Set 3 — towards the bagrut · Studying trigonometric functions · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שלוש שאלות בנוסח שאלת הפונקציה הטריגונומטרית בבגרות, מחולקות לסעיפים. כל תרגיל הוא סעיף אחד, עם אותה פתיחה. חקירה עם נקודה שבה $f'=0$ בלי קיצון ומספר פתרונות; פרמטר, זוגיות וערכים קיצוניים; ותנועה הרמונית עם אינטגרל של המהירות.

בבגרות כל סעיף נשען על הקודם. אחרי שמצאתם פרמטר, הציבו אותו ובדקו אותו בנתון לפני שממשיכים. ובכל קטע סגור, הקצוות נכנסים להשוואה.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה $f(x)=\sin 2x+2\cos x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . א. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה- $x$ , בצורה $x=k\pi$ .

$x=$ ____ $\pi$ , $x=$ ____ $\pi$ (מהקטן לגדול)

Show the answer and the solution

Answer: $x=$ 0.5 $\pi$ , $x=$ 1.5 $\pi$ (מהקטן לגדול)

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= 2\sin x\cos x+2\cos x \\ &= 2\cos x(\sin x+1)\end{aligned}

מפרקים לגורמים

\begin{aligned}\cos x &= 0 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}\sin x &= -1 \Rightarrow x \\ &= \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

אותה נקודה שוב

שתי נקודות: $\frac{\pi}{2}$ ו- $\frac{3\pi}{2}$ . $\frac{3\pi}{2}$ מופיעה פעמיים, מכל גורם, אבל היא נקודה אחת.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה $f(x)=\sin 2x+2\cos x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . ב. מצאו את נקודות הקיצון הפנימיות של $f$ וקבעו את סוגן.

מינימום $\left(\frac{\pi}{6},-\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ , מקסימום $\left(\frac{5\pi}{6},\frac{3\sqrt3}{2}\right)$
מקסימום $\left(\frac{\pi}{6},\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ , מינימום $\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ , ומקסימום $\left(\frac{3\pi}{2},0\right)$
מקסימום $\left(\frac{\pi}{6},\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ ומינימום $\left(\frac{3\pi}{2},0\right)$
מקסימום $\left(\frac{\pi}{6},\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ , מינימום $\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ , ואין קיצון ב- $\frac{3\pi}{2}$

Show the answer and the solution

Answer: D מקסימום $\left(\frac{\pi}{6},\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ , מינימום $\left(\frac{5\pi}{6},-\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ , ואין קיצון ב- $\frac{3\pi}{2}$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 2\cos 2x-2\sin x \\ &= -2(2\sin x-1)(\sin x+1)\end{aligned}

$\cos 2x=1-2\sin^2x$

\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{6} \\ \ \tfrac{5\pi}{6} \\ \ \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

נקודות חשודות

\sin x+1\ge 0

הגורם הזה אינו שלילי, ולכן הסימן של $f'$ נקבע לפי $1-2\sin x$

+\ |\ -\ |\ +\ |\ +

ב- $\frac{3\pi}{2}$ אין החלפת סימן

הנכונה: מקסימום ב- $\frac{\pi}{6}$ , מינימום ב- $\frac{5\pi}{6}$ , ואין קיצון ב- $\frac{3\pi}{2}$ . $f'\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0$ , אבל הפונקציה עולה לפני הנקודה ואחריה.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה $f(x)=\sin 2x+2\cos x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . ג. הוכיחו או הפריכו: ציר ה- $x$ משיק לגרף של $f$ בנקודה שבה $x=\frac{3\pi}{2}$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}f\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) &= \sin 3\pi+2\cos\tfrac{3\pi}{2} \\ &= 0\end{aligned}

הנקודה על ציר ה- $x$

\begin{aligned}f'\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) &= 2\cos 3\pi-2\sin\tfrac{3\pi}{2} \\ &= -2+2 \\ &= 0\end{aligned}

שיפוע $0$

y=0

המשיק הוא ציר ה- $x$

הטענה נכונה. זו נקודה שבה המשיק אופקי והגרף חוצה אותו: אין שם קיצון, אבל ציר ה- $x$ עדיין משיק.

Check the answer on elev

Exercise 4

y = f(x)

נתונה הפונקציה $f(x)=\sin 2x+2\cos x$ בקטע $0\le x\le 2\pi$ . ד. היעזרו בסקיצה שבשרטוט. לאילו ערכים של $k$ יש למשוואה $f(x)=k$ פתרון אחד בלבד בקטע?

$2<k<\frac{3\sqrt3}{2}$
$k=\frac{3\sqrt3}{2}$ בלבד
$k=\frac{3\sqrt3}{2}$ או $k=-\frac{3\sqrt3}{2}$
$k=0$

Show the answer and the solution

Answer: C $k=\frac{3\sqrt3}{2}$ או $k=-\frac{3\sqrt3}{2}$

Worked solution:

2\nearrow\tfrac{3\sqrt3}{2}\searrow-\tfrac{3\sqrt3}{2}\nearrow 2

ערכי הפונקציה לאורך הקטע

k=\pm\tfrac{3\sqrt3}{2}

הישר נוגע רק בקיצון

\begin{aligned}k &= 0:\ x \\ &= \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

שני פתרונות

הנכונה: $k=\pm\frac{3\sqrt3}{2}$ . ב- $k=0$ יש שני פתרונות, כי הגרף ממשיך לעלות אחרי $\frac{3\pi}{2}$ . ב- $2<k<\frac{3\sqrt3}{2}$ יש שניים: אחד בעלייה הראשונה ואחד בירידה.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה $f(x)=a\cos x-\cos^2 x$ בקטע $-\pi\le x\le\pi$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=\frac{\pi}{3}$ . א. מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= -a\sin x+2\cos x\sin x \\ &= \sin x(2\cos x-a)\end{aligned}

שרשרת על $\cos^2 x$

\begin{aligned}\sin\tfrac{\pi}{3}\neq 0 \Rightarrow 2\cdot\tfrac12-a &= 0 \Rightarrow a \\ &= 1\end{aligned}

$a=1$ . $(\cos^2 x)'=-2\cos x\sin x$ , ולכן מינוס כפול מינוס נותן $+2\cos x\sin x$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה $f(x)=a\cos x-\cos^2 x$ בקטע $-\pi\le x\le\pi$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=\frac{\pi}{3}$ . ב. הציבו $a=1$ . איזה נימוק מוכיח ש- $f$ זוגית?

$f'\left(\frac{\pi}{3}\right)=0$ ו- $f'\left(-\frac{\pi}{3}\right)=0$
$f(\pi)=f(-\pi)=-2$
$f(-x)=\cos(-x)-\cos^2(-x)=\cos x-\cos^2 x=f(x)$ לכל $x$
$f(0)=0$

Show the answer and the solution

Answer: C $f(-x)=\cos(-x)-\cos^2(-x)=\cos x-\cos^2 x=f(x)$ לכל $x$

Worked solution:

\cos(-x)=\cos x

הקוסינוס זוגי

f(-x)=f(x)

לכל $x$ בקטע הסימטרי

הנכונה: ההצבה של $-x$ . ערכים בשתי נקודות אינם הוכחה, גם כשהם שווים: זוגיות היא טענה על כל $x$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה $f(x)=a\cos x-\cos^2 x$ בקטע $-\pi\le x\le\pi$ , ו- $a$ פרמטר. ל- $f$ יש נקודת קיצון ב- $x=\frac{\pi}{3}$ . ג. הציבו $a=1$ . מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של $f$ בקטע.

הגדול ביותר: ____ ; הקטן ביותר: ____

Show the answer and the solution

Answer: הגדול ביותר: 0.25 ; הקטן ביותר: -2

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \sin x(2\cos x-1) \\ &= 0\end{aligned}

$\sin x=0$ או $\cos x=\frac12$

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ \pm\tfrac{\pi}{3} \\ \ \pm\pi\end{aligned}

נקודות חשודות וקצוות

\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f\left(\pm\tfrac{\pi}{3}\right) &= \tfrac12-\tfrac14 \\ &= \tfrac14 \\ \quad f(\pm\pi) &= -1-1 \\ &= -2\end{aligned}

משווים

הגדול ביותר $\frac14$ והקטן ביותר $-2$ , בקצוות. ב- $x=0$ יש מינימום מקומי בגובה $0$ : הוא אינו הערך הקטן ביותר.

Check the answer on elev

Exercise 8

גוף נע על ישר, ומיקומו (במטרים) הוא $x(t)=4\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)$ , כאשר $t$ בשניות ו- $0\le t\le 4$ . א. מהו זמן המחזור של התנועה (בשניות)?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}T &= \frac{2\pi}{\omega} \\ &= \frac{2\pi}{\pi/2} \\ &= 4\end{aligned}

$\omega=\frac{\pi}{2}$

$T=4$ שניות: בקטע $0\le t\le 4$ יש מחזור שלם אחד. מי שעונה $\frac{\pi}{2}$ כתב את $\omega$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

גוף נע על ישר, ומיקומו (במטרים) הוא $x(t)=4\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)$ , כאשר $t$ בשניות ו- $0\le t\le 4$ . ב. מהי המהירות הגדולה ביותר של הגוף (במטר לשנייה)? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 6.2832

Worked solution:

\begin{aligned}v(t) &= 4\cdot\tfrac{\pi}{2}\cos\left(\tfrac{\pi}{2}t\right) \\ &= 2\pi\cos\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)\end{aligned}

גוזרים

v_{\max}=2\pi\approx 6.28

ב- $t=0$ וב- $t=4$ , כשהגוף ב- $x=0$

$2\pi\approx 6.28$ . מי שעונה $4$ נתן את האמפליטודה, ומי שעונה $\frac{\pi}{2}$ שכח אותה.

Check the answer on elev

Exercise 10

גוף נע על ישר, ומיקומו (במטרים) הוא $x(t)=4\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)$ , כאשר $t$ בשניות ו- $0\le t\le 4$ . ג. חשבו את $\int_0^1 v(t)\,dt$ , והסבירו מה המספר מתאר.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\int_0^1 v(t)\,dt=x(1)-x(0)

האינטגרל של המהירות הוא שינוי המיקום

\begin{aligned}x(1) &= 4\sin\tfrac{\pi}{2} \\ &= 4 \\ \quad x(0) &= 0\end{aligned}

4-0=4

$4$ מטר: הגוף עבר מ- $x=0$ לקצה $x=4$ . כאן $v\ge 0$ כל הזמן, ולכן שינוי המיקום שווה לדרך. ב- $\int_0^2$ היה יוצא $0$ , אף שהגוף עבר $8$ מטר.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev