מבחן לדוגמא 2 · Sample exam 2 · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מבחן לדוגמא 2 — אמצע השנה. 3 שאלות עם סעיפים, 14 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. החומר: הוכחה באינדוקציה של נוסחת סכום, עץ הסתברויות עם הסתברות מותנית ונוסחת ברנולי, וחקירה של פונקציה רציונלית עם פרמטר.

כמו בבגרות, כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. באינדוקציה כתבו במפורש מה המחובר שנוסף; בהסתברות מותנית שאלו מה ידוע — זה המכנה; ובחקירה בנו טבלת סימנים שכוללת את נקודת האי-הגדרה.

Exercises

שאלה 1 — אינדוקציה מתמטית

Exercise 1

נתונה הטענה: $1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + n(n+2) = \frac{n(n+1)(2n+a)}{6}$ לכל $n$ טבעי, כאשר $a$ מספר קבוע. א. מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

\begin{aligned}n &= 1:\quad 1 \cdot 3 \\ &= \frac{1 \cdot 2 \cdot (2 + a)}{6}\end{aligned}

מציבים $n = 1$ בשני האגפים

\begin{aligned}18 &= 2(2 + a) \Rightarrow a \\ &= 7\end{aligned}

\begin{aligned}n &= 2:\quad 3 + 8 \\ &= 11 \\ &= \frac{2 \cdot 3 \cdot 11}{6}\end{aligned}

בדיקה ב- $n = 2$

$a = 7$ . המלכודת: להציב $n = 1$ רק באגף ימין ולהשוות ל- $1$ — אגף שמאל עבור $n = 1$ הוא המחובר הראשון, $1 \cdot 3 = 3$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הטענה: $1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + n(n+2) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$ לכל $n$ טבעי. ב. בשלב המעבר מניחים שהטענה נכונה עבור $n = k$ , ומוכיחים עבור $n = k + 1$ . השלימו.

המחובר שמוסיפים: $(k+1)(k+$ ____ $)$ , ואחרי הוצאת הגורם $\frac{k+1}{6}$ : $2k^2 + 13k + 18 = (k+2)(2k+$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: המחובר שמוסיפים: $(k+1)(k+$ 3 $)$ , ואחרי הוצאת הגורם $\frac{k+1}{6}$ : $2k^2 + 13k + 18 = (k+2)(2k+$ 9 $)$

Worked solution:

\frac{k(k+1)(2k+7)}{6} + (k+1)(k+3)

הנחת האינדוקציה, ועוד המחובר ה- $(k+1)$

= \frac{k+1}{6}\left[k(2k+7) + 6(k+3)\right] = \frac{k+1}{6}\left(2k^2 + 13k + 18\right)

מוציאים גורם משותף

2k^2 + 13k + 18 = (k+2)(2k+9)

מפרקים את הטרינום

\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+7)}{6}

זו בדיוק הטענה עבור $n = k+1$

המחובר החדש הוא $(k+1)(k+3)$ , והטרינום מתפרק ל- $(k+2)(2k+9)$ . המלכודת: לכתוב את המחובר החדש כ- $(k+1)(k+2)$ — מציבים $k+1$ במקום $n$ ב- $n(n+2)$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הטענה: $1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + n(n+2) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$ לכל $n$ טבעי. הטענה הוכחה באינדוקציה. ג. חשבו את הסכום $1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + \dots + 20 \cdot 22$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3290

Worked solution:

\begin{aligned}n(n+2) &= 20 \cdot 22 \Rightarrow n \\ &= 20\end{aligned}

מזהים את מספר המחוברים

\frac{20 \cdot 21 \cdot 47}{6} = 3290

מציבים $n = 20$ : $2n + 7 = 47$

$3290$ . המלכודת: להציב $n = 22$ לפי הגורם האחרון — $n$ הוא מספר המחוברים, והמחובר האחרון הוא $n(n+2)$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הטענה: $1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + n(n+2) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$ לכל $n$ טבעי. הטענה הוכחה באינדוקציה. לפי הטענה, $1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + \dots + 20 \cdot 22 = 3290$ . ד. חשבו את הסכום $11 \cdot 13 + 12 \cdot 14 + \dots + 20 \cdot 22$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2795

Worked solution:

\sum_{k=11}^{20} k(k+2) = S_{20} - S_{10}

מורידים את עשרת המחוברים הראשונים

\begin{aligned}S_{10} &= \frac{10 \cdot 11 \cdot 27}{6} \\ &= 495\end{aligned}

3290 - 495 = 2795

$2795$ . המלכודת: להחסיר $S_{11}$ — אז גם המחובר $11 \cdot 13$ יוצא מהסכום.

Check the answer on elev

שאלה 2 — עץ הסתברויות ונוסחת ברנולי

Exercise 5

המסלול ואחר כך הזמן

Show the answer and the solution

Answer: 0.81

Worked solution:

0.7 \cdot 0.9 = 0.63

המסלול: כביש הטבעת, ואז בזמן

0.3 \cdot 0.6 = 0.18

המסלול: מרכז העיר, ואז בזמן

\begin{aligned}P(T) &= 0.63 + 0.18 \\ &= 0.81\end{aligned}

נוסחת ההסתברות השלמה

$0.81$ . המלכודת: לחשב ממוצע פשוט $\frac{0.9 + 0.6}{2} = 0.75$ — כביש הטבעת נבחר יותר, ולכן כל מסלול נשקל בהסתברות שלו.

Check the answer on elev

Exercise 6

המסלול ואחר כך הזמן

שליח בבאר שבע בוחר בכל משלוח אחד משני מסלולים: את כביש הטבעת בהסתברות $0.7$ , ואת הדרך דרך מרכז העיר בהסתברות $0.3$ . בכביש הטבעת המשלוח מגיע בזמן בהסתברות $0.9$ , ודרך מרכז העיר בהסתברות $0.6$ . ההסתברות שמשלוח מקרי מגיע בזמן היא $0.81$ . ב. ידוע שמשלוח הגיע באיחור. מה ההסתברות שהשליח נסע דרך מרכז העיר? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.63

Worked solution:

\begin{aligned}P(L) &= 1 - 0.81 \\ &= 0.19\end{aligned}

ההסתברות לאיחור

\begin{aligned}P(C \cap L) &= 0.3 \cdot 0.4 \\ &= 0.12\end{aligned}

מרכז העיר וגם איחור

P(C \mid L) = \frac{0.12}{0.19} \approx 0.63

הסתברות מותנית

$\approx 0.63$ . המלכודת: לענות $0.4$ — זו ההסתברות לאיחור בהינתן מרכז העיר; כאן ההתניה הפוכה, ומחלקים ב- $P(L)$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

המסלול ואחר כך הזמן

שליח בבאר שבע בוחר בכל משלוח אחד משני מסלולים: את כביש הטבעת בהסתברות $0.7$ , ואת הדרך דרך מרכז העיר בהסתברות $0.3$ . בכביש הטבעת המשלוח מגיע בזמן בהסתברות $0.9$ , ודרך מרכז העיר בהסתברות $0.6$ . ההסתברות שמשלוח מקרי מגיע בזמן היא $0.81$ . בכל יום השליח מבצע משלוח אחד, והמשלוחים בימים שונים בלתי תלויים זה בזה. ג. מה ההסתברות שבחמישה ימים בדיוק ארבעה משלוחים יגיעו בזמן? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.41

Worked solution:

P = \binom{5}{4} \cdot 0.81^4 \cdot 0.19^1

נוסחת ברנולי: $n = 5$ , $k = 4$ , $p = 0.81$

= 5 \cdot 0.4305 \cdot 0.19 \approx 0.41

$\approx 0.41$ . המלכודת: לשכוח את $\binom{5}{4} = 5$ ולקבל $0.08$ — המשלוח המאחר יכול להיות בכל אחד מחמשת הימים.

Check the answer on elev

Exercise 8

המסלול ואחר כך הזמן

שליח בבאר שבע בוחר בכל משלוח אחד משני מסלולים: את כביש הטבעת בהסתברות $0.7$ , ואת הדרך דרך מרכז העיר בהסתברות $0.3$ . בכביש הטבעת המשלוח מגיע בזמן בהסתברות $0.9$ , ודרך מרכז העיר בהסתברות $0.6$ . ההסתברות שמשלוח מקרי מגיע בזמן היא $0.81$ . בכל יום השליח מבצע משלוח אחד, והמשלוחים בימים שונים בלתי תלויים זה בזה. ד. מה ההסתברות שבחמישה ימים יהיה לפחות משלוח אחד שיגיע באיחור? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 0.65

Worked solution:

0.81^5 \approx 0.3487

המאורע המשלים: כל חמשת המשלוחים בזמן

1 - 0.3487 \approx 0.65

$\approx 0.65$ . המלכודת: לכפול $5 \cdot 0.19 = 0.95$ — חיבור ההסתברויות סופר פעמיים ימים עם שני איחורים. דרך המשלים קצרה ובטוחה.

Check the answer on elev

Exercise 9

שליח בבאר שבע בוחר בכל משלוח אחד משני מסלולים: את כביש הטבעת בהסתברות $0.7$ , ואת הדרך דרך מרכז העיר בהסתברות $0.3$ . בכביש הטבעת המשלוח מגיע בזמן בהסתברות $0.9$ , ודרך מרכז העיר בהסתברות $0.6$ . החברה רוצה שההסתברות שמשלוח יגיע בזמן תהיה $0.84$ . ההסתברויות להגיע בזמן בכל מסלול לא משתנות. ה. באיזו הסתברות $p$ על השליח לבחור בכביש הטבעת?

Show the answer and the solution

Answer: 0.8

Worked solution:

0.9p + 0.6(1 - p) = 0.84

ההסתברות השלמה, עם $p$ במקום $0.7$

\begin{aligned}0.3p + 0.6 &= 0.84 \Rightarrow p \\ &= 0.8\end{aligned}

$p = 0.8$ . המלכודת: לכתוב $0.9p + 0.6p = 0.84$ — הענף של מרכז העיר מקבל $1 - p$ , לא $p$ .

Check the answer on elev

שאלה 3 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

Exercise 10

נתונה הפונקציה $f(x) = \dfrac{x^2 + a}{x - 2}$ , כאשר $a$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה $x = -1$ . א. מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-2) - (x^2 + a)}{(x-2)^2} \\ &= \frac{x^2 - 4x - a}{(x-2)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}f'(-1) &= 0 \Rightarrow 1 + 4 - a \\ &= 0\end{aligned}

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת

a = 5

$a = 5$ . המלכודת: לגזור רק את המונה, $2x = 0$ — בפונקציה רציונלית גוזרים לפי נוסחת המנה.

Check the answer on elev

Exercise 11

נתונה הפונקציה $f(x) = \dfrac{x^2 + 5}{x - 2}$ . ב. מהן נקודות הקיצון של $f$ , ומה סוגן?

מקסימום $(-1, -2)$ בלבד
מקסימום $(-1, 2)$ , מינימום $(5, 10)$
מינימום $(-1, -2)$ , מקסימום $(5, 10)$
מקסימום $(-1, -2)$ , מינימום $(5, 10)$

Show the answer and the solution

Answer: D מקסימום $(-1, -2)$ , מינימום $(5, 10)$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{x^2 - 4x - 5}{(x-2)^2} \\ &= \frac{(x-5)(x+1)}{(x-2)^2}\end{aligned}

x<-1:\ +, \quad -1<x<2:\ -, \quad 2<x<5:\ -, \quad x>5:\ +

טבלת סימנים, עם $x = 2$ מחוץ לתחום

\begin{aligned}f(-1) &= \frac{6}{-3} \\ &= -2 \\ \quad f(5) &= \frac{30}{3} \\ &= 10\end{aligned}

מקסימום ב- $(-1, -2)$ ומינימום ב- $(5, 10)$ . המלכודת: להחליף את הסוגים כי $-2 < 10$ — המקסימום מקומי, והוא בענף אחר של הגרף, משמאל לאסימפטוטה.

Check the answer on elev

Exercise 12

נתונה הפונקציה $f(x) = \dfrac{x^2 + 5}{x - 2}$ . לפונקציה מקסימום ב- $(-1, -2)$ ומינימום ב- $(5, 10)$ . ג. מהן האסימפטוטות של $f$ המאונכות לצירים?

אנכית $x = 2$ , ואין אסימפטוטה אופקית
אנכיות $x = 2$ ו- $x = -2$
אנכית $x = 2$ ואופקית $y = 0$
אנכית $x = 2$ ואופקית $y = 1$

Show the answer and the solution

Answer: A אנכית $x = 2$ , ואין אסימפטוטה אופקית

Worked solution:

\begin{aligned}x - 2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2 \\ \quad x^2 + 5 \neq 0\end{aligned}

המכנה מתאפס והמונה לא: אסימפטוטה אנכית

\frac{x^2 + 5}{x - 2} = \frac{x + \frac{5}{x}}{1 - \frac{2}{x}} \xrightarrow{x \to \pm\infty} \pm\infty

מחלקים ב- $x$ : הפונקציה לא שואפת למספר

אסימפטוטה אנכית $x = 2$ , ואין אסימפטוטה אופקית. המלכודת: לענות $y = 1$ לפי יחס המקדמים — זה נכון רק כשמעלת המונה שווה למעלת המכנה, וכאן היא גדולה יותר.

Check the answer on elev

Exercise 13

נתונה הפונקציה $f(x) = \dfrac{x^2 + 5}{x - 2}$ . לפונקציה מקסימום ב- $(-1, -2)$ ומינימום ב- $(5, 10)$ . האסימפטוטה האנכית היא $x = 2$ , ואין אסימפטוטה אופקית. ד. לכמה ערכים שלמים של $k$ אין למשוואה $f(x) = k$ אף פתרון?

Show the answer and the solution

Answer: 11

Worked solution:

x < 2:\quad f \le -2

בענף השמאלי הערך הגדול ביותר הוא המקסימום $-2$

x > 2:\quad f \ge 10

בענף הימני הערך הקטן ביותר הוא המינימום $10$

\begin{aligned}-2 < k < 10 \Rightarrow k &= -1 \\ 0 \\ 1 \\ \dots \\ 9\end{aligned}

הישר $y = k$ עובר בין שני הענפים

9 - (-1) + 1 = 11

$11$ ערכים. המלכודת: לכלול את $k = -2$ ואת $k = 10$ — בהם הישר משיק לגרף בנקודת הקיצון, ויש פתרון אחד.

Check the answer on elev

Exercise 14

נתונה הפונקציה $f(x) = \dfrac{x^2 + 5}{x - 2}$ . לפונקציה מקסימום ב- $(-1, -2)$ ומינימום ב- $(5, 10)$ . מגדירים $g(x) = f(x) + m$ , כאשר $m > 0$ . ה. מצאו את $m$ שעבורו ציר ה- $x$ משיק לגרף של $g$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

g'(x) = f'(x)

הזזה אנכית לא משנה שיפועים: הקיצונים באותם $x$

\begin{aligned}g(-1) &= -2 + m \\ &= 0 \Rightarrow m \\ &= 2\end{aligned}

המקסימום של $g$ צריך לשבת על ציר ה- $x$

\begin{aligned}g(5) &= 10 + m \\ &= 0 \Rightarrow m \\ &= -10 < 0\end{aligned}

הפתרון השני נפסל: $m > 0$

$m = 2$ . המלכודת: לבחור את המינימום ולקבל $m = -10$ — הוא אכן משיק, אבל התנאי $m > 0$ פוסל אותו.

Check the answer on elev

Exercises

שאלה 1 — אינדוקציה מתמטית

שאלה 2 — עץ הסתברויות ונוסחת ברנולי

שאלה 3 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

Keep practising on elev