Set 1 — easy

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: גזירה עם ארגומנט ליניארי, מחזור, זוגיות, אפסים בקטע, אינטגרל מיידי ומהירות מרבית. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: מבקשים ערך (ff), שיפוע (f′f'), מקום (xx) או שטח? ובכל משוואה טריגונומטרית: כמה פתרונות יש בקטע?

Exercises

Exercise 1

מהי הנגזרת של f(x)=cos⁡5xf(x)=\cos 5x?

  1. −5sin⁡5x-5\sin 5x
  2. −sin⁡5x-\sin 5x
  3. −5cos⁡5x-5\cos 5x
  4. 5sin⁡5x5\sin 5x
Show the answer and the solution

Answer: A −5sin⁡5x-5\sin 5x

Worked solution:

(cos⁡u)′=−sin⁡u⋅u′(\cos u)'=-\sin u\cdot u'

שרשרת

u=5x⇒u′=5\begin{aligned}u &= 5x \Rightarrow u' \\ &= 5\end{aligned}

הנכונה: −5sin⁡5x-5\sin 5x. שני דברים יוצאים החוצה: המינוס של הקוסינוס והמקדם 55.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x)=\sin x+\cos x. חשבו את f′(π)f'(\pi).

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

f′(x)=cos⁡x−sin⁡xf'(x)=\cos x-\sin x

גוזרים כל מחובר

f′(π)=−1−0=−1\begin{aligned}f'(\pi) &= -1-0 \\ &= -1\end{aligned}

f′(π)=−1f'(\pi)=-1. מי שכתב f′(x)=cos⁡x+sin⁡xf'(x)=\cos x+\sin x שכח את המינוס, אבל כאן sin⁡π=0\sin\pi=0 מסתיר את הטעות. בדקו את הנוסחה, לא רק את המספר.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו המחזור של f(x)=cos⁡x3f(x)=\cos\frac{x}{3}? כתבו אותו בצורה T=kπT=k\pi.

T=T= ____ π\pi

Show the answer and the solution

Answer: T=T= 6 π\pi

Worked solution:

T=2π∣a∣a=13\begin{aligned}T &= \frac{2\pi}{|a|} \\ \quad a &= \tfrac13\end{aligned}

נוסחת המחזור

T=2π1/3=6π\begin{aligned}T &= \frac{2\pi}{1/3} \\ &= 6\pi\end{aligned}

T=6πT=6\pi. המקדם 13\frac13 מאט את הגל, ולכן המחזור גדל. מי שכופל במקום לחלק מקבל 2π3\frac{2\pi}{3}.

Check the answer on elev

Exercise 4

הוכיחו או הפריכו: הפונקציה f(x)=xcos⁡xf(x)=x\cos x אי-זוגית.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f(−x)=(−x)cos⁡(−x)=−xcos⁡x=−f(x)\begin{aligned}f(-x) &= (-x)\cos(-x) \\ &= -x\cos x \\ &= -f(x)\end{aligned}

מציבים −x-x

הטענה נכונה. xx אי-זוגית ו-cos⁡x\cos x זוגית, והמכפלה שלהן אי-זוגית.

Check the answer on elev

Exercise 5

כמה פתרונות יש למשוואה cos⁡x=0\cos x=0 בקטע 0≤x≤3π0\le x\le 3\pi?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

x=π2+nπx=\tfrac{\pi}{2}+n\pi

כל הפתרונות

x=π2 3π2 5π2\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{3\pi}{2} \\ \ \tfrac{5\pi}{2}\end{aligned}

אלה שבקטע

שלושה פתרונות. 7π2>3π\frac{7\pi}{2}>3\pi, ולכן הוא מחוץ לקטע. כל פתרון נבדק מול הקטע.

Check the answer on elev

Exercise 6

מהו ∫cos⁡3x dx\int\cos 3x\,dx?

  1. sin⁡3x+C\sin 3x+C
  2. 3sin⁡3x+C3\sin 3x+C
  3. 13sin⁡3x+C\frac13\sin 3x+C
  4. −13sin⁡3x+C-\frac13\sin 3x+C
Show the answer and the solution

Answer: C 13sin⁡3x+C\frac13\sin 3x+C

Worked solution:

∫cos⁡(ax) dx=1asin⁡(ax)+C\int\cos(ax)\,dx=\tfrac{1}{a}\sin(ax)+C

אינטגרל מיידי

(13sin⁡3x)′=13⋅3cos⁡3x=cos⁡3x\begin{aligned}\left(\tfrac13\sin 3x\right)' &= \tfrac13\cdot 3\cos 3x \\ &= \cos 3x\end{aligned}

בדיקה בגזירה

הנכונה: 13sin⁡3x+C\frac13\sin 3x+C. 3sin⁡3x3\sin 3x היא טעות של גזירה במקום אינטגרל. ואין מינוס: המינוס שייך ל-∫sin⁡\int\sin.

Check the answer on elev

Exercise 7

חשבו: ∫0πsin⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

[−cos⁡x]0π=−cos⁡π+cos⁡0=1+1=2\begin{aligned}[-\cos x]_0^{\pi} &= -\cos\pi+\cos 0 \\ &= 1+1 \\ &= 2\end{aligned}

22. הטעות הנפוצה היא [cos⁡x]0π=−2[\cos x]_0^{\pi}=-2: שלילי מתחת לגרף שכולו מעל הציר. סימן כזה מעיד על מינוס שנשכח.

Check the answer on elev

Exercise 8

גוף נע לפי x(t)=3sin⁡(2t)x(t)=3\sin(2t) ס״מ, tt בשניות. מהי המהירות הגדולה ביותר שלו (בס״מ לשנייה)?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

v(t)=6cos⁡2tv(t)=6\cos 2t

גוזרים

vmax⁡=6v_{\max}=6

Aω=3⋅2A\omega=3\cdot 2

66 ס״מ לשנייה. 33 הוא המרחק הגדול ביותר, לא המהירות.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה f(x)=tan⁡xf(x)=\tan x. חשבו את f′(π3)f'\left(\frac{\pi}{3}\right).

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

f′(x)=1cos⁡2xf'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}

הנוסחה

cos⁡π3=12⇒f′=11/4=4\begin{aligned}\cos\tfrac{\pi}{3} &= \tfrac12 \Rightarrow f' \\ &= \frac{1}{1/4} \\ &= 4\end{aligned}

44. מי שמציב cos⁡π3\cos\frac{\pi}{3} בלי ריבוע מקבל 22.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=2sin⁡xf(x)=2\sin x בקטע 0≤x≤2π0\le x\le 2\pi. באיזה xx מקבלת ff את ערכה הגדול ביותר?

  1. x=3π2x=\frac{3\pi}{2}
  2. x=π2x=\frac{\pi}{2}
  3. x=2x=2
  4. x=πx=\pi
Show the answer and the solution

Answer: B x=π2x=\frac{\pi}{2}

Worked solution:

f′(x)=2cos⁡x=0⇒x=π2 3π2\begin{aligned}f'(x) &= 2\cos x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

נקודות חשודות

f(π2)=2f(3π2)=−2\begin{aligned}f\left(\tfrac{\pi}{2}\right) &= 2 \\ \quad f\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) &= -2\end{aligned}

משווים

הנכונה: x=π2x=\frac{\pi}{2}. 22 הוא הערך הגדול ביותר, לא המקום שבו הוא מתקבל.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade