Set 3 — towards the bagrut · Recurrence relations · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שלוש שאלות בנוסח הבגרות, מחולקות לסעיפים: שאלה על סדרה הנדסית אינסופית וסדרה שנבנית ממנה (סעיפים א–ד), שאלה על כלל נסיגה עם סדרת עזר (א–ג), ושאלה קצרה על סדרה שמוגדרת בנוסחה אחת ומתנהגת כמו שתי סדרות (א–ג). לכל סעיף פתיח זהה.

כתבו כל סעיף כמו בבחינה: מה ידוע, איזו סדרה הנדסית (איבר ראשון ומנה), ובדיקה בנתון אחד. סעיף שנשען על קודמו מתחיל מהתוצאה שלו.

Exercises

Exercise 1

$a_n$ סדרה הנדסית אינסופית יורדת שכל איבריה חיוביים. ידוע ש- $a_1+a_2=24$ ו- $a_3+a_4=6$ . א. מצאו את המנה $q$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

a_3+a_4=q^2(a_1+a_2)

כל איבר כפול $q^2$ מהאיבר שני מקומות לפניו

\begin{aligned}q^2 &= \frac{6}{24} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

q=\frac{1}{2}

הסדרה חיובית: $q>0$

$q=-\frac{1}{2}$ פותר גם הוא $q^2=\frac{1}{4}$ , אבל אז האיברים מתחלפים בסימן, בסתירה לנתון.

Check the answer on elev

Exercise 2

$a_n$ סדרה הנדסית אינסופית יורדת שכל איבריה חיוביים. ידוע ש- $a_1+a_2=24$ ו- $a_3+a_4=6$ . ב. מצאו את $a_1$ .

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

a_1(1+q)=24

$a_2=a_1q$

\begin{aligned}a_1 \cdot \frac{3}{2} &= 24 \ \Rightarrow \ a_1 \\ &= 16\end{aligned}

\begin{aligned}16+8 &= 24 \\ \quad 4+2 &= 6\end{aligned}

בדיקה ✓

$a_1+a_1q=a_1(1+q)$ , לא $a_1 \cdot 2q$ . מי שכותב $2q$ מקבל $a_1=24$ , ואז $a_1+a_2=36$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

$a_n$ סדרה הנדסית אינסופית יורדת שכל איבריה חיוביים. ידוע ש- $a_1+a_2=24$ ו- $a_3+a_4=6$ . ג. מגדירים $b_k=a_{2k-1}+a_{2k}$ (כלומר $b_1=a_1+a_2$ , $b_2=a_3+a_4$ , ...). מהי המנה של $b_k$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

\begin{aligned}b_{k+1} &= a_{2k+1}+a_{2k+2} \\ &= q^2(a_{2k-1}+a_{2k})\end{aligned}

שני צעדים קדימה

\begin{aligned}q_b &= q^2 \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{b_2}{b_1} &= \frac{6}{24} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

בדיקה בנתונים ✓

$b$ מדלגת שני מקומות בכל צעד. ובדיקה: $\frac{24}{\frac{3}{4}}=32=\frac{16}{\frac{1}{2}}$ , כלומר סכום $b$ שווה לסכום $a$ , כמו שצריך.

Check the answer on elev

Exercise 4

$a_n$ סדרה הנדסית אינסופית יורדת שכל איבריה חיוביים. ידוע ש- $a_1+a_2=24$ ו- $a_3+a_4=6$ . ד. מסמנים ב- $S$ את סכום כל איברי $a_n$ , וב- $S_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים. מהו $n$ הקטן ביותר שעבורו $S-S_n<0.01$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

\begin{aligned}S &= \frac{16}{\frac{1}{2}} \\ &= 32\end{aligned}

S-S_n=32\left(\tfrac{1}{2}\right)^n<0.01 \ \Rightarrow \ 2^n>3200

הופכים: הכיוון מתהפך

\begin{aligned}2^{11} &= 2048 \\ \quad 2^{12} &= 4096\end{aligned}

ניסוי: $n=12$

«מה שחסר לסכום» הוא $S \cdot q^n$ . מי שפותר $\left(\frac{1}{2}\right)^n<0.01$ בלי ה- $32$ מקבל $n=7$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה סדרה: $a_1=5$ ו- $a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+1$ . מגדירים $b_n=a_n-2$ . א. הראו ש- $b_n$ הנדסית. השלימו.

$b_1=$ ____ , המנה של $b_n$ : ____

Show the answer and the solution

Answer: $b_1=$ 3 , המנה של $b_n$ : 0.5

Worked solution:

\begin{aligned}b_{n+1} &= \frac{1}{2}a_n+1-2 \\ &= \frac{1}{2}(a_n-2) \\ &= \frac{1}{2}b_n\end{aligned}

מציבים את הכלל

\begin{aligned}b_1 &= 5-2 \\ &= 3\end{aligned}

$2$ הוא המספר שהכלל לא מזיז: $\frac{1}{2} \cdot 2+1=2$ . לכן בוחרים $b_n=a_n-2$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה סדרה: $a_1=5$ ו- $a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+1$ . מגדירים $b_n=a_n-2$ . ב. הביעו את $a_n$ באמצעות $n$ .

$a_n=2+3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$
$a_n=2-3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$
$a_n=5\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$
$a_n=2+3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}$

Show the answer and the solution

Answer: A $a_n=2+3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$

Worked solution:

b_n=3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}

a_n=b_n+2

\begin{aligned}a_1 &= 5 \\ \quad a_2 &= 3.5 \\ &= \tfrac{5}{2}+1\end{aligned}

בדיקה ✓

הנכונה: $2+3\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ . $5\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ מתעלמת מה- $+1$ בכלל. החזקה $n$ נותנת $a_1=3.5$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה סדרה: $a_1=5$ ו- $a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+1$ . מגדירים $b_n=a_n-2$ . ג. חשבו את $(a_1-2)+(a_2-2)+(a_3-2)+\ldots$

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

(a_1-2)+(a_2-2)+\ldots=b_1+b_2+\ldots

זה בדיוק סכום $b_n$

\frac{3}{1-\frac{1}{2}}=6

$|q|<1$

לסדרה $a_n$ עצמה אין סכום: האיברים מתקרבים ל- $2$ , לא ל- $0$ . מי שמחשב $\frac{5}{1-\frac{1}{2}}=10$ סכם את הסדרה הלא נכונה.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הסדרה $a_n=\frac{(-2)^n+2^n}{4^n}$ . א. השלימו.

$a_1=$ ____ , $a_2=$ ____ , $a_4=$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $a_1=$ 0 , $a_2=$ 0.5 , $a_4=$ 0.125

Worked solution:

\begin{aligned}a_1 &= \frac{-2+2}{4} \\ &= 0\end{aligned}

$n$ אי-זוגי: המחוברים מבטלים זה את זה

\begin{aligned}a_2 &= \frac{4+4}{16} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}a_4 &= \frac{16+16}{256} \\ &= \frac{1}{8}\end{aligned}

כש- $n$ אי-זוגי, $(-2)^n=-2^n$ ולכן $a_n=0$ . כש- $n$ זוגי, $a_n=\frac{2 \cdot 2^n}{4^n}=2\left(\frac{1}{2}\right)^n$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה הסדרה $a_n=\frac{(-2)^n+2^n}{4^n}$ . ב. מה נכון לגבי תת-הסדרה $a_2, a_4, a_6, \ldots$ ?

הנדסית עם מנה $\frac{1}{2}$
הנדסית עם מנה $\frac{1}{4}$
הנדסית עם מנה $-\frac{1}{2}$
אינה הנדסית

Show the answer and the solution

Answer: B הנדסית עם מנה $\frac{1}{4}$

Worked solution:

\begin{aligned}a_{2k} &= 2\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2k} \\ &= 2\left(\tfrac{1}{4}\right)^k\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{a_4}{a_2} &= \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

בדיקה ✓

הנכונה: מנה $\frac{1}{4}$ . בין $a_2$ ל- $a_4$ יש שני צעדים של $\frac{1}{2}$ . מי שבחר $\frac{1}{2}$ ספר צעד אחד.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה הסדרה $a_n=\frac{(-2)^n+2^n}{4^n}$ . ג. חשבו את סכום כל איברי הסדרה $a_1+a_2+a_3+\ldots$ עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.67

Worked solution:

a_1+a_2+\ldots=a_2+a_4+a_6+\ldots

המקומות האי-זוגיים תורמים $0$

\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}

\approx 0.67

הסדרה כולה אינה הנדסית (יש בה אפסים), אבל הסכום שלה הוא סכום של תת-סדרה הנדסית. מי שמציב $q=\frac{1}{2}$ מקבל $1$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev