Set 3 — towards the bagrut

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בנוסח סעיף האינדוקציה בבגרות, מפורקות לסעיפים: סכום עם חזקות (א–ג), פרמטר ויישום (א–ג), סדרה לפי כלל נסיגה (א–ב), ונוסחה שצריך להפריך (א–ב). כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותו פתיח.

כתבו כמו בבחינה: בדיקה, הנחה, הוכחה, עם המטרה כתובה לפני החישוב. וכשיש פרמטר או נוסחה חשודה, מציבים ערכים קטנים של nn לפני הכול.

Exercises

Exercise 1

נתונה הטענה: 1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n=(n−1)⋅2n+1+21 \cdot 2+2 \cdot 2^2+3 \cdot 2^3+\dots+n \cdot 2^n=(n-1) \cdot 2^{n+1}+2 לכל nn טבעי. א. חשבו את אגף שמאל עבור n=3n=3, ובדקו שהוא שווה לאגף ימין.

Show the answer and the solution

Answer: 34

Worked solution:

1⋅2+2⋅4+3⋅8=2+8+24=34\begin{aligned}1 \cdot 2+2 \cdot 4+3 \cdot 8 &= 2+8+24 \\ &= 34\end{aligned}

אגף שמאל

2⋅24+2=342 \cdot 2^4+2=34

אגף ימין

המחובר ה-ii הוא i⋅2ii \cdot 2^i: גם המקדם וגם החזקה גדלים. המלכודת: לכתוב 3⋅223 \cdot 2^2 במחובר השלישי.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הטענה: 1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n=(n−1)⋅2n+1+21 \cdot 2+2 \cdot 2^2+3 \cdot 2^3+\dots+n \cdot 2^n=(n-1) \cdot 2^{n+1}+2 לכל nn טבעי. ב. השלימו את שלב ההוכחה.

(k−1)⋅2k+1+2+(k+1)⋅2k+1=(k-1) \cdot 2^{k+1}+2+(k+1) \cdot 2^{k+1}= ____ k⋅2k+1+2=k⋅2k+k \cdot 2^{k+1}+2=k \cdot 2^{k+} ____ +2+2

Show the answer and the solution

Answer: (k−1)⋅2k+1+2+(k+1)⋅2k+1=(k-1) \cdot 2^{k+1}+2+(k+1) \cdot 2^{k+1}= 2 k⋅2k+1+2=k⋅2k+k \cdot 2^{k+1}+2=k \cdot 2^{k+} 2 +2+2

Worked solution:

(k−1)+(k+1)=2k(k-1)+(k+1)=2k

גורם משותף 2k+12^{k+1}

2k⋅2k+1=k⋅2k+22k \cdot 2^{k+1}=k \cdot 2^{k+2}

זו הנוסחה עבור n=k+1n=k+1: (n−1)(n-1) הופך ל-kk

המחובר ה-(k+1)(k+1) הוא (k+1)⋅2k+1(k+1) \cdot 2^{k+1}. אחרי הוצאת 2k+12^{k+1} משני המחוברים, 2⋅2k+1=2k+22 \cdot 2^{k+1}=2^{k+2}.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הטענה: 1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n=(n−1)⋅2n+1+21 \cdot 2+2 \cdot 2^2+3 \cdot 2^3+\dots+n \cdot 2^n=(n-1) \cdot 2^{n+1}+2 לכל nn טבעי. ג. עבור איזה nn הסכום 1⋅2+2⋅22+⋯+n⋅2n1 \cdot 2+2 \cdot 2^2+\dots+n \cdot 2^n שווה ל-15381538?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

(n−1)⋅2n+1+2=1538 ⇒ (n−1)⋅2n+1=1536\begin{aligned}(n-1) \cdot 2^{n+1}+2 &= 1538 \ \Rightarrow \ (n-1) \cdot 2^{n+1} \\ &= 1536\end{aligned}

לפי הטענה

n=7: 6⋅256=1536\begin{aligned}n &= 7: \ 6 \cdot 256 \\ &= 1536\end{aligned}

מנסים ערכים: הביטוי עולה עם nn

הביטוי עולה, ולכן יש פתרון אחד. 1536=6⋅281536=6 \cdot 2^8. המלכודת: לפתור 2n+1=15362^{n+1}=1536 ולשכוח את הגורם (n−1)(n-1).

Check the answer on elev

Exercise 4

נתון: 3+32+33+⋯+3n=3n+1+a23+3^2+3^3+\dots+3^n=\frac{3^{n+1}+a}{2} לכל nn טבעי. א. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

n=1: 3=9+a2\begin{aligned}n &= 1: \ 3 \\ &= \frac{9+a}{2}\end{aligned}

מציבים

a=−3a=-3

פותרים

n=2: 12=27−32\begin{aligned}n &= 2: \ 12 \\ &= \frac{27-3}{2}\end{aligned}

בדיקה

3n+13^{n+1} עבור n=1n=1 הוא 99, לא 33. המלכודת: להציב 3n3^n ולקבל a=3a=3.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון: 3+32+33+⋯+3n=3n+1+a23+3^2+3^3+\dots+3^n=\frac{3^{n+1}+a}{2} לכל nn טבעי. ב. בשלב ההוכחה מתקבל 3k+1−32+3k+1\frac{3^{k+1}-3}{2}+3^{k+1}. למה הוא שווה?

  1. 3k+2−32\frac{3^{k+2}-3}{2}
  2. 32k+2−32\frac{3^{2k+2}-3}{2}
  3. 3k+2−34\frac{3^{k+2}-3}{4}
  4. 2⋅3k+1−32\frac{2 \cdot 3^{k+1}-3}{2}
Show the answer and the solution

Answer: A 3k+2−32\frac{3^{k+2}-3}{2}

Worked solution:

3k+1−3+2⋅3k+12=3⋅3k+1−32\frac{3^{k+1}-3+2 \cdot 3^{k+1}}{2}=\frac{3 \cdot 3^{k+1}-3}{2}

מכנה משותף

3⋅3k+1=3k+23 \cdot 3^{k+1}=3^{k+2}

זו הנוסחה עבור n=k+1n=k+1

הנכונה: 3k+2−32\frac{3^{k+2}-3}{2}. מי שבחר 2⋅3k+12 \cdot 3^{k+1} שכח לכפול את המחובר החדש ב-22. 32k+23^{2k+2} כופל חזקות במקום לחבר אותן.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתון: 3+32+33+⋯+3n=3n+1+a23+3^2+3^3+\dots+3^n=\frac{3^{n+1}+a}{2} לכל nn טבעי. ג. חשבו את 3+32+⋯+363+3^2+\dots+3^6.

Show the answer and the solution

Answer: 1092

Worked solution:

n=6: 37−32=2187−32\begin{aligned}n &= 6: \ \frac{3^7-3}{2} \\ &= \frac{2187-3}{2}\end{aligned}

לפי הטענה

=1092=1092

חישוב

באגף ימין מופיעה 3n+1=373^{n+1}=3^7. המלכודת: 36−32=363\frac{3^6-3}{2}=363.

Check the answer on elev

Exercise 7

סדרה מוגדרת על ידי a1=1a_1=1, an+1=an2an+1a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1}. א. חשבו את a2a_2 ואת a3a_3, ורשמו את המכנים.

a2=1ba_2=\frac{1}{b} עם b=b= ____ ; a3=1ca_3=\frac{1}{c} עם c=c= ____

Show the answer and the solution

Answer: a2=1ba_2=\frac{1}{b} עם b=b= 3 ; a3=1ca_3=\frac{1}{c} עם c=c= 5

Worked solution:

a2=12+1=13\begin{aligned}a_2 &= \frac{1}{2+1} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

מציבים a1=1a_1=1

a3=1/32/3+1=1/35/3=15\begin{aligned}a_3 &= \frac{1/3}{2/3+1} \\ &= \frac{1/3}{5/3} \\ &= \frac{1}{5}\end{aligned}

מציבים a2a_2

המכנים 1,3,51, 3, 5: מספרים אי-זוגיים. זה רומז לנוסחה an=12n−1a_n=\frac{1}{2n-1}. המלכודת: לחלק את 13\frac{1}{3} ב-22 ולשכוח את ה-+1+1.

Check the answer on elev

Exercise 8

סדרה מוגדרת על ידי a1=1a_1=1, an+1=an2an+1a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1}. ב. הוכיחו באינדוקציה ש-an=12n−1a_n=\frac{1}{2n-1}, ומצאו איזה איבר שווה ל-199\frac{1}{99}.

ak+1=1/(2k−1)2/(2k−1)+1=12k+a_{k+1}=\frac{1/(2k-1)}{2/(2k-1)+1}=\frac{1}{2k+} ____ ; an=199a_n=\frac{1}{99} עבור n=n= ____

Show the answer and the solution

Answer: ak+1=1/(2k−1)2/(2k−1)+1=12k+a_{k+1}=\frac{1/(2k-1)}{2/(2k-1)+1}=\frac{1}{2k+} 1 ; an=199a_n=\frac{1}{99} עבור n=n= 50

Worked solution:

1/(2k−1)2+2k−12k−1=12k+1\frac{1/(2k-1)}{\frac{2+2k-1}{2k-1}}=\frac{1}{2k+1}

כופלים מונה ומכנה ב-2k−12k-1

12k+1=12(k+1)−1\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{2(k+1)-1}

זו הנוסחה עבור n=k+1n=k+1

2n−1=99 ⇒ n=50\begin{aligned}2n-1 &= 99 \ \Rightarrow \ n \\ &= 50\end{aligned}

סעיף ב

2⋅12k−1+1=2k+12k−12 \cdot \frac{1}{2k-1}+1=\frac{2k+1}{2k-1}. המלכודת בסעיף השני: לענות n=99n=99 כי «המכנה הוא 9999».

Check the answer on elev

Exercise 9

תלמיד טוען: 1+2+4+⋯+2n−1=n2−n+11+2+4+\dots+2^{n-1}=n^2-n+1 לכל nn טבעי. א. בדקו את הטענה עבור n=1n=1, n=2n=2 ו-n=3n=3. הוכיחו או הפריכו: הטענה נכונה בשלושת המקרים האלה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

n=1: 1=1\begin{aligned}n &= 1: \ 1 \\ &= 1\end{aligned}

מתקיים

n=2: 3=4−2+1\begin{aligned}n &= 2: \ 3 \\ &= 4-2+1\end{aligned}

מתקיים

n=3: 7=9−3+1\begin{aligned}n &= 3: \ 7 \\ &= 9-3+1\end{aligned}

מתקיים

הטענה נכונה עבור שלושת הערכים. אבל שלוש בדיקות אינן הוכחה, כפי שיראה סעיף ב.

Check the answer on elev

Exercise 10

תלמיד טוען: 1+2+4+⋯+2n−1=n2−n+11+2+4+\dots+2^{n-1}=n^2-n+1 לכל nn טבעי. ב. מהו ה-nn הקטן ביותר שעבורו הטענה נכשלת?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

n=4: 1+2+4+8=15\begin{aligned}n &= 4: \ 1+2+4+8 \\ &= 15\end{aligned}

אגף שמאל

16−4+1=13≠1516-4+1=13 \neq 15

אגף ימין

הסכום האמיתי 2n−12^n-1 גדל פי 22 בערך בכל צעד, והביטוי הריבועי לא עומד בקצב. המלכודת: לסמוך על שלוש בדיקות ולנסות להוכיח.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade