Set 1 — easy · Trigonometry in the plane and in space · Kita יא

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות קצרות מכל הפרק: משפט הסינוסים עם $2R$ , משפט הקוסינוסים, שטח, רדיוס המעגל החסום, וגוף אחד או שניים. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל חישוב שאלו: הצלע מול איזו זווית? ובגוף: מה ההיטל, ואיפה הזווית הישרה?

Exercises

Exercise 1

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $8$ , ו- $\angle BAC = 30^\circ$ . מצאו את $BC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

BC=2R\sin\angle A

משפט הסינוסים: $BC$ מול $\angle A$

\begin{aligned}BC &= 16\cdot\frac{1}{2} \\ &= 8\end{aligned}

מציבים

זווית היקפית של $30^\circ$ נותנת מיתר שווה לרדיוס. מי שקיבל $4$ השתמש ב- $R$ במקום $2R$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש $ABC$ נתון $AB = 6$ , $AC = 10$ ו- $\angle BAC = 60^\circ$ . מצאו את $BC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 8.72

Worked solution:

\begin{aligned}BC^2 &= 36+100-2\cdot 6\cdot 10\cdot\frac{1}{2} \\ &= 76\end{aligned}

משפט הקוסינוסים

BC=\sqrt{76} \approx 8.72

שורש

שתי צלעות והזווית שביניהן: משפט הקוסינוסים. מי שקיבל $\sqrt{136}$ שכח את האיבר $-2bc\cos\alpha$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = k$ ו- $\angle BAC = \alpha$ . מהו שטח המשולש?

$\frac{1}{2}k^2\cos\alpha$
$k^2\sin\alpha$
$\frac{1}{2}k^2\sin\alpha$
$\frac{1}{2}k\sin\alpha$

Show the answer and the solution

Answer: C $\frac{1}{2}k^2\sin\alpha$

Worked solution:

S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\angle A

שתי צלעות והזווית שביניהן

הנכונה: $\frac{1}{2}k^2\sin\alpha$ . $\frac{1}{2}k\sin\alpha$ שוכחת שיש שתי צלעות באורך $k$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

במשולש $ABC$ נתון $BC = 12$ , $\angle A = 45^\circ$ ו- $\angle B = 60^\circ$ . מצאו את $AC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 14.7

Worked solution:

\frac{AC}{\sin 60^\circ}=\frac{12}{\sin 45^\circ}

משפט הסינוסים: $AC$ מול $\angle B$ , $BC$ מול $\angle A$

\begin{aligned}AC &= \frac{12\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} \\ &= 6\sqrt{6} \approx 14.7\end{aligned}

מבודדים

כל צלע עם הזווית שמולה. מי שהפך את הזוויות קיבל $9.80$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

לכל זווית $\alpha$ בין $0^\circ$ ל- $90^\circ$ מתקיים $\sin(180^\circ-2\alpha)=\sin 2\alpha$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\sin(180^\circ-x)=\sin x

זוויות משלימות: אותו סינוס

x=2\alpha

מציבים

הטענה נכונה. לכן במשולש שווה שוקיים עם זוויות בסיס $\alpha$ , הסינוס של זווית הראש הוא $\sin 2\alpha$ . לקוסינוס זה לא נכון: $\cos(180^\circ-2\alpha)=-\cos 2\alpha$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

היוצר של חרוט ישר הוא $8$ ס״מ, והוא יוצר עם הבסיס זווית של $60^\circ$ . מצאו את רדיוס בסיס החרוט.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

OP=TP\cos 60^\circ

$\triangle TOP$ ישר זווית ב- $O$ ; הרדיוס ליד הזווית

\begin{aligned}OP &= 8\cdot\frac{1}{2} \\ &= 4\end{aligned}

מציבים

הרדיוס צמוד לזווית, ולכן קוסינוס. $8\sin 60^\circ \approx 6.93$ הוא הגובה.

Check the answer on elev

Exercise 7

מידות התיבה $ABCDEFGH$ הן $AB = 2$ , $BC = 3$ ו- $CG = 6$ . אורך האלכסון $AG$ הוא $7$ . מצאו את הזווית שבין $AG$ לבסיס $ABCD$ , במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 59

Worked solution:

\triangle ACG: \ \angle C=90^\circ

$CG$ מאונך לבסיס, ו- $AC$ ההיטל של $AG$

\begin{aligned}\sin\alpha &= \frac{CG}{AG} \\ &= \frac{6}{7}\end{aligned}

מול הזווית חלקי היתר

\alpha \approx 59.0^\circ

תשובה

כשהיתר ידוע, סינוס הוא הדרך הקצרה. אפשר גם $\tan\alpha=\frac{6}{\sqrt{13}}$ ולקבל אותה זווית.

Check the answer on elev

Exercise 8

אורכי הצלעות של משולש $ABC$ הם $6$ , $8$ ו- $10$ . מצאו את רדיוס המעגל החסום במשולש.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

6^2+8^2=10^2

משולש ישר זווית

\begin{aligned}S &= \frac{6\cdot 8}{2} \\ &= 24 \\ \quad p &= \frac{6+8+10}{2} \\ &= 12\end{aligned}

שטח וחצי היקף

\begin{aligned}r &= \frac{S}{p} \\ &= 2\end{aligned}

תשובה

$S=r\cdot p$ עם חצי היקף. חילוק בהיקף כולו נותן $1$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = k$ וזוויות הבסיס $\alpha$ . $AD$ הגובה לבסיס. הביעו את $AD$ .

$k\tan\alpha$
$k\cos\alpha$
$2k\sin\alpha$
$k\sin\alpha$

Show the answer and the solution

Answer: D $k\sin\alpha$

Worked solution:

\triangle ABD: \ \angle D=90^\circ

הגובה יוצר משולש ישר זווית

\begin{aligned}AD &= AB\sin\angle B \\ &= k\sin\alpha\end{aligned}

מול הזווית: סינוס

הנכונה: $k\sin\alpha$ . $k\cos\alpha$ הוא $BD$ , חצי הבסיס. $k\tan\alpha$ היה נכון אילו $BD$ היה $k$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

התאימו לכל סוג נתונים את הכלי המתאים.

צלע, הזווית שמולה, והרדיוס $R$
שתי צלעות והזווית שביניהן, והצלע השלישית
שתי צלעות והזווית שביניהן, והשטח
השטח וחצי ההיקף

$\frac{1}{2}bc\sin\alpha$
$r=\frac{S}{p}$
משפט הסינוסים
משפט הקוסינוסים

Show the answer and the solution

Answer: צלע, הזווית שמולה, והרדיוס $R$ — משפט הסינוסים · שתי צלעות והזווית שביניהן, והצלע השלישית — משפט הקוסינוסים · שתי צלעות והזווית שביניהן, והשטח — $\frac{1}{2}bc\sin\alpha$ · השטח וחצי ההיקף — $r=\frac{S}{p}$

Worked solution:

\frac{a}{\sin\alpha}=2R

צלע וזווית שמולה

a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha

הזווית בין שתי הצלעות

המילה שבוחרת את הכלי היא «שמולה» או «שביניהן». ברדיוס המעגל החוסם משתמשים במשפט הסינוסים, וברדיוס המעגל החסום בשטח.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev