מבחן לדוגמא 4

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מבחן לדוגמא 4 — סוף מחצית. 3 שאלות עם סעיפים, 16 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. החומר: חקירה של פונקציה טריגונומטרית עם שטח, פונקציה עם שורש שיש לה שתי אסימפטוטות אופקיות שונות, והאינטגרל כפונקציית צבירה בבעיית זרימה.

כמו בבגרות, כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בפונקציה מורכבת אל תשכחו את הנגזרת הפנימית; כש-x→−∞x \to -\infty זכרו ש-x2=−x\sqrt{x^2} = -x; ובצבירה הבחינו בין השינוי בנפח לבין הנפח עצמו.

Exercises

שאלה 1 — חקירת פונקציה טריגונומטרית

Exercise 1

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+2cos⁡xf(x) = \sin 2x + 2\cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi. א. מצאו את f′(x)f'(x).

f′(x)=f'(x) = ____ cos⁡2x−\cos 2x - ____ sin⁡x\sin x

Show the answer and the solution

Answer: f′(x)=f'(x) = 2 cos⁡2x−\cos 2x - 2 sin⁡x\sin x

Worked solution:

(sin⁡2x)′=2cos⁡2x(\sin 2x)' = 2\cos 2x

נגזרת של פונקציה מורכבת: כופלים בנגזרת הפנימית 22

(2cos⁡x)′=−2sin⁡x(2\cos x)' = -2\sin x
f′(x)=2cos⁡2x−2sin⁡xf'(x) = 2\cos 2x - 2\sin x

f′(x)=2cos⁡2x−2sin⁡xf'(x) = 2\cos 2x - 2\sin x. המלכודת: לכתוב (sin⁡2x)′=cos⁡2x(\sin 2x)' = \cos 2x ולשכוח את הנגזרת הפנימית 22.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+2cos⁡xf(x) = \sin 2x + 2\cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi. הנגזרת היא f′(x)=2cos⁡2x−2sin⁡xf'(x) = 2\cos 2x - 2\sin x. ב. מהן נקודות הקיצון של ff בתוך התחום, 0<x<2π0 < x < 2\pi?

  1. מקסימום ב-x=π6x = \frac{\pi}{6}, מינימום ב-x=5π6x = \frac{5\pi}{6}
  2. מינימום ב-x=π6x = \frac{\pi}{6}, מקסימום ב-x=5π6x = \frac{5\pi}{6}
  3. מקסימום ב-x=π6x = \frac{\pi}{6}, מינימום ב-x=5π6x = \frac{5\pi}{6}, מקסימום ב-x=3π2x = \frac{3\pi}{2}
  4. מקסימום ב-x=π2x = \frac{\pi}{2}, מינימום ב-x=3π2x = \frac{3\pi}{2}
Show the answer and the solution

Answer: A מקסימום ב-x=π6x = \frac{\pi}{6}, מינימום ב-x=5π6x = \frac{5\pi}{6}

Worked solution:

2(1−2sin⁡2x)−2sin⁡x=−2(2sin⁡2x+sin⁡x−1)2(1 - 2\sin^2 x) - 2\sin x = -2(2\sin^2 x + \sin x - 1)

cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x

f′(x)=−2(2sin⁡x−1)(sin⁡x+1)=0\begin{aligned}f'(x) &= -2(2\sin x - 1)(\sin x + 1) \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ריבועית ב-sin⁡x\sin x

sin⁡x=12⇒x=π65π6;sin⁡x=−1⇒x=3π2\begin{aligned}\sin x &= \frac{1}{2} \Rightarrow x \\ &= \frac{\pi}{6} \\ \frac{5\pi}{6}; \quad \sin x &= -1 \Rightarrow x \\ &= \frac{3\pi}{2}\end{aligned}
π6: +→−,5π6: −→+,3π2: +→+\frac{\pi}{6}:\ + \to -, \quad \frac{5\pi}{6}:\ - \to +, \quad \frac{3\pi}{2}:\ + \to +

טבלת סימנים של f′f'

מקסימום ב-π6\frac{\pi}{6} ומינימום ב-5π6\frac{5\pi}{6}. המלכודת: להכריז על קיצון ב-3π2\frac{3\pi}{2} — שם f′=0f' = 0, אבל sin⁡x+1≥0\sin x + 1 \ge 0 משני הצדדים, ו-f′f' לא מחליפה סימן.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+2cos⁡xf(x) = \sin 2x + 2\cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi. הנגזרת היא f′(x)=2cos⁡2x−2sin⁡xf'(x) = 2\cos 2x - 2\sin x. לפונקציה מקסימום ב-x=π6x = \frac{\pi}{6} ומינימום ב-x=5π6x = \frac{5\pi}{6}. ג. מהו ערך הפונקציה בנקודת המקסימום? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 2.6

Worked solution:

f(π6)=sin⁡π3+2cos⁡π6f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{3} + 2\cos\frac{\pi}{6}

מציבים ב-ff, לא ב-f′f'

=32+3=332≈2.60= \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.60

332≈2.60\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.60. המלכודת: להציב x=π6x = \frac{\pi}{6} ב-sin⁡x\sin x במקום ב-sin⁡2x\sin 2x — הזווית בסינוס היא 2⋅π6=π32 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+2cos⁡xf(x) = \sin 2x + 2\cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi. הנגזרת היא f′(x)=2cos⁡2x−2sin⁡xf'(x) = 2\cos 2x - 2\sin x. לפונקציה מקסימום ב-x=π6x = \frac{\pi}{6} ומינימום ב-x=5π6x = \frac{5\pi}{6}. ד. כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-xx יש לגרף של ff בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

sin⁡2x+2cos⁡x=2sin⁡xcos⁡x+2cos⁡x=2cos⁡x(sin⁡x+1)\begin{aligned}\sin 2x + 2\cos x &= 2\sin x\cos x + 2\cos x \\ &= 2\cos x(\sin x + 1)\end{aligned}

סינוס של זווית כפולה, ואחר כך גורם משותף

cos⁡x=0⇒x=π23π2\begin{aligned}\cos x &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{\pi}{2} \\ \frac{3\pi}{2}\end{aligned}
sin⁡x=−1⇒x=3π2\begin{aligned}\sin x &= -1 \Rightarrow x \\ &= \frac{3\pi}{2}\end{aligned}

אותה נקודה שכבר נמצאה

22 נקודות: x=π2x = \frac{\pi}{2} ו-x=3π2x = \frac{3\pi}{2}. המלכודת: לספור 33 — הנקודה 3π2\frac{3\pi}{2} מתקבלת משני הגורמים, אבל היא נקודה אחת.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+2cos⁡xf(x) = \sin 2x + 2\cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi. הנגזרת היא f′(x)=2cos⁡2x−2sin⁡xf'(x) = 2\cos 2x - 2\sin x. לפונקציה מקסימום ב-x=π6x = \frac{\pi}{6} ומינימום ב-x=5π6x = \frac{5\pi}{6}. הגרף חותך את ציר ה-xx ב-x=π2x = \frac{\pi}{2} וב-x=3π2x = \frac{3\pi}{2}. ה. חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של ff לבין ציר ה-xx בתחום π2≤x≤3π2\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

π2<x<3π2: cos⁡x<0, sin⁡x+1>0⇒f(x)<0\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}:\ \cos x < 0,\ \sin x + 1 > 0 \Rightarrow f(x) < 0

הגרף מתחת לציר

F(x)=−cos⁡2x2+2sin⁡xF(x) = -\frac{\cos 2x}{2} + 2\sin x

פונקציה קדומה: ∫sin⁡2x dx=−cos⁡2x2\int \sin 2x\,dx = -\frac{\cos 2x}{2}

F(3π2)−F(π2)=(12−2)−(12+2)=−4\begin{aligned}F\left(\frac{3\pi}{2}\right) - F\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \left(\frac{1}{2} - 2\right) - \left(\frac{1}{2} + 2\right) \\ &= -4\end{aligned}
S=∣−4∣=4\begin{aligned}S &= |-4| \\ &= 4\end{aligned}

שטח הוא תמיד חיובי

S=4S = 4. המלכודת: לענות −4-4 — האינטגרל שלילי כי הגרף מתחת לציר, והשטח הוא ערכו המוחלט. ועוד: ∫sin⁡2x dx=−cos⁡2x2\int \sin 2x\,dx = -\frac{\cos 2x}{2}, עם חלוקה ב-22.

Check the answer on elev

שאלה 2 — פונקציה עם שורש

Exercise 6

נתונה הפונקציה f(x)=x+2x2+4f(x) = \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4}}. א. מהו תחום ההגדרה של ff?

  1. כל xx
  2. x≥−2x \ge -2
  3. x>−2x > -2
  4. x≠2x \neq 2 ו-x≠−2x \neq -2
Show the answer and the solution

Answer: A כל xx

Worked solution:

x2+4≥4>0x^2 + 4 \ge 4 > 0

הביטוי שבתוך השורש חיובי תמיד

x2+4≠0\sqrt{x^2 + 4} \neq 0

גם המכנה לא מתאפס

כל xx. המלכודת: לפסול x=±2x = \pm 2 כאילו השורש הוא x2−4\sqrt{x^2 - 4}, או לדרוש x+2≥0x + 2 \ge 0 — המונה אינו בתוך שורש.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה f(x)=x+2x2+4f(x) = \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4}}. תחום ההגדרה הוא כל xx. ב. מהן האסימפטוטות האופקיות של ff?

  1. לפונקציה אין אסימפטוטות אופקיות
  2. y=1y = 1 בשני הכיוונים
  3. y=1y = 1 כש-x→∞x \to \infty, ו-y=−1y = -1 כש-x→−∞x \to -\infty
  4. y=0y = 0 בשני הכיוונים
Show the answer and the solution

Answer: C y=1y = 1 כש-x→∞x \to \infty, ו-y=−1y = -1 כש-x→−∞x \to -\infty

Worked solution:

x>0: x2+4=x1+4x2⇒f(x)=1+2x1+4x2→1\begin{aligned}x > 0:\ \sqrt{x^2 + 4} &= x\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}} \Rightarrow f(x) \\ &= \frac{1 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}} \to 1\end{aligned}

כש-x→∞x \to \infty, x2=x\sqrt{x^2} = x

x<0: x2+4=−x1+4x2⇒f(x)→−1x < 0:\ \sqrt{x^2 + 4} = -x\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}} \Rightarrow f(x) \to -1

כש-x→−∞x \to -\infty, x2=∣x∣=−x\sqrt{x^2} = |x| = -x

y=1y = 1 כש-x→∞x \to \infty ו-y=−1y = -1 כש-x→−∞x \to -\infty. המלכודת: לכתוב x2=x\sqrt{x^2} = x גם עבור xx שלילי ולקבל y=1y = 1 בשני הכיוונים.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הפונקציה f(x)=x+2x2+4f(x) = \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4}}. תחום ההגדרה הוא כל xx. האסימפטוטות האופקיות: y=1y = 1 כש-x→∞x \to \infty ו-y=−1y = -1 כש-x→−∞x \to -\infty. ג. לפונקציה נקודת קיצון אחת, והיא מקסימום. מצאו את שיעוריה. (עגלו את שיעור ה-yy לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

x=x = ____ , y≈y \approx ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x = 2 , y≈y \approx 1.41

Worked solution:

f′(x)=x2+4−(x+2)⋅xx2+4x2+4=4−2x(x2+4)x2+4\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\sqrt{x^2+4} - (x+2) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}}{x^2 + 4} \\ &= \frac{4 - 2x}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}}\end{aligned}

נגזרת של מנה, עם נגזרת השורש xx2+4\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}

4−2x=0⇒x=2\begin{aligned}4 - 2x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

המכנה חיובי, ולכן הסימן נקבע במונה: ++ לפני 22, −- אחריו

f(2)=48=2≈1.41\begin{aligned}f(2) &= \frac{4}{\sqrt{8}} \\ &= \sqrt{2} \approx 1.41\end{aligned}

(2,2)≈(2,1.41)(2, \sqrt{2}) \approx (2, 1.41). המלכודת: לגזור את השורש כ-12x2+4\frac{1}{2\sqrt{x^2+4}} בלי הנגזרת הפנימית 2x2x.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה הפונקציה f(x)=x+2x2+4f(x) = \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4}}. תחום ההגדרה הוא כל xx. האסימפטוטות האופקיות: y=1y = 1 כש-x→∞x \to \infty ו-y=−1y = -1 כש-x→−∞x \to -\infty. נקודת המקסימום היא (2,2)≈(2,1.41)(2, \sqrt{2}) \approx (2, 1.41). ד. כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=1.2f(x) = 1.2?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x<2:  −1<f(x)≤2x < 2:\ \ -1 < f(x) \le \sqrt{2}

משמאל למקסימום הפונקציה עולה מהאסימפטוטה y=−1y = -1 עד 2\sqrt{2}

x>2:  1<f(x)<2x > 2:\ \ 1 < f(x) < \sqrt{2}

מימין למקסימום היא יורדת אל y=1y = 1 בלי להגיע אליו

1<1.2<21 < 1.2 < \sqrt{2}

הישר y=1.2y = 1.2 חותך כל ענף פעם אחת

22 פתרונות. המלכודת: לענות 11 כי הפונקציה שואפת ל-11 — מימין למקסימום היא יורדת מ-1.411.41 אל 11, ובדרך עוברת דרך 1.21.2.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה הפונקציה f(x)=x+2x2+4f(x) = \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4}}. תחום ההגדרה הוא כל xx. האסימפטוטות האופקיות: y=1y = 1 כש-x→∞x \to \infty ו-y=−1y = -1 כש-x→−∞x \to -\infty. נקודת המקסימום היא (2,2)≈(2,1.41)(2, \sqrt{2}) \approx (2, 1.41). ה. פתרו את המשוואה f(x)=0.2f(x) = 0.2.

Show the answer and the solution

Answer: -1.5

Worked solution:

x+2=0.2x2+4x + 2 = 0.2\sqrt{x^2 + 4}

כופלים במכנה החיובי

(x+2)2=0.04(x2+4)⇒0.96x2+4x+3.84=0\begin{aligned}(x + 2)^2 &= 0.04(x^2 + 4) \Rightarrow 0.96x^2 + 4x + 3.84 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע

x=−1.5אוx=−83\begin{aligned}x &= -1.5 \quad \text{או} \quad x \\ &= -\frac{8}{3}\end{aligned}
x=−83: x+2=−23<0\begin{aligned}x &= -\frac{8}{3}:\ x + 2 \\ &= -\frac{2}{3} < 0\end{aligned}

בדיקה: אגף ימין חיובי, ולכן הפתרון נפסל — הוא פותר f(x)=−0.2f(x) = -0.2

x=−1.5x = -1.5 בלבד. המלכודת: להשאיר את −83-\frac{8}{3} — העלאה בריבוע מוסיפה פתרונות, ולכן מציבים כל פתרון במשוואה המקורית.

Check the answer on elev

שאלה 3 — האינטגרל כפונקציית צבירה

Exercise 11

הגרף של r(t)r(t)
012345-2-10123456789tr

מים זורמים אל בריכה ויוצאים ממנה. קצב השינוי של נפח המים בבריכה (במ״ק לשעה) הוא r(t)=t2−4t+3r(t) = t^2 - 4t + 3, כאשר tt הזמן בשעות, 0≤t≤50 \le t \le 5. קצב חיובי פירושו זרימה פנימה, וקצב שלילי — זרימה החוצה. בזמן t=0t = 0 היו בבריכה 1010 מ״ק מים, ולכן הנפח בזמן xx הוא V(x)=10+∫0xr(t) dtV(x) = 10 + \int_0^x r(t)\,dt. א. באילו תחומי זמן נפח המים בבריכה גדל?

  1. 0<t<10 < t < 1 ו-3<t<53 < t < 5
  2. 1<t<31 < t < 3
  3. 0<t<20 < t < 2
  4. 2<t<52 < t < 5
Show the answer and the solution

Answer: A 0<t<10 < t < 1 ו-3<t<53 < t < 5

Worked solution:

V′(x)=r(x)V'(x) = r(x)

המשפט היסודי: הנגזרת של פונקציית הצבירה היא הפונקציה שמצטברת

r(t)=(t−1)(t−3)r(t) = (t - 1)(t - 3)
0<t<1,  3<t<5:  r>00 < t < 1,\ \ 3 < t < 5:\ \ r > 0

שם הנפח גדל

0<t<10 < t < 1 ו-3<t<53 < t < 5. המלכודת: לענות לפי העלייה של הגרף של rr (2<t<52 < t < 5) — הנפח גדל כש-rr חיובי, לא כש-rr עולה.

Check the answer on elev

Exercise 12

הגרף של r(t)r(t)
012345-2-10123456789tr

מים זורמים אל בריכה ויוצאים ממנה. קצב השינוי של נפח המים בבריכה (במ״ק לשעה) הוא r(t)=t2−4t+3r(t) = t^2 - 4t + 3, כאשר tt הזמן בשעות, 0≤t≤50 \le t \le 5. קצב חיובי פירושו זרימה פנימה, וקצב שלילי — זרימה החוצה. בזמן t=0t = 0 היו בבריכה 1010 מ״ק מים, ולכן הנפח בזמן xx הוא V(x)=10+∫0xr(t) dtV(x) = 10 + \int_0^x r(t)\,dt. הנפח גדל כש-0<t<10 < t < 1 וכש-3<t<53 < t < 5, וקטן כש-1<t<31 < t < 3. ב. כמה מים יש בבריכה בזמן t=1t = 1? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 11.33

Worked solution:

∫01(t2−4t+3) dt=[t33−2t2+3t]01=13−2+3=43\begin{aligned}\int_0^1 (t^2 - 4t + 3)\,dt &= \left[\frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t\right]_0^1 \\ &= \frac{1}{3} - 2 + 3 \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

הכמות שנכנסה בשעה הראשונה

V(1)=10+43=343≈11.33\begin{aligned}V(1) &= 10 + \frac{4}{3} \\ &= \frac{34}{3} \approx 11.33\end{aligned}

מוסיפים את הנפח ההתחלתי

≈11.33\approx 11.33 מ״ק. המלכודת: לענות 43\frac{4}{3} — האינטגרל נותן את השינוי בנפח, ויש להוסיף את 1010 המ״ק שהיו בהתחלה.

Check the answer on elev

Exercise 13

הגרף של r(t)r(t)
012345-2-10123456789tr

מים זורמים אל בריכה ויוצאים ממנה. קצב השינוי של נפח המים בבריכה (במ״ק לשעה) הוא r(t)=t2−4t+3r(t) = t^2 - 4t + 3, כאשר tt הזמן בשעות, 0≤t≤50 \le t \le 5. קצב חיובי פירושו זרימה פנימה, וקצב שלילי — זרימה החוצה. בזמן t=0t = 0 היו בבריכה 1010 מ״ק מים, ולכן הנפח בזמן xx הוא V(x)=10+∫0xr(t) dtV(x) = 10 + \int_0^x r(t)\,dt. הנפח גדל כש-0<t<10 < t < 1 וכש-3<t<53 < t < 5, וקטן כש-1<t<31 < t < 3. בזמן t=1t = 1 יש בבריכה 343≈11.33\frac{34}{3} \approx 11.33 מ״ק. ג. כמה מים יצאו מהבריכה בין t=1t = 1 ל-t=3t = 3? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 1.33

Worked solution:

∫13(t2−4t+3) dt=(9−18+9)−43=−43\begin{aligned}\int_1^3 (t^2 - 4t + 3)\,dt &= \left(9 - 18 + 9\right) - \frac{4}{3} \\ &= -\frac{4}{3}\end{aligned}

האינטגרל שלילי: הגרף מתחת לציר

43≈1.33\frac{4}{3} \approx 1.33

הכמות שיצאה היא השטח שבין הגרף לציר

≈1.33\approx 1.33 מ״ק. המלכודת: לענות −1.33-1.33 — הסימן אומר שהמים יצאו; הכמות עצמה חיובית.

Check the answer on elev

Exercise 14

הגרף של r(t)r(t)
012345-2-10123456789tr

מים זורמים אל בריכה ויוצאים ממנה. קצב השינוי של נפח המים בבריכה (במ״ק לשעה) הוא r(t)=t2−4t+3r(t) = t^2 - 4t + 3, כאשר tt הזמן בשעות, 0≤t≤50 \le t \le 5. קצב חיובי פירושו זרימה פנימה, וקצב שלילי — זרימה החוצה. בזמן t=0t = 0 היו בבריכה 1010 מ״ק מים, ולכן הנפח בזמן xx הוא V(x)=10+∫0xr(t) dtV(x) = 10 + \int_0^x r(t)\,dt. הנפח גדל כש-0<t<10 < t < 1 וכש-3<t<53 < t < 5, וקטן כש-1<t<31 < t < 3. בזמן t=1t = 1 יש בבריכה 343≈11.33\frac{34}{3} \approx 11.33 מ״ק. בין t=1t = 1 ל-t=3t = 3 יצאו מהבריכה 43\frac{4}{3} מ״ק. ד. הוכיחו או הפריכו: בזמן t=3t = 3 יש בבריכה בדיוק 1010 מ״ק, כמו בהתחלה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

V(3)=10+∫03r(t) dt=10+43−43\begin{aligned}V(3) &= 10 + \int_0^3 r(t)\,dt \\ &= 10 + \frac{4}{3} - \frac{4}{3}\end{aligned}

מה שנכנס בשעה הראשונה יצא בשעתיים הבאות

V(3)=10V(3) = 10

נכון. המלכודת: להסיק שהבריכה לא השתנתה כל הזמן — הנפח עלה ל-11.3311.33 וירד בחזרה; שווה רק התוצאה הסופית.

Check the answer on elev

Exercise 15

הגרף של r(t)r(t)
012345-2-10123456789tr

מים זורמים אל בריכה ויוצאים ממנה. קצב השינוי של נפח המים בבריכה (במ״ק לשעה) הוא r(t)=t2−4t+3r(t) = t^2 - 4t + 3, כאשר tt הזמן בשעות, 0≤t≤50 \le t \le 5. קצב חיובי פירושו זרימה פנימה, וקצב שלילי — זרימה החוצה. בזמן t=0t = 0 היו בבריכה 1010 מ״ק מים, ולכן הנפח בזמן xx הוא V(x)=10+∫0xr(t) dtV(x) = 10 + \int_0^x r(t)\,dt. הנפח גדל כש-0<t<10 < t < 1 וכש-3<t<53 < t < 5, וקטן כש-1<t<31 < t < 3. בזמן t=1t = 1 יש בבריכה 343≈11.33\frac{34}{3} \approx 11.33 מ״ק. בין t=1t = 1 ל-t=3t = 3 יצאו מהבריכה 43\frac{4}{3} מ״ק. בזמן t=3t = 3 יש בבריכה שוב 1010 מ״ק. ה. כמה מים יש בבריכה בזמן t=5t = 5? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 16.67

Worked solution:

∫35(t2−4t+3) dt=[t33−2t2+3t]35=203−0\begin{aligned}\int_3^5 (t^2 - 4t + 3)\,dt &= \left[\frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t\right]_3^5 \\ &= \frac{20}{3} - 0\end{aligned}
V(5)=10+203=503≈16.67\begin{aligned}V(5) &= 10 + \frac{20}{3} \\ &= \frac{50}{3} \approx 16.67\end{aligned}

ממשיכים מהנפח בזמן t=3t = 3

≈16.67\approx 16.67 מ״ק. המלכודת: לחבר את השטחים בערך מוחלט (43+43+203\frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{20}{3}) — הנפח סופר את המים שיצאו במינוס.

Check the answer on elev

Exercise 16

הגרף של r(t)r(t)
012345-2-10123456789tr

מים זורמים אל בריכה ויוצאים ממנה. קצב השינוי של נפח המים בבריכה (במ״ק לשעה) הוא r(t)=t2−4t+3r(t) = t^2 - 4t + 3, כאשר tt הזמן בשעות, 0≤t≤50 \le t \le 5. קצב חיובי פירושו זרימה פנימה, וקצב שלילי — זרימה החוצה. בזמן t=0t = 0 היו בבריכה 1010 מ״ק מים, ולכן הנפח בזמן xx הוא V(x)=10+∫0xr(t) dtV(x) = 10 + \int_0^x r(t)\,dt. הנפח גדל כש-0<t<10 < t < 1 וכש-3<t<53 < t < 5, וקטן כש-1<t<31 < t < 3. בזמן t=1t = 1 יש בבריכה 343≈11.33\frac{34}{3} \approx 11.33 מ״ק. בין t=1t = 1 ל-t=3t = 3 יצאו מהבריכה 43\frac{4}{3} מ״ק. בזמן t=3t = 3 יש בבריכה שוב 1010 מ״ק. ו. מהו הקצב הממוצע של הגדלת הנפח בין t=3t = 3 ל-t=5t = 5 (במ״ק לשעה)? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

Show the answer and the solution

Answer: 3.33

Worked solution:

rˉ=15−3∫35r(t) dt\bar{r} = \frac{1}{5 - 3}\int_3^5 r(t)\,dt

ערך ממוצע של פונקציה בקטע

=12⋅203=103≈3.33= \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33

≈3.33\approx 3.33 מ״ק לשעה. המלכודת: לחשב את ממוצע הקצבים בקצוות, r(3)+r(5)2=4\frac{r(3) + r(5)}{2} = 4 — זה נכון רק לקצב קווי, ו-rr אינו קווי.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade