סימולציית בגרות 3

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

סימולציית בגרות 3 — שאלון 35571, 5 יח״ל. המבנה של תשפ״ז: ארבעה פרקים, 8 שאלות, 3 שעות ו-45 דקות. עליכם לענות על 5 שאלות: לפחות שאלה אחת מהפרק הראשון או מהפרק השני, ולפחות שאלה אחת מכל אחד מהפרקים השלישי והרביעי. לכל שאלה 20 נקודות. פרק ראשון — שאלות קצרות: שאלה 1, ובה ארבעה סעיפים; מי שבוחר בה עונה על 2 סעיפים מתוך 4. פרק שני — אינדוקציה, סדרות והסתברות: שאלות 2 ו-3. פרק שלישי — גאומטריה וטריגונומטריה במישור: שאלות 4 ו-5. פרק רביעי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: שאלות 6, 7 ו-8. מותר להשתמש בנוסחאון ל-5 יח״ל ובמחשבון שאינו גרפי. שאלה 1: אינדוקציה על מכפלה, הגרפים של ff, f′f' ו-f′′f'', טרפז ויחסי שטחים, שבר מחזורי. שאלה 2: סדרות הנדסיות הבנויות מסדרה נתונה. שאלה 3: התפלגות בינומית ומותנית. שאלה 4: קוטר וגובה ליתר. שאלה 5: מרובע חסום ונוסחאות סכום. שאלה 6: פונקציה רציונלית ופונקציה קדומה. שאלה 7: פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר. שאלה 8: בעיית קיצון עם משיק לפרבולה.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, כדי שתוכלו להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש. כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. לפני שמתחילים לכתוב, הקדישו חמש דקות לבחירה: עברו על כל השאלות וסמנו את חמש השאלות שאתם בטוחים בהן. בבעיית קיצון בדקו שהנקודה שמצאתם היא באמת מינימום או מקסימום; במשוואה טריגונומטרית בדקו כל פתרון מול הגאומטריה — זווית שמתקבלת מהחישוב אינה תמיד אפשרית בשרטוט.

Exercises

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף א: אינדוקציה)

Exercise 1

נתונה הטענה: (1−122)(1−132)⋅…⋅(1−1n2)=n+12n\left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{n+1}{2n} לכל n≥2n \ge 2 טבעי. סעיף א (1). בשלב המעבר מניחים שהטענה נכונה עבור n=kn = k, וכופלים את שני האגפים בגורם הבא. למה שווה k+12k⋅(1−1(k+1)2)\frac{k+1}{2k} \cdot \left(1 - \frac{1}{(k+1)^2}\right)?

  1. k+12(k+2)\frac{k+1}{2(k+2)}
  2. k+22k\frac{k+2}{2k}
  3. k2(k+1)\frac{k}{2(k+1)}
  4. k+22(k+1)\frac{k+2}{2(k+1)}
Show the answer and the solution

Answer: D k+22(k+1)\frac{k+2}{2(k+1)}

Worked solution:

1−1(k+1)2=(k+1)2−1(k+1)2=k(k+2)(k+1)2\begin{aligned}1 - \frac{1}{(k+1)^2} &= \frac{(k+1)^2 - 1}{(k+1)^2} \\ &= \frac{k(k+2)}{(k+1)^2}\end{aligned}

הפרש ריבועים: (k+1)2−1=k(k+2)(k+1)^2 - 1 = k(k+2)

k+12k⋅k(k+2)(k+1)2=k+22(k+1)\frac{k+1}{2k} \cdot \frac{k(k+2)}{(k+1)^2} = \frac{k+2}{2(k+1)}

מצמצמים kk ו-(k+1)(k+1)

(k+1)+12(k+1)\frac{(k+1)+1}{2(k+1)}

זו הטענה עבור n=k+1n = k+1

הנכונה: k+22(k+1)\frac{k+2}{2(k+1)}. המלכודת: k+22k\frac{k+2}{2k} — לצמצם את kk ולשכוח שבמכנה נשאר (k+1)(k+1) מהגורם החדש.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הטענה: (1−122)(1−132)⋅…⋅(1−1n2)=n+12n\left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{n+1}{2n} לכל n≥2n \ge 2 טבעי. סעיף א (2). עבור איזה nn המכפלה שווה ל-0.520.52?

Show the answer and the solution

Answer: 25

Worked solution:

n+12n=0.52\frac{n+1}{2n} = 0.52

לפי הטענה

n+1=1.04n⇒0.04n=1⇒n=25\begin{aligned}n + 1 &= 1.04n \Rightarrow 0.04n \\ &= 1 \Rightarrow n \\ &= 25\end{aligned}

n=25n = 25: המכפלה מסתיימת בגורם 1−12521 - \frac{1}{25^2}. המלכודת: לחשוב שמספר הגורמים הוא nn — המכפלה מתחילה ב-22, ולכן יש בה n−1=24n - 1 = 24 גורמים.

Check the answer on elev

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף ב: הגרפים של f, f′, f″)

Exercise 3

שלושה גרפים: I, II, III
IIIIII-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5-12-9-6-336912xy

בשרטוט שלושה גרפים, I, II ו-III: של פונקציה ff, של הנגזרת f′f' ושל הנגזרת השנייה f′′f'' (לא בהכרח בסדר הזה). הגרף I עובר דרך הנקודות (0,−3)(0, -3) ו-(1,0)(1, 0) המסומנות. סעיף ב (1). איזו התאמה נכונה?

  1. I — ff, II — f′f', III — f′′f''
  2. I — f′f', II — ff, III — f′′f''
  3. I — f′′f'', II — ff, III — f′f'
  4. I — f′f', II — f′′f'', III — ff
Show the answer and the solution

Answer: D I — f′f', II — f′′f'', III — ff

Worked solution:

III: x=±1\text{III}: \ x = \pm 1

לגרף III קיצונים ב-x=±1x = \pm 1, ושם גרף I חותך את ציר ה-xx: I היא הנגזרת של III

I: x=0\text{I}: \ x = 0

לגרף I מינימום ב-x=0x = 0, ושם הישר II חותך את הציר: II היא הנגזרת של I

III=f I=f′ II=f′′\begin{aligned}\text{III} &= f \\ \ \text{I} &= f' \\ \ \text{II} &= f''\end{aligned}

הנכונה: I — f′f', II — f′′f'', III — ff. הכלל: בכל נקודת קיצון של גרף, הגרף של הנגזרת שלו חותך את ציר ה-xx. המלכודת: לקבוע לפי «צורה» — ישר נראה «פשוט», אבל הוא כאן הנגזרת השנייה.

Check the answer on elev

Exercise 4

שלושה גרפים: I, II, III
IIIIII-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5-12-9-6-336912xy

בשרטוט שלושה גרפים, I, II ו-III: של פונקציה ff, של הנגזרת f′f' ושל הנגזרת השנייה f′′f'' (לא בהכרח בסדר הזה). הגרף I עובר דרך הנקודות (0,−3)(0, -3) ו-(1,0)(1, 0) המסומנות. נמצא: I הוא הגרף של f′f', ו-II הוא הגרף של f′′f''. סעיף ב (2). חשבו את ∫01f′′(x) dx\int_0^1 f''(x)\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

∫01f′′(x) dx=f′(1)−f′(0)\int_0^1 f''(x)\,dx = f'(1) - f'(0)

המשפט היסודי: f′f' היא פונקציה קדומה של f′′f''

=0−(−3)=3= 0 - (-3) = 3

קוראים מגרף I את הנקודות המסומנות

התוצאה 33. המלכודת: לקרוא את הערכים מגרף III, של ff — הקדומה של f′′f'' היא f′f', ולכן קוראים מגרף I.

Check the answer on elev

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף ג: גאומטריה)

Exercise 5

ABCDE

בטרפז ABCDABCD הבסיסים הם AB=12AB = 12 ו-CD=6CD = 6 (AB∥CDAB \parallel CD). האלכסונים נחתכים בנקודה EE. סעיף ג (1). חשבו את היחס S△ABES△CDE\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle CDE}}.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

∠ABE=∠CDE∠AEB=∠CED\begin{aligned}\angle ABE &= \angle CDE \\ \quad \angle AEB &= \angle CED\end{aligned}

זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים, וזוויות קודקודיות

△ABE∼△CDEk=ABCD=2\begin{aligned}\triangle ABE \sim \triangle CDE \\ \quad k &= \frac{AB}{CD} \\ &= 2\end{aligned}

משפט דמיון ז.ז

SABESCDE=k2=4\begin{aligned}\frac{S_{ABE}}{S_{CDE}} &= k^2 \\ &= 4\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

היחס 44. המלכודת: לענות 22 — יחס הדמיון בלי ריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 6

ABCDE

בטרפז ABCDABCD הבסיסים הם AB=12AB = 12 ו-CD=6CD = 6 (AB∥CDAB \parallel CD). האלכסונים נחתכים בנקודה EE. נמצא △ABE∼△CDE\triangle ABE \sim \triangle CDE ביחס 22. נתון S△CDE=5S_{\triangle CDE} = 5. סעיף ג (2). חשבו את שטח הטרפז.

Show the answer and the solution

Answer: 45

Worked solution:

SABE=4⋅5=20\begin{aligned}S_{ABE} &= 4 \cdot 5 \\ &= 20\end{aligned}

ריבוע יחס הדמיון

AEEC=2⇒SADE=2⋅SCDE=10\begin{aligned}\frac{AE}{EC} &= 2 \Rightarrow S_{ADE} \\ &= 2 \cdot S_{CDE} \\ &= 10\end{aligned}

למשולשים ADEADE ו-CDECDE אותו גובה מ-DD לאלכסון ACAC

SBCE=2⋅SCDE=10\begin{aligned}S_{BCE} &= 2 \cdot S_{CDE} \\ &= 10\end{aligned}

אותו נימוק עם BEED=2\frac{BE}{ED} = 2

S=5+20+10+10=45\begin{aligned}S &= 5 + 20 + 10 + 10 \\ &= 45\end{aligned}

סכום ארבעת המשולשים

שטח הטרפז 4545. המלכודת: להניח שלארבעת המשולשים יחס 1:2:41 : 2 : 4 בלבד ולשכוח את ADEADE ו-BCEBCE — שני המשולשים הצדדיים שווים זה לזה, וכל אחד מהם 1010.

Check the answer on elev

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף ד: טור הנדסי)

Exercise 7

המספר 1.2454545…1.2454545\ldots הוא שבר עשרוני מחזורי: הספרות 4545 חוזרות בלי סוף. סעיף ד (1). כתבו אותו כשבר פשוט בעזרת סכום של סדרה הנדסית אינסופית.

  1. 137111\frac{137}{111}
  2. 4133\frac{41}{33}
  3. 137110\frac{137}{110}
  4. 1245999\frac{1245}{999}
Show the answer and the solution

Answer: C 137110\frac{137}{110}

Worked solution:

1.2454545…=1.2+0.045+0.00045+…1.2454545\ldots = 1.2 + 0.045 + 0.00045 + \ldots

החלק המחזורי הוא סדרה הנדסית

0.045+0.00045+…=0.0451−0.01=45990=122\begin{aligned}0.045 + 0.00045 + \ldots &= \frac{0.045}{1 - 0.01} \\ &= \frac{45}{990} \\ &= \frac{1}{22}\end{aligned}

a1=0.045a_1 = 0.045, q=0.01q = 0.01

1.2+122=132+5110=137110\begin{aligned}1.2 + \frac{1}{22} &= \frac{132 + 5}{110} \\ &= \frac{137}{110}\end{aligned}

הנכונה: 137110\frac{137}{110}. המלכודת: 1245999\frac{1245}{999} — «הכלל» של 999999 מתאים רק כשכל הספרות חוזרות; כאן 22 שאחרי הנקודה אינה חלק מהמחזור.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתון 0<x<10 < x < 1. סעיף ד (2). סכום הסדרה ההנדסית האינסופית x+x2+x3+…x + x^2 + x^3 + \ldots הוא 44. מצאו את xx.

Show the answer and the solution

Answer: 0.8

Worked solution:

x1−x=4\frac{x}{1 - x} = 4

סכום סדרה הנדסית אינסופית: a1=xa_1 = x, q=xq = x

x=4−4x⇒x=0.8\begin{aligned}x &= 4 - 4x \Rightarrow x \\ &= 0.8\end{aligned}

x=0.8x = 0.8. המלכודת: לכתוב 11−x=4\frac{1}{1 - x} = 4 — הסדרה מתחילה ב-xx, לא ב-11.

Check the answer on elev

שאלה 2 — סדרות הנדסיות הבנויות מסדרה נתונה

Exercise 9

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שבה a1=2a_1 = 2, וסכום כל איבריה 55. א. מצאו את המנה qq.

Show the answer and the solution

Answer: 0.6

Worked solution:

21−q=5\frac{2}{1 - q} = 5

סכום סדרה הנדסית אינסופית

1−q=0.4⇒q=0.6\begin{aligned}1 - q &= 0.4 \Rightarrow q \\ &= 0.6\end{aligned}
∣q∣<1|q| < 1

בדיקה: הסדרה מתכנסת

q=0.6q = 0.6. המלכודת: לכתוב 21+q=5\frac{2}{1 + q} = 5 ולקבל q=−0.6q = -0.6.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שבה a1=2a_1 = 2, וסכום כל איבריה 55. נמצא q=0.6q = 0.6. מגדירים bn=an2b_n = a_n^2. ב. הראו ש-bnb_n סדרה הנדסית מתכנסת, וחשבו את סכום כל איבריה.

Show the answer and the solution

Answer: 6.25

Worked solution:

bn+1bn=(an+1an)2=q2=0.36\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)^2 \\ &= q^2 \\ &= 0.36\end{aligned}

מנה קבועה — סדרה הנדסית, ו-0.36<10.36 < 1

b1=a12=4\begin{aligned}b_1 &= a_1^2 \\ &= 4\end{aligned}
Sb=41−0.36=6.25\begin{aligned}S_b &= \frac{4}{1 - 0.36} \\ &= 6.25\end{aligned}

הסכום 6.256.25. המלכודת: להעלות בריבוע את הסכום, 52=255^2 = 25 — סכום הריבועים אינו ריבוע הסכום.

Check the answer on elev

Exercise 11

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שבה a1=2a_1 = 2, וסכום כל איבריה 55. נמצא q=0.6q = 0.6. מגדירים cn=an⋅knc_n = a_n \cdot k^n, ו-k≠0k \neq 0 פרמטר. ג. לאילו ערכים של kk הסדרה cnc_n מתכנסת (כלומר יש לה סכום סופי)?

  1. −1<k<1-1 < k < 1, k≠0k \neq 0
  2. k<53k < \frac{5}{3}, k≠0k \neq 0
  3. −53<k<53-\frac{5}{3} < k < \frac{5}{3}, k≠0k \neq 0
  4. 0<k<530 < k < \frac{5}{3}
Show the answer and the solution

Answer: C −53<k<53-\frac{5}{3} < k < \frac{5}{3}, k≠0k \neq 0

Worked solution:

cn+1cn=an+1an⋅k=0.6k\begin{aligned}\frac{c_{n+1}}{c_n} &= \frac{a_{n+1}}{a_n} \cdot k \\ &= 0.6k\end{aligned}

המנה של cnc_n

∣0.6k∣<1⇒∣k∣<53|0.6k| < 1 \Rightarrow |k| < \frac{5}{3}

תנאי ההתכנסות של טור הנדסי

הנכונה: −53<k<53-\frac{5}{3} < k < \frac{5}{3}, k≠0k \neq 0. המלכודת: k<53k < \frac{5}{3} — לשכוח את הערך המוחלט; עבור k=−2k = -2 המנה −1.2-1.2, והסדרה מתבדרת.

Check the answer on elev

Exercise 12

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שבה a1=2a_1 = 2, וסכום כל איבריה 55. נמצא q=0.6q = 0.6, ו-cn=an⋅knc_n = a_n \cdot k^n. ד. עבור k=1.5k = 1.5 חשבו את סכום כל איברי cnc_n.

Show the answer and the solution

Answer: 30

Worked solution:

c1=a1⋅1.5=3\begin{aligned}c_1 &= a_1 \cdot 1.5 \\ &= 3\end{aligned}

שימו לב: knk^n עם n=1n = 1

qc=0.6⋅1.5=0.9\begin{aligned}q_c &= 0.6 \cdot 1.5 \\ &= 0.9\end{aligned}
Sc=31−0.9=30\begin{aligned}S_c &= \frac{3}{1 - 0.9} \\ &= 30\end{aligned}

הסכום 3030. המלכודת: לקחת c1=a1=2c_1 = a_1 = 2 ולקבל 2020 — באיבר הראשון כבר יש גורם k1k^1.

Check the answer on elev

שאלה 3 — התפלגות בינומית ומותנית

Exercise 13

בחידון, כל תלמיד עונה על שאלות של «נכון או לא נכון». ההסתברות שתלמידה מסוימת תענה נכון על שאלה היא pp, כאשר p>0.5p > 0.5, והתשובות בלתי תלויות זו בזו. ההסתברות שבשתי שאלות היא תטעה בדיוק באחת היא 0.420.42. א. מצאו את pp.

Show the answer and the solution

Answer: 0.7

Worked solution:

2p(1−p)=0.422p(1 - p) = 0.42

שני סדרים: נכון-שגוי או שגוי-נכון

p2−p+0.21=0⇒p=0.7 או p=0.3\begin{aligned}p^2 - p + 0.21 &= 0 \Rightarrow p \\ &= 0.7 \ \text{או} \ p \\ &= 0.3\end{aligned}
p=0.7p = 0.7

לפי הנתון p>0.5p > 0.5

p=0.7p = 0.7. המלכודת: לכתוב p(1−p)=0.42p(1 - p) = 0.42 בלי הגורם 22 — אין לזה פתרון ממשי, כי המקסימום של p(1−p)p(1-p) הוא 0.250.25.

Check the answer on elev

Exercise 14

בחידון, כל תלמיד עונה על שאלות של «נכון או לא נכון». ההסתברות שתלמידה מסוימת תענה נכון על שאלה היא pp, כאשר p>0.5p > 0.5, והתשובות בלתי תלויות זו בזו. נמצא p=0.7p = 0.7. בחידון 6 שאלות. ב. מה ההסתברות שהתלמידה תענה נכון על 5 שאלות לפחות? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 0.42

Worked solution:

P(5)=(65)⋅0.75⋅0.3≈0.3025P(5) = \binom{6}{5} \cdot 0.7^5 \cdot 0.3 \approx 0.3025

נוסחת ברנולי

P(6)=0.76≈0.1176P(6) = 0.7^6 \approx 0.1176
P(≥5)≈0.420P(\ge 5) \approx 0.420

מאורעות זרים: מחברים

ההסתברות ≈0.420\approx 0.420. המלכודת: לחשב רק P(5)P(5) — «לפחות 5» כולל גם את 6.

Check the answer on elev

Exercise 15

בחידון, כל תלמיד עונה על שאלות של «נכון או לא נכון». ההסתברות שתלמידה מסוימת תענה נכון על שאלה היא pp, כאשר p>0.5p > 0.5, והתשובות בלתי תלויות זו בזו. נמצא p=0.7p = 0.7; בחידון של 6 שאלות, ההסתברות לענות נכון על 5 לפחות היא בערך 0.4200.420. ג. ידוע שהתלמידה ענתה נכון על 5 שאלות לפחות. מה ההסתברות שענתה נכון על כל השאלות? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 0.28

Worked solution:

P(6∣≥5)=P(6)P(≥5)P(6 \mid \ge 5) = \frac{P(6)}{P(\ge 5)}

המאורע «6» מוכל ב-«לפחות 5»: החיתוך הוא P(6)P(6)

=0.760.4202≈0.280= \frac{0.7^6}{0.4202} \approx 0.280

ההסתברות ≈0.280\approx 0.280. המלכודת: לענות 0.76≈0.1180.7^6 \approx 0.118 — זו ההסתברות בלי התנאי. המידע שקיבלנו מקטין את מרחב המדגם.

Check the answer on elev

Exercise 16

בחידון, כל תלמיד עונה על שאלות של «נכון או לא נכון». ההסתברות שתלמידה מסוימת תענה נכון על שאלה היא pp, כאשר p>0.5p > 0.5, והתשובות בלתי תלויות זו בזו. נמצא p=0.7p = 0.7. בחידון 6 שאלות. ד. ידוע שהתלמידה ענתה נכון על 4 שאלות בדיוק. מה ההסתברות ששתי השאלות הראשונות הן בין אלה שענתה עליהן נכון?

Show the answer and the solution

Answer: 0.4

Worked solution:

P(4)=(64)p4(1−p)2P(\text{4}) = \binom{6}{4} p^4 (1-p)^2

התנאי

P(שתיים∩4)=p2⋅(42)p2(1−p)2P(\text{שתיים} \cap 4) = p^2 \cdot \binom{4}{2} p^2 (1-p)^2

שתי הראשונות נכונות, ועוד 2 נכונות מבין 4 האחרות

(42)(64)=615=0.4\begin{aligned}\frac{\binom{4}{2}}{\binom{6}{4}} &= \frac{6}{15} \\ &= 0.4\end{aligned}

pp מצטמצם

ההסתברות 0.40.4 — והיא לא תלויה ב-pp: בהינתן 4 תשובות נכונות, כל בחירה של 4 מקומות שווה בסיכוייה. המלכודת: לענות 0.72=0.490.7^2 = 0.49 ולהתעלם מהתנאי.

Check the answer on elev

שאלה 4 — קוטר וגובה ליתר

Exercise 17

ABOECM

ABAB קוטר במעגל שמרכזו OO, והנקודה CC על המעגל. CECE מאונך לקוטר (EE על ABAB). MM אמצע המיתר ACAC. א. הוכיחו: △ACB∼△AEC\triangle ACB \sim \triangle AEC.

  • ABAB קוטר
  • CE⊥ABCE \perp AB

△ACB∼△AEC\triangle ACB \sim \triangle AEC

Show the answer and the solution
  1. ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
  2. ∠AEC=90∘\angle AEC = 90^\circ — נתון: CE⊥ABCE \perp AB
  3. ∠CAB=∠EAC\angle CAB = \angle EAC — זווית משותפת לשני המשולשים
  4. △ACB∼△AEC\triangle ACB \sim \triangle AEC — משפט דמיון ז.ז

Worked solution:

∠ACB=∠AEC=90∘\begin{aligned}\angle ACB &= \angle AEC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית היקפית על קוטר, ונתון

∠A\angle A

משותפת

△ACB∼△AEC\triangle ACB \sim \triangle AEC

ז.ז

ההתאמה: A→AA \to A, C→EC \to E, B→CB \to C. המלכודת: להתאים BB ל-EE — הזוויות הישרות הן ב-CC במשולש הגדול וב-EE בקטן, ולכן C↔EC \leftrightarrow E.

Check the answer on elev

Exercise 18

ABOECM

ABAB קוטר במעגל שמרכזו OO, והנקודה CC על המעגל. CECE מאונך לקוטר (EE על ABAB). MM אמצע המיתר ACAC. הוכח: △ACB∼△AEC\triangle ACB \sim \triangle AEC. נתון AE=3AE = 3 ו-EB=9EB = 9. ב. חשבו את ACAC.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

ACAE=ABAC\frac{AC}{AE} = \frac{AB}{AC}

יחס צלעות מתאימות

AC2=AE⋅AB=3⋅12=36\begin{aligned}AC^2 &= AE \cdot AB \\ &= 3 \cdot 12 \\ &= 36\end{aligned}

AB=AE+EB=12AB = AE + EB = 12

AC=6AC = 6

AC=6AC = 6. המלכודת: לכפול AE⋅EB=27AE \cdot EB = 27 — זה נותן את CE2CE^2, לא את AC2AC^2.

Check the answer on elev

Exercise 19

ABOECM

ABAB קוטר במעגל שמרכזו OO, והנקודה CC על המעגל. CECE מאונך לקוטר (EE על ABAB). MM אמצע המיתר ACAC. נתון AE=3AE = 3 ו-EB=9EB = 9, ונמצא AC=6AC = 6. ג. מהו אורך CECE?

  1. 333\sqrt{3}
  2. 323\sqrt{2}
  3. 232\sqrt{3}
  4. 636\sqrt{3}
Show the answer and the solution

Answer: A 333\sqrt{3}

Worked solution:

CE2=AC2−AE2=36−9=27\begin{aligned}CE^2 &= AC^2 - AE^2 \\ &= 36 - 9 \\ &= 27\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש AECAEC

CE=27=33\begin{aligned}CE &= \sqrt{27} \\ &= 3\sqrt{3}\end{aligned}
CE2=AE⋅EB=27\begin{aligned}CE^2 &= AE \cdot EB \\ &= 27\end{aligned}

בדיקה: הגובה ליתר

הנכונה: 333\sqrt{3}. המלכודת: 636\sqrt{3} — זה BCBC, ולא הגובה.

Check the answer on elev

Exercise 20

ABOECM

ABAB קוטר במעגל שמרכזו OO, והנקודה CC על המעגל. CECE מאונך לקוטר (EE על ABAB). MM אמצע המיתר ACAC. נתון AE=3AE = 3, EB=9EB = 9; נמצא AC=6AC = 6 ו-CE=33CE = 3\sqrt{3}. ד. הוכיחו או הפריכו: OM=CEOM = CE.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

OM∥BCOM=BC2\begin{aligned}OM \parallel BC \\ \quad OM &= \frac{BC}{2}\end{aligned}

קטע אמצעים במשולש ABCABC: OO אמצע ABAB ו-MM אמצע ACAC

BC=AB2−AC2=144−36=63\begin{aligned}BC &= \sqrt{AB^2 - AC^2} \\ &= \sqrt{144 - 36} \\ &= 6\sqrt{3}\end{aligned}

משפט פיתגורס: ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ

OM=33=CE\begin{aligned}OM &= 3\sqrt{3} \\ &= CE\end{aligned}

נכון: שניהם 333\sqrt{3}. המלכודת: לחשוב ש-OMOM רדיוס כי OO המרכז — MM אינה על המעגל, היא אמצע מיתר.

Check the answer on elev

שאלה 5 — מרובע חסום ונוסחאות סכום

Exercise 21

α2αACOBD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו RR. האלכסון ACAC הוא קוטר, והנקודות BB ו-DD משני צדדיו. נתון ∠CAB=α\angle CAB = \alpha ו-∠CAD=2α\angle CAD = 2\alpha. א. הביעו את האלכסון BDBD באמצעות RR ו-α\alpha.

  1. 2Rcos⁡3α2R\cos 3\alpha
  2. 2Rsin⁡α2R\sin\alpha
  3. 2Rsin⁡3α2R\sin 3\alpha
  4. Rsin⁡3αR\sin 3\alpha
Show the answer and the solution

Answer: C 2Rsin⁡3α2R\sin 3\alpha

Worked solution:

∠BAD=α+2α=3α\begin{aligned}\angle BAD &= \alpha + 2\alpha \\ &= 3\alpha\end{aligned}

חיבור זוויות

BDsin⁡∠BAD=2R\frac{BD}{\sin \angle BAD} = 2R

משפט הסינוסים במשולש ABDABD, החסום באותו מעגל

BD=2Rsin⁡3αBD = 2R\sin 3\alpha

הנכונה: 2Rsin⁡3α2R\sin 3\alpha. המלכודת: Rsin⁡3αR\sin 3\alpha — היחס בין צלע לסינוס הזווית שמולה הוא הקוטר, 2R2R.

Check the answer on elev

Exercise 22

α2αACOBD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו RR. האלכסון ACAC הוא קוטר, והנקודות BB ו-DD משני צדדיו. נתון ∠CAB=α\angle CAB = \alpha ו-∠CAD=2α\angle CAD = 2\alpha. ב. מהו שטח המרובע ABCDABCD?

  1. R2(sin⁡α+sin⁡2α)R^2(\sin\alpha + \sin 2\alpha)
  2. 2R2sin⁡3αsin⁡α2R^2\sin 3\alpha\sin\alpha
  3. R2sin⁡3αcos⁡αR^2\sin 3\alpha\cos\alpha
  4. 2R2sin⁡3αcos⁡α2R^2\sin 3\alpha\cos\alpha
Show the answer and the solution

Answer: D 2R2sin⁡3αcos⁡α2R^2\sin 3\alpha\cos\alpha

Worked solution:

∠ABC=∠ADC=90∘\begin{aligned}\angle ABC &= \angle ADC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית היקפית הנשענת על קוטר

SABC=12⋅2Rcos⁡α⋅2Rsin⁡α=R2sin⁡2α\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2} \cdot 2R\cos\alpha \cdot 2R\sin\alpha \\ &= R^2\sin 2\alpha\end{aligned}

במשולש ישר-זווית: AB=2Rcos⁡αAB = 2R\cos\alpha, BC=2Rsin⁡αBC = 2R\sin\alpha

SADC=12⋅2Rcos⁡2α⋅2Rsin⁡2α=R2sin⁡4α\begin{aligned}S_{ADC} &= \frac{1}{2} \cdot 2R\cos 2\alpha \cdot 2R\sin 2\alpha \\ &= R^2\sin 4\alpha\end{aligned}

אותו חישוב עם 2α2\alpha

R2(sin⁡4α+sin⁡2α)=2R2sin⁡3αcos⁡αR^2(\sin 4\alpha + \sin 2\alpha) = 2R^2\sin 3\alpha\cos\alpha

סכום סינוסים: sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡x+y2cos⁡x−y2\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}

הנכונה: 2R2sin⁡3αcos⁡α2R^2\sin 3\alpha\cos\alpha. המלכודת: R2(sin⁡α+sin⁡2α)R^2(\sin\alpha + \sin 2\alpha) — לשכוח שהזווית הכפולה נכנסת לשטח: 12⋅2sin⁡αcos⁡α⋅4R2=R2sin⁡2α\frac{1}{2} \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha \cdot 4R^2 = R^2 \sin 2\alpha.

Check the answer on elev

Exercise 23

α2αACOBD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו RR. האלכסון ACAC הוא קוטר, והנקודות BB ו-DD משני צדדיו. נתון ∠CAB=α\angle CAB = \alpha ו-∠CAD=2α\angle CAD = 2\alpha. נמצא BD=2Rsin⁡3αBD = 2R\sin 3\alpha. נתון BD=R2BD = R\sqrt{2}. ג. מצאו את α\alpha (במעלות).

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

sin⁡3α=22\sin 3\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}
3α=45∘ או 3α=135∘\begin{aligned}3\alpha &= 45^\circ \ \text{או} \ 3\alpha \\ &= 135^\circ\end{aligned}

שתי זוויות בין 0∘0^\circ ל-180∘180^\circ

α=45∘⇒∠CAD=90∘\begin{aligned}\alpha &= 45^\circ \Rightarrow \angle CAD \\ &= 90^\circ\end{aligned}

נפסל: זווית היקפית הנשענת על חלק מחצי מעגל קטנה מ-90∘90^\circ; DD הייתה מתלכדת עם AA

α=15∘\alpha = 15^\circ

α=15∘\alpha = 15^\circ. המלכודת: להשאיר גם α=45∘\alpha = 45^\circ — אז ∠CAD=90∘\angle CAD = 90^\circ, וזה אפשרי רק אם D=AD = A.

Check the answer on elev

Exercise 24

α2αACOBD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו RR. האלכסון ACAC הוא קוטר, והנקודות BB ו-DD משני צדדיו. נתון ∠CAB=α\angle CAB = \alpha ו-∠CAD=2α\angle CAD = 2\alpha. נמצא α=15∘\alpha = 15^\circ, ושטח המרובע S=2R2sin⁡3αcos⁡αS = 2R^2\sin 3\alpha\cos\alpha. נתון ששטח המרובע 3636. ד. מצאו את RR (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 5.13

Worked solution:

2R2sin⁡45∘cos⁡15∘=362R^2\sin 45^\circ\cos 15^\circ = 36

מציבים α=15∘\alpha = 15^\circ

R2=362⋅0.7071⋅0.9659≈26.35R^2 = \frac{36}{2 \cdot 0.7071 \cdot 0.9659} \approx 26.35
R≈5.13R \approx 5.13

R≈5.13R \approx 5.13. המלכודת: להציב sin⁡15∘\sin 15^\circ במקום sin⁡45∘\sin 45^\circ — בנוסחה מופיע sin⁡3α\sin 3\alpha.

Check the answer on elev

שאלה 6 — פונקציה רציונלית ופונקציה קדומה

Exercise 25

נתונה הפונקציה f(x)=ax(x2+1)2f(x) = \frac{ax}{(x^2 + 1)^2}, ו-aa פרמטר. נתון f(1)=2f(1) = 2. א. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

f(1)=a(1+1)2=a4=2\begin{aligned}f(1) &= \frac{a}{(1 + 1)^2} \\ &= \frac{a}{4} \\ &= 2\end{aligned}

מציבים x=1x = 1

a=8a = 8

a=8a = 8. המלכודת: לשכוח את הריבוע שבמכנה ולקבל a=4a = 4.

Check the answer on elev

Exercise 26

נתונה הפונקציה f(x)=ax(x2+1)2f(x) = \frac{ax}{(x^2 + 1)^2}, ו-aa פרמטר. נתון f(1)=2f(1) = 2. נמצא a=8a = 8, ו-f′(x)=8(1−3x2)(x2+1)3f'(x) = \frac{8(1 - 3x^2)}{(x^2 + 1)^3}. ב. מצאו את נקודת המקסימום של ff (עגלו את שני השיעורים לשתי ספרות אחרי הנקודה).

( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: ( 0.58 , 2.6 )

Worked solution:

f′(x)=0⇒x2=13⇒x=±13\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x^2 \\ &= \frac{1}{3} \Rightarrow x \\ &= \pm\frac{1}{\sqrt{3}}\end{aligned}

המכנה חיובי תמיד

−13<x<13:f′>0;x>13:f′<0-\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}: f' > 0; \quad x > \frac{1}{\sqrt{3}}: f' < 0

מקסימום ב-x=13x = \frac{1}{\sqrt{3}}

f(13)=83169=332≈2.60\begin{aligned}f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) &= \frac{\frac{8}{\sqrt{3}}}{\frac{16}{9}} \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.60\end{aligned}

המקסימום (13,332)≈(0.58,2.60)\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \approx (0.58, 2.60). המלכודת: לקחת את x=−13x = -\frac{1}{\sqrt{3}} — שם ff שלילית, וזו נקודת המינימום.

Check the answer on elev

Exercise 27

נתונה הפונקציה f(x)=ax(x2+1)2f(x) = \frac{ax}{(x^2 + 1)^2}, ו-aa פרמטר. נתון f(1)=2f(1) = 2. נמצא a=8a = 8. gg היא פונקציה שמקיימת g′(x)=f(x)g'(x) = f(x) לכל xx, והישר y=0y = 0 הוא אסימפטוטה אופקית של gg. ג. מהי g(x)g(x)?

  1. g(x)=−4(x2+1)2g(x) = -\frac{4}{(x^2 + 1)^2}
  2. g(x)=−4x2+1g(x) = -\frac{4}{x^2 + 1}
  3. g(x)=4−4x2+1g(x) = 4 - \frac{4}{x^2 + 1}
  4. g(x)=4x2+1g(x) = \frac{4}{x^2 + 1}
Show the answer and the solution

Answer: B g(x)=−4x2+1g(x) = -\frac{4}{x^2 + 1}

Worked solution:

∫8x(x2+1)2 dx=4∫2x(x2+1)2 dx\int \frac{8x}{(x^2 + 1)^2}\,dx = 4\int \frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\,dx

המונה הוא נגזרת הביטוי הפנימי: f(u)⋅u′f(u) \cdot u' עם u=x2+1u = x^2 + 1

=4⋅(−1x2+1)+C=−4x2+1+C= 4 \cdot \left(-\frac{1}{x^2 + 1}\right) + C = -\frac{4}{x^2 + 1} + C

הקדומה של 1u2\frac{1}{u^2} היא −1u-\frac{1}{u}

x→∞: g→C=0x \to \infty: \ g \to C = 0

האסימפטוטה y=0y = 0 קובעת את הקבוע

הנכונה: −4x2+1-\frac{4}{x^2 + 1}. המלכודת: 4−4x2+14 - \frac{4}{x^2 + 1} — זו קדומה נכונה, אבל האסימפטוטה שלה y=4y = 4.

Check the answer on elev

Exercise 28

נתונה הפונקציה f(x)=ax(x2+1)2f(x) = \frac{ax}{(x^2 + 1)^2}, ו-aa פרמטר. נתון f(1)=2f(1) = 2. נמצא a=8a = 8, ו-g(x)=−4x2+1g(x) = -\frac{4}{x^2 + 1} היא פונקציה קדומה של ff. ד. חשבו את השטח הכלוא בין גרף ff, ציר ה-xx והישר x=1x = 1.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x≥0⇒f(x)≥0x \ge 0 \Rightarrow f(x) \ge 0

המונה 8x8x אי-שלילי והמכנה חיובי: הגרף מעל הציר

S=∫01f(x) dx=g(1)−g(0)\begin{aligned}S &= \int_0^1 f(x)\,dx \\ &= g(1) - g(0)\end{aligned}

השטח מתחיל בנקודת החיתוך של ff עם הציר, x=0x = 0

=−2−(−4)=2= -2 - (-4) = 2

השטח 22. המלכודת: להניח ש-g(0)=0g(0) = 0 ולענות −2-2 — g(0)=−4g(0) = -4, ושטח אינו שלילי.

Check the answer on elev

שאלה 7 — פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר

Exercise 29

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+bcos⁡xf(x) = \sin^2 x + b\cos x בתחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, ו-bb פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=π3x = \frac{\pi}{3}. א. מצאו את bb.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f′(x)=2sin⁡xcos⁡x−bsin⁡x=sin⁡x(2cos⁡x−b)\begin{aligned}f'(x) &= 2\sin x\cos x - b\sin x \\ &= \sin x(2\cos x - b)\end{aligned}

נגזרת של פונקציה מורכבת: (sin⁡2x)′=2sin⁡x⋅cos⁡x(\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot \cos x

f′(π3)=32(1−b)=0⇒b=1\begin{aligned}f'\left(\frac{\pi}{3}\right) &= \frac{\sqrt{3}}{2}(1 - b) \\ &= 0 \Rightarrow b \\ &= 1\end{aligned}

cos⁡π3=12\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}

b=1b = 1. המלכודת: לגזור sin⁡2x\sin^2 x ל-2sin⁡x2\sin x בלי הנגזרת הפנימית cos⁡x\cos x.

Check the answer on elev

Exercise 30

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+bcos⁡xf(x) = \sin^2 x + b\cos x בתחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, ו-bb פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=π3x = \frac{\pi}{3}. נמצא b=1b = 1, כלומר f(x)=sin⁡2x+cos⁡xf(x) = \sin^2 x + \cos x. ב. הוכיחו או הפריכו: ff פונקציה זוגית.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f(−x)=sin⁡2(−x)+cos⁡(−x)=(−sin⁡x)2+cos⁡x\begin{aligned}f(-x) &= \sin^2(-x) + \cos(-x) \\ &= (-\sin x)^2 + \cos x\end{aligned}

sin⁡\sin אי-זוגית ו-cos⁡\cos זוגית

=sin⁡2x+cos⁡x=f(x)= \sin^2 x + \cos x = f(x)

והתחום סימטרי

נכון: ff זוגית, והגרף סימטרי ביחס לציר ה-yy. המלכודת: לחשוב ש-sin⁡2x\sin^2 x אי-זוגית «כי sin⁡\sin אי-זוגית» — הריבוע מבטל את הסימן.

Check the answer on elev

Exercise 31

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+bcos⁡xf(x) = \sin^2 x + b\cos x בתחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, ו-bb פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=π3x = \frac{\pi}{3}. נמצא b=1b = 1; ff זוגית, f(0)=1f(0) = 1, f(±π)=−1f(\pm\pi) = -1, ובנקודות x=±π3x = \pm\frac{\pi}{3} יש מקסימום שערכו 1.251.25. ג. כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=1.1f(x) = 1.1 בתחום?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

f′(x)=sin⁡x(2cos⁡x−1)f'(x) = \sin x(2\cos x - 1)

קיצונים ב-00, ±π3\pm\frac{\pi}{3}, ובקצוות

0→π3: 1↗1.25;π3→π: 1.25↘−10 \to \frac{\pi}{3}: \ 1 \nearrow 1.25; \quad \frac{\pi}{3} \to \pi: \ 1.25 \searrow -1

בכל קטע מונוטוני הערך 1.11.1 מתקבל פעם אחת

2+2=42 + 2 = 4

עוד שני פתרונות בחצי השלילי, מהזוגיות

ארבעה פתרונות. המלכודת: לענות 22 ולפספס את הקטע 0<x<π30 < x < \frac{\pi}{3} — בין המינימום המקומי f(0)=1f(0) = 1 למקסימום 1.251.25 הגרף עובר גם הוא דרך 1.11.1.

Check the answer on elev

Exercise 32

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+bcos⁡xf(x) = \sin^2 x + b\cos x בתחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, ו-bb פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=π3x = \frac{\pi}{3}. נמצא b=1b = 1, כלומר f(x)=sin⁡2x+cos⁡xf(x) = \sin^2 x + \cos x, ו-f(x)≥0f(x) \ge 0 בתחום 0≤x≤π20 \le x \le \frac{\pi}{2}. ד. חשבו את השטח הכלוא בין גרף ff, הצירים והישר x=π2x = \frac{\pi}{2} (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 1.79

Worked solution:

sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}

זהות הזווית הכפולה: cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x

∫0π/2(12−cos⁡2x2+cos⁡x)dx=[x2−sin⁡2x4+sin⁡x]0π/2\int_0^{\pi/2} \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos 2x}{2} + \cos x\right) dx = \left[\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + \sin x\right]_0^{\pi/2}
=π4+1≈1.79= \frac{\pi}{4} + 1 \approx 1.79

השטח π4+1≈1.79\frac{\pi}{4} + 1 \approx 1.79. המלכודת: לכתוב ∫sin⁡2x dx=sin⁡3x3\int \sin^2 x\,dx = \frac{\sin^3 x}{3} — זה נכון רק כשיש גם גורם cos⁡x\cos x; כאן חייבים את זהות הזווית הכפולה.

Check the answer on elev

שאלה 8 — בעיית קיצון עם משיק לפרבולה

Exercise 33

y = 9 − x²
A01234-1123456789101112xy

הנקודה A(t,9−t2)A(t, 9 - t^2) נמצאת על גרף הפונקציה y=9−x2y = 9 - x^2, ו-0<t<30 < t < 3. המשיק לגרף בנקודה AA יוצר עם הצירים משולש ברביע הראשון. א. מהו שטח המשולש כפונקציה של tt?

  1. S(t)=(9+t2)22tS(t) = \frac{(9 + t^2)^2}{2t}
  2. S(t)=(9+t2)24tS(t) = \frac{(9 + t^2)^2}{4t}
  3. S(t)=(9−t2)24tS(t) = \frac{(9 - t^2)^2}{4t}
  4. S(t)=9+t24tS(t) = \frac{9 + t^2}{4t}
Show the answer and the solution

Answer: B S(t)=(9+t2)24tS(t) = \frac{(9 + t^2)^2}{4t}

Worked solution:

y=−2t(x−t)+9−t2=−2tx+9+t2\begin{aligned}y &= -2t(x - t) + 9 - t^2 \\ &= -2tx + 9 + t^2\end{aligned}

משוואת המשיק: השיפוע y′=−2ty' = -2t

x=0: y=9+t2;y=0: x=9+t22t\begin{aligned}x &= 0: \ y \\ &= 9 + t^2; \quad y \\ &= 0: \ x \\ &= \frac{9 + t^2}{2t}\end{aligned}

נקודות החיתוך עם הצירים

S=12⋅9+t22t⋅(9+t2)=(9+t2)24t\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot \frac{9 + t^2}{2t} \cdot (9 + t^2) \\ &= \frac{(9 + t^2)^2}{4t}\end{aligned}

שטח משולש ישר-זווית

הנכונה: (9+t2)24t\frac{(9 + t^2)^2}{4t}. המלכודת: (9−t2)24t\frac{(9 - t^2)^2}{4t} — להשתמש בגובה של הנקודה AA במקום בנקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה-yy.

Check the answer on elev

Exercise 34

y = 9 − x²
A01234-1123456789101112xy

הנקודה A(t,9−t2)A(t, 9 - t^2) נמצאת על גרף הפונקציה y=9−x2y = 9 - x^2, ו-0<t<30 < t < 3. המשיק לגרף בנקודה AA יוצר עם הצירים משולש ברביע הראשון. שטח המשולש הוא S(t)=(9+t2)24tS(t) = \frac{(9 + t^2)^2}{4t}. ב. עבור איזה tt השטח מינימלי? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 1.73

Worked solution:

S′(t)=2(9+t2)⋅2t⋅4t−(9+t2)2⋅416t2=(9+t2)(3t2−9)4t2\begin{aligned}S'(t) &= \frac{2(9 + t^2) \cdot 2t \cdot 4t - (9 + t^2)^2 \cdot 4}{16t^2} \\ &= \frac{(9 + t^2)(3t^2 - 9)}{4t^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

3t2−9=0⇒t=3≈1.73\begin{aligned}3t^2 - 9 &= 0 \Rightarrow t \\ &= \sqrt{3} \approx 1.73\end{aligned}

9+t2>09 + t^2 > 0

t<3:S′<0;t>3:S′>0t < \sqrt{3}: S' < 0; \quad t > \sqrt{3}: S' > 0

מינימום

t=3≈1.73t = \sqrt{3} \approx 1.73. המלכודת: לגזור את (9+t2)2(9 + t^2)^2 בלי הנגזרת הפנימית 2t2t.

Check the answer on elev

Exercise 35

y = 9 − x²
A01234-1123456789101112xy

הנקודה A(t,9−t2)A(t, 9 - t^2) נמצאת על גרף הפונקציה y=9−x2y = 9 - x^2, ו-0<t<30 < t < 3. המשיק לגרף בנקודה AA יוצר עם הצירים משולש ברביע הראשון. השטח S(t)=(9+t2)24tS(t) = \frac{(9 + t^2)^2}{4t} מינימלי כאשר t=3t = \sqrt{3}. ג. חשבו את השטח המינימלי (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 20.78

Worked solution:

S(3)=12243=363=123≈20.78\begin{aligned}S(\sqrt{3}) &= \frac{12^2}{4\sqrt{3}} \\ &= \frac{36}{\sqrt{3}} \\ &= 12\sqrt{3} \approx 20.78\end{aligned}

השטח המינימלי 123≈20.7812\sqrt{3} \approx 20.78. המלכודת: להציב t=3t = 3 במקום t2=3t^2 = 3.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade