מבחן לדוגמא 3

Exercise 1

נתונה זווית $\alpha$ שבה $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ ו-$\sin\alpha = \frac{3}{5}$. א. חשבו את $\sin 2\alpha$.

Exercise 2

נתונה זווית $\alpha$ שבה $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ ו-$\sin\alpha = \frac{3}{5}$. לכן $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$ ו-$\sin 2\alpha = -0.96$. ב. חשבו את $\cos 2\alpha$.

Exercise 3

נתונה זווית $\alpha$ שבה $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ ו-$\sin\alpha = \frac{3}{5}$. לכן $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$ ו-$\sin 2\alpha = -0.96$. ג. חשבו את $\cos(\alpha - 60^\circ)$. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Exercise 4

נתונה זווית $\alpha$ שבה $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ ו-$\sin\alpha = \frac{3}{5}$. לכן $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$ ו-$\sin 2\alpha = -0.96$. וגם $\cos 2\alpha = 0.28$. ד. הוכיחו או הפריכו: לכל $x$ שבו הביטוי מוגדר, $\dfrac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = \tan x$, ולכן $\tan\alpha = -0.75$.

Exercise 5

בסעיפים הבאים עוסקים בביטוי $\sin 5x + \sin x$. ה. כתבו את הביטוי כמכפלה, לפי נוסחת סכום סינוסים.

$\sin 5x + \sin x = 2\sin($ ____ $x) \cdot \cos($ ____ $x)$

Exercise 6

בסעיפים הבאים עוסקים בביטוי $\sin 5x + \sin x$. לפי נוסחת סכום סינוסים, $\sin 5x + \sin x = 2\sin 3x\cos 2x$. ו. כמה פתרונות יש למשוואה $\sin 5x + \sin x = 0$ בתחום $0^\circ \le x \le 180^\circ$?

Exercise 7

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$. נתון: $\angle ACB = \alpha$ ו-$\angle ABC = 2\alpha$. א. הביעו את אורך הצלע $AB$ באמצעות $R$ ו-$\alpha$.

1. A$R\sin\alpha$
2. B$2R\sin 3\alpha$
3. C$2R\sin\alpha$
4. D$2R\sin 2\alpha$

Exercise 8

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$. נתון: $\angle ACB = \alpha$ ו-$\angle ABC = 2\alpha$. לפי משפט הסינוסים, $AB = 2R\sin\alpha$. ב. הביעו את אורך הצלע $BC$ באמצעות $R$ ו-$\alpha$.

1. A$2R\sin 3\alpha$
2. B$2R\sin(180^\circ - \alpha)$
3. C$2R\cos 3\alpha$
4. D$-2R\sin 3\alpha$

Exercise 9

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$. נתון: $\angle ACB = \alpha$ ו-$\angle ABC = 2\alpha$. לפי משפט הסינוסים, $AB = 2R\sin\alpha$, $AC = 2R\sin 2\alpha$ ו-$BC = 2R\sin 3\alpha$. נתון גם $AC = 1.5 \cdot AB$. ג. מצאו את $\alpha$ במעלות. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Exercise 10

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$. נתון: $\angle ACB = \alpha$ ו-$\angle ABC = 2\alpha$. לפי משפט הסינוסים, $AB = 2R\sin\alpha$, $AC = 2R\sin 2\alpha$ ו-$BC = 2R\sin 3\alpha$. נתון $AC = 1.5 \cdot AB$, ולכן $\cos\alpha = 0.75$ ו-$\alpha \approx 41.41^\circ$. נתון גם $R = 8$. ד. חשבו את שטח המשולש $ABC$. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Exercise 11

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$. נתון: $\angle ACB = \alpha$ ו-$\angle ABC = 2\alpha$. לפי משפט הסינוסים, $AB = 2R\sin\alpha$, $AC = 2R\sin 2\alpha$ ו-$BC = 2R\sin 3\alpha$. נתון $AC = 1.5 \cdot AB$, ולכן $\cos\alpha = 0.75$ ו-$\alpha \approx 41.41^\circ$. נתון $R = 8$, ולכן $BC = 16\sin 3\alpha \approx 13.23$. הקטע $BD$ חוצה את הזווית $ABC$, והנקודה $D$ על הצלע $AC$. ה. חשבו את אורך $BD$. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Exercise 12

מהנקודה $P$ שמחוץ למעגל יוצאים המשיק $PA$ (הנקודה $A$ היא נקודת ההשקה) והחותך $PC$, שחותך את המעגל בנקודות $B$ ו-$C$, כאשר $B$ בין $P$ ל-$C$. א. הוכיחו כי $\triangle PAB \sim \triangle PCA$.

• $PA$ משיק למעגל בנקודה $A$
• $PC$ חותך את המעגל ב-$B$ וב-$C$

$\triangle PAB \sim \triangle PCA$

Exercise 13

מהנקודה $P$ שמחוץ למעגל יוצאים המשיק $PA$ (הנקודה $A$ היא נקודת ההשקה) והחותך $PC$, שחותך את המעגל בנקודות $B$ ו-$C$, כאשר $B$ בין $P$ ל-$C$. הוכח כי $\triangle PAB \sim \triangle PCA$. נתון $PB = 4$ ו-$BC = 5$. ב. חשבו את אורך המשיק $PA$.

Exercise 14

מהנקודה $P$ שמחוץ למעגל יוצאים המשיק $PA$ (הנקודה $A$ היא נקודת ההשקה) והחותך $PC$, שחותך את המעגל בנקודות $B$ ו-$C$, כאשר $B$ בין $P$ ל-$C$. הוכח כי $\triangle PAB \sim \triangle PCA$. נתון $PB = 4$ ו-$BC = 5$, ולכן $PA = 6$. נתון גם $AB = 4$. ג. חשבו את אורך המיתר $AC$.

Exercise 15

מהנקודה $P$ שמחוץ למעגל יוצאים המשיק $PA$ (הנקודה $A$ היא נקודת ההשקה) והחותך $PC$, שחותך את המעגל בנקודות $B$ ו-$C$, כאשר $B$ בין $P$ ל-$C$. הוכח כי $\triangle PAB \sim \triangle PCA$. נתון $PB = 4$ ו-$BC = 5$, ולכן $PA = 6$. נתון $AB = 4$, ולכן $AC = 6$. ד. חשבו את היחס $\dfrac{S_{\triangle PCA}}{S_{\triangle PAB}}$.

Exercise 16

מהנקודה $P$ שמחוץ למעגל יוצאים המשיק $PA$ (הנקודה $A$ היא נקודת ההשקה) והחותך $PC$, שחותך את המעגל בנקודות $B$ ו-$C$, כאשר $B$ בין $P$ ל-$C$. הוכח כי $\triangle PAB \sim \triangle PCA$. נתון $PB = 4$ ו-$BC = 5$, ולכן $PA = 6$. נתון $AB = 4$, ולכן $AC = 6$. יחס השטחים הוא $\dfrac{S_{\triangle PCA}}{S_{\triangle PAB}} = 2.25$. ה. חשבו את היחס $\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle PAB}}$.