)=AD2+12=48\begin{aligned}AD \cdot AE &= AD(AD + DE) \\ &= AD^2 + 12 \\ &= 48\end{aligned}

AE=AD+DEAE = AD + DE

AD2=36⇒AD=6\begin{aligned}AD^2 &= 36 \Rightarrow AD \\ &= 6\end{aligned}

AD=6AD = 6. המלכודת: לכתוב AD⋅AE=48AD \cdot AE = 48 ולהניח ש-AE=8AE = 8 «כמו ACAC» — AEAE אינה צלע במשולש, והיא נמצאת רק דרך המשוואה.

Check the answer on elev

Exercise 20

ABCDE

המשולש ABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית AA חותך את הצלע BCBC בנקודה DD ואת המעגל בנקודה EE. נמצא BD=3BD = 3, DC=4DC = 4 ו-AD=6AD = 6. ד. חשבו את DEDE.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

AD⋅DE=BD⋅DCAD \cdot DE = BD \cdot DC

מכפלת קטעי מיתרים נחתכים: המיתרים AEAE ו-BCBC נחתכים ב-DD

6⋅DE=12⇒DE=2\begin{aligned}6 \cdot DE &= 12 \Rightarrow DE \\ &= 2\end{aligned}

DE=2DE = 2, ולכן AE=8AE = 8. המלכודת: לכתוב AD⋅BD=DE⋅DCAD \cdot BD = DE \cdot DC — בכל אגף מכפילים את שני הקטעים של אותו מיתר.

Check the answer on elev

שאלה 5 — משפט הסינוסים עם פרמטר

Exercise 21

αααABCD

במשולש ABCABC נתון AB=kAB = k, ∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha ו-∠ACB=α\angle ACB = \alpha. הקטע BDBD חוצה את הזווית BB (DD על ACAC). א. הביעו את ACAC באמצעות kk ו-α\alpha.

  1. 2ksin⁡α2k\sin\alpha
  2. 2kcos⁡α2k\cos\alpha
  3. kcos⁡2αk\cos 2\alpha
  4. k2cos⁡α\frac{k}{2\cos\alpha}
Show the answer and the solution

Answer: B 2kcos⁡α2k\cos\alpha

Worked solution:

ACsin⁡2α=ABsin⁡α\frac{AC}{\sin 2\alpha} = \frac{AB}{\sin\alpha}

משפט הסינוסים: ACAC מול BB, ו-ABAB מול CC

AC=k⋅2sin⁡αcos⁡αsin⁡α=2kcos⁡α\begin{aligned}AC &= \frac{k \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} \\ &= 2k\cos\alpha\end{aligned}

סינוס של זווית כפולה

הנכונה: 2kcos⁡α2k\cos\alpha. המלכודת: k2cos⁡α\frac{k}{2\cos\alpha} — להפוך את היחס במשפט הסינוסים; הצלע הגדולה מול הזווית הגדולה, ו-ACAC מול 2α2\alpha.

Check the answer on elev

Exercise 22

αααABCD

במשולש ABCABC נתון AB=kAB = k, ∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha ו-∠ACB=α\angle ACB = \alpha. הקטע BDBD חוצה את הזווית BB (DD על ACAC). נמצא AC=2kcos⁡αAC = 2k\cos\alpha. נתון AC=1.5kAC = 1.5k. ב. מצאו את α\alpha (במעלות, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 41.41

Worked solution:

2kcos⁡α=1.5k⇒cos⁡α=0.75\begin{aligned}2k\cos\alpha &= 1.5k \Rightarrow \cos\alpha \\ &= 0.75\end{aligned}

מחלקים ב-k>0k > 0

α≈41.41∘\alpha \approx 41.41^\circ
3α≈124.2∘<180∘3\alpha \approx 124.2^\circ < 180^\circ

בדיקה: הזווית A=180∘−3αA = 180^\circ - 3\alpha חיובית

α≈41.41∘\alpha \approx 41.41^\circ. המלכודת: לפתור cos⁡2α=0.75\cos 2\alpha = 0.75 — בביטוי של ACAC מופיע cos⁡α\cos\alpha, והזווית הכפולה נעלמה בפישוט.

Check the answer on elev

Exercise 23

αααABCD

במשולש ABCABC נתון AB=kAB = k, ∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha ו-∠ACB=α\angle ACB = \alpha. הקטע BDBD חוצה את הזווית BB (DD על ACAC). נמצא cos⁡α=0.75\cos\alpha = 0.75. רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABCABC הוא 88. ג. מצאו את kk (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 10.58

Worked solution:

sin⁡α=1−0.752=74\begin{aligned}\sin\alpha &= \sqrt{1 - 0.75^2} \\ &= \frac{\sqrt{7}}{4}\end{aligned}

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, ו-α\alpha חדה

ABsin⁡α=2R⇒k=16⋅74=47\begin{aligned}\frac{AB}{\sin\alpha} &= 2R \Rightarrow k \\ &= 16 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} \\ &= 4\sqrt{7}\end{aligned}

משפט הסינוסים: מול ABAB הזווית C=αC = \alpha

k≈10.58k \approx 10.58

k=47≈10.58k = 4\sqrt{7} \approx 10.58. המלכודת: לשכוח את ה-22 ב-2R2R ולקבל 5.295.29.

Check the answer on elev

Exercise 24

αααABCD

במשולש ABCABC נתון AB=kAB = k, ∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha ו-∠ACB=α\angle ACB = \alpha. הקטע BDBD חוצה את הזווית BB (DD על ACAC). נמצא cos⁡α=0.75\cos\alpha = 0.75, AC=1.5kAC = 1.5k ו-k=47k = 4\sqrt{7}. ד. הראו ש-△ABD∼△ACB\triangle ABD \sim \triangle ACB, וחשבו את ADAD (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 7.06

Worked solution:

∠ABD=α=∠ACB\begin{aligned}\angle ABD &= \alpha \\ &= \angle ACB\end{aligned}

הגדרת חוצה זווית: ∠ABD=2α2\angle ABD = \frac{2\alpha}{2}

△ABD∼△ACB\triangle ABD \sim \triangle ACB

משפט דמיון ז.ז: גם הזווית AA משותפת

ADAB=ABAC⇒AD=k21.5k=2k3\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{AB}{AC} \Rightarrow AD \\ &= \frac{k^2}{1.5k} \\ &= \frac{2k}{3}\end{aligned}

יחס צלעות מתאימות

AD=873≈7.06AD = \frac{8\sqrt{7}}{3} \approx 7.06

AD=2k3≈7.06AD = \frac{2k}{3} \approx 7.06. המלכודת: להתאים ADAD ל-ACAC — במשולש ABDABD הצלע ADAD מול הזווית α\alpha שב-BB, ובמשולש ACBACB מול α\alpha נמצאת ABAB.

Check the answer on elev

שאלה 6 — פונקציית שורש עם פרמטר

Exercise 25

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+af(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}, ו-a>0a > 0 פרמטר. נתון f(2)=22f(2) = \frac{\sqrt{2}}{2}. א. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

24+a=22\frac{2}{\sqrt{4 + a}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

מציבים x=2x = 2

4+a=42=22⇒4+a=8\begin{aligned}\sqrt{4 + a} &= \frac{4}{\sqrt{2}} \\ &= 2\sqrt{2} \Rightarrow 4 + a \\ &= 8\end{aligned}

מעלים בריבוע

a=4a = 4

a=4a = 4. המלכודת: להעלות בריבוע רק את המכנה ולקבל 4+a=44 + a = 4 — מעלים בריבוע את שני האגפים של משוואה שלמה.

Check the answer on elev

Exercise 26

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+af(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}, ו-a>0a > 0 פרמטר. נתון f(2)=22f(2) = \frac{\sqrt{2}}{2}. נמצא a=4a = 4, כלומר f(x)=xx2+4f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}, המוגדרת לכל xx. ב. מצאו את האסימפטוטות האופקיות של ff.

כאשר x→∞x \to \infty: y=y = ____ ; כאשר x→−∞x \to -\infty: y=y = ____

Show the answer and the solution

Answer: כאשר x→∞x \to \infty: y=y = 1 ; כאשר x→−∞x \to -\infty: y=y = -1

Worked solution:

x2+4=∣x∣1+4x2\sqrt{x^2 + 4} = |x|\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}

מוציאים x2x^2 מהשורש: x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|

x→∞: xx→1;x→−∞: x−x→−1x \to \infty: \ \frac{x}{x} \to 1; \quad x \to -\infty: \ \frac{x}{-x} \to -1

שתי אסימפטוטות שונות: y=1y = 1 ו-y=−1y = -1. המלכודת: לכתוב x2=x\sqrt{x^2} = x ולקבל y=1y = 1 בשני הכיוונים — כש-xx שלילי, x2=−x\sqrt{x^2} = -x.

Check the answer on elev

Exercise 27

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+af(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}, ו-a>0a > 0 פרמטר. נתון f(2)=22f(2) = \frac{\sqrt{2}}{2}. נמצא a=4a = 4. ג. מהי הנגזרת של f(x)=xx2+4f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}?

  1. f′(x)=4(x2+4)3/2f'(x) = \frac{4}{(x^2 + 4)^{3/2}}
  2. f′(x)=1x2+4f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}
  3. f′(x)=x2(x2+4)3/2f'(x) = \frac{x^2}{(x^2 + 4)^{3/2}}
  4. f′(x)=4−x2(x2+4)3/2f'(x) = \frac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^{3/2}}
Show the answer and the solution

Answer: A f′(x)=4(x2+4)3/2f'(x) = \frac{4}{(x^2 + 4)^{3/2}}

Worked solution:

f′(x)=x2+4−x⋅xx2+4x2+4f'(x) = \frac{\sqrt{x^2+4} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}}{x^2 + 4}

נגזרת של מנה, ונגזרת השורש: 2x2x2+4\frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}

=x2+4−x2(x2+4)x2+4=4(x2+4)3/2= \frac{x^2 + 4 - x^2}{(x^2 + 4)\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{4}{(x^2 + 4)^{3/2}}

כופלים מונה ומכנה ב-x2+4\sqrt{x^2+4}

הנכונה: 4(x2+4)3/2\frac{4}{(x^2+4)^{3/2}} — חיובית תמיד, ולכן ff עולה בכל התחום ואין לה קיצון. המלכודת: 1x2+4\frac{1}{\sqrt{x^2+4}} — לגזור רק את המונה ולהשאיר את המכנה.

Check the answer on elev

Exercise 28

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+af(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}, ו-a>0a > 0 פרמטר. נתון f(2)=22f(2) = \frac{\sqrt{2}}{2}. נמצא a=4a = 4. ד. פתרו את המשוואה f(x)=0.6f(x) = 0.6.

Show the answer and the solution

Answer: 1.5

Worked solution:

x=0.6x2+4⇒x2=0.36(x2+4)\begin{aligned}x &= 0.6\sqrt{x^2 + 4} \Rightarrow x^2 \\ &= 0.36(x^2 + 4)\end{aligned}

מעלים בריבוע

0.64x2=1.44⇒x=±1.5\begin{aligned}0.64x^2 &= 1.44 \Rightarrow x \\ &= \pm 1.5\end{aligned}

פתרונות חשודים

f(−1.5)=−0.6≠0.6f(-1.5) = -0.6 \neq 0.6

בדיקה: x=−1.5x = -1.5 נפסל

x=1.5x = 1.5

x=1.5x = 1.5 בלבד. המלכודת: להשאיר גם x=−1.5x = -1.5 — העלאה בריבוע מוסיפה פתרון; ff שלילית כש-xx שלילי.

Check the answer on elev

שאלה 7 — מנה טריגונומטרית

Exercise 29

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡xa+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{a + \cos x} בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi, ו-a>1a > 1 פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2π3x = \frac{2\pi}{3}. א. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f′(x)=cos⁡x(a+cos⁡x)+sin⁡2x(a+cos⁡x)2=acos⁡x+1(a+cos⁡x)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\cos x(a + \cos x) + \sin^2 x}{(a + \cos x)^2} \\ &= \frac{a\cos x + 1}{(a + \cos x)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה, ו-cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1

f′(2π3)=0⇒−a2+1=0⇒a=2\begin{aligned}f'\left(\frac{2\pi}{3}\right) &= 0 \Rightarrow -\frac{a}{2} + 1 \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

cos⁡2π3=−12\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}

a=2a = 2. המלכודת: לשכוח ש-cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 ולהישאר עם ביטוי שאי אפשר לפתור. כש-a>1a > 1 המכנה חיובי תמיד, ולכן אין אסימפטוטות.

Check the answer on elev

Exercise 30

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡xa+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{a + \cos x} בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi, ו-a>1a > 1 פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2π3x = \frac{2\pi}{3}. נמצא a=2a = 2, כלומר f(x)=sin⁡x2+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{2 + \cos x} ו-f′(x)=2cos⁡x+1(2+cos⁡x)2f'(x) = \frac{2\cos x + 1}{(2 + \cos x)^2}. ב. מהי נקודת המקסימום של ff בתחום 0<x<2π0 < x < 2\pi?

  1. (π3,35)\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{5}\right)
  2. (π2,12)\left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right)
  3. (4π3,33)\left(\frac{4\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)
  4. (2π3,33)\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)
Show the answer and the solution

Answer: D (2π3,33)\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)

Worked solution:

2cos⁡x+1=0⇒x=2π3 4π3\begin{aligned}2\cos x + 1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{2\pi}{3} \\ \ \frac{4\pi}{3}\end{aligned}

המכנה חיובי: סימן הנגזרת לפי המונה

0<x<2π3:f′>0;2π3<x<4π3:f′<00 < x < \frac{2\pi}{3}: f' > 0; \quad \frac{2\pi}{3} < x < \frac{4\pi}{3}: f' < 0

מקסימום ב-2π3\frac{2\pi}{3}

f(2π3)=322−12=33\begin{aligned}f\left(\frac{2\pi}{3}\right) &= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \frac{1}{2}} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}

הנכונה: (2π3,33)\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right). המלכודת: (π2,12)\left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right) — לחשוב שהמקסימום של המנה נמצא במקסימום של המונה sin⁡x\sin x; המכנה משתנה גם הוא.

Check the answer on elev

Exercise 31

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡xa+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{a + \cos x} בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi, ו-a>1a > 1 פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2π3x = \frac{2\pi}{3}. נמצא a=2a = 2; נקודת המקסימום (2π3,33)\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right) ונקודת המינימום (4π3,−33)\left(\frac{4\pi}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}\right). ג. הוכיחו או הפריכו: לכל xx בתחום מתקיים −0.6≤f(x)≤0.6-0.6 \le f(x) \le 0.6.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f(0)=f(2π)=0\begin{aligned}f(0) &= f(2\pi) \\ &= 0\end{aligned}

ערכי הקצוות

−33≤f(x)≤33-\frac{\sqrt{3}}{3} \le f(x) \le \frac{\sqrt{3}}{3}

הערך הגדול ביותר והקטן ביותר מבין הקיצונים והקצוות

33≈0.577<0.6\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 < 0.6

נכון. המלכודת: לבדוק רק את נקודות הקיצון ולשכוח את הקצוות — כאן הקצוות נותנים 00, ולכן הם לא משנים את התשובה, אבל בודקים אותם תמיד.

Check the answer on elev

Exercise 32

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡xa+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{a + \cos x} בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi, ו-a>1a > 1 פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2π3x = \frac{2\pi}{3}. נמצא a=2a = 2, כלומר f(x)=sin⁡x2+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{2 + \cos x}, ו-f′(x)≥0f'(x) \ge 0 בתחום 0≤x≤2π30 \le x \le \frac{2\pi}{3}. ד. חשבו את השטח הכלוא בין גרף הנגזרת f′f', ציר ה-xx והישר x=2π3x = \frac{2\pi}{3} (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 0.58

Worked solution:

S=∫02π/3f′(x) dx=f(2π3)−f(0)\begin{aligned}S &= \int_0^{2\pi/3} f'(x)\,dx \\ &= f\left(\frac{2\pi}{3}\right) - f(0)\end{aligned}

המשפט היסודי: ff קדומה של f′f'

=33−0≈0.58= \frac{\sqrt{3}}{3} - 0 \approx 0.58

השטח 33≈0.58\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.58. המלכודת: לנסות לבצע אינטגרל ל-f′f' ישירות — הקדומה של f′f' היא ff עצמה, ואין צורך בשום חישוב נוסף.

Check the answer on elev

שאלה 8 — בעיית קיצון על גרף שורש

Exercise 33

y = √x
OBP0123456789101234xy

הנקודה P(t,t)P(t, \sqrt{t}) נמצאת על גרף הפונקציה y=xy = \sqrt{x}, בין ראשית הצירים OO לנקודה B(9,3)B(9, 3) שעל הגרף: 0<t<90 < t < 9. נתבונן במשולש OPBOPB. א. הישר x=tx = t מחלק את המשולש OPBOPB לשני משולשים. מהו שטח המשולש OPBOPB כפונקציה של tt?

  1. S(t)=4.5t−1.5tS(t) = 4.5\sqrt{t} - 1.5t
  2. S(t)=9t−3tS(t) = 9\sqrt{t} - 3t
  3. S(t)=4.5t−1.5tS(t) = 4.5t - 1.5\sqrt{t}
  4. S(t)=4.5tS(t) = 4.5\sqrt{t}
Show the answer and the solution

Answer: A S(t)=4.5t−1.5tS(t) = 4.5\sqrt{t} - 1.5t

Worked solution:

y=x3y = \frac{x}{3}

הישר OBOB

PQ=t−t3PQ = \sqrt{t} - \frac{t}{3}

QQ על OBOB מתחת ל-PP: הקטע האנכי

S=12⋅PQ⋅t+12⋅PQ⋅(9−t)=92(t−t3)\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot t + \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot (9 - t) \\ &= \frac{9}{2}\left(\sqrt{t} - \frac{t}{3}\right)\end{aligned}

שני משולשים עם בסיס משותף PQPQ; סכום הגבהים 99

S(t)=4.5t−1.5tS(t) = 4.5\sqrt{t} - 1.5t

הנכונה: 4.5t−1.5t4.5\sqrt{t} - 1.5t. המלכודת: 9t−3t9\sqrt{t} - 3t — לשכוח את החצי בנוסחת שטח המשולש.

Check the answer on elev

Exercise 34

y = √x
OBP0123456789101234xy

הנקודה P(t,t)P(t, \sqrt{t}) נמצאת על גרף הפונקציה y=xy = \sqrt{x}, בין ראשית הצירים OO לנקודה B(9,3)B(9, 3) שעל הגרף: 0<t<90 < t < 9. נתבונן במשולש OPBOPB. שטח המשולש הוא S(t)=4.5t−1.5tS(t) = 4.5\sqrt{t} - 1.5t. ב. עבור איזה tt השטח מקסימלי?

Show the answer and the solution

Answer: 2.25

Worked solution:

S′(t)=4.52t−1.5=0\begin{aligned}S'(t) &= \frac{4.5}{2\sqrt{t}} - 1.5 \\ &= 0\end{aligned}

נגזרת של t\sqrt{t}: 12t\frac{1}{2\sqrt{t}}

t=1.5⇒t=2.25\begin{aligned}\sqrt{t} &= 1.5 \Rightarrow t \\ &= 2.25\end{aligned}
t<2.25:S′>0;t>2.25:S′<0t < 2.25: S' > 0; \quad t > 2.25: S' < 0

מקסימום

t=2.25t = 2.25. המלכודת: לעצור ב-t=1.5\sqrt{t} = 1.5 ולענות 1.51.5 — שואלים על tt.

Check the answer on elev

Exercise 35

y = √x
OBP0123456789101234xy

הנקודה P(t,t)P(t, \sqrt{t}) נמצאת על גרף הפונקציה y=xy = \sqrt{x}, בין ראשית הצירים OO לנקודה B(9,3)B(9, 3) שעל הגרף: 0<t<90 < t < 9. נתבונן במשולש OPBOPB. השטח מקסימלי כאשר t=2.25t = 2.25. ג. הוכיחו או הפריכו: המשיק לגרף y=xy = \sqrt{x} בנקודה PP שבה השטח מקסימלי מקביל לקטע OBOB.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

y′=12x⇒y′(2.25)=13\begin{aligned}y' &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow y'(2.25) \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע המשיק

mOB=39=13\begin{aligned}m_{OB} &= \frac{3}{9} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע OBOB

13=13\frac{1}{3} = \frac{1}{3}

שיפועים שווים — ישרים מקבילים

נכון: השטח מקסימלי כש-PP רחוקה ככל האפשר מ-OBOB, וזה קורה כשהמשיק ב-PP מקביל ל-OBOB. המלכודת: להשוות את השיפוע ל-33, היחס 93\frac{9}{3} ההפוך.

Check the answer on elev

Exercise 36

y = √x
OBP0123456789101234xy

הנקודה P(t,t)P(t, \sqrt{t}) נמצאת על גרף הפונקציה y=xy = \sqrt{x}, בין ראשית הצירים OO לנקודה B(9,3)B(9, 3) שעל הגרף: 0<t<90 < t < 9. נתבונן במשולש OPBOPB. השטח S(t)=4.5t−1.5tS(t) = 4.5\sqrt{t} - 1.5t מקסימלי כאשר t=2.25t = 2.25. ד. חשבו את השטח המקסימלי (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 3.375

Worked solution:

S(2.25)=4.5⋅1.5−1.5⋅2.25=6.75−3.375=3.375\begin{aligned}S(2.25) &= 4.5 \cdot 1.5 - 1.5 \cdot 2.25 \\ &= 6.75 - 3.375 \\ &= 3.375\end{aligned}

השטח המקסימלי 3.375≈3.383.375 \approx 3.38. המלכודת: להציב t=2.25\sqrt{t} = 2.25 במקום t=2.25t = 2.25.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade