Expressing with a parameter

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בשאלה 5 של הבגרות אין מספרים בהתחלה. יש רדיוס RR, צלע kk וזווית α\alpha. כל צלע, כל שטח וכל רדיוס נכתבים כביטוי בהם. מספר נכנס רק בסוף, כשנותנים ערך או יחס. הסתכלו קודם על הציור.

RαABCO
הצלע BCBC היא מיתר במעגל, והזווית α\alpha «מסתכלת» עליו מהקודקוד AA. הזיזו בדמיון את AA על הקשת: α\alpha לא משתנה, ולכן גם BCBC לא. הצלע תלויה רק ב-RR וב-α\alpha.

לפי הציור, הצלע BCBC תלויה רק ב-RR וב-α\alpha. מה אורכה כאשר α=30∘\alpha = 30^\circ? ומה כאשר α=90∘\alpha = 90^\circ?

Show the answer and the solution

BC=2Rsin⁡αBC=2R\sin\alpha. ב-30∘30^\circ: BC=2R⋅12=RBC=2R\cdot\frac{1}{2}=R. ב-90∘90^\circ: BC=2RBC=2R, קוטר. זו הזווית ההיקפית הנשענת על קוטר.

שלושה כלים — כל אחד כתוב בפרמטרים

asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\begin{aligned}\frac{a}{\sin\alpha} &= \frac{b}{\sin\beta} \\ &= \frac{c}{\sin\gamma} \\ &= 2R\end{aligned}
a2=b2+c2−2bccos⁡αa^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha
S=12bcsin⁡αS=\frac{1}{2}bc\sin\alpha
a↔α, Ra \leftrightarrow \alpha ,\ R

צלע, הזווית שמולה והרדיוס: משפט הסינוסים עם 2R2R

b, c, αb ,\ c ,\ \alpha

שתי צלעות והזווית שביניהן: משפט הקוסינוסים לצלע השלישית, ונוסחת השטח

a, b, ca ,\ b ,\ c

שלוש צלעות: משפט הקוסינוסים לזווית

בכל שאלה פרמטרית כותבים ליד כל צלע מול איזו זווית היא עומדת. רוב הטעויות בפרק הזה הן זווית שנלקחה מהצד הלא נכון.

שטח של משולש חסום, כביטוי ואחר כך כמספר

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו RR. נתון ∠A=α\angle A=\alpha ו-∠B=2α\angle B=2\alpha. הביעו את שטח המשולש באמצעות RR ו-α\alpha, ומצאו אותו כאשר R=5R=5 ו-α=20∘\alpha=20^\circ.

∠C=180∘−3α\angle C=180^\circ-3\alpha

סכום הזוויות במשולש

BC=2Rsin⁡αAC=2Rsin⁡2α\begin{aligned}BC &= 2R\sin\alpha \\ \quad AC &= 2R\sin 2\alpha\end{aligned}

משפט הסינוסים, כל צלע מול הזווית שלה

S=12⋅BC⋅AC⋅sin⁡∠CS=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AC\cdot\sin\angle C

נוסחת השטח: שתי הצלעות והזווית שביניהן

S=2R2sin⁡α sin⁡2α sin⁡3αS=2R^2\sin\alpha\,\sin 2\alpha\,\sin 3\alpha

sin⁡(180∘−3α)=sin⁡3α\sin(180^\circ-3\alpha)=\sin 3\alpha

S=50sin⁡20∘sin⁡40∘sin⁡60∘≈9.52S=50\sin 20^\circ\sin 40^\circ\sin 60^\circ \approx 9.52

מציבים R=5R=5, α=20∘\alpha=20^\circ

מביטוי למשוואה: מוצאים את α\alpha

באותו משולש, האם ייתכן ש-AC=2.5 BCAC = 2.5\,BC?

Show the answer and the solution

לא. מקבלים 2cos⁡α=2.52\cos\alpha=2.5, כלומר cos⁡α=1.25>1\cos\alpha=1.25>1. אין זווית כזו. יותר מזה: 3α<180∘3\alpha<180^\circ נותן α<60∘\alpha<60^\circ, ולכן 1<2cos⁡α<21<2\cos\alpha<2. היחס ACBC\frac{AC}{BC} תמיד בין 11 ל-22.

שלוש הטעויות של הביטוי הפרמטרי.

a=Rsin⁡αa=R\sin\alpha
a=2Rsin⁡αa=2R\sin\alpha

היחס הוא הקוטר. בדיקה: ב-α=90∘\alpha=90^\circ הצלע היא קוטר, 2R2R.

ABsin⁡∠A=2R\frac{AB}{\sin\angle A}=2R
ABsin⁡∠C=2R\frac{AB}{\sin\angle C}=2R

הזווית שמול הצלע, לא זו שבקצה שלה. ABAB עומדת מול CC.

sin⁡2α=2sin⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha
sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha

בדיקה ב-α=90∘\alpha=90^\circ: אגף שמאל 00, והטעות נותנת 22.

Exercises

Exercise 1

RαABCO

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו RR, ו-∠ACB=α\angle ACB = \alpha. הביעו את ABAB באמצעות RR ו-α\alpha.

  1. R2sin⁡α\frac{R}{2\sin\alpha}
  2. Rsin⁡αR\sin\alpha
  3. 2Rsin⁡α2R\sin\alpha
  4. 2Rcos⁡α2R\cos\alpha
Show the answer and the solution

Answer: C 2Rsin⁡α2R\sin\alpha

Worked solution:

ABsin⁡∠C=2R\frac{AB}{\sin\angle C}=2R

משפט הסינוסים: הצלע ABAB מול הזווית CC

AB=2Rsin⁡αAB=2R\sin\alpha

כופלים ב-sin⁡α\sin\alpha

הנכונה: 2Rsin⁡α2R\sin\alpha. מי שבחר Rsin⁡αR\sin\alpha שכח שהיחס שווה לקוטר, 2R2R, ולא לרדיוס.

Check the answer on elev

Exercise 2

R40°65°ABCO

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו 66. נתון ∠A=40∘\angle A = 40^\circ ו-∠B=65∘\angle B = 65^\circ. מצאו את ACAC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 10.88

Worked solution:

AC↔∠BAC \leftrightarrow \angle B

בוחרים את הזווית שמול הצלע המבוקשת

AC=2Rsin⁡65∘=12sin⁡65∘\begin{aligned}AC &= 2R\sin 65^\circ \\ &= 12\sin 65^\circ\end{aligned}

משפט הסינוסים עם 2R2R

AC≈10.88AC \approx 10.88

חישוב

הזווית ∠A=40∘\angle A = 40^\circ לא משתתפת בחישוב. מי שכתב 12sin⁡40∘12\sin 40^\circ לקח את הזווית שליד הצלע, לא את זו שמולה.

Check the answer on elev

Exercise 3

α2αABC

במשולש ABCABC נתון AB=kAB = k, ∠A=α\angle A = \alpha ו-∠B=2α\angle B = 2\alpha. הביעו את ACAC באמצעות kk ו-α\alpha.

  1. ksin⁡3αsin⁡2α\frac{k\sin 3\alpha}{\sin 2\alpha}
  2. ksin⁡αsin⁡3α\frac{k\sin\alpha}{\sin 3\alpha}
  3. ksin⁡2αsin⁡α\frac{k\sin 2\alpha}{\sin\alpha}
  4. ksin⁡2αsin⁡3α\frac{k\sin 2\alpha}{\sin 3\alpha}
Show the answer and the solution

Answer: D ksin⁡2αsin⁡3α\frac{k\sin 2\alpha}{\sin 3\alpha}

Worked solution:

∠C=180∘−3α\angle C=180^\circ-3\alpha

סכום הזוויות במשולש

sin⁡(180∘−3α)=sin⁡3α\sin(180^\circ-3\alpha)=\sin 3\alpha

זוויות משלימות: אותו סינוס

ACsin⁡2α=ksin⁡3α\frac{AC}{\sin 2\alpha}=\frac{k}{\sin 3\alpha}

משפט הסינוסים: ACAC מול ∠B\angle B, ו-ABAB מול ∠C\angle C

AC=ksin⁡2αsin⁡3αAC=\frac{k\sin 2\alpha}{\sin 3\alpha}

מבודדים

הנכונה: ksin⁡2αsin⁡3α\frac{k\sin 2\alpha}{\sin 3\alpha}. הטעות הנפוצה היא להצמיד ל-kk את הזווית α\alpha שלידו. k=ABk=AB עומד מול ∠C\angle C.

Check the answer on elev

Exercise 4

150°ABCO

במשולש ABCABC נתון BC=9BC = 9 ו-∠A=150∘\angle A = 150^\circ. מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

2R=BCsin⁡150∘=90.5=18\begin{aligned}2R &= \frac{BC}{\sin 150^\circ} \\ &= \frac{9}{0.5} \\ &= 18\end{aligned}

משפט הסינוסים

R=9R=9

חצי הקוטר

sin⁡150∘=sin⁡30∘=0.5\sin 150^\circ=\sin 30^\circ=0.5. זווית קהה לא פוסלת את משפט הסינוסים. ומי שקיבל 1818 שכח לחלק ב-22.

Check the answer on elev

Exercise 5

60°k2kABC

במשולש ABCABC נתון AB=kAB = k, AC=2kAC = 2k ו-∠A=60∘\angle A = 60^\circ. אפשר לכתוב BC=ktBC = k\sqrt{t}. מצאו את tt.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

BC2=k2+4k2−2⋅k⋅2kcos⁡60∘BC^2=k^2+4k^2-2\cdot k\cdot 2k\cos 60^\circ

משפט הקוסינוסים: שתי צלעות והזווית שביניהן

BC2=5k2−2k2=3k2\begin{aligned}BC^2 &= 5k^2-2k^2 \\ &= 3k^2\end{aligned}

cos⁡60∘=12\cos 60^\circ=\frac{1}{2}

BC=k3BC=k\sqrt{3}

t=3t=3

הפרמטר kk יוצא מהשורש כי כל איבר מכיל k2k^2. מי שקיבל t=5t=5 שכח את האיבר −2bccos⁡α-2bc\cos\alpha.

Check the answer on elev

Exercise 6

RABCO

הוכיחו או הפריכו: במשולש החסום במעגל שרדיוסו RR ייתכן שאחת הצלעות היא 2.5R2.5R.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

a=2Rsin⁡αa=2R\sin\alpha

משפט הסינוסים

sin⁡α≤1 ⇒ a≤2R\sin\alpha \leq 1 \ \Rightarrow \ a \leq 2R

סינוס לא עולה על 1

2.5R>2R2.5R>2R

סתירה

הטענה לא נכונה. כל צלע היא מיתר במעגל, והמיתר הארוך ביותר הוא הקוטר 2R2R. זו בדיוק השאלה «האם ייתכן» של הבגרות: מגיעים ל-sin⁡α=1.25\sin\alpha=1.25 ועוצרים.

Check the answer on elev

Exercise 7

αABC

במשולש ABCABC נתון AB=AC=kAB = AC = k ו-∠BAC=α\angle BAC = \alpha. שטח המשולש הוא 12k2sin⁡α\frac{1}{2}k^2\sin\alpha. מצאו את השטח כאשר k=10k = 10 ו-α=150∘\alpha = 150^\circ.

Show the answer and the solution

Answer: 25

Worked solution:

S=12⋅102⋅sin⁡150∘S=\frac{1}{2}\cdot 10^2\cdot\sin 150^\circ

מציבים בביטוי

S=50⋅0.5=25\begin{aligned}S &= 50\cdot 0.5 \\ &= 25\end{aligned}

sin⁡150∘=sin⁡30∘\sin 150^\circ=\sin 30^\circ

קודם הביטוי, ורק אחר כך המספרים: כך עובדים בשאלה 5 של הבגרות. מי שקיבל −43.3-43.3 חישב cos⁡150∘\cos 150^\circ במקום סינוס.

Check the answer on elev

Exercise 8

Rα2αABCO

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו RR. נתון ∠A=α\angle A = \alpha ו-∠B=2α\angle B = 2\alpha. מהו היחס ACBC\frac{AC}{BC}?

  1. 2cos⁡α2\cos\alpha
  2. 2sin⁡α2\sin\alpha
  3. 22
  4. cos⁡α\cos\alpha
Show the answer and the solution

Answer: A 2cos⁡α2\cos\alpha

Worked solution:

AC=2Rsin⁡2αBC=2Rsin⁡α\begin{aligned}AC &= 2R\sin 2\alpha \\ \quad BC &= 2R\sin\alpha\end{aligned}

משפט הסינוסים: כל צלע מול הזווית שלה

ACBC=sin⁡2αsin⁡α\frac{AC}{BC}=\frac{\sin 2\alpha}{\sin\alpha}

2R2R מצטמצם

=2sin⁡αcos⁡αsin⁡α=2cos⁡α=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha}=2\cos\alpha

סינוס של זווית כפולה

הנכונה: 2cos⁡α2\cos\alpha. מי שבחר 22 חשב ש«זווית כפולה נותנת צלע כפולה». אבל הצלע יחסית לסינוס הזווית, ו-sin⁡2α≠2sin⁡α\sin 2\alpha \neq 2\sin\alpha.

Check the answer on elev

Exercise 9

Rα2αABCO

במשולש מהשאלה הקודמת (∠A=α\angle A = \alpha, ∠B=2α\angle B = 2\alpha) נתון AC=1.2 BCAC = 1.2\,BC. מצאו את α\alpha במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 53.13

Worked solution:

2cos⁡α=1.22\cos\alpha=1.2

היחס מהשאלה הקודמת

cos⁡α=0.6 ⇒ α≈53.13∘\cos\alpha=0.6 \ \Rightarrow \ \alpha \approx 53.13^\circ

פותרים

3α≈159.4∘<180∘3\alpha \approx 159.4^\circ<180^\circ

בדיקה: הזווית CC חיובית

הבדיקה בסוף איננה קישוט: אם הייתה יוצאת 3α≥180∘3\alpha \geq 180^\circ, המשולש לא היה קיים. בשאלות פרמטריות תמיד בודקים שהזווית השלישית חיובית.

Check the answer on elev

Exercise 10

RαβABCO

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו RR, ∠A=α\angle A = \alpha ו-∠B=β\angle B = \beta. תלמיד הביע את השטח. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

BC=2Rsin⁡αBC=2R\sin\alpha
AC=Rsin⁡βAC=R\sin\beta
S=12⋅BC⋅AC⋅sin⁡(α+β)S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AC\cdot\sin(\alpha+\beta)
Show the answer and the solution

Answer: AC=Rsin⁡βAC=R\sin\beta → AC=2Rsin⁡βAC=2R\sin\beta

Worked solution:

ACsin⁡β=2R\frac{AC}{\sin\beta}=2R

משפט הסינוסים

sin⁡∠C=sin⁡(180∘−α−β)=sin⁡(α+β)\begin{aligned}\sin\angle C &= \sin(180^\circ-\alpha-\beta) \\ &= \sin(\alpha+\beta)\end{aligned}

השורה השלישית נכונה

השורה השנייה שכחה את ה-22. היחס בין צלע לסינוס הזווית שמולה הוא קוטר המעגל. השורה האחרונה נכונה: sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\sin(180^\circ-x)=\sin x.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade