Solving together · Mathematical induction · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בסגנון סעיף האינדוקציה בבגרות: סכום עם יישום, פרמטר ואחריו הוכחה, נוסחה מפורשת לכלל נסיגה, וטענה על $n$ זוגי. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, כתבו לעצמכם את המטרה: מה הטענה עבור $n=k+1$ ? מי שכותב את המטרה לפני החישוב יודע לאן הוא מפשט.

1 — סכום, ואחריו יישום

Interactive activity

א. הוכיחו באינדוקציה שלכל $n$ טבעי: $1 \cdot 3+2 \cdot 4+3 \cdot 5+\dots+n(n+2)=\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$ . ב. חשבו את $1 \cdot 3+2 \cdot 4+\dots+10 \cdot 12$ .

1 \cdot 3+2 \cdot 4+\dots+n(n+2)=\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}

לחצו «להתחיל». שלושה שלבים: בדיקה, הנחה, הוכחה. ואחריהם היישום.

א. בדיקה

\begin{aligned}n &= 1: \ 1 \cdot 3 \\ &= 3 \\ \quad \frac{1 \cdot 2 \cdot 9}{6} &= 3\end{aligned}

שני האגפים שווים.

א. הנחה

1 \cdot 3+\dots+k(k+2)=\frac{k(k+1)(2k+7)}{6}

מניחים שהטענה נכונה עבור $n=k$ .

א. המטרה

1 \cdot 3+\dots+(k+1)(k+3)=\frac{(k+1)(k+2)(2k+9)}{6}

מציבים $n=k+1$ : המחובר החדש $(k+1)(k+3)$ , ו- $2n+7$ הופך ל- $2k+9$ .

א. הצבה

\frac{k(k+1)(2k+7)}{6}+(k+1)(k+3)=\frac{(k+1)\big[k(2k+7)+6(k+3)\big]}{6}

ההנחה ועוד המחובר החדש. גורם משותף $(k+1)$ .

א. פירוק

=\frac{(k+1)(2k^2+13k+18)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+9)}{6}

$(k+2)(2k+9)=2k^2+13k+18$ . הגענו למטרה.

ב.

\begin{aligned}n &= 10: \ \frac{10 \cdot 11 \cdot 27}{6} \\ &= 495\end{aligned}

המחובר האחרון $10 \cdot 12$ , ולכן $n=10$ .

הפירוק בשלב האחרון קל כי יודעים מראש שאחד הגורמים הוא $(k+2)$ .

Do the activity on elev

בסעיף ב, מישהו הציב $n=12$ כי «המספר האחרון הוא $12$ ». מה הוא קיבל, ולמה זו טעות?

Show the answer and the solution

$\frac{12 \cdot 13 \cdot 31}{6}=806$ . אבל $12$ הוא הגורם השני במחובר האחרון $n(n+2)$ . המחובר האחרון הוא $10 \cdot 12$ , כלומר $n=10$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — קודם הפרמטר, אחר כך ההוכחה

Interactive activity

פרמטר בסכום טלסקופי

נתון: $\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\dots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{an+1}$ לכל $n$ טבעי. א. מצאו את $a$ . ב. הוכיחו את הטענה באינדוקציה.

איך מוצאים את $a$ ?

מציבים $n=1$ בשני האגפים

Show the answer and the solution

הטענה נכונה לכל $n$ , ובפרט עבור $n=1$ .

מתחילים אינדוקציה ומוצאים את $a$ בסוף

Show the answer and the solution

אי אפשר לבדוק בסיס עם $a$ לא ידוע.

\begin{aligned}\frac{1}{1 \cdot 3} &= \frac{1}{a+1} \ \Rightarrow \ a \\ &= 2\end{aligned}

הטענה: $\frac{n}{2n+1}$ .

מהו המחובר ה- $(k+1)$ ?

$\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$

Show the answer and the solution

מציבים $n=k+1$ : $2n-1=2k+1$ ו- $2n+1=2k+3$ .

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$

Show the answer and the solution

זה המחובר ה- $k$ . הוא כבר בתוך ההנחה.

\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}

ההנחה ועוד המחובר החדש.

מה עושים עכשיו?

מכנה משותף $(2k+1)(2k+3)$

Show the answer and the solution

המכנה של המחובר החדש כבר מכיל את המכנה של ההנחה.

מחברים מונים ומכנים: $\frac{k+1}{(2k+1)(2k+4)}$

Show the answer and the solution

כך לא מחברים שברים.

\frac{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{2k^2+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}

המונה הוא טרינום.

איך מסיימים?

מפרקים את המונה: $(2k+1)(k+1)$ , ומצמצמים

Show the answer and the solution

המטרה היא $\frac{k+1}{2k+3}$ , ולכן מחפשים את הגורם $(2k+1)$ .

פותחים את המכנה ומשווים מקדמים

Show the answer and the solution

זה מסתבך ולא מגיע למטרה.

\frac{(2k+1)(k+1)}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}

זו $\frac{n}{2n+1}$ עבור $n=k+1$ .

Show the answer and the solution

$a=2$ , והטענה $\frac{n}{2n+1}$ הוכחה. שני רגעים מכריעים: להציב $n=1$ לפני ההוכחה, ולפרק את המונה בעזרת הגורם שידוע שצריך להופיע.

Do the activity on elev

לפי הנוסחה, מהו $\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\dots+\frac{1}{19 \cdot 21}$ ?

Show the answer and the solution

$2n+1=21$ , כלומר $n=10$ . הסכום הוא $\frac{10}{21}$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — נוסחה מפורשת לכלל נסיגה

Interactive activity

סדרה מוגדרת על ידי $a_1=5$ , $a_{n+1}=3a_n-4$ . א. הוכיחו באינדוקציה ש- $a_n=3^n+2$ לכל $n$ טבעי. ב. איזה איבר בסדרה שווה ל- $245$ ?

\begin{aligned}a_1 &= 5 \\ \quad a_{n+1} &= 3a_n-4 \\ \quad a_n &= 3^n+2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». בשלב ההוכחה מתחילים מכלל הנסיגה.

א. בדיקה

\begin{aligned}a_1 &= 5 \\ &= 3^1+2\end{aligned}

הבסיס מתקיים.

א. הנחה

a_k=3^k+2

מניחים עבור $n=k$ .

א. כלל

\begin{aligned}a_{k+1} &= 3a_k-4 \\ &= 3\left(3^k+2\right)-4\end{aligned}

מציבים את ההנחה בכלל הנסיגה, בסוגריים.

א. סיום

=3^{k+1}+6-4=3^{k+1}+2

זו הנוסחה עבור $n=k+1$ .

ב.

\begin{aligned}3^n+2 &= 245 \ \Rightarrow \ 3^n \\ &= 243 \\ &= 3^5 \ \Rightarrow \ n \\ &= 5\end{aligned}

האיבר החמישי.

סעיף ב משתמש בנוסחה שהוכחה בסעיף א. בכלל הנסיגה היה צריך לחשב חמישה איברים.

Do the activity on elev

בדקו את התשובה של סעיף ב בכלל הנסיגה: חשבו את $a_2, a_3, a_4, a_5$ .

Show the answer and the solution

$a_2=11$ , $a_3=29$ , $a_4=83$ , $a_5=245$ . ואכן $3^2+2=11$ ו- $3^3+2=29$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — טענה עבור $n$ זוגי

Interactive activity

סכום לסירוגין של ריבועים

הוכיחו שלכל $n$ זוגי: $1^2-2^2+3^2-4^2+\dots+(n-1)^2-n^2=-\frac{n(n+1)}{2}$ .

מהו הבסיס?

$n=2$

Show the answer and the solution

הטענה על $n$ זוגי, והזוגי הקטן ביותר הוא $2$ .

$n=1$

Show the answer and the solution

עבור $n=1$ הסכום לא מסתיים ב- $-n^2$ . הטענה לא מדברת עליו.

\begin{aligned}1-4 &= -3 \\ &= -\frac{2 \cdot 3}{2}\end{aligned}

הבסיס מתקיים.

מניחים עבור $n=k$ זוגי. עבור איזה $n$ מוכיחים?

$n=k+2$

Show the answer and the solution

הזוגי הבא.

$n=k+1$

Show the answer and the solution

$k+1$ אי-זוגי, והטענה לא מדברת עליו.

-\frac{(k+2)(k+3)}{2}

המטרה: מציבים $n=k+2$ .

מה מוסיפים לסכום?

$(k+1)^2-(k+2)^2$

Show the answer and the solution

שני המחוברים הבאים, הראשון בפלוס והשני במינוס.

$-(k+2)^2$ בלבד

Show the answer and the solution

דילגתם על $(k+1)^2$ .

(k+1)^2-(k+2)^2=-(2k+3)

הפרש ריבועים.

איך מסיימים?

$-\frac{k(k+1)}{2}-(2k+3)=-\frac{k^2+5k+6}{2}$ ומפרקים

Show the answer and the solution

מכנה משותף, ואז טרינום.

$-\frac{k(k+1)}{2}-2k+3$

Show the answer and the solution

המינוס חל על כל $(2k+3)$ .

-\frac{k^2+5k+6}{2}=-\frac{(k+2)(k+3)}{2}

הגענו למטרה.

Show the answer and the solution

הטענה הוכחה לכל $n$ זוגי. בסיס $n=2$ , צעד של $2$ , ובכל צעד נוספים שני מחוברים.

Do the activity on elev

לפי הטענה, מהו $1^2-2^2+3^2-\dots+9^2-10^2$ ?

Show the answer and the solution

$n=10$ : $-\frac{10 \cdot 11}{2}=-55$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. שאלה 5 היא שאלה נוספת: למצוא שגיאה בהוכחה בסגנון שאלה 2.

Exercises

Exercise 1

הטענה: $1 \cdot 4+2 \cdot 5+\dots+n(n+3)=\frac{n(n+1)(n+5)}{3}$ לכל $n$ טבעי. בשלב ההוכחה מקבלים $\frac{(k+1)(k^2+8k+12)}{3}$ . השלימו את הפירוק, ואחר כך חשבו את $1 \cdot 4+2 \cdot 5+\dots+9 \cdot 12$ .

$k^2+8k+12=(k+2)(k+$ ____ $)$ ; הסכום: ____

Show the answer and the solution

Answer: $k^2+8k+12=(k+2)(k+$ 6 $)$ ; הסכום: 420

Worked solution:

\frac{k(k+1)(k+5)}{3}+(k+1)(k+4)=\frac{(k+1)\big[k(k+5)+3(k+4)\big]}{3}

ההנחה והמחובר החדש

k^2+8k+12=(k+2)(k+6)

המטרה עבור $n=k+1$ היא $\frac{(k+1)(k+2)(k+6)}{3}$

\begin{aligned}n &= 9: \ \frac{9 \cdot 10 \cdot 14}{3} \\ &= 420\end{aligned}

המחובר האחרון $9 \cdot 12$

המחובר האחרון הוא $9 \cdot 12$ , ולכן $n=9$ ולא $n=12$ . בפירוק: $n+5$ עבור $n=k+1$ הוא $k+6$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתון: $\frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7}+\dots+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{n}{an+1}$ לכל $n$ טבעי. מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\begin{aligned}n &= 1: \ \frac{1}{4} \\ &= \frac{1}{a+1}\end{aligned}

מציבים

a=3

פותרים

\begin{aligned}n &= 2: \ \frac{1}{4}+\frac{1}{28} \\ &= \frac{2}{7} \\ &= \frac{2}{3 \cdot 2+1}\end{aligned}

בדיקה

מציבים $n=1$ לפני ההוכחה. בדיקה עם $n=2$ מאשרת. המלכודת: לבלבל בין המכנה $1 \cdot 4$ לבין $a+1$ ולענות $a=4$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

סדרה מוגדרת על ידי $a_1=7$ , $a_{n+1}=4a_n-9$ . ידוע ש- $a_n=4^n+3$ . השלימו את הצעד, ומצאו איזה איבר שווה ל- $259$ .

$a_{k+1}=4\left(4^k+3\right)-9=4^{k+1}+$ ____ ; $a_n=259$ עבור $n=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $a_{k+1}=4\left(4^k+3\right)-9=4^{k+1}+$ 3 ; $a_n=259$ עבור $n=$ 4

Worked solution:

\begin{aligned}4\left(4^k+3\right)-9 &= 4^{k+1}+12-9 \\ &= 4^{k+1}+3\end{aligned}

הצעד

\begin{aligned}4^n+3 &= 259 \ \Rightarrow \ 4^n \\ &= 256 \\ &= 4^4\end{aligned}

סעיף ב

ה- $4$ כופל גם את ה- $3$ שבסוגריים: $12-9=3$ . המלכודת: $4^{k+1}+3-9$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

הטענה: לכל $n$ אי-זוגי, $1^2-2^2+3^2-\dots+n^2=\frac{n(n+1)}{2}$ . השלימו.

הבסיס: $n=$ ____ ; במעבר מ- $k$ ל- $k+2$ מוסיפים $-(k+1)^2+(k+2)^2=2k+$ ____ ; עבור $n=9$ הסכום: ____

Show the answer and the solution

Answer: הבסיס: $n=$ 1 ; במעבר מ- $k$ ל- $k+2$ מוסיפים $-(k+1)^2+(k+2)^2=2k+$ 3 ; עבור $n=9$ הסכום: 45

Worked solution:

\begin{aligned}n &= 1: \ 1 \\ &= \frac{1 \cdot 2}{2}\end{aligned}

בסיס

\begin{aligned}\frac{k(k+1)}{2}+2k+3 &= \frac{k^2+5k+6}{2} \\ &= \frac{(k+2)(k+3)}{2}\end{aligned}

צעד של 2

\frac{9 \cdot 10}{2}=45

$n=9$

כאן הסכום מסתיים בריבוע חיובי, ולכן הבסיס הוא $n=1$ והצעד מוסיף קודם מחובר שלילי. המלכודת: להעתיק את הבסיס $n=2$ מהשאלה על זוגיים.

Check the answer on elev

Exercise 5

שלב ההוכחה של $\frac{1}{1 \cdot 3}+\dots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}

=\frac{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}

=\frac{2k^2+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}

=\frac{(2k+1)(k+3)}{(2k+1)(2k+3)}

Show the answer and the solution

Answer: $=\frac{(2k+1)(k+3)}{(2k+1)(2k+3)}$ → $=\frac{(2k+1)(k+1)}{(2k+1)(2k+3)}$

Worked solution:

(2k+1)(k+1)=2k^2+3k+1

פתיחת סוגריים לבדיקה

(2k+1)(k+3)=2k^2+7k+3

לא שווה למונה

כל פירוק בודקים בפתיחת סוגריים. $(k+3)$ לא מביא למטרה $\frac{k+1}{2k+3}$ : זה סימן לטעות בפירוק.

Check the answer on elev

1 — סכום, ואחריו יישום

2 — קודם הפרמטר, אחר כך ההוכחה

3 — נוסחה מפורשת לכלל נסיגה

4 — טענה עבור nnn זוגי

Exercises

Keep practising on elev

4 — טענה עבור $n$ זוגי