סימולציית בגרות 4

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

סימולציית בגרות 4 — שאלון 035571 (5 יח״ל). משך הבחינה: שלוש שעות ושלושה רבעים (225 דקות). מותר להשתמש במחשבון לא גרפי ובנוסחאון ל-5 יח״ל. בבחינה ארבעה פרקים ושמונה שאלות: פרק א — שאלות קצרות (שאלה 1); פרק ב — אינדוקציה, סדרות והסתברות (שאלות 2–3); פרק ג — גאומטריה וטריגונומטריה במישור (שאלות 4–5); פרק ד — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (שאלות 6–8). עליכם לענות על 5 שאלות: לפחות אחת מפרק א או מפרק ב, ולפחות אחת מכל אחד מהפרקים ג ו-ד. מי שבוחר בשאלה 1 עונה על 2 מתוך 4 הסעיפים שלה. לכל שאלה 20 נקודות. כל השאלות כתובות כאן — בחרו כמו בבחינה, או תרגלו את כולן.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בשאלה 1 הסעיפים א–ד בלתי תלויים. בגאומטריה כתבו משפט לכל שורה; בחקירה — תחום הגדרה קודם, וטבלת סימנים לפני שקובעים סוג קיצון. חלקו את הזמן: כ-45 דקות לשאלה.

Exercises

שאלה 1א — שאלות קצרות: אינדוקציה

Exercise 1

נתונה הטענה: לכל nn טבעי, 1+2⋅3+3⋅32+⋯+n⋅3n−1=(2n+c)⋅3n+141 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + n \cdot 3^{n-1} = \frac{(2n+c) \cdot 3^n + 1}{4}, כאשר cc קבוע. (1) מצאו את cc בעזרת המקרה n=1n = 1.

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

1=(2+c)⋅3+141 = \frac{(2+c) \cdot 3 + 1}{4}

מציבים n=1n = 1: באגף שמאל יש איבר אחד, 1⋅30=11 \cdot 3^0 = 1

4=3(2+c)+1⇒2+c=1⇒c=−1\begin{aligned}4 &= 3(2+c) + 1 \Rightarrow 2 + c \\ &= 1 \Rightarrow c \\ &= -1\end{aligned}
n=2: 1+6=73⋅9+14=7\begin{aligned}n &= 2: \ 1 + 6 \\ &= 7 \\ \quad \frac{3 \cdot 9 + 1}{4} &= 7\end{aligned}

בדיקה במקרה n=2n = 2

c=−1c = -1. המלכודת: לכתוב באגף שמאל 1⋅31=31 \cdot 3^1 = 3 — האיבר ה-kk הוא k⋅3k−1k \cdot 3^{k-1}, ולכן האיבר הראשון הוא 11.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הטענה: לכל nn טבעי, 1+2⋅3+3⋅32+⋯+n⋅3n−1=(2n+c)⋅3n+141 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + n \cdot 3^{n-1} = \frac{(2n+c) \cdot 3^n + 1}{4}, כאשר cc קבוע. נמצא c=−1c = -1. (2) בשלב המעבר מניחים שהטענה נכונה עבור n=mn = m. לאיזה ביטוי שווה סכום m+1m + 1 האיברים הראשונים, אחרי שמציבים את הנחת האינדוקציה?

  1. (2m−1)⋅3m+14+m⋅3m−1\frac{(2m-1) \cdot 3^m + 1}{4} + m \cdot 3^{m-1}
  2. (2m−1)⋅3m+14+(m+1)⋅3m\frac{(2m-1) \cdot 3^m + 1}{4} + (m+1) \cdot 3^m
  3. (2m+1)⋅3m+1+14+(m+1)⋅3m\frac{(2m+1) \cdot 3^{m+1} + 1}{4} + (m+1) \cdot 3^m
  4. (2m−1)⋅3m+14+(m+1)⋅3m+1\frac{(2m-1) \cdot 3^m + 1}{4} + (m+1) \cdot 3^{m+1}
Show the answer and the solution

Answer: B (2m−1)⋅3m+14+(m+1)⋅3m\frac{(2m-1) \cdot 3^m + 1}{4} + (m+1) \cdot 3^m

Worked solution:

Sm+1=Sm+(m+1)⋅3(m+1)−1S_{m+1} = S_m + (m+1) \cdot 3^{(m+1)-1}

מוסיפים לסכום את האיבר ה-(m+1)(m+1)

=(2m−1)⋅3m+1+4(m+1)⋅3m4=(6m+3)⋅3m+14= \frac{(2m-1) \cdot 3^m + 1 + 4(m+1) \cdot 3^m}{4} = \frac{(6m+3) \cdot 3^m + 1}{4}

הנחת האינדוקציה ומכנה משותף

=(2m+1)⋅3m+1+14= \frac{(2m+1) \cdot 3^{m+1} + 1}{4}

זו הטענה עבור n=m+1n = m + 1: 2(m+1)−1=2m+12(m+1) - 1 = 2m + 1

התשובה הנכונה: מוסיפים (m+1)⋅3m(m+1) \cdot 3^m. המלכודות: להוסיף שוב את האיבר ה-mm; לכתוב 3m+13^{m+1} — המעריך קטן באחד מהמקום; ולהציב את מה שצריך להוכיח במקום את ההנחה.

Check the answer on elev

שאלה 1ב — שאלות קצרות: פונקציה צוברת

Exercise 3

הגרף של f
-1012345-3-2-112345xy

בשרטוט הגרף של הפונקציה f(x)=x2−3xf(x) = x^2 - 3x. נגדיר g(x)=∫0xf(t) dtg(x) = \int_0^x f(t)\,dt. (1) לפונקציה gg יש נקודת מינימום אחת בתחום x>0x > 0. מצאו את שיעור ה-xx שלה.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

g′(x)=f(x)g'(x) = f(x)

המשפט היסודי: הנגזרת של הפונקציה הצוברת היא הפונקציה שמתחת לאינטגרל

0<x<3:f<0,x>3:f>00 < x < 3: f < 0, \quad x > 3: f > 0

לפי הגרף: gg יורדת ואחר כך עולה

x=3x = 3

מינימום של gg

x=3x = 3. המלכודת: לחפש את המינימום של ff עצמה, x=1.5x = 1.5 — הקיצון של gg נמצא היכן ש-ff מתאפסת ומחליפה סימן.

Check the answer on elev

Exercise 4

הגרף של f
-1012345-3-2-112345xy

בשרטוט הגרף של הפונקציה f(x)=x2−3xf(x) = x^2 - 3x. נגדיר g(x)=∫0xf(t) dtg(x) = \int_0^x f(t)\,dt. נמצא שהמינימום של gg בתחום x>0x > 0 הוא ב-x=3x = 3. (2) מצאו את ה-x>0x > 0 שבו g(x)=0g(x) = 0.

Show the answer and the solution

Answer: 4.5

Worked solution:

g(x)=∫0x(t2−3t) dt=x33−3x22\begin{aligned}g(x) &= \int_0^x (t^2 - 3t)\,dt \\ &= \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}\end{aligned}

פונקציה קדומה ואז הצבה של הגבולות

x2(x3−32)=0⇒x=4.5\begin{aligned}x^2 \left(\frac{x}{3} - \frac{3}{2}\right) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4.5\end{aligned}

פתרון x=0x = 0 נפסל: דרוש x>0x > 0

∫03f=−4.5∫34.5f=4.5\begin{aligned}\int_0^3 f &= -4.5 \\ \quad \int_3^{4.5} f &= 4.5\end{aligned}

השטח מתחת לציר מתקזז עם השטח שמעליו

x=4.5x = 4.5. המלכודת: לענות x=3x = 3 — שם ff מתאפסת, אבל g(3)=−4.5g(3) = -4.5. gg מתאפסת רק כשהשטח שמעל הציר מאזן את השטח שמתחתיו.

Check the answer on elev

שאלה 1ג — שאלות קצרות: משיק וחותך

Exercise 5

PABTO

מהנקודה PP, שמחוץ למעגל, יוצאים המשיק PTPT (TT נקודת ההשקה) והחותך PBPB, שחותך את המעגל בנקודות AA ו-BB (AA בין PP ל-BB). נתון PA=4PA = 4 ו-AB=5AB = 5. (1) חשבו את PTPT.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

PB=PA+AB=9\begin{aligned}PB &= PA + AB \\ &= 9\end{aligned}
PT2=PA⋅PB=4⋅9=36\begin{aligned}PT^2 &= PA \cdot PB \\ &= 4 \cdot 9 \\ &= 36\end{aligned}

משפט משיק וחותך: ריבוע המשיק שווה למכפלת החותך כולו בחלקו החיצוני

PT=6PT = 6

PT=6PT = 6. המלכודת: לכפול PA⋅AB=20PA \cdot AB = 20 — במשפט נכנס החותך כולו, PB=9PB = 9, ולא רק המיתר.

Check the answer on elev

Exercise 6

PABTO

מהנקודה PP, שמחוץ למעגל, יוצאים המשיק PTPT (TT נקודת ההשקה) והחותך PBPB, שחותך את המעגל בנקודות AA ו-BB (AA בין PP ל-BB). נתון PA=4PA = 4 ו-AB=5AB = 5. נמצא PT=6PT = 6. (2) מהו היחס בין שטח △PTA\triangle PTA לשטח △PBT\triangle PBT?

  1. 45\frac{4}{5}
  2. 1625\frac{16}{25}
  3. 49\frac{4}{9}
  4. 23\frac{2}{3}
Show the answer and the solution

Answer: C 49\frac{4}{9}

Worked solution:

∠TPA=∠BPT\angle TPA = \angle BPT

זווית משותפת

∠PTA=∠PBT\angle PTA = \angle PBT

הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני

△PTA∼△PBTk=PTPB=69=23\begin{aligned}\triangle PTA \sim \triangle PBT \\ \quad k &= \frac{PT}{PB} \\ &= \frac{6}{9} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

משפט דמיון ז.ז

SPTASPBT=k2=49\begin{aligned}\frac{S_{PTA}}{S_{PBT}} &= k^2 \\ &= \frac{4}{9}\end{aligned}

יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון

התשובה הנכונה: 49\frac{4}{9}. המלכודות: 23\frac{2}{3} — יחס הדמיון בלי ריבוע; 45\frac{4}{5} ו-1625\frac{16}{25} — היחס PAAB\frac{PA}{AB}, בין קטעים שאינם צלעות מתאימות.

Check the answer on elev

שאלה 1ד — שאלות קצרות: עד ההצלחה הראשונה

Exercise 7

רותם זורקת כדור לסל שוב ושוב, ומפסיקה ברגע שהיא קולעת בפעם הראשונה. בכל זריקה ההסתברות שהיא קולעת היא 0.30.3, בלי תלות בזריקות האחרות. (1) מה ההסתברות שהיא תקלע לראשונה בזריקה השלישית?

Show the answer and the solution

Answer: 0.147

Worked solution:

P=0.7⋅0.7⋅0.3P = 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.3

שתי החטאות ברצף ואז קליעה — סדר אחד בלבד

=0.147= 0.147

0.1470.147. המלכודת: להכפיל ב-(31)=3\binom{3}{1} = 3 כמו בברנולי ולקבל 0.4410.441 — כאן הסדר קבוע: הקליעה היא האחרונה.

Check the answer on elev

Exercise 8

רותם זורקת כדור לסל שוב ושוב, ומפסיקה ברגע שהיא קולעת בפעם הראשונה. בכל זריקה ההסתברות שהיא קולעת היא 0.30.3, בלי תלות בזריקות האחרות. (2) מה ההסתברות שהיא תזרוק יותר מ-4 זריקות?

Show the answer and the solution

Answer: 0.2401

Worked solution:

P=0.7⋅0.7⋅0.7⋅0.7=0.74\begin{aligned}P &= 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.7 \\ &= 0.7^4\end{aligned}

יותר מ-4 זריקות קורה בדיוק כשארבע הזריקות הראשונות מחטיאות

=0.2401= 0.2401

0.24010.2401. המלכודת: לחשב 0.74⋅0.30.7^4 \cdot 0.3 — זו ההסתברות לקלוע בדיוק בזריקה החמישית, ולא לעבור את הרביעית.

Check the answer on elev

שאלה 2 — סדרה הנדסית אינסופית: מקומות זוגיים ואי-זוגיים

Exercise 9

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת ana_n, שכל איבריה חיוביים. סכום כל איברי הסדרה הוא 1818, וסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים, a1+a3+a5+…a_1 + a_3 + a_5 + \dots, הוא 13.513.5. א. מהי מנת הסדרה qq?

  1. 34\frac{3}{4}
  2. 13\frac{1}{3}
  3. 14\frac{1}{4}
  4. 23\frac{2}{3}
Show the answer and the solution

Answer: B 13\frac{1}{3}

Worked solution:

S=a11−q=18S1=a11−q2=13.5\begin{aligned}S &= \frac{a_1}{1-q} \\ &= 18 \\ \quad S_1 &= \frac{a_1}{1-q^2} \\ &= 13.5\end{aligned}

S1S_1 — סכום האיברים במקומות האי-זוגיים: סדרה הנדסית שמנתה q2q^2

S1S=1−q1−q2=11+q=13.518=34\begin{aligned}\frac{S_1}{S} &= \frac{1-q}{1-q^2} \\ &= \frac{1}{1+q} \\ &= \frac{13.5}{18} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

מחלקים ומצמצמים ב-1−q1-q

1+q=43⇒q=13\begin{aligned}1 + q &= \frac{4}{3} \Rightarrow q \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

התשובה הנכונה: 13\frac{1}{3}. המלכודת: 34\frac{3}{4} — לחשוב שיחס הסכומים הוא המנה. תת-הסדרה של המקומות האי-זוגיים מתקדמת במנה q2q^2, לא qq.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת ana_n, שכל איבריה חיוביים. סכום כל איברי הסדרה הוא 1818, וסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים, a1+a3+a5+…a_1 + a_3 + a_5 + \dots, הוא 13.513.5. נמצא q=13q = \frac{1}{3}. ב. מצאו את a1a_1.

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

a11−13=18⇒a1=18⋅23=12\begin{aligned}\frac{a_1}{1 - \frac{1}{3}} &= 18 \Rightarrow a_1 \\ &= 18 \cdot \frac{2}{3} \\ &= 12\end{aligned}

נוסחת הסכום האינסופי

121−19=13.5 ✓\frac{12}{1 - \frac{1}{9}} = 13.5 \ \checkmark

בדיקה בסכום האי-זוגיים

a1=12a_1 = 12. המלכודת: לכתוב a1=18(1+q)=24a_1 = 18(1+q) = 24 — מכפילים ב-1−q1-q, לא ב-1+q1+q.

Check the answer on elev

Exercise 11

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת ana_n, שכל איבריה חיוביים. סכום כל איברי הסדרה הוא 1818, וסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים, a1+a3+a5+…a_1 + a_3 + a_5 + \dots, הוא 13.513.5. נמצא a1=12a_1 = 12 ו-q=13q = \frac{1}{3}. מגדירים bn=a2n−1−a2nb_n = a_{2n-1} - a_{2n}. ג. הסדרה bnb_n הנדסית. מהם האיבר הראשון שלה והמנה שלה?

  1. b1=8b_1 = 8, והמנה 13\frac{1}{3}
  2. b1=4b_1 = 4, והמנה 19\frac{1}{9}
  3. b1=8b_1 = 8, והמנה 19\frac{1}{9}
  4. b1=16b_1 = 16, והמנה 19\frac{1}{9}
Show the answer and the solution

Answer: C b1=8b_1 = 8, והמנה 19\frac{1}{9}

Worked solution:

b1=a1−a2=12−4=8\begin{aligned}b_1 &= a_1 - a_2 \\ &= 12 - 4 \\ &= 8\end{aligned}
bn=a1q2n−2−a1q2n−1=a1(1−q)⋅(q2)n−1\begin{aligned}b_n &= a_1 q^{2n-2} - a_1 q^{2n-1} \\ &= a_1 (1-q) \cdot (q^2)^{n-1}\end{aligned}

מוציאים גורם משותף

bn+1bn=q2=19\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= q^2 \\ &= \frac{1}{9}\end{aligned}

המנה קבועה — הסדרה הנדסית

∑bn=81−19=9=13.5−4.5\begin{aligned}\sum b_n &= \frac{8}{1 - \frac{1}{9}} \\ &= 9 \\ &= 13.5 - 4.5\end{aligned}

בדיקה: סכום האי-זוגיים פחות סכום הזוגיים

התשובה הנכונה: b1=8b_1 = 8 ומנה 19\frac{1}{9}. המלכודת: מנה 13\frac{1}{3} — כל איבר של bnb_n מדלג שני מקומות בסדרה ana_n.

Check the answer on elev

Exercise 12

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת ana_n, שכל איבריה חיוביים. סכום כל איברי הסדרה הוא 1818, וסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים, a1+a3+a5+…a_1 + a_3 + a_5 + \dots, הוא 13.513.5. נמצא a1=12a_1 = 12 ו-q=13q = \frac{1}{3}. ד. מהו המקום nn הראשון שבו an<0.01a_n < 0.01?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

an=12⋅(13)n−1<0.01  ⟺  3n−1>1200a_n = 12 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < 0.01 \iff 3^{n-1} > 1200

האיבר הכללי

36=72937=2187\begin{aligned}3^6 &= 729 \\ \quad 3^7 &= 2187\end{aligned}

בודקים חזקות של 3

n−1=7⇒n=8\begin{aligned}n - 1 &= 7 \Rightarrow n \\ &= 8\end{aligned}

n=8n = 8. המלכודת: לעצור ב-n=7n = 7 — המעריך הוא n−1n - 1, ולכן החזקה 373^7 שייכת לאיבר השמיני.

Check the answer on elev

שאלה 3 — הסתברות מותנית וברנולי

Exercise 13

במאפייה שני תנורים. תנור א אופה 60%60\% מהעוגיות, ותנור ב אופה את השאר. ההסתברות שעוגייה מתנור א נשרפת היא pp, וההסתברות שעוגייה מתנור ב נשרפת היא 2p2p. ידוע ש-7%7\% מכל העוגיות במאפייה נשרפות. א. מצאו את pp.

Show the answer and the solution

Answer: 0.05

Worked solution:

0.6⋅p+0.4⋅2p=0.070.6 \cdot p + 0.4 \cdot 2p = 0.07

נוסחת ההסתברות השלמה: שני ענפים בעץ

1.4p=0.07⇒p=0.05\begin{aligned}1.4p &= 0.07 \Rightarrow p \\ &= 0.05\end{aligned}

p=0.05p = 0.05. המלכודת: לחבר p+2p=0.07p + 2p = 0.07 בלי משקלות התנורים — כל ענף מוכפל בהסתברות להגיע אליו.

Check the answer on elev

Exercise 14

במאפייה שני תנורים. תנור א אופה 60%60\% מהעוגיות, ותנור ב אופה את השאר. ההסתברות שעוגייה מתנור א נשרפת היא pp, וההסתברות שעוגייה מתנור ב נשרפת היא 2p2p. ידוע ש-7%7\% מכל העוגיות במאפייה נשרפות. נמצא p=0.05p = 0.05. ב. בוחרים באקראי עוגייה שרופה. מה ההסתברות שהיא מתנור ב? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.57

Worked solution:

P(B∩W)=0.4⋅0.1=0.04\begin{aligned}P(B \cap W) &= 0.4 \cdot 0.1 \\ &= 0.04\end{aligned}

BB — העוגייה מתנור ב, WW — העוגייה שרופה

P(B∣W)=0.040.07=47≈0.57\begin{aligned}P(B \mid W) &= \frac{0.04}{0.07} \\ &= \frac{4}{7} \approx 0.57\end{aligned}

הסתברות מותנית: חלק הענף מכל השרופות

47≈0.57\frac{4}{7} \approx 0.57. המלכודת: לענות 0.10.1 — זו ההסתברות שעוגייה מתנור ב נשרפת, התנאי ההפוך.

Check the answer on elev

Exercise 15

במאפייה שני תנורים. תנור א אופה 60%60\% מהעוגיות, ותנור ב אופה את השאר. ההסתברות שעוגייה מתנור א נשרפת היא pp, וההסתברות שעוגייה מתנור ב נשרפת היא 2p2p. ידוע ש-7%7\% מכל העוגיות במאפייה נשרפות. ההסתברות שעוגייה נשרפת היא 0.070.07. ג. בוחרים באקראי 5 עוגיות, בלי תלות זו בזו. מה ההסתברות שבדיוק 2 מהן שרופות? עגלו לארבע ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.0394

Worked solution:

P(X=2)=(52)⋅0.072⋅0.933P(X = 2) = \binom{5}{2} \cdot 0.07^2 \cdot 0.93^3

נוסחת ברנולי: 5 ניסויים, 2 הצלחות

=10⋅0.0049⋅0.804357≈0.0394= 10 \cdot 0.0049 \cdot 0.804357 \approx 0.0394

≈0.0394\approx 0.0394. המלכודת: לשכוח את (52)=10\binom{5}{2} = 10 — יש עשרה מקומות אפשריים לשתי העוגיות השרופות.

Check the answer on elev

Exercise 16

במאפייה שני תנורים. תנור א אופה 60%60\% מהעוגיות, ותנור ב אופה את השאר. ההסתברות שעוגייה מתנור א נשרפת היא pp, וההסתברות שעוגייה מתנור ב נשרפת היא 2p2p. ידוע ש-7%7\% מכל העוגיות במאפייה נשרפות. ההסתברות שעוגייה נשרפת היא 0.070.07, ובוחרים באקראי 5 עוגיות. ד. ידוע שבין 5 העוגיות יש לפחות עוגייה שרופה אחת. מה ההסתברות שיש ביניהן בדיוק אחת? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.86

Worked solution:

P(X≥1)=1−0.935≈0.3043P(X \ge 1) = 1 - 0.93^5 \approx 0.3043

המשלים של «אף אחת»

P(X=1)=5⋅0.07⋅0.934≈0.2618P(X = 1) = 5 \cdot 0.07 \cdot 0.93^4 \approx 0.2618

ברנולי

P(X=1∣X≥1)=0.26180.3043≈0.86P(X = 1 \mid X \ge 1) = \frac{0.2618}{0.3043} \approx 0.86

המאורע «בדיוק אחת» מוכל ב«לפחות אחת»

≈0.86\approx 0.86. המלכודת: לענות 0.26180.2618 — שוכחים לחלק בהסתברות התנאי.

Check the answer on elev

שאלה 4 — משיק, קוטר ודמיון

Exercise 17

ABPCO

ABAB קוטר במעגל שמרכזו OO, ו-CC נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה CC חותך את המשך הקוטר ABAB בנקודה PP (BB בין AA ל-PP). א. הוכיחו: △PCB∼△PAC\triangle PCB \sim \triangle PAC.

  • ABAB קוטר במעגל
  • PCPC משיק למעגל בנקודה CC
  • PP על המשך ABAB

△PCB∼△PAC\triangle PCB \sim \triangle PAC

Show the answer and the solution
  1. ∠CPB=∠APC\angle CPB = \angle APC — זווית משותפת לשני המשולשים
  2. ∠PCB=∠PAC\angle PCB = \angle PAC — הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני
  3. △PCB∼△PAC\triangle PCB \sim \triangle PAC — משפט דמיון ז.ז

Worked solution:

∠CPB=∠APC\angle CPB = \angle APC

זווית משותפת

∠PCB=∠PAC\angle PCB = \angle PAC

זווית בין משיק למיתר CBCB שווה להיקפית שמולו

△PCB∼△PAC\triangle PCB \sim \triangle PAC

ז.ז

ההתאמה: P→PP \to P, C→AC \to A, B→CB \to C. המלכודת: לכתוב △PCB∼△PCA\triangle PCB \sim \triangle PCA — הזווית ליד CC במשולש הקטן שווה לזווית ליד AA בגדול, והסדר קובע את היחסים בסעיפים הבאים.

Check the answer on elev

Exercise 18

ABPCO

ABAB קוטר במעגל שמרכזו OO, ו-CC נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה CC חותך את המשך הקוטר ABAB בנקודה PP (BB בין AA ל-PP). הוכח ש-△PCB∼△PAC\triangle PCB \sim \triangle PAC. ב. נתון PB=4PB = 4 ו-PC=8PC = 8. חשבו את רדיוס המעגל.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

PCPA=PBPC\frac{PC}{PA} = \frac{PB}{PC}

יחס צלעות מתאימות במשולשים הדומים

PA=PC2PB=644=16\begin{aligned}PA &= \frac{PC^2}{PB} \\ &= \frac{64}{4} \\ &= 16\end{aligned}
AB=PA−PB=12⇒R=6\begin{aligned}AB &= PA - PB \\ &= 12 \Rightarrow R \\ &= 6\end{aligned}

הקוטר הוא פעמיים הרדיוס

R=6R = 6. המלכודת: לעצור ב-AB=12AB = 12 — זה הקוטר. ועוד מלכודת: לענות PA=16PA = 16 בתור הקוטר.

Check the answer on elev

Exercise 19

ABPCO

ABAB קוטר במעגל שמרכזו OO, ו-CC נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה CC חותך את המשך הקוטר ABAB בנקודה PP (BB בין AA ל-PP). הוכח ש-△PCB∼△PAC\triangle PCB \sim \triangle PAC, ונמצא PA=16PA = 16 ורדיוס המעגל 66 (נתון PB=4PB = 4, PC=8PC = 8). ג. חשבו את שטח המשולש ABCABC.

Show the answer and the solution

Answer: 28.8

Worked solution:

CBAC=PCPA=816=12\begin{aligned}\frac{CB}{AC} &= \frac{PC}{PA} \\ &= \frac{8}{16} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

יחס צלעות מתאימות: CB↔ACCB \leftrightarrow AC

∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר

BC2+(2BC)2=122⇒BC2=28.8\begin{aligned}BC^2 + (2BC)^2 &= 12^2 \Rightarrow BC^2 \\ &= 28.8\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש ABCABC

SABC=12⋅BC⋅2BC=BC2=28.8\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot 2BC \\ &= BC^2 \\ &= 28.8\end{aligned}

שטח משולש ישר-זווית: חצי מכפלת הניצבים

השטח 28.828.8. המלכודת: לקחת BC=PB=4BC = PB = 4 — הקטעים PBPB ו-BCBC שונים; את היחס CBAC\frac{CB}{AC} נותן הדמיון.

Check the answer on elev

שאלה 5 — משפט הסינוסים ורדיוס המעגל החוסם

Exercise 20

α2αABC

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו RR. נתון ∠BAC=α\angle BAC = \alpha ו-∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha. א. הביעו את ACAC באמצעות RR ו-α\alpha.

  1. AC=2Rsin⁡3αAC = 2R\sin 3\alpha
  2. AC=2Rsin⁡2αAC = 2R\sin 2\alpha
  3. AC=Rsin⁡2αAC = R\sin 2\alpha
  4. AC=2Rsin⁡αAC = 2R\sin\alpha
Show the answer and the solution

Answer: B AC=2Rsin⁡2αAC = 2R\sin 2\alpha

Worked solution:

ACsin⁡∠ABC=2R\frac{AC}{\sin \angle ABC} = 2R

משפט הסינוסים: הצלע ACAC מול הזווית BB

AC=2Rsin⁡2αAC = 2R\sin 2\alpha

התשובה הנכונה: 2Rsin⁡2α2R\sin 2\alpha. המלכודות: 2Rsin⁡α2R\sin\alpha — זו הצלע BCBC, שמול α\alpha; 2Rsin⁡3α2R\sin 3\alpha — זו ABAB, שמול הזווית 180∘−3α180^\circ - 3\alpha; ו-Rsin⁡2αR\sin 2\alpha — היחס במשפט הסינוסים הוא הקוטר.

Check the answer on elev

Exercise 21

α2αABC

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו RR. נתון ∠BAC=α\angle BAC = \alpha ו-∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha. נמצא AC=2Rsin⁡2αAC = 2R\sin 2\alpha ו-BC=2Rsin⁡αBC = 2R\sin\alpha. ב. נתון ACBC=1.6\frac{AC}{BC} = 1.6. מצאו את α\alpha במעלות. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 36.87

Worked solution:

sin⁡2αsin⁡α=2sin⁡αcos⁡αsin⁡α=2cos⁡α\begin{aligned}\frac{\sin 2\alpha}{\sin\alpha} &= \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} \\ &= 2\cos\alpha\end{aligned}

זהות הזווית הכפולה

2cos⁡α=1.6⇒cos⁡α=0.8\begin{aligned}2\cos\alpha &= 1.6 \Rightarrow \cos\alpha \\ &= 0.8\end{aligned}
α≈36.87∘\alpha \approx 36.87^\circ

בדיקה: 3α<180∘3\alpha < 180^\circ, כך שיש משולש

α≈36.87∘\alpha \approx 36.87^\circ. המלכודת: לכתוב sin⁡2αsin⁡α=2\frac{\sin 2\alpha}{\sin\alpha} = 2 — מצמצמים את הזוויות במקום את הסינוסים.

Check the answer on elev

Exercise 22

α2αABC

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו RR. נתון ∠BAC=α\angle BAC = \alpha ו-∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha. נמצא cos⁡α=0.8\cos\alpha = 0.8 (כלומר sin⁡α=0.6\sin\alpha = 0.6). ג. נתון R=10R = 10. חשבו את שטח המשולש ABCABC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 107.83

Worked solution:

BC=2Rsin⁡α=12AC=2Rsin⁡2α=20⋅0.96=19.2\begin{aligned}BC &= 2R\sin\alpha \\ &= 12 \\ \quad AC &= 2R\sin 2\alpha \\ &= 20 \cdot 0.96 \\ &= 19.2\end{aligned}

משפט הסינוסים; sin⁡2α=2⋅0.6⋅0.8\sin 2\alpha = 2 \cdot 0.6 \cdot 0.8

∠C=180∘−3αsin⁡∠C=sin⁡3α\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 3\alpha \\ \quad \sin \angle C &= \sin 3\alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

sin⁡3α=3sin⁡α−4sin⁡3α=1.8−0.864=0.936\begin{aligned}\sin 3\alpha &= 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha \\ &= 1.8 - 0.864 \\ &= 0.936\end{aligned}

זהות הזווית המשולשת (או sin⁡(2α+α)\sin(2\alpha + \alpha))

S=12⋅12⋅19.2⋅0.936≈107.83S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 19.2 \cdot 0.936 \approx 107.83

שטח: חצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן

השטח ≈107.83\approx 107.83. המלכודת: להכפיל ב-sin⁡α\sin\alpha או ב-sin⁡2α\sin 2\alpha — הזווית שבין BCBC ל-ACAC היא הזווית CC.

Check the answer on elev

שאלה 6 — פונקציית שורש עם פרמטר

Exercise 23

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+af(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}, כאשר a>0a > 0 פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בראשית הצירים הוא 13\frac{1}{3}. א. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

f′(x)=x2+a−x⋅xx2+ax2+a=a(x2+a)x2+a\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\sqrt{x^2+a} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+a}}}{x^2+a} \\ &= \frac{a}{(x^2+a)\sqrt{x^2+a}}\end{aligned}

נגזרת של מנה, ונגזרת של שורש

f′(0)=aaa=1a=13\begin{aligned}f'(0) &= \frac{a}{a\sqrt{a}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{a}} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}
a=3⇒a=9\begin{aligned}\sqrt{a} &= 3 \Rightarrow a \\ &= 9\end{aligned}

a=9a = 9. המלכודת: לפשט את f′(0)f'(0) ל-1a\frac{1}{a} ולקבל a=3a = 3 — במכנה יש aaa\sqrt{a}, לא a2a^2.

Check the answer on elev

Exercise 24

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+af(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}, כאשר a>0a > 0 פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בראשית הצירים הוא 13\frac{1}{3}. נמצא a=9a = 9. ב. מצאו את האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה.

כאשר x→∞x \to \infty: y=y = ____ כאשר x→−∞x \to -\infty: y=y = ____

Show the answer and the solution

Answer: כאשר x→∞x \to \infty: y=y = 1 כאשר x→−∞x \to -\infty: y=y = -1

Worked solution:

x2+9≈∣x∣\sqrt{x^2 + 9} \approx |x|

ל-∣x∣|x| גדול, ה-99 זניח

x→∞: x∣x∣=1x→−∞: x∣x∣=−1\begin{aligned}x \to \infty: \ \frac{x}{|x|} &= 1 \\ \quad x \to -\infty: \ \frac{x}{|x|} &= -1\end{aligned}

שתי אסימפטוטות: y=1y = 1 ו-y=−1y = -1. המלכודת: לכתוב x2=x\sqrt{x^2} = x ולקבל y=1y = 1 בשני הצדדים — x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|, ולכן בפונקציית שורש האסימפטוטה ב-−∞-\infty יכולה להיות אחרת.

Check the answer on elev

Exercise 25

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+af(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}, כאשר a>0a > 0 פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בראשית הצירים הוא 13\frac{1}{3}. נמצא a=9a = 9, והנגזרת השנייה היא f′′(x)=−27x(x2+9)2x2+9f''(x) = \frac{-27x}{(x^2+9)^2\sqrt{x^2+9}}. ג. מה נכון לגבי הקעירות של הפונקציה?

  1. קעורה כלפי מטה בכל התחום
  2. קעורה כלפי מעלה ב-x<0x < 0, קעורה כלפי מטה ב-x>0x > 0, ונקודת פיתול ב-(0,0)(0, 0)
  3. קעורה כלפי מטה ב-x<0x < 0, קעורה כלפי מעלה ב-x>0x > 0, ונקודת פיתול ב-(0,0)(0, 0)
  4. אין לפונקציה נקודת פיתול, כי f′(0)≠0f'(0) \neq 0
Show the answer and the solution

Answer: B קעורה כלפי מעלה ב-x<0x < 0, קעורה כלפי מטה ב-x>0x > 0, ונקודת פיתול ב-(0,0)(0, 0)

Worked solution:

f′(x)=9(x2+9)−32⇒f′′(x)=9⋅(−32)⋅2x⋅(x2+9)−52\begin{aligned}f'(x) &= 9(x^2+9)^{-\frac{3}{2}} \Rightarrow f''(x) \\ &= 9 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot 2x \cdot (x^2+9)^{-\frac{5}{2}}\end{aligned}

נגזרת של פונקציה מורכבת

x<0:f′′>0,x>0:f′′<0x < 0: f'' > 0, \quad x > 0: f'' < 0

המכנה חיובי תמיד; הסימן נקבע לפי −27x-27x

(0,f(0))=(0,0)(0, f(0)) = (0, 0)

הנגזרת השנייה מחליפה סימן — נקודת פיתול

התשובה הנכונה: קעורה כלפי מעלה משמאל, כלפי מטה מימין, ופיתול ב-(0,0)(0,0). המלכודת: לחשוב שנקודת פיתול דורשת f′=0f' = 0 — כאן המשיק בפיתול משופע, בשיפוע 13\frac{1}{3}.

Check the answer on elev

Exercise 26

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+af(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}, כאשר a>0a > 0 פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בראשית הצירים הוא 13\frac{1}{3}. נמצא a=9a = 9. ד. לאילו ערכים של kk יש למשוואה f(x)=kf(x) = k פתרון אחד בדיוק?

  1. k>0k > 0
  2. −1≤k≤1-1 \le k \le 1
  3. −1<k<1-1 < k < 1
  4. לכל kk
Show the answer and the solution

Answer: C −1<k<1-1 < k < 1

Worked solution:

f′(x)=9(x2+9)x2+9>0f'(x) = \frac{9}{(x^2+9)\sqrt{x^2+9}} > 0

הפונקציה עולה בכל התחום

y=−1 (x→−∞)y=1 (x→∞)\begin{aligned}y &= -1 \ (x \to -\infty) \\ \quad y &= 1 \ (x \to \infty)\end{aligned}

האסימפטוטות מסעיף ב: הגרף מתקרב אליהן ואינו מגיע

−1<f(x)<1-1 < f(x) < 1

כל ערך בטווח מתקבל פעם אחת בדיוק

התשובה הנכונה: −1<k<1-1 < k < 1. המלכודת: לכלול את ±1\pm 1 — אלה ערכי האסימפטוטות, והפונקציה לא מגיעה אליהם.

Check the answer on elev

שאלה 7 — פונקציה טריגונומטרית עם זווית כפולה

Exercise 27

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+2cos⁡xf(x) = \sin 2x + 2\cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi. א. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

  1. x=π2x = \frac{\pi}{2} בלבד
  2. x=π2x = \frac{\pi}{2}, x=7π6x = \frac{7\pi}{6} ו-x=11π6x = \frac{11\pi}{6}
  3. x=π2x = \frac{\pi}{2} ו-x=3π2x = \frac{3\pi}{2}
  4. x=0x = 0, x=πx = \pi ו-x=2πx = 2\pi
Show the answer and the solution

Answer: C x=π2x = \frac{\pi}{2} ו-x=3π2x = \frac{3\pi}{2}

Worked solution:

sin⁡2x+2cos⁡x=2sin⁡xcos⁡x+2cos⁡x=2cos⁡x(sin⁡x+1)\begin{aligned}\sin 2x + 2\cos x &= 2\sin x\cos x + 2\cos x \\ &= 2\cos x(\sin x + 1)\end{aligned}

זהות הזווית הכפולה, ואז גורם משותף

cos⁡x=0⇒x=π23π2;sin⁡x=−1⇒x=3π2\begin{aligned}\cos x &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{\pi}{2} \\ \frac{3\pi}{2}; \quad \sin x &= -1 \Rightarrow x \\ &= \frac{3\pi}{2}\end{aligned}

מכפלה שווה לאפס

התשובה הנכונה: π2\frac{\pi}{2} ו-3π2\frac{3\pi}{2}. המלכודות: לפתור רק sin⁡2x=0\sin 2x = 0; או לפתור sin⁡x=−12\sin x = -\frac{1}{2} במקום sin⁡x=−1\sin x = -1.

Check the answer on elev

Exercise 28

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+2cos⁡xf(x) = \sin 2x + 2\cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi. הנגזרת היא f′(x)=−2(2sin⁡x−1)(sin⁡x+1)f'(x) = -2(2\sin x - 1)(\sin x + 1). ב. מהי נקודת המקסימום המוחלט של הפונקציה בתחום?

  1. (5π6,332)\left(\frac{5\pi}{6}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)
  2. (0,2)(0, 2)
  3. (π6,332)\left(\frac{\pi}{6}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)
  4. (3π2,0)\left(\frac{3\pi}{2}, 0\right)
Show the answer and the solution

Answer: C (π6,332)\left(\frac{\pi}{6}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)

Worked solution:

f′(x)=2cos⁡2x−2sin⁡x=2(1−2sin⁡2x)−2sin⁡x=−2(2sin⁡x−1)(sin⁡x+1)\begin{aligned}f'(x) &= 2\cos 2x - 2\sin x \\ &= 2(1 - 2\sin^2 x) - 2\sin x \\ &= -2(2\sin x - 1)(\sin x + 1)\end{aligned}

cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x

sin⁡x=12⇒x=π65π6\begin{aligned}\sin x &= \frac{1}{2} \Rightarrow x \\ &= \frac{\pi}{6} \\ \frac{5\pi}{6}\end{aligned}

נקודות חשודות

f(π6)=32+3=332≈2.6\begin{aligned}f\left(\frac{\pi}{6}\right) &= \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.6\end{aligned}

ערך מקסימום; בקצוות f(0)=f(2π)=2f(0) = f(2\pi) = 2

f(5π6)=−32−3=−332\begin{aligned}f\left(\frac{5\pi}{6}\right) &= -\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \\ &= -\frac{3\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

זה המינימום

התשובה הנכונה: (π6,332)\left(\frac{\pi}{6}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right). המלכודות: 5π6\frac{5\pi}{6} — גם שם sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2}, אבל cos⁡x<0\cos x < 0 והערך שלילי; ו-(0,2)(0, 2) — קצה התחום, נמוך יותר מהמקסימום.

Check the answer on elev

Exercise 29

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+2cos⁡xf(x) = \sin 2x + 2\cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi. הנגזרת היא f′(x)=−2(2sin⁡x−1)(sin⁡x+1)f'(x) = -2(2\sin x - 1)(\sin x + 1). ג. הוכיחו או הפריכו: לפונקציה יש נקודת קיצון ב-x=3π2x = \frac{3\pi}{2}.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f′(3π2)=0f'\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0

sin⁡x+1=0\sin x + 1 = 0

sin⁡x+1≥0,2sin⁡x−1<0\sin x + 1 \ge 0, \quad 2\sin x - 1 < 0

בסביבת x=3π2x = \frac{3\pi}{2} הערך sin⁡x\sin x קרוב ל-−1-1

f′(x)=−2⋅(−)⋅(+)≥0f'(x) = -2 \cdot (-) \cdot (+) \ge 0

משני צדי הנקודה: הנגזרת לא מחליפה סימן — הפונקציה ממשיכה לעלות

הטענה אינה נכונה: ב-3π2\frac{3\pi}{2} יש משיק אופקי בלי קיצון. המלכודת: להסיק קיצון מ-f′=0f' = 0 לבד — חייבים החלפת סימן של הנגזרת.

Check the answer on elev

Exercise 30

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+2cos⁡xf(x) = \sin 2x + 2\cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi. ד. בתחום π2≤x≤3π2\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2} הגרף נמצא מתחת לציר ה-xx. חשבו את השטח המוגבל בין הגרף לבין ציר ה-xx בתחום זה.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

F(x)=−cos⁡2x2+2sin⁡xF(x) = -\frac{\cos 2x}{2} + 2\sin x

פונקציה קדומה: ∫sin⁡2x dx=−cos⁡2x2\int \sin 2x\,dx = -\frac{\cos 2x}{2}

F(3π2)−F(π2)=(12−2)−(12+2)=−4\begin{aligned}F\left(\frac{3\pi}{2}\right) - F\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \left(\frac{1}{2} - 2\right) - \left(\frac{1}{2} + 2\right) \\ &= -4\end{aligned}

האינטגרל שלילי — הגרף מתחת לציר

S=4S = 4

השטח הוא הערך המוחלט

השטח 44. המלכודות: לכתוב ∫sin⁡2x dx=−cos⁡2x\int \sin 2x\,dx = -\cos 2x בלי החלוקה ב-22; ולהשאיר את התשובה −4-4 — שטח אינו שלילי.

Check the answer on elev

שאלה 8 — בעיית קיצון: טרפז בחצי מעגל

Exercise 31

θABCDO

בחצי מעגל שמרכזו OO ורדיוסו 66 חסום הטרפז ABCDABCD: הבסיס ABAB הוא הקוטר, והקודקודים CC ו-DD על הקשת, כך ש-DC∥ABDC \parallel AB. נסמן ∠COB=θ\angle COB = \theta, כאשר 0∘<θ<90∘0^\circ < \theta < 90^\circ. א. הביעו את שטח הטרפז באמצעות θ\theta.

  1. S(θ)=18sin⁡θ(1+cos⁡θ)S(\theta) = 18\sin\theta(1 + \cos\theta)
  2. S(θ)=72sin⁡θ(1+cos⁡θ)S(\theta) = 72\sin\theta(1 + \cos\theta)
  3. S(θ)=36sin⁡θcos⁡θS(\theta) = 36\sin\theta\cos\theta
  4. S(θ)=36sin⁡θ(1+cos⁡θ)S(\theta) = 36\sin\theta(1 + \cos\theta)
Show the answer and the solution

Answer: D S(θ)=36sin⁡θ(1+cos⁡θ)S(\theta) = 36\sin\theta(1 + \cos\theta)

Worked solution:

h=6sin⁡θDC=2⋅6cos⁡θ=12cos⁡θ\begin{aligned}h &= 6\sin\theta \\ \quad DC &= 2 \cdot 6\cos\theta \\ &= 12\cos\theta\end{aligned}

במשולש ישר-הזווית שהגובה מ-CC יוצר עם OC=6OC = 6

S=(12+12cos⁡θ)⋅6sin⁡θ2=36sin⁡θ(1+cos⁡θ)\begin{aligned}S &= \frac{(12 + 12\cos\theta) \cdot 6\sin\theta}{2} \\ &= 36\sin\theta(1 + \cos\theta)\end{aligned}

שטח טרפז: סכום הבסיסים כפול הגובה, חלקי 2

התשובה הנכונה: 36sin⁡θ(1+cos⁡θ)36\sin\theta(1+\cos\theta). המלכודות: לשכוח לחלק ב-22 (7272); או לקחת DC=6cos⁡θDC = 6\cos\theta — CC ו-DD סימטריות, והבסיס העליון הוא פעמיים ההיטל.

Check the answer on elev

Exercise 32

θABCDO

בחצי מעגל שמרכזו OO ורדיוסו 66 חסום הטרפז ABCDABCD: הבסיס ABAB הוא הקוטר, והקודקודים CC ו-DD על הקשת, כך ש-DC∥ABDC \parallel AB. נסמן ∠COB=θ\angle COB = \theta, כאשר 0∘<θ<90∘0^\circ < \theta < 90^\circ. שטח הטרפז הוא S(θ)=36sin⁡θ(1+cos⁡θ)S(\theta) = 36\sin\theta(1 + \cos\theta). ב. מצאו את θ\theta (במעלות) שבעבורו שטח הטרפז מקסימלי.

Show the answer and the solution

Answer: 60

Worked solution:

S′(θ)=36(cos⁡θ+cos⁡2θ−sin⁡2θ)=36(2cos⁡2θ+cos⁡θ−1)\begin{aligned}S'(\theta) &= 36(\cos\theta + \cos^2\theta - \sin^2\theta) \\ &= 36(2\cos^2\theta + \cos\theta - 1)\end{aligned}

נגזרת של מכפלה; sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta

36(2cos⁡θ−1)(cos⁡θ+1)=0⇒cos⁡θ=12\begin{aligned}36(2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1) &= 0 \Rightarrow \cos\theta \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

בתחום cos⁡θ+1>0\cos\theta + 1 > 0

θ<60∘:S′>0,θ>60∘:S′<0\theta < 60^\circ: S' > 0, \quad \theta > 60^\circ: S' < 0

עלייה ואז ירידה — מקסימום

θ=60∘\theta = 60^\circ. המלכודת: לגזור את sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta כאילו הוא cos⁡θ⋅(−sin⁡θ)\cos\theta \cdot (-\sin\theta) בלבד — זו מכפלה, ושני הגורמים משתנים.

Check the answer on elev

Exercise 33

θABCDO

בחצי מעגל שמרכזו OO ורדיוסו 66 חסום הטרפז ABCDABCD: הבסיס ABAB הוא הקוטר, והקודקודים CC ו-DD על הקשת, כך ש-DC∥ABDC \parallel AB. נסמן ∠COB=θ\angle COB = \theta, כאשר 0∘<θ<90∘0^\circ < \theta < 90^\circ. השטח S(θ)=36sin⁡θ(1+cos⁡θ)S(\theta) = 36\sin\theta(1 + \cos\theta) מקסימלי ב-θ=60∘\theta = 60^\circ. ג. חשבו את השטח המקסימלי. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 46.77

Worked solution:

S(60∘)=36⋅32⋅32=273≈46.77\begin{aligned}S(60^\circ) &= 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} \\ &= 27\sqrt{3} \approx 46.77\end{aligned}
S→0 (θ→0∘),S→36 (θ→90∘)S \to 0 \ (\theta \to 0^\circ), \quad S \to 36 \ (\theta \to 90^\circ)

בקצוות השטח קטן יותר

השטח המקסימלי 273≈46.7727\sqrt{3} \approx 46.77 — חצי משושה משוכלל. המלכודת: להציב θ=60\theta = 60 ברדיאנים במחשבון.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade